數(shù)學(xué)七年級下冊9.4 乘法公式課時練習(xí)

這是一份數(shù)學(xué)七年級下冊9.4 乘法公式課時練習(xí)，共44頁。
目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12899" 【典型例題】 PAGEREF _Tc12899 \h 1
\l "_Tc14205" 【考點一 運用平方差公式進行計算】 PAGEREF _Tc14205 \h 1
\l "_Tc32701" 【考點二 平方差公式與幾何圖形】 PAGEREF _Tc32701 \h 2
\l "_Tc15882" 【考點三 運用完全平方公式進行運算】 PAGEREF _Tc15882 \h 5
\l "_Tc9452" 【考點四 求完全平方式中的字母系數(shù)】 PAGEREF _Tc9452 \h 6
\l "_Tc5658" 【考點五 整式的混合運算——化簡求值】 PAGEREF _Tc5658 \h 7
\l "_Tc28546" 【考點六 通過對完全平方公式變形求值】 PAGEREF _Tc28546 \h 9
\l "_Tc16678" 【考點八 運用完全平方式求代數(shù)式的最值問題】 PAGEREF _Tc16678 \h 15
\l "_Tc17559" 【過關(guān)檢測】 PAGEREF _Tc17559 \h 18
【典型例題】
【考點一 運用平方差公式進行計算】
例題： (2023·安徽·合肥市第四十五中學(xué)橡樹灣校區(qū)七年級期中）下列整式乘法中，能用平方差公式簡便計算的有（ ）
（1）（2）（3）（4）
A．個B．個C．個D．個
【變式訓(xùn)練】
1． (2023·四川樂山·八年級期末）化簡：
2． (2023·浙江·寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中心初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）先化簡，再求值：，其中x＝1，y＝2；
【考點二 平方差公式與幾何圖形】
例題： (2023·江西·撫州市實驗學(xué)校七年級階段練習(xí)）乘法公式的探究及應(yīng)用．
(1)如圖1，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個矩形，如圖2，通過比較圖1、圖2陰影部分的面積，可以得到整式乘法公式： ；
(2)運用你所得到的乘法公式，計算或化簡下列各題：
①102×98，②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023·吉林吉林·八年級期末）（1）如圖1，若大正方形的邊長為a，小正方形的邊長為b，則陰影部分的面積是 ；若將圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成如圖2的一個矩形，則它長為 ；寬為 ；面積為 ．
（2）由（1）可以得到一個公式： ．
（3）利用你得到的公式計算：．
2． (2023·陜西渭南·七年級期末）如圖1，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．
(1)【探究】通過觀察比較圖2與圖1中的陰影部分面積，可以得到乘法公式______；（用含a，b的等式表示）
(2)【應(yīng)用】請應(yīng)用這個公式完成下列各題：
①已知，2m＋n＝4，則2m－n的值為______；
②計算：；
(3)【拓展】計算：．
【考點三 運用完全平方公式進行運算】
例題： (2023·湖南邵陽·七年級期末）計算：
【變式訓(xùn)練】
1． (2023·江蘇·南京市第一中學(xué)泰山分校七年級階段練習(xí)）先化簡，再求值：，其中x=-1，y=2．
2． (2023·湖南·長沙一中岳麓中學(xué)八年級階段練習(xí)）整式化簡：
(1)； (2)．
【考點四 求完全平方式中的字母系數(shù)】
例題： (2023·廣西·桂林市雁山中學(xué)七年級期中）若是完全平方式，則k的值為____________．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023·浙江·義烏市賓王中學(xué)七年級期中）若多項式x2﹣4x+m是一個完全平方式，則m的值為_____．
2． (2023·山東煙臺·八年級期中）關(guān)于的二次三項式是完全平方式，則的值是______________．
【考點五 整式的混合運算——化簡求值】
例題： (2023·遼寧·阜新市第一中學(xué)七年級期中）先化簡，再求值．其中x＝2，y＝-1．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023·廣東·深圳大學(xué)附屬教育集團外國語中學(xué)七年級期中）先化簡再求值：，其中a＝﹣，b＝﹣2．
2． (2023·黑龍江大慶·七年級期末）先化簡，再求值：
(1)，其中，；
(2)，其中，．
【考點六 通過對完全平方公式變形求值】
例題： (2023·湖南·衡陽市第十七中學(xué)八年級期中）已知a﹣b＝5，ab＝3，求代數(shù)式的值．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023·山東·萬杰朝陽學(xué)校七年級階段練習(xí)）已知a+b=5，ab=4，
(1)求a2+b2的值
(2)求（a-b）2的值
2． (2023·黑龍江·大慶市大同區(qū)同祥學(xué)校七年級期中）閱讀：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
已知a+b＝6，ab＝2，請你根據(jù)上述解題思路求下列各式的值．
(1)a2+b2；
(2)a2﹣ab+b2．
【考點七 完全平方公式在幾何中的應(yīng)用】
