2024-2025學年河北省石家莊市高二上冊期末數(shù)學檢測試題（含解析）

這是一份2024-2025學年河北省石家莊市高二上冊期末數(shù)學檢測試題（含解析），共26頁。
2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.
4．考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知直線l過點且一個方向向量為，則l在y軸上的截距為（ ）
A. B. 1C. D. 5
2. 已知空間中三點，若，則（ ）
A. B. 4C. 3D.
3. 設曲線C是雙曲線，則“C的方程為”是“C的漸近線方程為”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
4. 已知等差數(shù)列的公差和首項都不為0，且成等比數(shù)列，則（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 5
5. 古希臘幾何學家用一個不垂直于圓錐的軸的平面去截一個圓錐，將所截得的不同的截口曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線如圖所示的圓錐中，AB為底面圓的直徑，M為PB中點，某同學用平行于母線PA且過點M的平面去截圓錐，所得截口曲線為拋物線．若該圓錐的高，底面半徑，則該拋物線焦點到準線的距離為（ ）
A. 2B. 3C. D.
6. 如圖，在平行六面體中，，則直線與直線AC所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐標系內(nèi)，曲線與x軸相交于A，B兩點，P是平面內(nèi)一點，且滿足，則面積的最大值是（ ）
A. B. C. D.
8. 設，則（ ）
A. B. C. D.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 若橢圓的焦距為2，則（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 5
10. 已知分別為雙曲線的左、右焦點，點A為雙曲線右支上任意一點，點，下列結論中正確的是（ ）
A.
B. 若，則的面積為2
C. 過P點且與雙曲線只有一個公共點的直線有3條
D. 存在直線與雙曲線交于M，N兩點，且點P為中點
11. 已知等差數(shù)列首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構成一個新的等差數(shù)列，以下說法正確的是（ ）
A.
B. 當時，
C. 當時，不是數(shù)列中的項
D. 若是數(shù)列中的項，則的值可能為7
12. 在棱長為2的正方體中，，則下列說法正確的是（ ）
A.
B. 三棱錐的體積最大值為1
C. 若，則點到直線EF的距離為
D. 三棱錐外接球球心軌跡的長度近似為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知向量，，且，則______
14. 己知圓與圓相切，則r的值為__________.
15. 已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），，若，則m的所有可能取值之和為__________.
16. 設雙曲線的左、右焦點分別為，過坐標原點的直線與交于點，，則的離心率為____________.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
17. 在直角坐標系中，點到直線的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為.
（1）求方程；
（2）直線與交于兩點，求線段的長.
18. 如圖，在三棱錐中，平面，，，，為棱的中點.
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成角正弦值.
19. 己知正項數(shù)列前n項和為，且滿足.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.
20. 如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，.
（1）若平面AEF，求值；
（2）在（1）的條件下，求平面AEF與平面PAE夾角的余弦值．
21. 已知數(shù)列滿足.
（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（2）記數(shù)列的前n項和為，求．
22. 已知圓，定點，D是圓A上的一動點，線段DB的垂直平分線交半徑DA于點E．
（1）求點E的軌跡方程；
（2）若直線m與點E的軌跡交于M，N兩點，與圓相交于P，Q兩點，且，求面積的最大值．
2024-2025學年河北省石家莊市高二上學期期末數(shù)學檢測試題
注意事項：
1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.
4．考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知直線l過點且一個方向向量為，則l在y軸上的截距為（ ）
A. B. 1C. D. 5
【正確答案】A
【分析】設l在y軸上的截距為，根據(jù)斜率公式列式求解即可.
【詳解】因為直線l一個方向向量為，可知直線l的斜率，
設l在y軸上的截距為，即直線l過點，
則，解得.
故選：A.
2. 已知空間中三點，若，則（ ）
A. B. 4C. 3D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)題意結合空間向量平行的坐標表示分析求解即可.
【詳解】由題意可得：，
若，則，解得，
所以.
故選：B.
3. 設曲線C是雙曲線，則“C的方程為”是“C的漸近線方程為”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】A
【分析】由方程為的漸近線為，且漸近線方程為的雙曲線方程為，結合充分、必要條件可得結果.
