2023年湖北省隨州市中考數(shù)學(xué)試卷

這是一份2023年湖北省隨州市中考數(shù)學(xué)試卷，共33頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．（3分）的絕對(duì)值是
A．2023B．C．D．
2．（3分）如圖，直線，直線與，相交，若圖中，則為
A．B．C．D．
3．（3分）如圖是一個(gè)放在水平桌面上的圓柱體，該幾何體的三視圖中完全相同的是
A．主視圖和俯視圖B．左視圖和俯視圖
C．主視圖和左視圖D．三個(gè)視圖均相同
4．（3分）某班在開展勞動(dòng)教育課程調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，第一小組6名同學(xué)每周做家務(wù)的天數(shù)依次為3，7，5，6，5，4（單位：天），則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為
A．5和5B．5和4C．5和6D．6和5
5．（3分）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同修一條道路，其中甲工程隊(duì)需要修9千米，乙工程隊(duì)需要修12千米．已知乙工程隊(duì)每個(gè)月比甲工程隊(duì)多修1千米，最終用的時(shí)間比甲工程隊(duì)少半個(gè)月．若設(shè)甲工程隊(duì)每個(gè)月修千米，則可列出方程為
A．B．C．D．
6．（3分）甲、乙兩車沿同一路線從城出發(fā)前往城，在整個(gè)行程中，汽車離開城的距離與時(shí)刻的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示，關(guān)于下列結(jié)論：①，兩城相距；②甲車的平均速度是，乙車的平均速度是；③乙車先出發(fā)，先到達(dá)城；④甲車在追上乙車．正確的有
A．①②B．①③C．②④D．①④
7．（3分）如圖，在中，分別以，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)，，過，兩點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，交，于點(diǎn)，，下列結(jié)論不正確的是
A．B．C．D．
8．（3分）已知蓄電池的電壓為定值，使用某蓄電池時(shí)，電流（單位：與電阻（單位：是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示，則當(dāng)電阻為時(shí)，電流為
A．B．C．D．
9．（3分）設(shè)有邊長分別為和的類和類正方形紙片、長為寬為的類矩形紙片若干張．如圖所示要拼一個(gè)邊長為的正方形，需要1張類紙片、1張類紙片和2張類紙片．若要拼一個(gè)長為、寬為的矩形，則需要類紙片的張數(shù)為
A．6B．7C．8D．9
10．（3分）如圖，已知開口向下的拋物線與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．則下列結(jié)論正確的有
①；
②；
③方程的兩個(gè)根為，；
④拋物線上有兩點(diǎn)，和，，若且，則．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分，只需要將結(jié)果直接填寫在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)處的橫線上）
11．（3分）計(jì)算： ．
12．（3分）如圖，在中，，，則的度數(shù)為 ．
13．（3分）已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為和，則的值為 ．
14．（3分）如圖，在中，，，，為上一點(diǎn)，若是的角平分線，則 ．
15．（3分）某天老師給同學(xué)們出了一道趣味數(shù)學(xué)題：
設(shè)有編號(hào)為的100盞燈，分別對(duì)應(yīng)著編號(hào)為的100個(gè)開關(guān)，燈分為“亮”和“不亮”兩種狀態(tài)，每按一次開關(guān)改變一次相對(duì)應(yīng)編號(hào)的燈的狀態(tài)，所有燈的初始狀態(tài)為“不亮”．現(xiàn)有100個(gè)人，第1個(gè)人把所有編號(hào)是1的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，第2個(gè)人把所有編號(hào)是2的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，第3個(gè)人把所有編號(hào)是3的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，，第100個(gè)人把所有編號(hào)是100的整數(shù)倍的開關(guān)按一次．問最終狀態(tài)為“亮”的燈共有多少盞？
幾位同學(xué)對(duì)該問題展開了討論：
甲：應(yīng)分析每個(gè)開關(guān)被按的次數(shù)找出規(guī)律；
乙：1號(hào)開關(guān)只被第1個(gè)人按了1次，2號(hào)開關(guān)被第1個(gè)人和第2個(gè)人共按了2次，3號(hào)開關(guān)被第1個(gè)人和第3個(gè)人共按了2次，
丙：只有按了奇數(shù)次的開關(guān)所對(duì)應(yīng)的燈最終是“亮”的狀態(tài)．
根據(jù)以上同學(xué)的思維過程，可以得出最終狀態(tài)為“亮”的燈共有 盞．
16．（3分）如圖，在矩形中，，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），將沿直線對(duì)折，得到．當(dāng)射線交線段于點(diǎn)時(shí)，連接，則的面積為 ；的最大值為 ．
三、解答題（本大題共8小題，共72分，解答應(yīng)寫出必要的演算步驟、文字說明或證明過程）
17．（6分）先化簡，再求值：，其中．
18．（8分）如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，，求四邊形的面積．