例題： (2023·寧夏·永寧縣回民高級中學(xué)七年級期中）如圖a是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪力均分成園塊小長方形，然后接圖b的形狀拼成一個正方形．
(1)圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于多少？
(2)求出圖b中陰影部分的面積_______．
(3)觀察圖b你能寫出下列三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？代數(shù)式：，，．
(4)根據(jù)（3）圖中的等量關(guān)系，解決如下問題：若，，則_______．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023·浙江·嵊州市馬寅初初級中學(xué)七年級期中）數(shù)學(xué)活動課上，老師準(zhǔn)備了若干個如圖 1 的三種紙片，種紙片是邊長為的 正方形，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是長為、寬為的長方形， 并用種紙片一張，種紙片一張，種紙片兩張拼成如圖 2 的大正方形．
(1)觀察圖 2，請你寫出下列三個代數(shù)式：，，之間的等量關(guān)系；
(2)若要拼出一個面積為的矩形， 則需要號卡片 1 張，號卡片 2 張，號卡片________張．
(3)根據(jù)（1） 題中的等量關(guān)系，解決如下問題：
①已知 ：，，求的值；
②已知，求的值．
2． (2023·河南·鄭州外國語學(xué)校經(jīng)開校區(qū)七年級階段練習(xí)）一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）．
(1)自主探究：如果用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積，從而發(fā)現(xiàn)一個等量關(guān)系是_____．
(2)知識運用：若x﹣y=5，xy=6，則=_____．
(3)知識遷移：設(shè)A=，B=x+2y﹣3，化簡的結(jié)果．
(4)知識延伸：若，代數(shù)式 (2023﹣m）（m﹣2022）=_____．
【考點八 運用完全平方式求代數(shù)式的最值問題】
例題： (2023·河北承德·八年級期末）閱讀下面的材料并解答后面的問題：
在學(xué)了整式的乘法公式后，小明問：能求出的最小值嗎？如果能，其最小值是多少？小麗：能．求解過程如下：因為，因為，所以，即的最小值是3．
問題：
(1)小麗的求解過程正確嗎？
(2)你能否求出的最小值？如果能，寫出你的求解過程；
(3)求的最大值．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023·陜西省西咸新區(qū)秦漢中學(xué)七年級階段練習(xí)）我們知道，所以代數(shù)式的最小值為學(xué)習(xí)了多項式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用來求一些多項式的最小值．
例如，求的最小值問題．
解：，
又，，的最小值為．
請應(yīng)用上述思想方法，解決下列問題：
(1)探究：____________；
(2)求的最小值．
(3)比較代數(shù)式：與的大?。?br>2． (2023·江蘇·靖江市實驗學(xué)校七年級期中）上數(shù)學(xué)課時，王老師在講完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多種運用后，要求同學(xué)們運用所學(xué)知識解答：求代數(shù)式x2+4x+5的最小值？同學(xué)們經(jīng)過交流、討論，最后總結(jié)出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴當(dāng)x＝﹣2時，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴當(dāng)（x+2）2＝0時，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
請你根據(jù)上述方法，解答下列各題
(1)知識再現(xiàn)：當(dāng)x＝____時，代數(shù)式的最小值是_____；
(2)知識運用：若，當(dāng)x＝____時，y有最____值（填“大”或“小”），這個值是____；
(3)知識拓展：若，求y+2x的最小值．
【過關(guān)檢測】
一、選擇題
1．（2023秋·上海浦東新·七年級?？计谥校┫铝械仁街校艹闪⒌氖牵? ）
A． B．
C．D．
2．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）已知：，，則（ ）
A．5B．4C．3D．2
3． (2023秋·河北邯鄲·八年級?？茧A段練習(xí)）已知，，則的值為（ ）
A．5B．25C．37D．6
4． (2023秋·河北承德·八年級統(tǒng)考期末）已知是完全平方式，則m的值（ ）
A．4B．9C．16D．
5． (2023秋·重慶沙坪壩·八年級校考期中）如圖是四張全等的矩形紙片拼成的圖形，利用圖中陰影部分面積的不同表示方法，可以寫出關(guān)于a、b的恒等式，下列各式正確的為（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題
6． (2023春·陜西西安·七年級?？计谥校┗啠篲___．
7． (2023春·甘肅蘭州·八年級蘭州市第五十六中學(xué)?？计谥校┤?，則___．
8．（2023春·七年級課時練習(xí)）若，那么的值為 __．
