人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊第二章　平面解析幾何2.2 直線及其方程2.2.2 直線的方程隨堂練習(xí)題

這是一份人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊第二章　平面解析幾何2.2 直線及其方程2.2.2 直線的方程隨堂練習(xí)題，共57頁。試卷主要包含了經(jīng)過點(diǎn)P稱為直線的點(diǎn)斜式方程等內(nèi)容，歡迎下載使用。

知識(shí)點(diǎn)01 直線的方程
一般地，如果直線l上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F（x，y）=0的解，而且以方程 F（x，y）=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線l上，則稱F(x,y)=0為直線l的方程，而直線l稱為方程 F（x，y）=0的直線.此時(shí)，"直線l"也可說成"直線F（x，y）=0"，并且記作l：F（x，y）=0.
【即學(xué)即練1】（21-22高二·全國·課后作業(yè)）直線的方程是指（ ）
A．直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解
B．以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上
C．直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解且以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上
D．以上都不對
【答案】C
【分析】根據(jù)直線方程的定義判斷即可.
【詳解】直線的方程是指直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解且以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上，
故選：C
【即學(xué)即練2】（21-22高二·全國·課后作業(yè)）方程①lgx-lgy=1；②lgx-y=1；③x-y2=1，④3x-2y=2中，能表示一條直線的方程是 ．（填序號(hào)）
【答案】②④
【分析】①由對數(shù)運(yùn)算得到y(tǒng)=110x，結(jié)合對數(shù)函數(shù)定義域得到直線位于第一象限的部分，不合題意；②由對數(shù)運(yùn)算得到x-y=10；③化簡后得到x-y=1，表示兩條直線；④由指數(shù)運(yùn)算和對數(shù)運(yùn)算求得x-2y=lg32，符合要求.
【詳解】lgx-lgy=lgxy=1，即y=110x，x>0,y>0，表示直線位于第一象限的部分，不合題意，①錯(cuò)誤；
lgx-y=1，即x-y=10，表示一條直線，故②正確；
x-y2=1，即x-y=1，即x-y=1或y-x=1，表示兩條直線，不合題意，③錯(cuò)誤；
3x-2y=2，即x-2y=lg32，表示一條直線，④正確.
故答案為：②④
知識(shí)點(diǎn)02直線的點(diǎn)斜式
1.經(jīng)過點(diǎn)P（x，y）且斜率為k的直線方程為y-y=k（x-x0）稱為直線的點(diǎn)斜式方程.
2.經(jīng)過點(diǎn)P（x，y）且斜率為0的直線方程為y=y0,經(jīng)過點(diǎn)P（x，y）且斜率不存在的直線方程為 x=x .
【即學(xué)即練3】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）經(jīng)過點(diǎn)P0,2且斜率為2的直線的方程為（ ）
A．y=-2x-2B．y=2x-2C．y=2x+2D．y=-2x+2
【答案】C
【分析】根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程寫出即可.
【詳解】由點(diǎn)斜式可得直線的方程為y-2=2x-0，
化為y=2x+2.
故選：C.
【即學(xué)即練4】（23-24高二上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）過點(diǎn)P5,2且斜率為-1的直線的點(diǎn)斜式方程為（ ）
A．y-5=-x-2B．y-2=-x-5
C．y+2=-x+5D．y+2=-x-5
【答案】B
【分析】根據(jù)點(diǎn)斜式公式帶入條件即可.
【詳解】將P5,2，斜率為-1帶入直線方程點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=kx-x0，得y-2=-x-5.
故選：B.
知識(shí)點(diǎn)03 直線的斜截式
1.一般地，當(dāng)直線l既不是x軸也不是y軸時(shí)：若l與x軸的交點(diǎn)為（a，0），則稱l在x軸上的截距為a；若l與y軸的交點(diǎn)為（0，b），則稱l在y軸上的截距為b.一條直線在y軸上的截距簡稱為截距．斜率為k，截距為b的直線方程為y=kx+b，稱為直線的斜截式方程.
2.直線y=kx＋b中k的幾何意義是直線的斜率,b的幾何意義是直線的截距（即直線在y軸上的截距）.
【即學(xué)即練5】（22-23高二上·湖南·期中）傾斜角為135°，在y軸上的截距為1的直線方程是（ ）
A．x-y-1=0B．x+y-1=0
C．x+y+1=0D．x-y+1=0
【答案】B
【分析】根據(jù)直線斜率和截距即可求解.
