（滬教版）數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)【單元測(cè)試】第二十二章 四邊形（綜合能力拔高卷）（2份，原卷版+解析版）

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滬教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 【單元測(cè)試】第二十二章 四邊形（綜合能力拔高卷） （考試時(shí)間：90分鐘 試卷滿分：100分） 學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 本卷題型精選核心重難易錯(cuò)典題，具備舉一反三之效，覆蓋面積廣，可充分考查學(xué)生雙基綜合能力！ 單選題：本題共10個(gè)小題，每小題2分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1．（2022·天津·八年級(jí)期末）若一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（?????） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根據(jù)多邊形的外角和為360°，進(jìn)行計(jì)算求解即可． 【詳解】解：∵多邊形的外角和為360° ∴多邊形的邊數(shù)為 故選D． 【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的外角和．解題的關(guān)鍵在于明確多邊形的外角和為360°． 2．（2021·山東沂南·八年級(jí)期中）若n邊形每個(gè)內(nèi)角都為156°，那么n等于（?????） A．8 B．12 C．15 D．16 【答案】C 【分析】首先求得外角的度數(shù)，然后利用多邊形的外角和是360度，列式計(jì)算即可求解． 【詳解】解：由題意可知：n邊形每個(gè)外角的度數(shù)是：180°-156°=24°， 則n=360°÷24°=15． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的外角與內(nèi)角，熟記多邊形的外角和定理是關(guān)鍵． 3．（2022·全國·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，把長方形沿EF對(duì)折，若，則的度數(shù)為（? ??） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)及∠1＝50°可求出∠BFE的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可得到∠AEF的度數(shù)． 【詳解】解：根據(jù)折疊以及∠1＝50°，得 ∠BFE＝∠BFG＝（180°﹣∠1）＝65°． ∵AD∥BC， ∴∠AEF＝180°﹣∠BFE＝115°． 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及圖形翻折變換的性質(zhì)，折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等． 4．（2022·廣東茂南·八年級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，下列條件：①AC⊥BD，②AB=BC，③∠ACB=45°，④OA=OB．上述條件能使矩形ABCD是正方形的是（?????） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)及正方形的判定來添加合適的條件． 【詳解】解：①添加AC⊥BD，根據(jù)對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形，故添加AC⊥BD，能使矩形ABCD成為正方形； ②添加AB=BC，根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形，故添加AB=BC，能使矩形ABCD成為正方形； ③添加∠ACB=45°， ∵∠ABC=90°， ∴∠ACB=B∠AC=45°， ∴AB=BC，根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形，故添加∠ACB=45°，能使矩形ABCD成為正方形； ④∵矩形ABCD中， ∴AC=BD，則AO=BO，故添加OA=OB，不能使矩形ABCD成為正方形； 綜上，①②③符合題意， 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定的應(yīng)用，能熟記正方形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．要使矩形成為正方形，可根據(jù)正方形的判定定理：（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形，（2）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形． 5．（2021·北京·101中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為BC上一點(diǎn)，CE＝6，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)．若OF的長為1，則△CEF的周長為（?????） A．14 B．16 C．18 D．12 【答案】B 【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)及直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得：，結(jié)合圖形得出的周長為，再由中位線的性質(zhì)得出，在中，利用勾股定理確定，即可得出結(jié)論． 【詳解】解：在正方形ABCD中，，，， ∵F為DE的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)， ∴OF為的中位線且CF為斜邊上的中線， ∴， ∴的周長為， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴的周長為， 故選：B． 【點(diǎn)睛】題目主要考查正方形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等，理解題意，熟練掌握運(yùn)用各個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵． 6．