（滬教版）數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)【單元測(cè)試】第二十二章 四邊形（夯實(shí)基礎(chǔ)培優(yōu)卷）（2份，原卷版+解析版）

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滬教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 【單元測(cè)試】第二十二章 四邊形（夯實(shí)基礎(chǔ)培優(yōu)卷） （考試時(shí)間：90分鐘 試卷滿分：100分） 學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 本卷試題共三大題，共25小題，單選10題，填空8題，解答7題，限時(shí)90分鐘，滿分100分，本卷題型精選核心?？贾仉y易錯(cuò)典題，具備舉一反三之效，覆蓋面積廣，可充分考查學(xué)生雙基綜合能力！ 單選題：本題共10個(gè)小題，每小題2分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)期末）如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的5倍，則這個(gè)多邊形是（　 　） A．十邊形 B．十一邊形 C．十二邊形 D．十三邊形 【答案】C 【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式和多邊形外角和為360°建立方程求解即可． 【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，由題意，得 （n﹣2）×180°＝5×360°． 解得n＝12， 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和公式和多邊形外角和為360°，掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵． 2．（2021·北京·八年級(jí)期中）若一個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都等于36°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（　　 ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根據(jù)多邊形外角和定理求出正多邊形的邊數(shù)． 【詳解】解：∵正多邊形的每一個(gè)外角都等于36°， ∴正多邊形的邊數(shù)＝＝10． 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，根據(jù)外角和的大小與多邊形的邊數(shù)無(wú)關(guān)，由外角和求正多邊形的邊數(shù)，是常見(jiàn)的題目，需要熟練掌握． 3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一個(gè)條件，即可推出該四邊形是正方形，這個(gè)條件可以是（　 ?。?A．BC＝CD B．AB＝CD C．∠D＝90° D．AD＝BC 【答案】A 【分析】根據(jù)正方形的判定方法即可判定； 【詳解】解：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴四邊形ABCD是矩形， ∴當(dāng)BC＝CD時(shí)，四邊形ABCD是正方形， 其余條件均不能推導(dǎo)得出四邊形ABCD是正方形， 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定，解題的關(guān)鍵是記住正方形的判定方法． 4．（2021·天津市實(shí)驗(yàn)中學(xué)濱海學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，折疊矩形ABCD，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，已知AB=8，BC=10，則EC的長(zhǎng)（?????） A．5cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】C 【分析】根據(jù)矩形及折疊的性質(zhì)可得，，在中，利用勾股定理得出，，在中，設(shè)，則，繼續(xù)利用勾股定理求解即可得． 【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，且經(jīng)過(guò)折疊，，， ∴，， 在中， ， ， 在中，設(shè)，則， ∴， ∴即， 解得：， 即， 故選：C． 【點(diǎn)睛】題目主要考查矩形及折疊的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，理解題意，結(jié)合圖形，熟練運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵． 5．（2022·山東龍口·八年級(jí)期末）如圖，平行四邊形ABCD中，兩對(duì)角線交于點(diǎn)O，AB⊥AC，AD=5cm，OC=2cm，則對(duì)角線BD的長(zhǎng)為（?????） A．cm B．8cm C．3cm D．cm 【答案】D 【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理易求的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出的長(zhǎng)． 【詳解】解：的對(duì)角線與相交于點(diǎn)， ，，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)． 6．（2021·江蘇吳中·八年級(jí)期中）如圖，在矩形紙片中，，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，將沿所在的直線折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，則的長(zhǎng)是（?????） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得 ，再由矩形的性質(zhì)可得 ，從而得到 ，然后設(shè) ，則 ，在 中，由勾股定理，即可求解． 