【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為135°，所以斜率為-1.因?yàn)橹本€在y軸上的截距為1，所以所求直線方程為y=-x+1，即x+y-1=0.
故選：B
【即學(xué)即練6】（22-23高二上·江蘇連云港·開學(xué)考試）若直線l的傾斜角α滿足4sinα=3csα，且它在x軸上的截距為3，則直線l的方程是 .
【答案】3x-4y-9=0
【分析】由已知確定直線的斜率，應(yīng)用斜截式寫出直線方程.
【詳解】由4sinα=3csα，所以tanα=34，
從而直線l的方程為y=34(x-3)，即3x-4y-9=0.
故答案為：3x-4y-9=0
知識(shí)點(diǎn)04 直線的兩點(diǎn)式
經(jīng)過兩點(diǎn)P1（x1，y1）,P2（x2，y2）(x2-x1≠0且y2-y1≠0)的直線方程為y-y1y2-y1=x-x1x2-x1，這種形式的直線方程稱為直線的兩點(diǎn)式方程.
【即學(xué)即練7】（24-25高二上·全國·隨堂練習(xí)）過點(diǎn)1,2，5,3的直線方程是（ ）
A．y-25-1=x-13-1B．y-23-2=x-15-1
C．y-15-1=x-32-3D．x-25-2=y-31-3
【答案】B
【分析】直接利用直線方程的兩點(diǎn)式寫出直線方程即可.
【詳解】因?yàn)橹本€過點(diǎn)1,2，5,3，所以直線方程為y-23-2=x-15-1，
故選：B.
【即學(xué)即練8】（2024高二上·全國·專題練習(xí)）經(jīng)過兩點(diǎn)5,0,2,-5的直線方程為 .
【答案】5x-3y-25=0
【分析】由直線的兩點(diǎn)式方程直接寫出，再化簡.
【詳解】經(jīng)過兩點(diǎn)5,0,2,-5的直線方程為：y-0-5-0=x-52-5，整理，
得5x-3y-25=0.
故答案為：5x-3y-25=0.
知識(shí)點(diǎn)05 之間的截距式
直線在x,y軸上的截距分別為a,b，且a≠0，b≠0，則直線方程可寫為xa+yb=1,這種形式的方程稱為直線的截距式方程，注意這里要求直線在x軸y軸上的截距都存在且不為0.
【即學(xué)即練9】（22-23高二上·海南·期中）在x軸、y軸上的截距分別是-2、3的直線方程為（ ）
A．x2+y3=1B．x2-y3=1
C．y3-x2=1D．x2+y3=-1
【答案】C
【分析】利用直線的截距式方程即可求解.
【詳解】因?yàn)橹本€在x軸、y軸上的截距分別是-2、3，
所以直線方程是x-2+y3=1，即y3-x2=1．
故選：C．
【即學(xué)即練10】（23-24高二上·陜西·階段練習(xí)）直線x-2y-2=0在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，則（ ）
A．a(chǎn)=2，b=1B．a(chǎn)=2，b=-1C．a(chǎn)=-2，b=1D．a(chǎn)=-2，b=-1
【答案】B
【分析】根據(jù)截距的定義計(jì)算即可.
【詳解】令x=0，解得y=-1，故b=-1；
令y=0，解得x=2，故a=2．
故選：B
知識(shí)點(diǎn)06 直線的一般式
1.所有的直線方程都是關(guān)于x，y的二元一次方程,關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線.
2.把方程Ax+By+C=0,(A2+B2≠0)稱為直線的一般式方程.
3.在方程Ax+By+C=0，如果B≠0，則方程可以化為y=-ABx-CB,它表示的是斜率為-AB且截距為-CB的直線；如果B=0，則由A,B不同時(shí)為0可知A≠0,從而方程可以化為x=-CA,它表示的是斜率不存在且過點(diǎn)（-CA，0）的直線.
