高中數(shù)學人教B版 (2019)必修 第一冊3.1.3 函數(shù)的奇偶性優(yōu)秀第1課時導學案

這是一份高中數(shù)學人教B版 (2019)必修 第一冊3.1.3 函數(shù)的奇偶性優(yōu)秀第1課時導學案，共9頁。
第一課時 函數(shù)的奇偶性





知識點1 函數(shù)的奇偶性


1.奇偶性定義


偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為D, 如果對D內(nèi)的任意一個x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，則稱y＝f(x)為偶函數(shù).


奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為D, 如果對D內(nèi)的任意一個x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，則稱y＝f(x)為奇函數(shù).


2.奇、偶函數(shù)的圖像


偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，反之結(jié)論也成立；


奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，反之結(jié)論也成立.


[微思考]


具有奇偶性的函數(shù)，其定義域有何特點？


提示 定義域關(guān)于原點對稱.


[微體驗]


思考辨析


(1)函數(shù)f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函數(shù).( )


(2)對于函數(shù)y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，則函數(shù)y＝f(x)一定是奇函數(shù).( )


(3)不存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù).( )


(4)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則這個函數(shù)不是奇函數(shù)就是偶函數(shù).( )


答案 (1)× (2)× (3)× (4)×


知識點2 函數(shù)奇偶性的應用


函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系


如果y＝f(x)是偶函數(shù)，那么其在x>0與x0與xf(2) B.f(1)f(2).]


2.若f(x)為R上的偶函數(shù)，且f(2)＝3，則f(－2)＝________.


3 [因為f(x)為R上的偶函數(shù)，所以f(－2)＝f(2)＝3.]











探究一 函數(shù)奇偶性的判斷


判斷下列函數(shù)的奇偶性：


(1)f(x)＝eq \f(3x,x2＋3)；


(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；


(3)f(x)＝eq \f(2x2＋2x,x＋1).


解 (1)f(x)的定義域是R，


又f(－x)＝eq \f(3?－x?,?－x?2＋3)＝－eq \f(3x,x2＋3)＝－f(x)，


所以f(x)是奇函數(shù).


(2)f(x)的定義域是R，


又f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，[來源:ZXXK]


所以f(x)是偶函數(shù).


(3)函數(shù)f(x)的定義域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不關(guān)于原點對稱，所以f(x)是非奇非偶函數(shù).


[方法總結(jié)]


1.定義法判斷函數(shù)的奇偶性





2.圖像法判斷函數(shù)的奇偶性





[跟蹤訓練1] (1)判斷下列函數(shù)的奇偶性：


①f(x)＝(x－2) eq \r(\f(2＋x,2－x))；


②f(x)＝x|x|.


解 ①由eq \f(2＋x,2－x)≥0，得定義域為[－2,2)，不關(guān)于原點對稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù).


②函數(shù)的定義域為R，因為f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù).


(2)已知函數(shù)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x＋3，x0，))試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.


解 函數(shù)f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱.


當x0，


f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3


＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)；


當x＝0時，－x＝0，f(－x)＝f(0)＝0＝－f(x)；


當x>0時，－x0))為奇函數(shù)，則a＋b＝________.


0 [當x＞0時，－x＜0，由題意得f(－x)＝－f(x)，


所以x2－x＝－ax2－bx， 解得a＝－1，b＝1.


當a＝－1，b＝1時，經(jīng)檢驗知f(x)為奇函數(shù)，故a＋b＝0.]














1.兩個定義：對于f(x)定義域內(nèi)的任意一個x，如果都有f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?f(x)為奇函數(shù)；如果都有f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?f(x)為偶函數(shù).


2.兩個性質(zhì)：函數(shù)為奇函數(shù)?它的圖像關(guān)于原點對稱；函數(shù)為偶函數(shù)?它的圖像關(guān)于y軸對稱.


3.函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝f(－x)的圖像關(guān)于y軸對稱；函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝－f(x)的圖像關(guān)于x軸對稱；函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝－f(－x)的圖像關(guān)于原點對稱.





課時作業(yè)(二十) 函數(shù)的奇偶性





1.函數(shù)f(x)＝eq \r(x)的奇偶性為( )


A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)


C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù)


D [函數(shù)f(x)＝eq \r(x)的定義域為[0，＋∞)，不關(guān)于原點對稱，所以此函數(shù)是非奇非偶函數(shù).]


2.如圖，給出奇函數(shù)y＝f(x)的局部圖像，則f(－2)＋f(－1)的值為( )





A.－2 B.2


C.1 D.0


A [由圖知f(1)＝eq \f(1,2)，f(2)＝eq \f(3,2)，又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－eq \f(3,2)－eq \f(1,2)＝－2.]


3.已知函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，其圖像與x軸有四個交點，則方程f(x)＝0的所有實根之和是( )


A.4 B.2


C.1 D.0


D [根據(jù)偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱知，四個交點的橫坐標是兩對互為相反數(shù)的數(shù)，因此它們的和為0.]


4.f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，下列結(jié)論中，不正確的是( )


A.f(－x)＋f(x)＝0 B.f(－x)－f(x)＝－2f(x)


C.f(－x)·f(x)≤0 D.eq \f(f?x?,f?－x?)＝－1


D [由于f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，由此可推A，B，C正確，由于f(－x)可能為0，故D錯誤.]


5.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≤0時，f(x)＝2x2－x，則f(1)等于( )


A.－3 B.－1


C.1 D.3


A [因為f(x)是奇函數(shù)，當x≤0時，f(x)＝2x2－x，


所以f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.]


6.若f(x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________.


4 [因為f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a為偶函數(shù)，所以a－4＝0，a＝4.]


7.若函數(shù)f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(a－x2)為偶函數(shù)且非奇函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________.


a>1 [因為函數(shù)f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(a－x2)為偶函數(shù)且非奇函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)且f(－x)≠－f(x).


又因為eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1≥0，,a－x2≥0，))所以a≥1.


當a＝1時，函數(shù)f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(a－x2)為偶函數(shù)且為奇函數(shù)，故a>1.]


8.已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)：①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x中奇函數(shù)為________(填序號).


②④ [因為f(|－x|)＝f(|x|)，所以①為偶函數(shù)；因為f(－x)＝－f(x)，令g(x)＝－f(x)，則g(－x)＝－f(－x)＝f(x)＝－g(x)，所以②為奇函數(shù)；令F(x)＝xf(x)，則F(－x)＝(－x)f(－x)＝xf(x)＝F(x)，故③是偶函數(shù)；令h(x)＝ f(x)＋x，則h(－x)＝f(－x)－x＝－f(x)－x＝－h(huán)(x)，故④是奇函數(shù).]


9.已知函數(shù)f(x)＝x－eq \f(a,x)的圖像經(jīng)過點(2,1).


(1)求a的值；


(2)判斷f(x)的奇偶性.


解 (1)因為函數(shù)f(x)＝x－eq \f(a,x)的圖像經(jīng)過點(2,1)，所以f(2)＝1，即2－eq \f(a,2)＝1，解得a＝2.


(2)由(1)知f(x)＝x－eq \f(2,x)，其定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點對稱，又f(－x)＝－x－eq \f(2,－x)＝－x＋eq \f(2,x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,x)))＝－f(x)，


所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù).


10.已知奇函數(shù)f(x)的定義域為[－5,5]，且在區(qū)間[0,5]上的圖像如圖所示.





(1)畫出在區(qū)間[－5,0]上的圖像；


(2)寫出使f(x)