【詳解】解：根據(jù)題意得： ， 在矩形紙片中， ， ∴ ， ∴ ， 設(shè) ，則 ， 在 中， ， ∴ ，解得： ， 即 ． 故選：B 【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形與折疊，勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)，折疊圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 7．（2022·山東桓臺(tái)·八年級(jí)期末）如圖，在中，，點(diǎn)，，分別是三邊的中點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)度是（?????） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如圖，連接，由題意知是的中位線，證明，有，進(jìn)而可求的長(zhǎng)． 【詳解】解：如圖，連接 由題意知是的中位線 ∴ ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴ ∴cm 故選A． 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，三角形全等．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)熟練掌握． 8．（2021·上海普陀·八年級(jí)期中）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB﹦CD，那么下列結(jié)論中正確的是（?????）． A．與是相等向量； B．與是相等向量； C．與是相反向量； D．與是平行向量． 【答案】D 【分析】根據(jù)相等向量、相反向量、平行向量的定義解答即可． 【詳解】解：A、AB=CD，但AB不平行于CD，≠，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、AD//BC，AB=CD，AC=BD，但AC不平行于BD，≠，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、AD//BC，與不一定是相反向量，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、AD//BC，與是平行向量，故本選項(xiàng)正確． 故答案為：D． 【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的相關(guān)知識(shí)，掌握相等向量、相反向量、平行向量的定義是解答本題的關(guān)鍵． 9．（2021·浙江江干·八年級(jí)期末）在一次活動(dòng)課中，對(duì)如圖所示的平行四邊形（AD＞AB）進(jìn)行折疊，第一次沿著AE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，接著兩組同學(xué)分別嘗試了兩種不同的二次折疊，并給出了判斷：組1：若沿著CF的中垂線折疊，則點(diǎn)D與點(diǎn)A必重合；組2：若沿著DF折疊，AD與DC所在的直線重合，且點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)仍落在直線AF上，則＝（　 　） A．組1判斷正確，組2判斷正確 B．組1判斷正確，組2判斷錯(cuò)誤 C．組1判斷錯(cuò)誤，組2判斷正確 D．組1判斷錯(cuò)誤，組2判斷錯(cuò)誤 【答案】A 【分析】組1：過(guò)線段的中點(diǎn)N作并分別延長(zhǎng)交于點(diǎn)O，證明，得，再證明，得AM=DM，結(jié)合，得，得證組1判斷正確； 組2：分別延長(zhǎng)AF，DC交于點(diǎn)G，由題意知：，得AF=GF，由四邊形ABCD是平行四邊形，得AB=CD，AB//CD，進(jìn)而證的，那么AB=GC，故GC=CD，所以FC是的中位線，則，進(jìn)而推出 【詳解】解：組1：如圖， 過(guò)線段的中點(diǎn)N作并分別延長(zhǎng)交于點(diǎn)O， ∴直線MN是線段CF的垂直平分線 ∴NF=CF 由題意得： ∴ ∵與是對(duì)頂角 ∴= 又∵四邊形是平行四邊形 ∴AB=CD，AB//CD ∴ ∴ ∴ ∴在線段CF的垂直平分線MN上 ∴OA=OD 在和中 ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴若沿著CF的中垂線折疊，則點(diǎn)D與點(diǎn)A必重合 故組1判斷正確． 組2：如圖，分別延長(zhǎng)AF，DC交于點(diǎn)G 由題意知： ∴AF=GF， ∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AB=CD，AB//CD ∴ ∵與是對(duì)頂角 ∴= 在和中 ∴ ∴AB=GC， ∴GC=CD ∵AF=FG，GC=CD ∴FC是的中位線 ∴ ∴ ∴ 故組2判斷正確． 故選：A． 【點(diǎn)睛】 本題主要考查圖形折疊的性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)與判以及三角形中位線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)與判定及平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 10．（2022·安徽廬江·八年級(jí)期末）如圖①，在?ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線B→C→D→B運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程為x，△ABP的面積為y，y是x的函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖②所示，則圖②中的a值為（　　） A．3 B．4 C．14 D．18 【答案】A 【分析】由圖②知，BC=6，CD=14-6=8，BD=18-14=4，再通過(guò)解直角三角形，求出△CBD高，進(jìn)而求解． 