【即學(xué)即練11】（23-24高二上·江蘇·課后作業(yè)）直線的一般方程中的幾何要素
若直線的一般方程為Ax+By+C=0，
（1）當(dāng)AB≠0時(shí)，直線的斜率為 ，橫截距為 ，縱截距為 ；
（2）當(dāng)A=0時(shí)，直線的斜率為 ，橫截距 ，縱截距為 ；
（3）當(dāng)B=0時(shí)，直線的斜率 ，橫截距 ，縱截距 ；
【答案】 -AB -CA -CB 0 不存在 -CB 不存在 -CA 不存在
【即學(xué)即練12】（23-24高二上·陜西西安·階段練習(xí)）△ABC的頂點(diǎn)A-3,4,B1,4,C-3,6，則BC邊上的中線所在的直線方程是 ．
【答案】x-2y+11=0
【分析】
求出線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式求出直線方程，化為一般方程；
【詳解】BC中點(diǎn)坐標(biāo)為(1-32,4+62)，即(-1,5)，
所以BC邊上的中線所在的直線方程是：y-45-4=x+3-1+3，
整理得：x-2y+11=0.
故答案為：x-2y+11=0
難點(diǎn)：最值問題
示例1：（23-24高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知直線l:kx-y+2+k=0x∈R．
(1)求證：無論k為何值，直線l:kx-y+2+k=0恒過定點(diǎn)；
(2)若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B,△AOB的面積為S（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求S的最小值和此時(shí)直線l的方程．
【答案】(1)證明見解析
(2)S的最小值為4，直線l的方程為y=2x+4
【分析】（1）將直線方程化為點(diǎn)斜式，從而求得定點(diǎn)的坐標(biāo).
（2）先求得S的表達(dá)式，然后利用基本不等式求得S的最小值，并求得此時(shí)直線l的方程.
【詳解】（1）直線l:kx-y+2+k=0k∈R可化為y-2=kx+1，故過定點(diǎn)-1,2，
所以無論k為何值，直線l:kx-y+2+k=0恒過定點(diǎn)-1,2；
（2）因?yàn)橹本€l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，所以k>0，
則kx-y+2+k=0中取y=0得x=-k+2k，取x=0得y=2+k，
S=12OA×OB=12×k+2k×2+k=12k+4+4k≥122k?4k+4=4，
當(dāng)且僅當(dāng)k=4k時(shí)，即k=2時(shí)取“＝”，
所以S的最小值為4，直線l的方程為y=2x+4．

【題型1：直線的點(diǎn)斜式方程】
例1．（24-25高二上·江蘇徐州·開學(xué)考試）過點(diǎn)A(3,2)且斜率為1的直線方程是（ ）
A．x+y+1=0B．x+y-1=0
C．x-y+1=0D．x-y-1=0
【答案】D
【分析】由直線方程的點(diǎn)斜式可直接寫出方程，化簡即可.
【詳解】根據(jù)題意可得直線為y-2=x-3，化簡得x-y-1=0.
故選：D
變式1．（23-24高二上·貴州遵義·期末）已知直線l過點(diǎn)A1,0，且傾斜角為直線y=3x傾斜角的一半，則直線l的方程為（ ）
A．x-3y-1=0B．3x-2y-3=0
C．x-3y-3=0D．3x+2y+3=0
【答案】A
【分析】由直線傾斜角和斜率關(guān)系即可得出直線方程.
【詳解】設(shè)直線y=3x的傾斜角為α0≤α0,b>0，
因?yàn)橹本€l過點(diǎn)P(2,1)，則2a+1b=1，
三角形OAB面積為S=12ab，
利用均值不等式，1=2a+1b≥22a?1b=22ab，即ab≥8，
當(dāng)且僅當(dāng)a=4,b=2等號(hào)成立，
于是，三角形OAB面積為S=12ab≥4．
故答案為：4
變式4．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）若直線l:xa+yb=1a>0,b>0經(jīng)過點(diǎn)1,2，則直線l在x軸和y軸上的截距之和取最小值時(shí)，ab= .
【答案】22/122
【分析】根據(jù)題意，由條件可得1a+2b=1，再結(jié)合基本不等式即可得到當(dāng)a+b取最小值的條件，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)橹本€l:xa+yb=1a>0,b>0經(jīng)過點(diǎn)1,2，可得1a+2b=1，
則a+b=(a+b)(1a+2b)=3+ba+2ab≥3+2ba?2ab=3+22，
當(dāng)且僅當(dāng)ba=2ab時(shí)，即b=2a=2+2時(shí)，等號(hào)成立，
所以直線l在x軸和y軸上的截距之和取最小值為3+22，
此時(shí)b=2a，則ab=22.