9． (2023秋·吉林長春·八年級?？计谀┮阎P(guān)于x的多項式是完全平方式，則k的值為_______．
10．（2023秋·北京密云·八年級統(tǒng)考期末）在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（其中a>b）（如圖①），把余下的部分拼成一個長方形（如圖②），根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證的乘法公式是_______________________ ．
三、解答題
11．（2023秋·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）計算：．
12．（2023秋·廣東廣州·八年級?？计谀┯嬎悖?br>13． (2023秋·河南信陽·八年級統(tǒng)考期末）先化簡，再求值：，其中．
14． (2023秋·河南鶴壁·八年級?？计谥校┫然?，再求值，其中，，．
15． (2023春·甘肅蘭州·七年級統(tǒng)考期末）先化簡，再求值：
已知，求代數(shù)式的值．
16． (2023春·山東青島·七年級?？计谥校┙獯痤}：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
(5)先化簡，再求值，其中，．
17．（2023秋·廣東云浮·八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，若大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，則陰影部分的面積是________；若將圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成如圖2的一個長方形，則它的長為________；寬為________；面積為________．
（2）由（1）可以得到一個公式：________．
（3）利用你得到的公式計算：．
18． (2023秋·廣西南寧·八年級?？计谥校╅喿x材料：完全平方公式是．選取二次三項式中兩項，配成完全平方式的過程叫配方，例如：叫配方
請根據(jù)閱讀材料解決下列問題：
(1)比照上面的例子，將二次三項式配方得：（______）______；
∴______0（填“>”，“b）（如圖①），把余下的部分拼成一個長方形（如圖②），根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證的乘法公式是_______________________ ．
【答案】a2-b2=（a+b）（a-b）
【分析】第一個圖形中陰影部分的面積計算方法是邊長是a的正方形的面積減去邊長是b的小正方形的面積，等于a2-b2；第二個圖形陰影部分是一個長是（a+b），寬是（a-b）的長方形，面積是（a+b）（a-b）；這兩個圖形的陰影部分的面積相等．
【詳解】解：陰影部分的面積=（a+b）（a-b）=a2-b2；
因而可以驗證的乘法公式是（a+b）（a-b）=a2-b2，
故答案為：a2-b2=（a+b）（a-b）．
【點睛】本題主要考查了平方差公式的幾何表示，運用不同方法表示陰影部分面積是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
11．（2023秋·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）計算：．
【答案】
【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式去括號，進而合并同類項得出答案即可．
【詳解】解：
．
【點睛】本題主要考查了平方差公式和完全平方公式和整式的混合運算，熟練掌握平方差公式以及完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
12．（2023秋·廣東廣州·八年級?？计谀┯嬎悖?br>【答案】
【分析】利用完全平方公式，平方差公式進行計算即可得．
【詳解】解：原式=
=
=．
【點睛】本題考查了完全平方公式，平方差公式，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點，正確計算．
13． (2023秋·河南信陽·八年級統(tǒng)考期末）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】原式去括號、合并同類項即可化簡原式，再將x、y的值代入計算可得．
【詳解】解：
，
當(dāng)時，
原式．
【點睛】本題考查了整式的混合運算－化簡求值，掌握整式的混合運算順序和運算法則是關(guān)鍵．
14． (2023秋·河南鶴壁·八年級?？计谥校┫然啠偾笾?，其中，，．
【答案】，
【分析】先根據(jù)完全平方公式，平方差公式，多項式乘以單項式，多項式除以單項式的運算法則進行化簡，再將，代入計算即可．
【詳解】解：
，
當(dāng)，時，原式．
【點睛】本題考查整式的混合運算，涉及完全平方公式，平方差公式，多項式乘以單項式，多項式除以單項式，解題的關(guān)鍵是正確化簡．
15． (2023春·甘肅蘭州·七年級統(tǒng)考期末）先化簡，再求值：
已知，求代數(shù)式的值．
【答案】，
【分析】先利用完全平方公式與平方差公式以及單項式乘以多項式進行乘法運算，再合并同類項得到化簡的結(jié)果，再由可得，整體代入求值即可．
【詳解】解：

，
∵，
∴，
∴，
∴原式．
【點睛】本題考查的是整式的乘法運算中的化簡求值，熟練的利用乘法公式進行化簡，再整體代入求值是解本題的關(guān)鍵．
16． (2023春·山東青島·七年級?？计谥校┙獯痤}：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
(5)先化簡，再求值，其中，．
【答案】(1)