【詳解】解：由圖②知，BC=6，CD=14-6=8，BD=18-14=4， 過(guò)點(diǎn)B作BH⊥DC于點(diǎn)H， 設(shè)CH=x，則DH=8-x， 則BH2=BC2-CH2=BD2-DH2，即：BH2=42-（8-x）2=62-x2， 解得： 則：， 則， 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查的是動(dòng)點(diǎn)圖象問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是：弄清楚不同時(shí)間段，圖象和圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而求解． 二、填空題：本題共8個(gè)小題，每題3分，共24分。 11．（2021·上?！ぐ四昙?jí)期中）已知一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是30°，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)是__________． 【答案】12 【分析】利用任何多邊形的外角和是360°除以外角度數(shù)即可求出答案． 【詳解】解：多邊形的外角的個(gè)數(shù)是360÷30=12，所以多邊形的邊數(shù)是12． 故答案為：12． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的外角和定理，已知外角求邊數(shù)的這種方法是需要熟記的內(nèi)容． 12．（2022·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AO=CO，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件_________（只添一個(gè)即可），使四邊形ABCD是平行四邊形． 【答案】BO=DO． 【詳解】解：∵AO=CO，BO=DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形． 故答案為BO=DO． 13．（2022·河南羅山·八年級(jí)期末）如圖，七邊形ABCDEFG中，AB，ED的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)O，外角∠1，∠2，∠3，∠4的和等于220°，則∠BOD的度數(shù)是_____度． 【答案】40． 【分析】在DO延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)M，根據(jù)多邊形的外角和為360°可得出∠BOM＝140°，再根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即可得出結(jié)論． 【詳解】解：在DO延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)M，如圖所示． ∵多邊形的外角和為360°， ∴∠BOM＝360°﹣220°＝140°． ∵∠BOD+∠BOM＝180°， ∴∠BOD＝180°﹣∠BOM＝180°﹣140°＝40°． 故答案為：40 【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的角度計(jì)算,關(guān)鍵在于熟記外角和360°. 14．（2021·湖北赤壁·八年級(jí)期中）如圖，已知矩形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為8cm，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)則四邊形EFGH的周長(zhǎng)等于___cm． 【答案】16． 【分析】連接AC、BD，根據(jù)三角形的中位線求出HG、GF、EF、EH的長(zhǎng)，再求出四邊形EFGH的周長(zhǎng)即可． 【詳解】解：如圖，連接AC、BD， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴AC=BD=8cm， ∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)， ∴HG=EF=AC=4cm， EH=FG=BD=4cm， ∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)=HG+EF+EH+FG=4cm+4cm+4cm+4cm=16cm， 故答案為：16． 【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形的中位線的應(yīng)用，能求出四邊形的各個(gè)邊的長(zhǎng)是解此題的關(guān)鍵．矩形的對(duì)角線相等，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半． 15．（2021·甘肅蘭州·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，EF是△ABC的中位線，且EF=5，則AC等于________． 【答案】10 【分析】根據(jù)三角形中位線定理即可求出AC． 【詳解】解：在△ABC中， ∵EF是△ABC的中位線， ∴EF=AC， ∴AC=2EF， ∵EF=5， ∴AC=2×5=10， 故答案為：10． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理，熟記三角形的中位線等于第三邊的一半是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 16．（2021·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖，四邊形是菱形，與相交于點(diǎn)，添加一個(gè)條件：________，可使它成為正方形． 【答案】 【分析】根據(jù)“有一個(gè)角是直角的菱形是正方形”可得到添加的條件． 【詳解】解：由于四邊形 是菱形， 如果 ， 那么四邊形是正方形． 故答案為： ． 【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的判定定理． 17．（2021·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為斜邊AB的中點(diǎn)，CD＝6cm，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)____cm． 【答案】12 【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可． 