19．（11分）中學(xué)生心理健康受到社會(huì)的廣泛關(guān)注，某校開展心理健康教育專題講座，就學(xué)生對(duì)心理健康知識(shí)的了解程度，采用隨機(jī)抽樣調(diào)查的方式，根據(jù)收集到的信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)圖中信息回答下列問題：
（1）接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有 人，條形統(tǒng)計(jì)圖中的值為 ，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“非常了解”部分所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為 ；
（2）若該校共有學(xué)生800人，根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，可以估計(jì)出該校學(xué)生中對(duì)心理健康知識(shí)“不了解”的總?cè)藬?shù)為 人；
（3）若某班要從對(duì)心理健康知識(shí)達(dá)到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中隨機(jī)抽取2人參加心理健康知識(shí)競賽，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
20．（7分）某校學(xué)生開展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡長米，坡角，小華在處測得建筑物頂端的仰角為，在處測得建筑物頂端的仰角為．（已知點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)，，在同一水平線上）
（1）求點(diǎn)到地面的距離；
（2）求該建筑物的高度．
21．（9分）如圖，是的直徑，點(diǎn)，在上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，垂直于過點(diǎn)的直線，垂足為，的延長線交直線于點(diǎn)．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，
①求的半徑；
②求線段的長．
22．（10分）為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)，增加村民收入，某村委會(huì)干部帶領(lǐng)村民在網(wǎng)上直播推銷農(nóng)產(chǎn)品，在試銷售的30天中，第天且為整數(shù)）的售價(jià)（元千克）與的函數(shù)關(guān)系式銷量（千克）與的函數(shù)關(guān)系式為，已知第5天售價(jià)為50元千克，第10天售價(jià)為40元千克，設(shè)第天的銷售額為元．
（1） ， ；
（2）求第天的銷售額元與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在試銷售的30天中，銷售額超過1000元的共有多少天？
23．（9分）1643年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，，，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．
（1）下面是該問題的一種常見的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)）
當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，
如圖1，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，
由，，可知為 三角形，故，又，故，
由 可知，當(dāng)，，，在同一條直線上時(shí)，取最小值，如圖2，最小值為，此時(shí)的點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，
且有 ；
已知當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，若，則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為 點(diǎn)．
（2）如圖4，在中，三個(gè)內(nèi)角均小于，且，，，已知點(diǎn)為的“費(fèi)馬點(diǎn)”，求的值；
（3）如圖5，設(shè)村莊，，的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知，，．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站沿直線向，，三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站到村莊，，的鋪設(shè)成本分別為元，元，元，選取合適的的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為 元．（結(jié)果用含的式子表示）
24．（12分）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，和，連接，點(diǎn)，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
（1）直接寫出拋物線和直線的解析式；
（2）如圖2，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與以，，為頂點(diǎn)的三角形相似（其中點(diǎn)與點(diǎn)相對(duì)應(yīng)），若存在，直接寫出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
2023年湖北省隨州市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的）
1．（3分）的絕對(duì)值是
A．2023B．C．D．
【分析】依據(jù)題意，由絕對(duì)值的性質(zhì)即可得解．
【解答】解：由題意，根據(jù)一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，
．
故選：．
2．（3分）如圖，直線，直線與，相交，若圖中，則為