故答案為：22.
變式5．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）已知兩點(diǎn)A(3,0),B(0,4)，動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則xy的取值范圍為 ．
【答案】[0,3]
【分析】由截距得直線線段AB方程即x,y的關(guān)系，用代入法化xy為關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)得其范圍．
【詳解】線段AB方程為x3+y4=1(0≤x≤3)，于是y=4(1-x3)(0≤x≤3)，
從而xy=4x?(1-x3)=-43(x-32)2+3，
顯然當(dāng)x=32時(shí)，xy取最大值3；當(dāng)x=0或3時(shí)，xy取最小值0．
故答案為：[0,3]．
變式6.（多選）（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知直線l：2x-3y+1=0，則（ ）
A．l不過原點(diǎn)B．l的橫截距為12
C．l的斜率為23D．l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3
【答案】AC
【分析】根據(jù)直線方程的確定點(diǎn)是否再直線上可判斷A，由橫截距、斜率的概念可判斷B，C，由橫縱截距求解l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積可判斷D.
【詳解】已知直線l：2x-3y+1=0，
對于A，原點(diǎn)0,0不滿足直線方程，故l不過原點(diǎn)，故A正確；
對于B，當(dāng)y=0時(shí)，x=-12，故l的橫截距為-12，故B不正確；
對于C，直線l的方程可化為y=23x+13，則l的斜率為23，故C正確；
對于D，當(dāng)x=0時(shí)，y=13，則l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為12×-12×13=112，故D不正確.
故選：AC.
變式7．（多選）（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線l：y=3x-1，則（ ）
A．直線l過點(diǎn)3,-2
B．直線l的斜率為3
C．直線l的傾斜角為60°
D．直線l在y軸上的截距為1
【答案】BC
【分析】根據(jù)直線方程逐項(xiàng)判斷.
【詳解】對于A，將3,-2代入y=3x-1，可知不滿足方程，故A不正確；
對于B，由y=3x-1，知直線l的斜率為3，故B正確；
對于C，設(shè)直線l的傾斜角為α，則tanα=3，可得α=60°，故C正確；
對于D，由y=3x-1，令x=0，可得直線l在y軸上的截距為－1，故D不正確．
故選：BC
【方法技巧與總結(jié)】
直線的截距式方程
我們把直線與x軸的交點(diǎn)（a，0）的橫坐標(biāo)a稱為直線在x軸上的截距，此時(shí)直線在y軸上的截距是b.
方程xa+yb=1由直線l在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距a與b確定，所以稱為直線的截距式方程.
截距式方程的條件是a≠0，b≠0，即直線有兩個(gè)非零截距，截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線，也不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線.
（2）直線的截距式方程的特征是x項(xiàng)分母對應(yīng)的是橫截距，y項(xiàng)分母對應(yīng)的是縱截距，中間以“＋”號(hào)連接，等式右邊為1，如x2-y3=-1就不是直線的截距式方程.
（3）由直線的截距式方程可直接讀出直線在x軸和y軸上的截距，同時(shí)，截距式在解決與面積有關(guān)的問題和作圖時(shí)使用起來非常方便.
（4）直線在y軸上的截距是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，直線在x軸上的截距是直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而不是交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，因此截距a，b可能為正或零，也可能為負(fù).
【題型5：直線的一般式方程】
例5．(多選)（23-24高二上·貴州貴陽·期中）已知直線l:Ax+By+C=0，其中A,B不全為0，則下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)C=0時(shí)，l過坐標(biāo)原點(diǎn)
B．當(dāng)AB>0時(shí)，l的傾斜角為銳角
C．當(dāng)B=0,C≠0時(shí)，l和x軸平行
D．若直線l過點(diǎn)P(x0,y0)，直線l的方程可化為Ax-x0+By-y0=0
【答案】AD
【分析】選項(xiàng)A，原點(diǎn)坐標(biāo)適合直線方程；選項(xiàng)B，化為斜截式方程可得斜率為負(fù)，傾斜角為鈍角；選項(xiàng)C，方程變形為x=-CA可知；選項(xiàng)D，由直線l過點(diǎn)P(x0,y0)，得C=-Ax0-By0，代入直線方程可得.