【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)， ∴線段CD是斜邊AB上的中線； 又∵CD＝6cm， ∴AB＝2CD＝12cm． 故答案為：12 【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)．掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解答本題的關(guān)鍵． 18．（2022·陜西雁塔·八年級(jí)期末）雙塔寺又名永祚寺，創(chuàng)建于明萬(wàn)歷三十六年（公元1608年），現(xiàn)為國(guó)家級(jí)文物保護(hù)單位，由于寺內(nèi)雙塔高聳，故俗稱(chēng)雙塔寺，成為太原市的標(biāo)志性建筑．主塔平面呈八角，其俯視圖形狀為正八邊形（如圖所示），則該八邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為_(kāi)__________． 【答案】135° 【分析】首先根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理：（n-2）?180°（n≥3且n為正整數(shù)）求出內(nèi)角和，然后再計(jì)算一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)． 【詳解】解：正八邊形的內(nèi)角和為：（8-2）×180°=1080°， 每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為×1080°=135°． 故答案為：135°． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是熟練掌握計(jì)算公式：（n-2）?180 （n≥3）且n為整數(shù)）． 三、解答題：本題共7個(gè)小題，19-23每題7分，24小題9分，25每題12分，共56分。 19．（2021·浙江下城·八年級(jí)期末）在四邊形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F． （1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形； （2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的長(zhǎng)． 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）3 【分析】 （1）根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行證明該四邊形為平行四邊形． （2）利用等面積法求出CD長(zhǎng)． 【詳解】解：（1）證明：∵AD//BC， ∴∠BAD+∠B＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠BAD+∠D＝180°， ∴AB//CD， 又∵AD//BC， ∴四邊形ABCD是平行四邊形； （2）解：∵AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F， ∴平行四邊形的面積＝BC×AE＝CD×AF， ∵AF＝2AE， ∴BC＝2CD＝6， ∴CD＝3． 【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和等面積法的使用，掌握這兩點(diǎn)是解題關(guān)鍵． 20．（2021·陜西榆林·八年級(jí)期末）如圖是某區(qū)部分街道示意圖，其中，E、D分別是和的中點(diǎn)，點(diǎn)C、D、E在一條直線上，點(diǎn)A、G、B在一條直線上，．從B站乘車(chē)到E站只有兩條路線有直接到達(dá)的公交車(chē)，路線1是，且長(zhǎng)度為5公里，路線2是，求路線2的長(zhǎng)度． 【答案】5公里 【分析】證明四邊形BCDG是平行四邊形，得到DG＝CB，再證四邊形BCFD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案． 【詳解】解：∵E、D分別是和的中點(diǎn)， ∴AB∥DE， ∵BC∥GF， ∴四邊形BCDG是平行四邊形， ∴DG＝CB． ∵FD＝DG， ∴CB＝FD． 又∵BC∥DF， ∴四邊形BCFD是平行四邊形， ∴CF＝BD， ∵AB∥DE，，F(xiàn)E＝AE， ∴CE垂直平分AF， ∴AE＝FE，F(xiàn)D＝DA， ∴BC＝DA， ∴路線2的長(zhǎng)度：BC+CF+FE＝AD+BD+AE＝5（公里）． 【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 21．（2021·黑龍江集賢·八年級(jí)期末）在四邊形ABCD中，AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)分別為P、Q、M、N． （1）如圖1，試判斷四邊形PQMN怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論； （2）若在AB上取一點(diǎn)E，連結(jié)DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等邊三角形（如圖2），判斷此時(shí)四邊形PQMN的形狀，并證明你的結(jié)論． 【答案】（1）平行四邊形，證明見(jiàn)解析；（2）菱形，證明見(jiàn)解析 【分析】 （1）根據(jù)平行四邊形的判定，對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可求解． （2）根據(jù)題意列出方程，數(shù)形結(jié)合證明平行四邊形PQMN的臨邊相等，根據(jù)一組臨邊相等的平行四邊形是菱形即可求解． 【詳解】解：（1）四邊形PQMN為平行四邊形； 連接AC、BD． ∵PQ為△ABC的中位線， ∴PQ∥AC，PQ＝AC， 同理MN∥AC．