（2021·全國·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，連接，若，則的長為（?????） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】根據(jù)已知條件可以得到是的中位線，則，再利用平行四邊形的性質(zhì)得出即可． 【詳解】解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AO的中點(diǎn)， ∴是的中位線， ∴， 又∵EF=2， ∴OB=4， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴． 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線的判定定理及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 7．（2022·上海松江·八年級(jí)期末）如圖，在等腰梯形中，，，，交于點(diǎn)．下列判斷正確的是（　 ?。? A．向量和向量是相等向量 B．向量和向量相反向量 C．向量和向量是平行向量 D．向量與向量的和向量是零向量 【答案】C 【分析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和共線平面向量的定義作答． 【詳解】解：A、由于向量和向量的方向不同，所以它們不是相等向量，故本選項(xiàng)不符合題意．B、由于||≠|(zhì)|，所以向量和向量不是相反向量，故本選項(xiàng)不符合題意．C、因?yàn)锳D∥BC即AD∥EC，所以向量和向量是平行向量，故本選項(xiàng)符合題意．D、+＝2≠，故本選項(xiàng)不符合題意． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)和平面向量，注意：平面向量既有方向又有大小． 8．（2022·上海浦東新·八年級(jí)期中）已知向量和都是單位向量，則下列等式成立的是（??????） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】模長為1的向量稱為單位向量，它的方向是不確定的，所以只有D選項(xiàng)符合題意. 【詳解】解：∵向量和都是單位向量，但它們的方向不確定， ∴A、B、C不正確，D正確. 故選D. 【點(diǎn)睛】本題考查了單位向量的意義，同時(shí)也考查了向量的相等與和差計(jì)算，掌握單位向量的意義是解答本題的關(guān)鍵. 9．（2021·重慶·八年級(jí)期末）如圖，在正方形ABCD中，E為CD邊上一點(diǎn)，將△AED沿著AE翻折得到△AEF，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰好落在對(duì)角線AC上，連接BF．若EF＝2，則BF2＝（??????） A．4＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4 【答案】D 【分析】點(diǎn)F作FG⊥BC交于G點(diǎn)，設(shè)正方形的邊長為x，則ACx，由折疊可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，可得DE＝2，EC＝x﹣2，ACx，在Rt△EFC中，由勾股定理可得（x﹣2）2＝4+（x﹣x）2，解得x，即為正方形的邊長為22，再求出FC＝2，由∠ACB＝45°，可求FG＝CG，BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理可得BF2＝（2）2+2＝8+4． 【詳解】解：過點(diǎn)F作FG⊥BC交于G點(diǎn)， 由折疊可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°， 設(shè)正方形的邊長為x， ∵EF＝2， ∴DE＝2，EC＝x﹣2，ACx， 在Rt△EFC中，EC2＝FE2+FC2， ∴（x﹣2）2＝4+（﹣x）2， 解得x＝22， ∴FC＝x﹣x＝2， ∵∠ACB＝45°， ∴FG＝CG， ∴BG2， 在Rt△BFG中，BF2＝BG2+GF2＝（2）2+2＝8+4， 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，熟練掌握翻折的性質(zhì)，靈活應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵． 10．（2021·山東萊州·八年級(jí)期中）如圖，在矩形紙片中，，．將矩形紙片沿折疊，使點(diǎn)與重合．有下列語句：①四邊形是菱形；②；③；④．其中正確的有（??????） A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè) 【答案】C 【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)可得BH=DH=GD=BG，即可判定①正確；若設(shè)AG=x，則BG=DG=8-x，在Rt△AGB中由勾股定理建立方程可求得x，即AG的長，因此可判定②；連接BD，利用菱形的面積相等，可求得GH的長，從而可判定③；根據(jù)對(duì)②的判定可確定∠ABG是否為30°即可判定④． 【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)得：BH=DH，BG=GD，∠BHG=∠DHG，∠BGH=∠DGH ∵四邊形ABCD是矩形 ∴AD∥BC，AD=BC=8，∠A=90° ∴∠DGH=∠BHG ∴∠DGH=∠DHG ∴GD=DH ∴BH=DH=GD=BG ∴四邊形是菱形 即①正確 設(shè)AG=x，則BG=GD=8-x 在Rt△AGB中，由勾股定理建立方程得： 解得： 即AG的長 故②正確 如圖，連接BD 在Rt△ABD中，由勾股定理得： ∵，GD=AD-AG= ∴ ∴GH=7.5 故③正確 ∵BG=GD= ∴ ∵∠A=90° ∴∠ABG≠30°即∠AGB≠60° ∵∠BGH=∠DGH ∴∠BGH+∠DGH≠120° 從而∠BGH≠60° 即④不正確 故正確的有3個(gè) 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題是矩形的折疊問題，有一定的綜合性質(zhì)，考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，解一元一次方程等知識(shí)，熟練掌握并靈活運(yùn)用這些知識(shí)是解決本題的前提． 二、填空題：本題共8個(gè)小題，每題3分，共24分。 11．（2021·浙江·嵊州市三界鎮(zhèn)中學(xué)八年級(jí)期中）已知一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角為36°，則該多邊形的邊數(shù)為______邊． 