【詳解】若的方程為，則，
可得漸近線方程為，即充分性成立；
若漸近線方程為，則雙曲線方程為，
不一定為，即必要性不成立；
所以“的方程為”是“的漸近線方程為”的充分而不必要條件，
故選：A.
4. 已知等差數(shù)列的公差和首項都不為0，且成等比數(shù)列，則（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 5
【正確答案】C
【分析】設出數(shù)列的首項和公差，通過題設條件求得和的數(shù)量關系，再將用前項和公式展開，整體代入即得.
【詳解】設等差數(shù)列的首項為，公差為，
由成等比數(shù)列得,即：，
解得：，.
故選：C.
5. 古希臘幾何學家用一個不垂直于圓錐的軸的平面去截一個圓錐，將所截得的不同的截口曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線如圖所示的圓錐中，AB為底面圓的直徑，M為PB中點，某同學用平行于母線PA且過點M的平面去截圓錐，所得截口曲線為拋物線．若該圓錐的高，底面半徑，則該拋物線焦點到準線的距離為（ ）
A. 2B. 3C. D.
【正確答案】D
【分析】先利用中位線計算，結合對稱性判斷拋物線以為對稱軸，焦點在上，再以頂點為原點建立坐標系，設拋物線標準方程，根據(jù)點在拋物線上求得參數(shù)p即得結果.
【詳解】因為M是PB的中點，O是AB的中點，則，，
截圓錐的平面平行于母線PA且過母線PB的中點M，故O也在截面上，
根據(jù)對稱性可知拋物線的對稱軸為，焦點在上，
建立以M為原點，為x軸，過M點的垂線為y軸，
設拋物線與底面交點為E，則，
設拋物線為，則，解得，
即該拋物線焦點到準線的距離為p，即為.
故選：D.
6. 如圖，在平行六面體中，，則直線與直線AC所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】由線段的位置關系及向量加減的幾何意義可得、，利用向量數(shù)量積的運算律求、，最后應用夾角公式求直線夾角余弦值.
【詳解】因為，，
可得，，
又因為，，
可得，
，
所以直線與直線所成角的余弦值為.
故選：D.
7. 在平面直角坐標系內(nèi)，曲線與x軸相交于A，B兩點，P是平面內(nèi)一點，且滿足，則面積的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)題意不妨取，進而求點的軌跡方程，結合方程分析求解.
【詳解】對于曲線，令，即，
可得，不妨取，可知，
設，因為，則，
整理得，
可知點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，
所以面積的最大值是.
故選：D.
8. 設，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】利用等比數(shù)列求和可得，結合題意代入運算即可.
【詳解】因為，
所以.
故選：A.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 若橢圓的焦距為2，則（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 5
【正確答案】CD
【分析】討論橢圓焦點所在位置，結合之間的關系分析求解.
【詳解】由題意可知：，
若焦點在x軸上，則，解得；
若焦點在y軸上，則，解得；
綜上所述：或.
故選：CD.
10. 已知分別為雙曲線的左、右焦點，點A為雙曲線右支上任意一點，點，下列結論中正確的是（ ）
A.
B. 若，則的面積為2
C. 過P點且與雙曲線只有一個公共點的直線有3條
D. 存在直線與雙曲線交于M，N兩點，且點P為中點
【正確答案】AB
【分析】對A，根據(jù)雙曲線的定義判斷即可；對B，根據(jù)雙曲線定義結合勾股定理求解即可；對C，數(shù)形結合分析判斷即可；對D，根據(jù)點差法結合雙曲線性質(zhì)求解即可.
【詳解】對A，根據(jù)雙曲線的定義可得，故A正確；
對B，因為，，則，
又，故，即，
故，故B正確；
對C，由雙曲線的漸近線可得，過點且與雙曲線只有一個公共點的直線有
與兩條漸近線分別平行的兩條直線、與雙曲線右支相切的兩條直線，共4條，故C錯誤；
對D，設存在兩點，為中點，則，
即，又，故，
，故，即.
由漸近線的性質(zhì)可得過點且斜率為2的直線與雙曲線無交點，
故不存在直線與雙曲線交于M，N兩點，且點P為中點，故D錯誤.