【詳解】選項(xiàng)A，當(dāng)C=0時(shí)，x=0y=0是方程Ax+By=0的解，
即l過坐標(biāo)原點(diǎn)，故A正確；
選項(xiàng)B，當(dāng)AB>0時(shí)，直線l:Ax+By+C=0的方程可化為y=-ABx-CB，
則直線的斜率k=-AB0,B>0時(shí)，l的傾斜角為銳角
【答案】BC
【分析】根據(jù)直線方程的特征一一分析即可.
【詳解】對于A：當(dāng)A=0,B≠0時(shí)直線l:By+C=0（B≠0），即y=-CB，表示與x軸平行（重合）的直線，故A錯(cuò)誤；
對于B：當(dāng)A≠0,B=0,C=0時(shí)直線l:Ax=0，即x=0，即l與y軸重合，故B正確；
對于C：當(dāng)C=0時(shí)直線l:Ax+By=0，此時(shí)x=0y=0滿足方程Ax+By=0，即l過原點(diǎn)，故C正確；
對于D：當(dāng)A>0,B>0時(shí)直線l:Ax+By+C=0，即y=-ABx-CB，斜率k=-AB0時(shí)，得到當(dāng)且僅當(dāng)k=32時(shí)，等號(hào)成立，所以S△AOB≥0；當(dāng)k12時(shí)，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】
由正弦y=k(x-2)+3與x和y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2-3k,0),B(0,3-2k)，
所以△AOB的面積為S△AOB=122-3k3-2k=12×(2k-3)2k，
當(dāng)k>0時(shí)，S△AOB=12×4k2-12k+9k=12×(4k+9k-12)≥12(24k?9k-12)=0，
當(dāng)且僅當(dāng)k=32時(shí)，等號(hào)成立，所以S△AOB≥0，
所以，當(dāng)S△AOB=m>0，結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)，在k>0時(shí)k有兩個(gè)值，
當(dāng)k12時(shí)，在k0，則函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、三象限，A正確；
若k>0，b0，則函數(shù)圖象必經(jīng)過第一、三象限，且函數(shù)在R上恒為增函數(shù)，C正確，D錯(cuò)誤．
故選：ABC
變式2．（多選）（23-24高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）下列命題中錯(cuò)誤的是（ ）
A．若直線的傾斜角為鈍角，則其斜率一定為負(fù)數(shù)B．任何直線都存在斜率和傾斜角
C．直線的一般式方程為Ax+By+C=0D．任何一條直線至少要經(jīng)過兩個(gè)象限
【答案】BCD
【分析】利用直線傾斜角、斜率的意義判斷AB；利用直線一般式方程的條件判斷C；舉例說明判斷D.
【詳解】對于A，直線的傾斜角α∈(π2,π)，則其斜率k=tanα0，則直線l必過第二、三象限
【答案】BCD
【分析】對于A：舉例分析判斷；對于B：根據(jù)直線過定點(diǎn)分析判斷；對于CD：根據(jù)直線斜率和截距分析判斷.
【詳解】選項(xiàng)A：例如y=0（x軸），可得A=C=0,B≠0，則A2+C2=0，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：若C=-A，則Ax+By-A=Ax-1+By=0，
當(dāng)x=1,y=0時(shí)，式子恒成立，
所以直線l過定點(diǎn)(1,0)，故B正確；
選項(xiàng)C：若A?B0，則y=-ABx-CB，且-AB>0,-CB0，則x=-BAy-CA，且-CA0B．bc0，a>0，
不成立，D錯(cuò)誤.
故選：B.
變式2．（20-21高二上·天津武清·階段練習(xí)）直線l1：ax-y+b=0與l2：bx-y+a=0（其中a≠0，b≠0，a≠b），在同一坐標(biāo)系中的圖象是圖中的（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】首先將直線方程化為斜截式，再結(jié)合各選項(xiàng)一一判斷.