【答案】十##10 【分析】因?yàn)槎噙呅蔚耐饨呛褪?60°，正多邊形的每個(gè)外角都是36°，把外角和除以正多邊形每個(gè)外角的度數(shù)就等于多邊形的邊數(shù)． 【詳解】解：360°÷36°=10，所以這個(gè)正多邊形是正十邊形． 故填：十 【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的外角和定理．解題的關(guān)鍵是知道多邊形外角和等于360°． 12．（2022·上海市文來中學(xué)八年級(jí)期中）已知梯形ABCD中，，，，，則此梯形的面積是_______． 【答案】3 【分析】易證梯形ABCD是等腰梯形，分別求出梯形的高，上底DC的長，利用梯形的面積公式計(jì)算即可． 【詳解】解：過點(diǎn)D作，過點(diǎn)C作，垂足分別為E、F． ∴四邊形CDEF為矩形， ∴， ∵∠B=∠C，∠AED=∠BFC=90°， ∴（AAS）， ∴， ∵，， ∴為等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案為：3 【點(diǎn)睛】本題考查了梯形的面積公式運(yùn)用，能夠證明四邊形ABCD是等腰梯形得到AE=BF是解題的關(guān)鍵． 13．（2021·全國·八年級(jí)單元測(cè)試）如果一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角為，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是___________． 【答案】12 【分析】首先根據(jù)內(nèi)角度數(shù)計(jì)算出外角度數(shù)，再用外角和除以外角度數(shù)即可． 【詳解】解：∵一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角為 ∴它的外角為， ， 故答案為：12． 【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角，關(guān)鍵是掌握內(nèi)角與外角互為鄰補(bǔ)角． 14．（2022·上海寶山·八年級(jí)期中）在平行四邊形中，如果，，那么__________，__________．（用、表示） 【答案】???? ???? 【分析】根據(jù)向量的性質(zhì)求解即可． 【詳解】解：∵， ∴， 故答案為：， ． 【點(diǎn)睛】本題考查了向量的問題，掌握向量的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 15．（2021·福建省莆田市中山中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，菱形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接，則__________． 【答案】2.5 【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)：對(duì)角線互相垂直，利用勾股定理求出BC，再利用直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)OE＝BC，即可求出OE的長． 【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OC＝AC＝3cm，OB＝BD＝3cm， 在Rt△BOC中，BC＝＝5cm， ∵點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)， ∴OE＝BC＝2.5cm， 故答案為：2.5． 【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識(shí)，得出OE＝BC是解題關(guān)鍵． 16．（2022·全國·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在梯形中，，，，、分別是、的中點(diǎn)，是直線上的一點(diǎn)，則的最小值為______. 【答案】 【分析】連接AC，交MN于P，連接DP，此時(shí)的最小，然后根據(jù)題意可知，梯形為等腰梯形，從而判斷出直線MN即為梯形的對(duì)稱軸，由此可知此時(shí)，即的最小值為AC的長，根據(jù)已知條件求出∠CAB=90°，∠BCA=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出AC. 【詳解】解：連接AC，交MN于P，連接DP，此時(shí)的最小，理由如下 ∵梯形中，， ∴梯形為等腰梯形， ∴∠DCB=∠B，∠ADC=∠BAD ∵、分別是、的中點(diǎn)， ∴直線MN即為梯形的對(duì)稱軸 由對(duì)稱可知：DP=AP ∴此時(shí)，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，即可得：此時(shí)的最小且最小值為AC的長， ∵，∠B＋∠BAD=180° ∴∠DCB=∠B=60°，∠ADC=∠BAD=120° ∵ ∴∠DAC=∠DCA= ∴∠CAB=∠BAD－∠DAC=90°，∠BCA=∠DCB－∠DCA=30° 在Rt△CAB中， BC=2AB=2，根據(jù)勾股定理可得：AC= 故答案為 【點(diǎn)睛】此題考查的是等腰梯形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)和最短路徑問題,掌握最短路徑的畫法及原理是解決此題的關(guān)鍵. 17．（2022·上海浦東新·八年級(jí)期末）如圖，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么=_____（用，表示）． 【答案】 【詳解】解：∵梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，=，∴=2=2，∵，∴=+=2+．故答案為2+． 18．（2022·湖南常德·八年級(jí)期末）如圖，已知長方形紙片，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，連接．將對(duì)折，點(diǎn)B落在直線上的點(diǎn)處，得折痕，對(duì)折，點(diǎn)A落在直線上的點(diǎn)處，得折痕，則圖中與互余的角是________（只需填寫三個(gè)角）． 【答案】∠B′EM，∠MEB，∠A′NE 【分析】由折疊的性質(zhì)得到∠MB′E=∠B=90°，∠NA′E=∠A=90°，∠MEB=∠MEB′，∠AEN=∠A′EN，再由平角的定義得到NE與ME垂直，根據(jù)同角（等角）的余角相等，即可在圖中找出與∠B′ME互余的角． 