故選：AB
11. 已知等差數(shù)列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構成一個新的等差數(shù)列，以下說法正確的是（ ）
A.
B. 當時，
C. 當時，不是數(shù)列中的項
D. 若是數(shù)列中的項，則的值可能為7
【正確答案】ABD
【分析】求出通項判斷A；求出公差、通項判斷BC；探討數(shù)列與的下標關系判斷D.
【詳解】對于A，由題意得，A正確；
對于B，新數(shù)列的首項為2，公差為2，故，B正確；
對于C，由B選項知，令，則，即是數(shù)列的第8項，C錯誤；
對于D，插入個數(shù)，則，
則等差數(shù)列中的項在新的等差數(shù)列中對應的下標是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，
于是，而是數(shù)列的項，令，當時，，D正確.
故選：ABD
12. 在棱長為2的正方體中，，則下列說法正確的是（ ）
A.
B. 三棱錐的體積最大值為1
C. 若，則點到直線EF的距離為
D. 三棱錐外接球球心軌跡的長度近似為
【正確答案】ACD
【分析】以為原點，建立空間坐標系，設，寫出各點坐標，由于，則，選項A正確；由三棱錐的體積公式結合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得三棱錐的體積最大值，判斷出選項B；在中，利用等面積計算，可得點到直線的距離，判斷出選項C；求出三棱錐外接球球心坐標，分析可知球心的軌跡為線段（沒有端點），可判斷出選項D．
【詳解】以為原點，建立空間坐標系如圖所示，
設，
則，，，，，
對于選項A：可得，，
因為，即，故A正確；
對于選項B：因為三棱錐的體積
當時，三棱錐的體積取到最大值，選項B錯誤；
對于選項C：若，則，，
設點到直線的距離為，
在中，，，，則，
且為銳角，可得，
則，
即，解得，故C正確；
對于選項D：設三棱錐外接球球心
由題意可知：，即，則，
且，可知球心的軌跡為線段（沒有端點），且兩個端點坐標為，
所以三棱錐外接球球心軌跡的長度近似為，故D正確；
故選：ACD.
關鍵點點睛：對于選項D：可以利用補形法，將三棱錐補成長方體，可知三棱錐外接球球心即為長方體的中心.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知向量，，且，則______
【正確答案】
【分析】由向量垂直得向量的數(shù)量積等于計算即可得.
【詳解】由，解得.
故
14. 己知圓與圓相切，則r的值為__________.
【正確答案】6或2
【分析】根據(jù)題意結合兩圓的位置關系列式求解即可.
【詳解】圓圓心為，半徑為2；
圓的圓心為，半徑為；
由題意可得：或，
且，解得或．
故6或2.
15. 已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），，若，則m的所有可能取值之和為__________.
【正確答案】
【分析】由結合遞推關系式，分情況討論，分別求出的值即可．
【詳解】當時，則，可知或，
若，則；
若，則；
綜上所述，或，即m的所有可能取值之和．
故
16. 設雙曲線左、右焦點分別為，過坐標原點的直線與交于點，，則的離心率為____________.
【正確答案】
【分析】由雙曲線的對稱性可得、且四邊形為平行四邊形，由題意可得出，結合余弦定理表示出與、有關齊次式即可得離心率.
【詳解】由雙曲線的對稱性可得，
有四邊形為平行四邊形，令，則，
由雙曲線定義可知，故有，即，
即，
，
則，即，故，
則有，
即，即，則，由，故.
故答案為.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
17. 在直角坐標系中，點到直線的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）直線與交于兩點，求線段的長.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義直接求解即可；
（2）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理和拋物線的定義求解即可.
【小問1詳解】
在直角坐標系中，點到直線的距離等于點到點的距離，
所以根據(jù)拋物線的定義可得動點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，
所以軌跡為的方程為.
【小問2詳解】
設點，，
由，消去整理得，
， ，
故弦長.
18. 如圖，在三棱錐中，平面，，，，為棱的中點.
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)可得出，利用勾股定理的逆定理可證得，再利用線面垂直的判定定理可證得結論成立；
（2）取線段的中點，連接、，推導出平面，可知直線與平面所成角為，計算出、的長，即可求得的值，即為所求.