A．B．C．D．
【分析】直接根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解答】解：直線，，
．
故選：．
3．（3分）如圖是一個(gè)放在水平桌面上的圓柱體，該幾何體的三視圖中完全相同的是
A．主視圖和俯視圖B．左視圖和俯視圖
C．主視圖和左視圖D．三個(gè)視圖均相同
【分析】根據(jù)三視圖的定義判斷即可．
【解答】解：該幾何體的三視圖中完全相同的是主視圖和左視圖，均為矩形；俯視圖是一個(gè)圓．
故選：．
4．（3分）某班在開展勞動(dòng)教育課程調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，第一小組6名同學(xué)每周做家務(wù)的天數(shù)依次為3，7，5，6，5，4（單位：天），則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為
A．5和5B．5和4C．5和6D．6和5
【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念求解．
【解答】解：將數(shù)據(jù)重新排列為3，4，5，5，6，7，
所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為5，中位數(shù)為．
故選：．
5．（3分）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同修一條道路，其中甲工程隊(duì)需要修9千米，乙工程隊(duì)需要修12千米．已知乙工程隊(duì)每個(gè)月比甲工程隊(duì)多修1千米，最終用的時(shí)間比甲工程隊(duì)少半個(gè)月．若設(shè)甲工程隊(duì)每個(gè)月修千米，則可列出方程為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)兩個(gè)工程隊(duì)工作效率間的關(guān)系，可得出乙工程隊(duì)每個(gè)月修千米，利用工作時(shí)間工作總量工作效率，結(jié)合乙工程隊(duì)所用的時(shí)間比甲工程隊(duì)少半個(gè)月，即可列出關(guān)于的分式方程，此題得解．
【解答】解：乙工程隊(duì)每個(gè)月比甲工程隊(duì)多修1千米，且甲工程隊(duì)每個(gè)月修千米，
乙工程隊(duì)每個(gè)月修千米．
根據(jù)題意得：．
故選：．
6．（3分）甲、乙兩車沿同一路線從城出發(fā)前往城，在整個(gè)行程中，汽車離開城的距離與時(shí)刻的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示，關(guān)于下列結(jié)論：①，兩城相距；②甲車的平均速度是，乙車的平均速度是；③乙車先出發(fā)，先到達(dá)城；④甲車在追上乙車．正確的有
A．①②B．①③C．②④D．①④
【分析】根據(jù)圖象可判斷①和③選項(xiàng)，根據(jù)“路程時(shí)間速度”可求出甲和乙的速度，即可判斷②選項(xiàng)，設(shè)甲車出發(fā)后小時(shí)，追上乙車，根據(jù)甲車追上乙車時(shí)，兩車的路程相等列方程，求出的值，進(jìn)一步判斷即可．
【解答】解：由圖象可知，，兩城相距，乙車先出發(fā)，甲車先到達(dá)城，
故①符合題意，③不符合題意；
甲車的平均速度是（千米小時(shí)），
乙車的平均速度是（千米小時(shí)），
故②不符合題意；
設(shè)甲車出發(fā)后小時(shí)，追上乙車，
，
解得，
甲車出發(fā)1.5小時(shí)追上乙車，
甲車出發(fā)，
甲車在追上乙車，
故④符合題意，
綜上所述，正確的有①④，
故選：．
7．（3分）如圖，在中，分別以，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)，，過，兩點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，交，于點(diǎn)，，下列結(jié)論不正確的是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)作圖可知：垂直平分，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，故，正確；無法證明，故錯(cuò)誤．
【解答】解：根據(jù)作圖可知：垂直平分，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
，
，，故，正確；
無法證明，故錯(cuò)誤；
故選：．
8．（3分）已知蓄電池的電壓為定值，使用某蓄電池時(shí)，電流（單位：與電阻（單位：是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示，則當(dāng)電阻為時(shí)，電流為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可設(shè)，再將代入即可得出函數(shù)關(guān)系式，從而解決問題．
【解答】解：設(shè)，
圖象過，
，
，
當(dāng)電阻為時(shí)，電流為：（A）．
故選：．
9．（3分）設(shè)有邊長分別為和的類和類正方形紙片、長為寬為的類矩形紙片若干張．如圖所示要拼一個(gè)邊長為的正方形，需要1張類紙片、1張類紙片和2張類紙片．若要拼一個(gè)長為、寬為的矩形，則需要類紙片的張數(shù)為
A．6B．7C．8D．9
【分析】用長乘寬，列出算式，根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則展開，然后根據(jù)、、類卡片的形狀可得答案．
【解答】解：
，
若要拼一個(gè)長為、寬為的矩形，則需要類紙片的張數(shù)為8張．
故選：．
10．（3分）如圖，已知開口向下的拋物線與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．則下列結(jié)論正確的有
①；
②；
③方程的兩個(gè)根為，；