MN＝AC． ∴MN＝PQ，MN∥PQ， ∴四邊形PQMN為平行四邊形； （2）四邊形PQMN是菱形； 理由如下：設(shè)△ADE的邊長(zhǎng)是x，△BCE的邊長(zhǎng)是y， ∴DB2＝（x+y）2+（x）2＝x2+xy+y2，AC2＝（x+y）2+（y）2＝x2+xy+y2， 由（1）得MN＝AC與（1）同理可證MP＝BD ∴MN=MP， ∴平行四邊形PQMN是菱形； 【點(diǎn)睛】本題考查中位線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、菱形的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握幾何圖形的性質(zhì)，進(jìn)行等量代換、數(shù)形結(jié)合即可求解． 22．（2022·上海市梅隴中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，已知：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AC=2，D是邊AC上一點(diǎn)（D與A、C不重合），過(guò)點(diǎn)A作AE垂直AC，求滿足AE=CD，聯(lián)結(jié)DE交邊AB于點(diǎn)F. （1）試判斷△DBE的形狀，并證明你的結(jié)論. （2）當(dāng)點(diǎn)D在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形ADBE的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出四邊形ADBE的面積；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由. （3）當(dāng)△BDF是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AD的長(zhǎng).???????? 【答案】（1）△DBE是等腰直角三角形，證明見(jiàn)解析；（2）不變；2；（3）或2． 【分析】 （1）根據(jù)在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2可得出∠CAB=∠ACB=45°，再由AE⊥AC可得出∠EAC=90°，故可得出∠BAE=45°，由SAS定理可得出△CBD≌△ABE，故可得出BD=BE，由此可得出結(jié)論； （2）根據(jù)（1）中△CBD≌△ABE可知四邊形ADBE的面積不變，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論； （3）分兩種情況分別討論即可求得． 【詳解】解：（1）△DBE是等腰直角三角形． 理由：∵∠ABC=90°，AB=BC=2， ∴∠CAB=∠ACB=45°． ∵AE⊥AC， ∴∠EAC=90°， ∴∠BAE=45°． 在△CBD與△ABE中， ∵， ∴△CBD≌△ABE（SAS）， ∴BD=BE，∠CBD=∠ABE， ∵∠CBD+∠ABD=90°， ∴∠ABE+∠ABD=90°， 即∠BDE=90°， 即△DBE是等腰直角三角形； （2）不變． ∵由（1）知△CBD≌△ABE， ∴S四邊形ADBE=S△ABC=×2×2=2； （3）當(dāng)BF=DF時(shí)，則∠BDE=∠FBD， ∵△DBE是等腰直角三角形， ∴∠BDE=45°， ∴∠FBD=45° ∴∠CBD=45°， ∴∠CBD=∠ABD， ∴AD=CD， ∴AD=AC， ∵AB=BC=2， ∴AC=2 ∴AD=； 當(dāng)BD=DF時(shí)， ∵△ABC是等腰直角三角形，△BDE是等腰直角三角形， ∴∠C=∠CAB=45°，∠BDE=∠BED=45°， ∴∠C=∠BDE， ∵∠ADB=∠C+∠CBD=∠BDE+∠FDA， ∴∠CDB=∠ADF， 在△BCD和△DAF中 ∴△BCD≌△DAF（AAS）， ∴AD=BC=2． ∴當(dāng)△BDF是等腰三角形時(shí)，AD的長(zhǎng)為或2． 【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵. 23．（2021·北京·八年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，兩點(diǎn)分別是，軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足． (1)寫(xiě)出的度數(shù)； (2)求的值； (3)若平分，交于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，平分，交于點(diǎn)，隨著，位置的變化，的值是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，說(shuō)明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)的值為4，不變，見(jiàn)解析 【分析】 （1）過(guò)點(diǎn)A作軸于，軸于，由點(diǎn)，得到OA是的角平分線，由此得到； （2）由（1）得四邊形為正方形，證明△BAF≌△CAE，得到BF=CE，根據(jù)求出結(jié)果； （3）過(guò)點(diǎn)A作軸于，軸于，延長(zhǎng)交于，則四邊形為矩形，由推出AB=AP，證明，得到，證明是等腰直角三角形，得到AK=PK，由此得到，依據(jù)求出結(jié)果． 【詳解】(1)解：過(guò)點(diǎn)A作軸于，軸于，如圖1所示： 點(diǎn)， ， 是的角平分線， ， ； (2) 解：由（1）得：四邊形為矩形， ， 四邊形為正方形， ，， ， ， ， 軸，軸， ， 在和中， ， ， ， ； (3) 解：隨著，位置的變化，的值為4，不變，理由如下： 過(guò)點(diǎn)A作軸于，軸于，延長(zhǎng)交于，如圖2所示： 則四邊形為矩形， ，， 由（2）得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 軸，， 是等腰直角三角形， ， ， 平分，是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型． 24．（2021·廣東·珠海市紫荊中學(xué)八年級(jí)期中）如（圖1），矩形的邊、在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為，點(diǎn)P是射線上的一動(dòng)點(diǎn)，把矩形沿著折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)D處； （1）當(dāng)點(diǎn)C、D、A共線時(shí)，=______； （2）如（圖2），當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，與x軸交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，請(qǐng)判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由； （3）若點(diǎn)D正好落在x軸上，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)． 