【小問1詳解】
證明：在中，，，，則，
所以，，
又因為平面，平面，所以，，
因為，、平面，因此，平面.
【小問2詳解】
解：取線段的中點，連接、，
因為、分別為、的中點，則且，
因為平面，則平面，
所以，與平面所成的角為，
因為平面，平面，所以，，
因為，，則，
因為為的中點，則，
因為平面，平面，則，
所以，，
因此，直線與平面所成角的正弦值為.
19. 己知正項數(shù)列前n項和為，且滿足.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列前項和.
【正確答案】19.
20.
【分析】（1）根據(jù)與之間的關系分析可知數(shù)列是等差數(shù)列，結合等差數(shù)列通項公式運算求解；
（2）由（1）可得，利用分組求和以及裂項相消法運算求解.
【小問1詳解】
因為，則，
兩式相減得：，
整理得，
且為正項數(shù)列，可知，
可得，即，
可知數(shù)列是以首項，公差的等差數(shù)列，
所以.
【小問2詳解】
由（1）可得，
當為奇數(shù)，則，
可得
，
所以.
20. 如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，.
（1）若平面AEF，求的值；
（2）在（1）的條件下，求平面AEF與平面PAE夾角的余弦值．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）建系，求平面的法向量，結合線面平面的向量關系分析求解；
（2）由（1）可得平面的法向量，利用空間向量求面面夾角.
【小問1詳解】
因為平面，平面，則，
且，平面，所以平面，
如圖，以為原點，分別以，所在直線為軸，軸，過作平行線為軸，
建立空間直角坐標系，
則，，，，，，
可得，，，
因為，則，
設平面的法向量為，則，
令，則，所以，
若平面AEF，則，解得.
【小問2詳解】
由（1）可得：平面的法向量為，
由題意可知：平面的一個法向量，
設平面與平面所成夾角為，
則，
所以平面與平面所成角的余弦值為.
21. 已知數(shù)列滿足.
（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（2）記數(shù)列的前n項和為，求．
【正確答案】（1）證明見解析，
（2）
【分析】（1）由已知等式變形可得出，利用等差中項法可證得結論成立，確定數(shù)列的首項和公差，可求得數(shù)列的通項公式，進而可求得數(shù)列的通項公式；
（2）利用錯位相減法可求得.
【小問1詳解】
因為，，則，
等式兩邊同時乘以可得，
即，所以，數(shù)列是等差數(shù)列.
且，，等差數(shù)列公差為，
所以，，故.
【小問2詳解】
數(shù)列的前項和為，且，
則，
所以，，
兩式相減可得
，
所以.
22. 已知圓，定點，D是圓A上的一動點，線段DB的垂直平分線交半徑DA于點E．
（1）求點E的軌跡方程；
（2）若直線m與點E的軌跡交于M，N兩點，與圓相交于P，Q兩點，且，求面積的最大值．
【正確答案】（1）
（2）1
【分析】（1）根據(jù)題意分析可知，結合橢圓的定義求軌跡方程；
（2）由題意分析可知圓心到直線m的距離，設直線m的方程為，，聯(lián)立方程結合韋達定理求，進而可求的面積，并利用基本不等式求最大值.
【小問1詳解】
圓的圓心為，半徑為4．
因為D是圓上的一個動點，線段DB的垂直平分線交半徑DA于點E，
則，可得，
因此E點的軌跡是以為焦點的橢圓，
其中，
所以點E軌跡方程為．
【小問2詳解】
圓的圓心為，半徑為2，
由題意可知：圓心到直線m的距離，
結合點E的軌跡方程可知：直線m的斜率可以不存在，但不為0，
設直線m的方程為，，
可得，整理得，即，
聯(lián)立方程，消去x得，
則，
可得，
則，
所以面積為，
且，可得，
當且僅當，即時，等號成立，
所以面積的最大值為1.
方法點睛：與圓錐曲線有關的最值問題的兩種解法
（1）數(shù)形結合法：根據(jù)待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質(zhì)求解．
（2）構建函數(shù)法：先引入變量，構建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其最值，常用基本不等式或?qū)?shù)法求最值（注意：有時需先換元后再求最值）．