④拋物線上有兩點(diǎn)，和，，若且，則．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【分析】根據(jù)拋物線開口方向，對(duì)稱軸位置，拋物線與軸交點(diǎn)位置判斷①；由拋物線的對(duì)稱性可判斷②；由二次函數(shù)與方程的關(guān)系，以及根與系數(shù)的關(guān)系可判斷③；由二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷④．
【解答】解：拋物線開口向下，
，
拋物線交軸于正半軸，
，
，
，
，故①正確；
拋物線對(duì)稱軸為直線，時(shí)，，
時(shí)，，
，故②正確；
由可得方程的解，，
的拋物線與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，
拋物線與軸另一個(gè)交點(diǎn)為，
方程的兩個(gè)根為，6，
，，
，
而若方程的兩個(gè)根為，，則，，故③錯(cuò)誤；
拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線，
若且，則點(diǎn)，到對(duì)稱軸的距離小于，到直線的距離，
，故不正確．
故選：．
二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分，只需要將結(jié)果直接填寫在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)處的橫線上）
11．（3分）計(jì)算： 0 ．
【分析】根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算順序，先計(jì)算乘方，再計(jì)算乘法，后計(jì)算加法即可．
【解答】解：
．
故答案為：0．
12．（3分）如圖，在中，，，則的度數(shù)為 ．
【分析】連接，根據(jù)垂徑定理及圓心角、弧、弦的關(guān)系求得的度數(shù)，然后根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半即可求得答案．
【解答】解：如圖，連接，
，
，
，
，
故答案為：．
13．（3分）已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為和，則的值為 2 ．
【分析】直接利用根于系數(shù)的關(guān)系，，再代入計(jì)算即可求解．
【解答】解：關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為和，
，，
．
故答案為：2．
14．（3分）如圖，在中，，，，為上一點(diǎn)，若是的角平分線，則 5 ．
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，由角平分線的性質(zhì)得到，再通過證明，得到，根據(jù)勾股定理可求出，進(jìn)而求出，設(shè)，則，在中，利用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
，
是的角平分線，，，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
設(shè)，則，
在中，，
，
解得：，
．
故答案為：5．
15．（3分）某天老師給同學(xué)們出了一道趣味數(shù)學(xué)題：
設(shè)有編號(hào)為的100盞燈，分別對(duì)應(yīng)著編號(hào)為的100個(gè)開關(guān)，燈分為“亮”和“不亮”兩種狀態(tài)，每按一次開關(guān)改變一次相對(duì)應(yīng)編號(hào)的燈的狀態(tài)，所有燈的初始狀態(tài)為“不亮”．現(xiàn)有100個(gè)人，第1個(gè)人把所有編號(hào)是1的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，第2個(gè)人把所有編號(hào)是2的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，第3個(gè)人把所有編號(hào)是3的整數(shù)倍的開關(guān)按一次，，第100個(gè)人把所有編號(hào)是100的整數(shù)倍的開關(guān)按一次．問最終狀態(tài)為“亮”的燈共有多少盞？
幾位同學(xué)對(duì)該問題展開了討論：
甲：應(yīng)分析每個(gè)開關(guān)被按的次數(shù)找出規(guī)律；
乙：1號(hào)開關(guān)只被第1個(gè)人按了1次，2號(hào)開關(guān)被第1個(gè)人和第2個(gè)人共按了2次，3號(hào)開關(guān)被第1個(gè)人和第3個(gè)人共按了2次，
丙：只有按了奇數(shù)次的開關(guān)所對(duì)應(yīng)的燈最終是“亮”的狀態(tài)．
根據(jù)以上同學(xué)的思維過程，可以得出最終狀態(tài)為“亮”的燈共有 10 盞．
【分析】分析各號(hào)開關(guān)被按的次數(shù)，可得出號(hào)開關(guān)被按的次數(shù)等于的約數(shù)的個(gè)數(shù)，進(jìn)而可得出約數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則一定是平方數(shù)．結(jié)合，可得出100以內(nèi)共有10個(gè)平方數(shù)，即最終狀態(tài)為“亮”的燈共有10盞．
【解答】解：號(hào)開關(guān)被按了1次，2號(hào)開關(guān)被按了2次，3號(hào)開關(guān)被按了2次，4號(hào)開關(guān)被按了3次，5號(hào)開關(guān)被按了2次，6號(hào)開關(guān)被按了4次，7號(hào)開關(guān)被按了2次，8號(hào)開關(guān)被按了4次，9號(hào)開關(guān)被按了3次，，
號(hào)開關(guān)被按的次數(shù)等于的約數(shù)的個(gè)數(shù)，
約數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則一定是平方數(shù)．
，
以內(nèi)共有10個(gè)平方數(shù)，
最終狀態(tài)為“亮”的燈共有10盞．
故答案為：10．
16．（3分）如圖，在矩形中，，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），將沿直線對(duì)折，得到．當(dāng)射線交線段于點(diǎn)時(shí)，連接，則的面積為 10 ；的最大值為 ．
