人教B版 (2019)第三章 函數(shù)3.2 函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系精品學(xué)案設(shè)計

這是一份人教B版 (2019)第三章 函數(shù)3.2 函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系精品學(xué)案設(shè)計，共7頁。









一.數(shù)或式比較大小問題


數(shù)或式比較大小的方法


(1)作差或作商比較法.


(2)找中間量來比較， 往往找1或0.


(3)特值法，對相關(guān)的式子賦值計算得出結(jié)果.


(4)數(shù)形結(jié)合法，畫出相應(yīng)的圖形， 直觀比較大小.


[訓(xùn)練1] 若A＝(x＋3)(x＋7)，B＝(x＋4)(x＋6)，則A，B的大小關(guān)系為________.


A＜B [因為A－B＝(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6)＝x2＋10x＋21－(x2＋10x＋24)＝－3＜0，所以A＜B.]


[訓(xùn)練2] 已知a＜b＜c，試比較a2b＋b2c＋c2a與ab2＋bc2＋ca2的大小.


解 a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2)


＝(a2b－ab2)＋(b2c－bc2)＋(c2a－ca2)


＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a)


＝ab(a－b)＋bc[(b－a)＋(a－c)]＋ca(c－a)


＝ab(a－b)＋bc(b－a)＋bc(a－c)＋ca(c－a)


＝b(a－b)(a－c)＋c(a－c)(b－a)


＝(a－b)(a－c)(b－c).


因為a＜b＜c，所以a－b＜0，a－c＜0，b－c＜0，


所以(a－b)(a－c)(b－c)＜0.


所以a2b＋b2c＋c2a＜ab2＋bc2＋ca2.


二.不等式的性質(zhì)及應(yīng)用


應(yīng)用時容易出錯的不等式的性質(zhì)


(1)同向不等式可以相加；異向不等式可以相減；


若a＞b，c＞d，則a＋c＞b＋d，


若a＞b，c＜d則a－c＞b－d，


但異向不等式不可以相加，同向不等式不可以相減.


(2)左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘.


若a＞b＞0，c＞d＞0，則ac＞bd；


若a＞b＞0,0＜c＜d，則eq \f(a,c)＞eq \f(b,d).


(3)左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方.


若a＞b＞0，則an＞bn或eq \r(n,a)＞eq \r(n,b).


(4)若ab＞0，a＞b，則eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)，若ab＜0，a＞b，則eq \f(1,a)＞eq \f(1,b).


[訓(xùn)練3] 若a＞b, x＞y，下列不等式正確的是( )


A.a＋x＜b＋y B.ax＞by


C.|a|x≥|a|y D.(a－b)x＜(a－b)y


C [因為當(dāng)a≠0時， |a|＞0，不等式兩邊同乘以一個大于零的數(shù)，不等號方向不變；當(dāng)a＝0時，|a|x＝|a|y，故|a|x≥|a|y.]


[訓(xùn)練4] 已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，則下列不等式成立的是( )


A.xy＞yz B.xz＞yz


C.xy＞xz D.x|y|＞z|y|


C [因為x＞y＞z，且x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，又y＞z，所以xy＞xz.]


[訓(xùn)練5] 下列命題中，正確的是( )


A.若a＞b，c＞d，則ac＞bd


B.若ac＞bc，則a＞b


C.若eq \f(a,c2)＜eq \f(b,c2)，則a＜b


D.若a＞b，c＞d，則a－c＞b－d


C [取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A錯誤；當(dāng)c＜0時，ac＞bc，則a＜b，所以B錯誤；因為eq \f(a,c2)＜eq \f(b,c2)，所以c≠0，又c2＞0，所以a＜b，C正確；取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D錯誤.]


三. 一元二次不等式的解法[來源:]


(1)一元二次不等式常與集合運算相結(jié)合.


(2)三個二次之間的關(guān)系是解決一元二次不等式問題的關(guān)鍵.


(3)含參數(shù)的一元二次不等式恒成立問題是常見題型，關(guān)鍵是等價轉(zhuǎn)化與合理分類.構(gòu)造函數(shù)法與判別式、根與系數(shù)的關(guān)系是常見思考方向.