【詳解】直線l1：ax-y+b=0，即y=ax+b，kl1=a且與y軸交于點(diǎn)0,b，
直線l2：bx-y+a=0，即y=bx+a，kl2=b且與y軸交于點(diǎn)0,a，
對于A：直線l1中a>0，b>0，直線l2中a>0，b>0，且b>a，
則kl2>kl1，所以l2的傾斜角大于l1的傾斜角，不符合題意，故A錯(cuò)誤；
對于B：直線l1中a>0，b>0，直線l2中a>0，b>0，且b>a，
則kl2>kl1，所以l2的傾斜角大于l1的傾斜角，符合題意，故B正確；
對于C：直線l1中a0，直線l2中a>0，b>0，矛盾，故C錯(cuò)誤；
對于D：直線l1中a>0，b0，b>0，矛盾，故D錯(cuò)誤；
故選：B
變式3．（22-23高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知直線l：xA+yB=C，則以下四個(gè)情況中，可以使l的圖象如下圖所示的為（ ）
A．A>0，B0B．A0-b>0?a>0b0b0且1a-2≥0，解得a>2，
綜上滿足條件的實(shí)數(shù)a的范圍是2,+∞.
故選：D
5．（22-23高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）當(dāng)點(diǎn)P(-2,-1)到直線l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)距離的最大時(shí)，直線l的一般式方程是（ ）
A．3x+2y-5=0B．2x-3y+1=0C．3x+2y+5=0D．2x-3y+2=0
【答案】A
【分析】將直線方程變形為x+y-2+(3x+y-4)λ=0，得直線系恒過點(diǎn)A(1,1)，由此得到P到直線l的最遠(yuǎn)距離為|PA|，此時(shí)直線垂直于PA，即可求出直線方程．
【詳解】因?yàn)橹本€l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0，
所以可將直線方程變形為x+y-2+(3x+y-4)λ=0，
∴ x+y-2=03x+y-4=0，解得x=1，y=1，
由此可得直線系恒過點(diǎn)A(1,1)
P到直線l的最遠(yuǎn)距離為|PA|，此時(shí)直線垂直于PA，∵ kPA=23，
∴直線l的斜率為-32，
∴ -1+3λ1+λ=-32，∴ λ=13，
∴直線l的一般方程為3x+2y-5=0．
故選：A
6．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）下列直線中過第一、二、四象限的是（ ）
A．y=2x+1B．y=12x+4C．y=-2x+4D．y=32x-3
【答案】C
【分析】根據(jù)直線經(jīng)過的象限確定斜率及y軸截距判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】若直線y=kx+b過第一、二、四象限，則k0，
選項(xiàng)A，B，D中直線的斜率都大于0，只有C滿足k0．
故選：C.
7．（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）“a=1”是“直線x+ay-1=0與直線ax-y+1=0相互垂直”的（ ）條件
A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要
【答案】A
【分析】首先判斷兩直線的位置關(guān)系，再根據(jù)充分，必要條件的定義，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】直線x+ay-1=0與直線ax-y+1=0相互垂直，
則1×a+a×-1=0，所以不管a為何值，兩直線垂直，
所以“a=1”是“直線x+ay-1=0與直線ax-y+1=0相互垂直”的充分非必要條件.
故選：A
8．（21-22高二上·北京·期中）已知直線l的方程為x-my+2=0，則直線l（ ）
A．恒過點(diǎn)-2,0且不垂直x軸
B．恒過點(diǎn)-2,0且不垂直y軸
C．恒過點(diǎn)2,0且不垂直x軸
D．恒過點(diǎn)2,0且不垂直y軸
【答案】B
【分析】由直線l的方程，令y=0，對m分類討論即可求解.
【詳解】由直線l的方程為x-my+2=0，
令y=0，解得x=-2．
∴直線恒過點(diǎn)-2,0，
若m≠0，則直線y=1mx+2不垂直y軸，
若m=0，則直線x=-2不垂直于y軸，
綜上所述，恒過點(diǎn)-2,0且不垂直y軸.
故選：B．
二、多選題
9．（23-24高二上·浙江湖州·期末）對于直線l：mx+ny-3m=0（m2+n2≠0，m,n∈R），下列說法正確的是（ ）
A．直線l的一個(gè)方向向量為n,-mB．直線l恒過定點(diǎn)3,0
C．當(dāng)m=3n時(shí)，直線l的傾斜角為60°D．當(dāng)m=-2且n>0時(shí)，l不經(jīng)過第二象限
【答案】ABD
【分析】由直線方程的相關(guān)性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】對于A：直線l的一個(gè)方向向量為n,-m，A正確；
對于B：直線l的方程可化為mx-3+ny=0，所以直線l恒過定點(diǎn)3,0，B正確；
對于C：當(dāng)m=3n時(shí)，直線l的斜率為-3，此時(shí)傾斜角為120°，C錯(cuò)誤；
對于D：當(dāng)m=-2且n>0時(shí)，直線l為y=2nx-3，所以l不經(jīng)過第二象限，D正確.