(2)0
(3)
(4)
(5)；
【分析】（1）分別利用同底數(shù)冪的乘法、除法及積的乘方計算后，再合并同類項即可；
（2）把用平方差公式展開，再化簡即可；
（3）用多項式乘法展開再合并同類項即可；
（4）先用平方差公式，再用完全平方公式展開即可；
（5）先用平方差公式、完全平方公式及單項式乘多項式展開并合并同類項，最后計算多項式除以單項式即可，再把字母的值代入化簡后的式子中求值即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
當(dāng)，時，原式．
【點睛】本題是整式混合運算的綜合應(yīng)用，考查了冪的混合運算，整式乘法與除法，乘法公式等知識，掌握這些知識并熟練進行運算是解題的關(guān)鍵．
17．（2023秋·廣東云浮·八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，若大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，則陰影部分的面積是________；若將圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成如圖2的一個長方形，則它的長為________；寬為________；面積為________．
（2）由（1）可以得到一個公式：________．
（3）利用你得到的公式計算：．
【答案】（1），，，；（2）；（3）4
【分析】（1）利用正方形的面積公式，圖1陰影部分的面積為大正方形的面積－小正方形的面積，圖2長方形的長為，寬為，利用長方形的面積公式可得結(jié)論；
（2）由（1）建立等量關(guān)系即可；
（3）根據(jù)平方差公式進行計算即可．
【詳解】解：（1）根據(jù)題意可得：
圖1陰影部分的面積為：，
圖2長方形的長為：，
圖2長方形的寬為：，
面積為：，
故答案為：，，，；
（2）由（1）可得：
，
故答案為：；
（3）
．
【點睛】本題主要考查平方差公式的推導(dǎo)，利用面積建立等量關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
18． (2023秋·廣西南寧·八年級?？计谥校╅喿x材料：完全平方公式是．選取二次三項式中兩項，配成完全平方式的過程叫配方，例如：叫配方
請根據(jù)閱讀材料解決下列問題：
(1)比照上面的例子，將二次三項式配方得：（______）______；
∴______0（填“>”，“
(2)，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)完全平方公式的形式配方求解即可；
（2）分別表示出，，然后利用作差法求解即可．
【詳解】（1）
∵
∴
故答案為：2，5，>；
（2）
∴
∵
∴
∴．
【點睛】此題考查了完全平方公式的運用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式的形式．
19． (2023秋·河南信陽·八年級校考期末）閱讀材料題：
我們知道，所以代數(shù)式的最小值為0．學(xué)習(xí)了多項式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用來求一些多項式的最小值．
例如，求的最小值問題．
解：∵，
又∵，
∴，
∴的最小值為．
請應(yīng)用上述思想方法，解決下列問題：
(1)探究：________________；
(2)代數(shù)式有最________（填“大”或“小”）值為________；
(3)如圖，矩形花圃一面靠墻（墻足夠長），另外三面所圍成的提欄的總長是，樓欄如何圍能使花圃面積最大？最大面積是多少？
【答案】(1)2，1；
(2)大，；
(3)長為米，寬為米時，面積最大為．
【分析】（1）根據(jù)完全平方公式同時加上一次項系數(shù)一半平方即可得到答案；
（2）將原式變形配方，再根據(jù)完全平方非負性即可得到答案；
（3）設(shè)花圃長為x，表示出寬，根據(jù)面積公式列出式子配方即可得到答案．
【詳解】（1）解：由題意可得，
，
故答案為：2，1；
（2）解：原式，
∵，
∴，
∴，
故答案為：大，，
（3）解：設(shè)花圃長為x米，面積為S，則寬為米，由題意可得，
，
∵
∴，
∴，
∴當(dāng)時，面積最大為，
故應(yīng)該長為米，寬為米時，面積最大為．
【點睛】本題考查代數(shù)式完全平方配方及最值，解題的關(guān)鍵是讀懂題意配方．
20． (2023秋·重慶長壽·八年級統(tǒng)考期末）如圖1是一個長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）
(1)觀察圖2請你寫出、、之間的等量關(guān)系是______；
(2)根據(jù)（1）中的結(jié)論，若，，則______；
(3)拓展應(yīng)用：若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)圖2可知，大正方形面積等于內(nèi)部小正方形與4個小長方形的面積之和，分別用含a和b的代數(shù)式表示可得出答案；
（2）由（1）可得出，據(jù)此即可得出答案；
（3）根據(jù)完全平方公式得出，再代入，據(jù)此即可得出答案．
【詳解】（1）解：由圖2可知，大正方形的邊長為，內(nèi)部小正方形的邊長為，
∴大正方形的面積為，小正方形的面積為，小長方形的面積為，
由題可知，大正方形面積等于小正方形與4個小長方形的面積之和，
即．
故答案為：；
（2）解：∵，，
∴．
∴．
故答案為：；
（3）解：∵
，
又∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查整式的化簡求值、完全平方公式，能正確根據(jù)完全平方公式進行變形是解題的關(guān)鍵．