【分析】的面積直接以為底，為高即可求；當(dāng)點(diǎn)和重合時(shí)，的值最大，畫出圖形，利用勾股定理構(gòu)造方程即可解答．
【解答】解：的面積為；
當(dāng)點(diǎn)和重合時(shí)，的值最大，如圖；
設(shè)，則，，
，
在中，根據(jù)勾股定理有：，
解得，
，
故答案為：10，，
三、解答題（本大題共8小題，共72分，解答應(yīng)寫出必要的演算步驟、文字說明或證明過程）
17．（6分）先化簡，再求值：，其中．
【分析】先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分，最后將的值代入化簡后的式子計(jì)算即可．
【解答】解：
，
當(dāng)時(shí)，原式．
18．（8分）如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，，求四邊形的面積．
【分析】（1）證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)矩形性質(zhì)可得：，利用菱形的判定即可證得結(jié)論；
（2）先求出矩形面積，再根據(jù)矩形性質(zhì)可得，再由菱形性質(zhì)可得菱形的面積可解答．
【解答】（1）證明：，，
四邊形是平行四邊形，
矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，
，，，
，
四邊形是菱形；
（2）解：四邊形是矩形，，，
，，
，
四邊形是菱形，
菱形的面積．
19．（11分）中學(xué)生心理健康受到社會(huì)的廣泛關(guān)注，某校開展心理健康教育專題講座，就學(xué)生對(duì)心理健康知識(shí)的了解程度，采用隨機(jī)抽樣調(diào)查的方式，根據(jù)收集到的信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)圖中信息回答下列問題：
（1）接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有 80 人，條形統(tǒng)計(jì)圖中的值為 ，扇形統(tǒng)計(jì)圖中“非常了解”部分所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為 ；
（2）若該校共有學(xué)生800人，根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，可以估計(jì)出該校學(xué)生中對(duì)心理健康知識(shí)“不了解”的總?cè)藬?shù)為 人；
（3）若某班要從對(duì)心理健康知識(shí)達(dá)到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中隨機(jī)抽取2人參加心理健康知識(shí)競賽，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
【分析】（1）將基本了解的人數(shù)除以其所占百分比即可得到接受調(diào)查的學(xué)生總數(shù)；將接受調(diào)查的學(xué)生總數(shù)減去另外三項(xiàng)人數(shù)即可求出的值；將“非常了解”占比乘以即可求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中“非常了解”部分所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)；
（2）將該校學(xué)生總數(shù)乘以樣本中該校學(xué)生中對(duì)心理健康知識(shí)“不了解”的占比即可；
（3）用列表法或樹狀圖法列舉出所有等可能的結(jié)果，從中找出恰好抽到2名女生的可能結(jié)果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【解答】解：（1）基本了解的有40人，占，
接受問卷調(diào)查的學(xué)生共有（人，
條形統(tǒng)計(jì)圖中的值為：，
扇形統(tǒng)計(jì)圖中“非常了解”部分所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為：，
故答案為：80，16，；
（2）可以估計(jì)出該校學(xué)生中對(duì)心理健康知識(shí)“不了解”的總?cè)藬?shù)為：人），
故答案為：40；
（3）畫樹狀圖如下：
一共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到2名女生的結(jié)果有2種，
（恰好抽到2名女生）．
20．（7分）某校學(xué)生開展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡長米，坡角，小華在處測得建筑物頂端的仰角為，在處測得建筑物頂端的仰角為．（已知點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)，，在同一水平線上）
（1）求點(diǎn)到地面的距離；
（2）求該建筑物的高度．
【分析】（1）過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，根據(jù)勾股定理得到；
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，設(shè)，則，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，
，
解得，
．
點(diǎn)到地面的距離為．
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，
則，
設(shè)，則，
在中，，
解得，
，
在中，，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解且符合題意，
．
居民樓的高度為．
21．（9分）如圖，是的直徑，點(diǎn)，在上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，垂直于過點(diǎn)的直線，垂足為，的延長線交直線于點(diǎn)．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，