故選：ABD.
10．（23-24高二上·福建福州·期末）已知點(diǎn)M-1,1，N1,3，直線l：mx+y-m+1=0與線段MN有交點(diǎn)，則m可以為（ ）
A．6B．2C．1D．-1
【答案】ABC
【分析】求得直線l恒過定點(diǎn)Q，求得斜率，結(jié)合圖象可求得m的范圍，進(jìn)而可得結(jié)果.
【詳解】由直線l：mx+y-m+1=0，可得y+1=-mx-1，
故過定點(diǎn)Q1,-1，斜率為-m，
所以kQM=1--1-1-1=-1,而QN的斜率不存在，
結(jié)合圖形可知：-m≤-1，即m≥1.
故選：ABC.
11．（23-24高二上·浙江舟山·期末）下列說法正確的是（ ）
A．直線x-y-2=0的傾斜角為π4
B．直線x-y-2=0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2
C．過點(diǎn)1,4的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0，則該直線方程為x-y+3=0
D．過1,4、x0,y0兩點(diǎn)的直線方程為y-4y0-4=x-1x0-1
【答案】AB
【分析】求出直線的斜率判斷A；求出直線的橫縱截距計(jì)算判斷B；舉例說明判斷CD.
【詳解】對于A，直線x-y-2=0的斜率為k=1，其傾斜角為π4，A正確；
對于B，直線x-y-2=0交x,y軸分別于點(diǎn)(2,0),(0,-2)，
該直線與坐標(biāo)軸圍成三角形面積為S=12×2×2=2，B正確；
對于C，過點(diǎn)1,4與原點(diǎn)(0,0)的直線y=4x在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0，符合題意，
即過點(diǎn)1,4且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0的直線可以是直線y=4x，C錯(cuò)誤；
對于D，當(dāng)x0=1,y0≠4時(shí)的直線或當(dāng)y0=4,x0≠1時(shí)的直線方程不能用y-4y0-4=x-1x0-1表示出，D錯(cuò)誤.
故選：AB
三、填空題
12．（23-24高二上·湖北荊州·期末）直線l經(jīng)過點(diǎn)A(0,1)，且傾斜角為直線y=3x-2的傾斜角的一半，則l的方程為 .
【答案】33x-y+1=0
【分析】根據(jù)直線傾斜角得到k=tanπ6=33，代入點(diǎn)坐標(biāo)得到答案.
【詳解】直線y=3x-2的傾斜角為α，α∈0,π，則tanα=3，α=π3，
直線l的傾斜角為α2=π6，k=tanπ6=33，直線過點(diǎn)A(0,1)，
故直線方程為y=33x+1，即33x-y+1=0.
故答案為：33x-y+1=0.
13．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）直線l過點(diǎn)-4,-1，且橫截距是縱截距的兩倍，則直線l的方程為 .
【答案】x+2y+6=0或x-4y=0
【分析】分截距為0和不為0兩種情況求解.
【詳解】當(dāng)橫、縱截距都是0時(shí)，設(shè)直線的方程為y=kx.
∵直線過點(diǎn)-4,-1，
∴-1=k-4，∴k=14，
即直線的方程為x-4y=0.
當(dāng)截距均不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為x2a+ya=1.
∵直線過點(diǎn)-4,-1，
∴42a+1a=1，解得a=-3，
即直線方程為x+2y+6=0.
綜上，所求直線方程為x+2y+6=0或x-4y=0.
故答案為：x+2y+6=0或x-4y=0.
14．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）已知A3,4，B-1,0，則過AB的中點(diǎn)且傾斜角為120°，直線的點(diǎn)斜式方程是 ．
【答案】y-2=-3x-1
【分析】求出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率后，根據(jù)點(diǎn)斜式可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則M1,2，
又斜率k=tan120°=-3，
所以直線的點(diǎn)斜式方程為y-2=-3x-1．
故答案為：y-2=-3x-1
四、解答題
15．（23-24高二下·全國·課堂例題）設(shè)l1,l2是平面直角坐標(biāo)系中的直線，分別判斷滿足下列條件的l1,l2是否唯一.如果唯一，作出相應(yīng)的直線，并思考直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)應(yīng)該滿足什么條件.