【詳解】解：由折疊及長方形ABCD可得：∠MB′E=∠B=90°，∠NA′E=∠A=90°，∠MEB=∠MEB′，∠AEN=∠A′EN， ∵∠MEB+∠MEB′+∠AEN+∠A′EN=180°， ∴∠MEB+∠AEN=∠MEB′+∠A′EN=90°， 則圖中與∠B′ME互余的角是∠B′EM，∠MEB，∠A′NE． 故答案為：∠B′EM，∠MEB，∠A′NE． 【點(diǎn)睛】本題考查了余角和補(bǔ)角，以及翻折變換，熟練掌握?qǐng)D形折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 三、解答題：本題共7個(gè)小題，19-23每題7分，24小題9分，25每題12分，共56分。 19．（2021·廣東海珠·八年級(jí)期末）已知：如圖，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分別是邊PA和PB上的點(diǎn)，且CD＝CE．求證：∠APB+∠DCE＝180°． 【答案】見詳解． 【分析】根據(jù)PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，得出CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，得出∠MPN+∠MCN=180°，再證Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），得出∠MCD=∠NCE即可． 【詳解】解：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N， ∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°， ∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°， 在Rt△MCD和Rt△NCE中， ， ∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL）， ∴∠MCD=∠NCE， ∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°． 【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和，掌握角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和是解題關(guān)鍵． 20．（2021·上?！ぐ四昙?jí)期末）已知在與中，，點(diǎn)在同一直線上，射線分別平分． (1)如圖1，試說明的理由； (2)如圖2，當(dāng)交于點(diǎn)G時(shí)，設(shè)，求與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； (3)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)． 【答案】(1)理由見解析 (2)，理由見解析 (3) 【分析】 （1），，可知，進(jìn)而可說明； （2）如圖1所示，連接并延長至點(diǎn)K，分別平分，則設(shè)，為的外角，，同理， ，得；又由（1）中證明可知，，進(jìn)而可得到結(jié)果； （3）如圖2所示，過點(diǎn)C作，則，，可得，由（1）中證明可得，在中， ，即，進(jìn)而可得到結(jié)果． 【詳解】解：(1)證明： 又 在和中 ． (2) 解：． 理由如下：如圖1所示，連接并延長至點(diǎn)K 分別平分 則設(shè) 為的外角 同理可得 即 ． 又由（1）中證明可知 由三角形內(nèi)角和公式可得 即 ． (3) 解：當(dāng)時(shí)，如圖2所示，過點(diǎn)C作，則 ，即 由（1）中證明可得 在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有 即 即 即，解得： 故． 【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，連接并延長，利用三角形外角性質(zhì)證得是解題的關(guān)鍵． 21．（2021·福建省莆田市中山中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在等腰三角形中，，點(diǎn)D是中點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)F，連接． (1)試判斷四邊形的形狀，并加以證明； (2)若，，求四邊形的面積． 【答案】(1)矩形，見解析 (2)120 【分析】 （1）由平行線的性質(zhì)可知，根據(jù)題意可推出，即易證，得出．根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可推出，，即，，從而即可推出四邊形ADCF為矩形； （2）由點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，可求出．在中，利用勾股定理可求出AD的長，最后利用矩形的面積公式計(jì)算即可． 【詳解】(1)解：∵， ∴． ∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵為等腰三角形，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)， ∴，， ∴，． ∵，即， ∴四邊形ADCF為矩形． (2) ∵，， ∴． ∵， ∴在中，， ∴． 【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，矩形的判定，等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理．掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 22．（2021·全國·八年級(jí)期中）如圖1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，AD＝AE，連接BE點(diǎn)M、N、P分別為DE、BE、BC的中點(diǎn)． （1）圖1中，觀察猜想線段M、NP的數(shù)量關(guān)系是 ，∠MNP的大小為 　 ??； （2）把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接MP、BD、CE，判斷△MMP的形狀，并說明理由； （3）把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝1，AB＝3，請(qǐng)求出△MNP面積的最大值． 