【答案】（1）；（2）菱形，見(jiàn)解析；（3）或 【分析】 （1）由翻折可以得到CD=CB=10，根據(jù)勾股定理可以求出AC=，點(diǎn)C、D、A共線時(shí)，可知AD=AC-CD=； （2）根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，可得結(jié)論； （3）分兩種情況： ①如圖3，點(diǎn)D在x軸正半軸上時(shí)，易得△PAD∽△DOC，列比例式可得結(jié)論； ②如圖4，當(dāng)D在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，易得△COD∽△DOP，同理可得結(jié)論． 【詳解】解：（1）如圖1， ∵矩形OABC，點(diǎn)B坐標(biāo)為（10，6）， ∴BC=10，AB=6， 由勾股定理得：AC= 由折疊得：CD=BC=10， 當(dāng)點(diǎn)C、D、A共線時(shí)，AD=AC-CD= 故答案為：； （2）四邊形CEAF是菱形， 理由是：由折疊得：∠FCA=∠ECA， ∵AC⊥EF， ∴EC=FC， ∵CF∥AE， ∴∠FCA=∠EAC， ∴∠ECA=∠EAC， ∴EC=AE ∴AE= FC ∵CFAE， ∴四邊形CEAF為平行四邊形 又∵AC⊥EF， ∴四邊形CEAF是菱形； （3）分兩種情況： ①如圖3， 點(diǎn)D在x軸正半軸上時(shí)， 在Rt△COD中，OC=6，CD=10， ∴OD=8， ∴AD=10-8=2， ∵∠PDC=90°， ∴∠CDO+∠ADP=90° ∵∠OCD+∠CDO=90°，∠ADP+∠DPA =90° ∴∠CDO=∠DPA ∴△PAD∽△DOC， ∴ 點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ； ②如圖4， 當(dāng)D在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，CD=BC=10，OC=6 由勾股定理得：OD=8， ∵∠CDP=90°， ∴∠CDO+∠ODP=∠ODP+∠DPA=90°， ∴∠CDO=∠DPA， ∵∠DOC=∠DAP， ∴△COD∽△DAP， 點(diǎn)P的坐標(biāo)為：； 綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或． 【點(diǎn)睛】本題四邊形的綜合題，考查的是矩形的性質(zhì)、翻折變換、三角形全等的性質(zhì)和判定，掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，注意第三問(wèn)，點(diǎn)P是射線BA上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D在x軸上時(shí)有兩種情況，不要丟解． 25．（2021·江蘇·無(wú)錫市東林中學(xué)八年級(jí)期中）在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，BC＝AD＝8． （1）P為BC上一點(diǎn)，將△ABP沿直線AP翻折至△AEP的位置（點(diǎn)B落在點(diǎn)E處）． ①如圖①，當(dāng)點(diǎn)E落在邊CD上時(shí)，利用尺規(guī)作圖，在圖①中作出滿足條件的圖形（即△AEP的位置，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡），并直接寫(xiě)出此時(shí)DE＝　 ?。?②如圖②，PE與CD相交于點(diǎn)F，AE與CD相交于點(diǎn)G，且FC＝FE，求BP的長(zhǎng)． （2）如圖③，已知點(diǎn)Q為射線BA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△BCQ沿CQ翻折，點(diǎn)B恰好落在直線DQ上的點(diǎn)B’處，求BQ的長(zhǎng)． 【答案】（1）①畫(huà)圖見(jiàn)解析，6；②；（2）4或16 【分析】 （1）①如圖1，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交CD于點(diǎn)E，作的角平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)即所求，根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)；②由折疊的性質(zhì)可知設(shè)BP＝EP＝x，可求得△GEF≌△PCF（ASA），再勾股定理求解即可； （2）分兩種情況進(jìn)行討論，點(diǎn)Q在線段AB上和點(diǎn)Q在BA延長(zhǎng)線上，分別求解即可． 【詳解】解：（1）①以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交CD于點(diǎn)E，再作∠EAB的角平分線交BC于點(diǎn)P，連接EP、AP，如下圖： 則 由矩形的性質(zhì)可知： ∴ ②由折疊的性質(zhì)，可設(shè)BP＝EP＝x， 在和中 ∴△GEF≌△PCF（ASA） ∴GF＝FP，GE＝CP＝8－x ∴GC＝EP＝x ∴ ∴在Rt△ADG中， 解得x＝，即BP＝ （2）①點(diǎn)Q在線段AB上， 由翻折得， ∵CD∥AB， ∴∠DCQ＝∠CQB ∴∠DCQ＝∠CQD ∴CD＝QD＝10 ∵ ∴ ∴ ②點(diǎn)Q在BA延長(zhǎng)線上 由翻折得 ∵CD＝10， ∴ 設(shè) ∴在Rt△ADQ中， 解得x＝16，即BQ＝16 綜上所述，BQ＝4或16 【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，折疊變換，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程求解問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題．