（1）已知l1的斜率不存在；
（2）已知l1的斜率不存在且l1過點(diǎn)A(-2,1)；
（3）已知l2的斜率為3；
（4）已知l2的斜率為3且l2過點(diǎn)B(1,2).
【答案】答案見解析
【分析】根據(jù)題意，利用直線的方程的性質(zhì)，逐個(gè)判定，并求得唯一的直線方程，即可求解.
【詳解】對于（1）中，當(dāng)直線l1的傾斜角為90°時(shí)，直線l1的斜率不存在，這樣的直線有無數(shù)條；
對于（2）中，當(dāng)直線l1的斜率不存在且過點(diǎn)A(-2,1)時(shí)，直線l1的方程為x=-2，
這樣的直線是唯一的，滿足題意；
對于（3）中，直線l2的斜率為3的直線有無數(shù)條，表示一束平行線，不滿足題意；
對于（4）中，當(dāng)l2的斜率為3且l2過點(diǎn)B(1,2)，可得直線方程為y-2=3(x-1)，
即3x-y+2-3=0，這樣的直線是唯一的，滿足題意.
如圖所示：
16．（23-24高二上·江蘇南京·開學(xué)考試）已知直線l過點(diǎn)P43,2，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)當(dāng)OA=OB時(shí)，求直線l的方程；
(2)當(dāng)△AOB的面積為6時(shí)，求直線l的方程.
【答案】(1)3x+3y-10=0；
(2)3x+4y-12=0或3x+y-6=0
【分析】（1）設(shè)直線l的截距式為xa+yb=1(a>0,b>0)，由題意列出方程組，求出截距即可得解；
（2）利用截距表示出三角形面積，再聯(lián)立方程求出截距，即可得解.
【詳解】（1）設(shè)直線l的方程為xa+yb=1(a>0,b>0)，且A(a,0),B(0,b)
由|OA|=|OB|，得a=b，由直線l過點(diǎn)P(43,2)，得43a+2b=1，解得a=103b=103，
所以直線l的方程為3x+3y-10=0.
（2）設(shè)直線l的方程為xa+yb=1(a>0,b>0)，且直線l不經(jīng)過原點(diǎn)，
由題意知，ab=12，43a+2b=1，解得a=4b=3或a=2b=6，
所以直線l的方程為3x+4y-12=0或3x+y-6=0.
17．（24-25高二下·上?！卧獪y試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知射線OA:x-y=0x≥0，過點(diǎn)P3,1作直線分別交射線OA、x軸正半軸于點(diǎn)A、B．
(1)當(dāng)AB的中點(diǎn)為P時(shí)，求直線AB的一般式方程；
(2)求△OAB面積的最小值．
【答案】(1)x+y-4=0
(2)4
【分析】（1）由題意可設(shè)Ax1,x1、Bx2,0，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x1=2，x2=4，進(jìn)而可得直線方程；
（2）分類討論直線斜率是否存在，求得A3k-1k-1,3k-1k-1，B3k-1k,0，即可得面積S△OAB=12?3k-1k?3k-1k-1，換元結(jié)合二次函數(shù)可得最大值.
【詳解】（1）由題意可設(shè)Ax1,x1、Bx2,0，且x1、x2>0．
當(dāng)AB的中點(diǎn)為P時(shí)，則x1+x2=2×3x1+0=2×1，解得x1=2，x2=4，
所以A2,2、B4,0．
所以直線AB的方程為y-20-2=x-24-2，即一般式方程為：x+y-4=0．
（2）當(dāng)過點(diǎn)P3,1的直線斜率不存在時(shí)，A3,3、B3,0，
此時(shí)S△OAB=12OB?h=12×3×3=92．
當(dāng)過點(diǎn)P3,1的直線斜率存在時(shí)，
設(shè)直線AB的方程為y-1=kx-3k≠1,k≠0．
直線AB與x-y=0x≥0相交，可得A3k-1k-1,3k-1k-1，
直線AB與x軸正半軸相交于B，可得B3k-1k,0．
由3k-1k-1>03k-1k>0，解得k>1或k2或t2或t