[訓(xùn)練6] 若關(guān)于x的不等式ax2－6x＋a21，,1＋m＝\f(6,a)，,1·m＝a，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,a＝2.))]


[訓(xùn)練7] 解關(guān)于x的不等式ax2－2ax＋a＋3＞0.


解 當(dāng)a＝0時，解集為R；


當(dāng)a＞0時，Δ＝－12a＜0，所以解集為R；


當(dāng)a＜0時，Δ＝－12a＞0，


方程ax2－2ax＋a＋3＝0的兩根分別為eq \f(a＋\r(－3a),a)，eq \f(a－\r(－3a),a)，所以此時不等式的解集為


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a＋\r(－3a),a)＜x＜\f(a－\r(－3a),a))))).


綜上所述，當(dāng)a≥0時，原不等式的解集為R；當(dāng)a＜0時，原不等式的解集為


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a＋\r(－3a),a)＜x＜\f(a－\r(－3a),a))))).


四、利用基本不等式求最值問題


基本不等式通常用來求最值問題


一般用a＋b≥2eq \r(ab)(a>0，b>0)解“積定求和，和最小”問題，用ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2解“和定求積，積最大”問題.


[訓(xùn)練8] 設(shè)a，b，c為正實數(shù)，且滿足a－3b＋2c＝0，則eq \f(b2,ac)的最小值是________.


eq \f(8,9) [因為a，b，c為正實數(shù)，a－3b＋2c＝0，所以b＝eq \f(a＋2c,3). 則eq \f(b2,ac)＝eq \f(?a＋2c?2,9ac)≥eq \f(8ac,9ac)＝eq \f(8,9)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2c，b＝eq \f(4c,3)時取等號，所以eq \f(b2,ac)的最小值是eq \f(8,9).]


[訓(xùn)練9] 設(shè)x，y都是正數(shù)，且eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝3，求2x＋y的最小值.


解 因為eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝3，所以eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(2,y)))＝1.


所以2x＋y＝(2x＋y)×1＝(2x＋y)×eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(2,y)))


＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋\f(y,x)＋\f(4x,y)))≥eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋2\r(\f(y,x)·\f(4x,y))))＝eq \f(4,3)＋eq \f(4,3)＝eq \f(8,3).


當(dāng)且僅當(dāng)eq \f(y,x)＝eq \f(4x,y)，即y＝2x時，取等號.[來源:]


又因為eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)＝3，所以x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(4,3).[來源:]


所以2x＋y的最小值為eq \f(8,3).


五．利用基本不等式求解實際問題


在實際應(yīng)用中，經(jīng)常涉及函數(shù)y＝x＋eq \f(k,x)(k>0)．一定要注意基本不等式適用的范圍和條件：“一正、二定、三相等”．特別是利用拆項、添項、配湊、分離變量等，構(gòu)造定值條件的方法和對等號能否成立的驗證．


[訓(xùn)練10] 某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位m/s)、平均車長l(單位：m)的值有關(guān)，其公式為F＝eq \f(76 000v,v2＋18v＋20l).


(1)如果不限定車型，l＝6.05，則最大車流量為____輛/小時；


(2)如果限定車型，l＝5，則最大車流量比(1)中的最大車流量增加________輛/小時．


(1)1 900 (2)100 [(1)l＝6.05，則F＝eq \f(76 000v,v2＋18v＋121)＝eq \f(76 000,v＋18＋\f(121,v))，由基本不等式v＋eq \f(121,v)≥2eq \r(121)＝22，得F≤eq \f(76 000,22＋18)＝1 900(輛/小時)，故答案為1 900.


(2)l＝5，F(xiàn)＝eq \f(76 000v,v2＋18v＋100)＝eq \f(76 000,v＋18＋\f(100,v))，由基本不等式v＋eq \f(100,v)≥2eq \r(100)＝20，得F≤eq \f(76 000,20＋18)＝2 000(輛/小時)，增加2 000－1 900＝100(輛/小時)，故答案為100.]


[訓(xùn)練11] 某商品進貨價每件50元，據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)銷售價格(每件x元)為50