【答案】（1）相等，；（2）等邊三角形，理由見解析；（3） 【分析】 （1）先證明由，，得，再由三角形的中位線定理得與的數(shù)量關(guān)系，由平行線性質(zhì)得的大??； （2）先證明得，再由三角形的中位線定理得，由平行線性質(zhì)得，再根據(jù)等邊三角形的判定定理得結(jié)論； （3）由，得，再由等邊三角形的面積公式得的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再由函數(shù)性質(zhì)求得最大值便可． 【詳解】解：（1），， ， 點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)， ，，，， ，，， ， ， ， 故答案為：；； （2）是等邊三角形． 理由如下：由旋轉(zhuǎn)可得，， 又，， ， ，， 點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)． ，，，， ，，， ， ， ， 是等邊三角形； （3）根據(jù)題意得，，即， ， 的面積， 的面積的最大值為． 【點(diǎn)睛】本題是三角形的一個(gè)綜合題，主要考查了等邊三角形的判定，三角形的中位線定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明三角形全等和運(yùn)用三角形中位線定理使已知與未知聯(lián)系起來． 23．（2022·山東桓臺(tái)·八年級(jí)期末）已知在四邊形中，，分別是邊，的中點(diǎn)． (1)如圖1，若，，，．求的長； (2)如圖2，若．求證：． 【答案】(1)5 (2)證明見解析 【分析】 （1）如圖1，取的中點(diǎn)，連接，，可知分別是的中位線，且，在中，由勾股定理可求的長． （2）如圖2，取的中點(diǎn)，連接，，可知分別是的中位線，且，在中，由勾股定理得，將，代入即可證明． 【詳解】(1)解：如圖1，取的中點(diǎn)，連接， ∵，， ∴分別是的中位線 ∴，，， ∴，，， ∴ ∴ 在中，由勾股定理得 ∴的長為5． (2) 證明：如圖2，取的中點(diǎn)，連接， ∵，， ∴分別是的中位線 ∴，，， ∴， ∵ ∴ 在中，由勾股定理得 ∴ ∴． 【點(diǎn)睛】本題考查了中位線，勾股定理．解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用中位線的性質(zhì)求解． 24．（2022·上海靜安·八年級(jí)期末）如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,點(diǎn)E在邊BC上,DE∥AB,設(shè). (1)用向量表示下列向量:; (2)求作: (保留作圖痕跡，寫出結(jié)果，不要求寫作法) 【答案】（1），（2）見解析. 【分析】 （1）AD∥BC，DE∥AB，可證得四邊形ABED是平行四邊形，然后利用平行四邊形法則與三角形法則求解即可求得答案； （2）首先作，連接AF，則即為所求. 【詳解】解：（1）∵AD∥BC,DE∥AB， ∴四邊形ABED是平行四邊形， ∴ ∴ ∴ ∴； (2)首先作，連接AF，則即為所求. 【點(diǎn)睛】此題考查平面向量，解題關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用向量的轉(zhuǎn)化即可. 25．（2021·湖南岳陽·八年級(jí)期末）如圖，四邊形是菱形，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段，連接，． （1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在菱形內(nèi)部或邊上時(shí)，求證：； （2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在菱形外部時(shí)， ①試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； ②求證：； （3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，連接、，若，，求四邊形的面積． 【答案】（1）見解析；（2）①結(jié)論：BP=EC，證明見解析；②見解析；（3）120 【分析】 （1）首先證明△ABC是等邊三角形，再根據(jù)SAS證明三角形全等即可． （2）①結(jié)論：BP=CE，證明△BAP≌△CAE（SAS），可得結(jié)論． ②想辦法證明CE平分∠ACD，再利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，可得結(jié)論． （3）證明EC⊥BC，利用勾股定理求出EC，可得BP=EC=24，再根據(jù)S四邊形ABCP=AC?BP，求解即可． 【詳解】解：（1）證明：如圖1中， ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB=BC， ∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵△PAE是等邊三角形， ∴AP=AE，∠PAE=∠BAC=60°， ∴∠BAP=∠CAE， 在△BAP和△CAE中， ， ∴△BAP≌△CAE（SAS）． （2）①解：結(jié)論：BP=CE． 理由：如圖2中， ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB=BC， ∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵△PAE是等邊三角形， ∴AP=AE，∠PAE=∠BAC=60°， ∴∠BAP=∠CAE， 在△BAP和△CAE中， ， ∴△BAP≌△CAE（SAS）， ∴BP=CE． ②證明：∵四邊形ABCD是菱形， ∴∠ABD=∠ABC=30°， ∵△BAP≌△CAE， ∴∠ACE=∠ABP=30°， ∵△ACD是等邊三角形， ∴∠ACD=60°， ∴∠ACE=∠DCE， ∵CA=CD， ∴CE⊥AD． （3）解：如圖3中， ∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=BC=10， ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AD∥BC，∠ABO=30°， ∴OA=OC=AB=5， ∵EC⊥AD， ∴EC⊥CB， ∴∠ECB=90°， ∴EC==24， ∵△BAP≌△CAE， ∴BP=EC=24， ∵AC=2OA=10，BP⊥AC， ∴S四邊形ABCP=?AC?BP=×24×10=120． 【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．