①求的半徑；
②求線段的長．
【分析】（1）連接，根據(jù)垂直定義可得，根據(jù)已知易得，從而利用等弧所對(duì)的圓周角相等可得，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，進(jìn)而可得，最后利用平行線的性質(zhì)可得，即可解答；
（2）①過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)垂徑定理可得，再根據(jù)垂直定義可得，從而可得，進(jìn)而可得，然后利用平行線的性質(zhì)可得，從而可得，最后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答；
②根據(jù)平角定義可得，從而可得四邊形是矩形，然后利用矩形的性質(zhì)可得，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】（1）證明：連接，
，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
，
是的半徑，
是的切線；
（2）解：①過點(diǎn)作，垂足為，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
的半徑為3；
②，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
線段的長為2．
22．（10分）為了振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)，增加村民收入，某村委會(huì)干部帶領(lǐng)村民在網(wǎng)上直播推銷農(nóng)產(chǎn)品，在試銷售的30天中，第天且為整數(shù)）的售價(jià)（元千克）與的函數(shù)關(guān)系式銷量（千克）與的函數(shù)關(guān)系式為，已知第5天售價(jià)為50元千克，第10天售價(jià)為40元千克，設(shè)第天的銷售額為元．
（1） ， ；
（2）求第天的銷售額元與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在試銷售的30天中，銷售額超過1000元的共有多少天？
【分析】（1）用待定系數(shù)法可得，的值；
（2）由銷售額，分兩種情況可得答案；
（3）分兩種情況，結(jié)合（2）可列出方程解得答案．
【解答】解：（1）把，代入得：
，
解得，
，
故答案為：，60；
（2）當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
；
（3）在中，令得：，
整理得，
方程無實(shí)數(shù)解；
由得，
整數(shù)，
可取24，25，26，27，28，29，30，
銷售額超過1000元的共有7天．
23．（9分）1643年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，，，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．
（1）下面是該問題的一種常見的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)）
當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，
如圖1，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，
由，，可知為 等邊 三角形，故，又，故，
由 可知，當(dāng)，，，在同一條直線上時(shí)，取最小值，如圖2，最小值為，此時(shí)的點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，
且有 ；
已知當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，若，則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為 點(diǎn)．
（2）如圖4，在中，三個(gè)內(nèi)角均小于，且，，，已知點(diǎn)為的“費(fèi)馬點(diǎn)”，求的值；
（3）如圖5，設(shè)村莊，，的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知，，．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站沿直線向，，三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站到村莊，，的鋪設(shè)成本分別為元，元，元，選取合適的的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為 元．（結(jié)果用含的式子表示）
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行推理分析后即可得出結(jié)論，然后填空即可；
（2）根據(jù)（1）的方法將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，即可得出可知當(dāng)、、、在同一條直線上時(shí)，取最小值，最小值為，再根據(jù)可證明，根據(jù)勾股定理即可求出；
（3）根據(jù)總鋪設(shè)成本，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，得到等腰直角△，推出，即可得出當(dāng)、、、在同一條直線上時(shí)，取最小值，即取最小值為的長，然后根據(jù)已知條件和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出即可．
【解答】解：（1），，
為等邊三角形，
，，
又，
，
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)、、、在同一條直線上時(shí)，取最小值，最小值為，
此時(shí)的點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，
，，
，，
將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，
△，
，
，
，
，
，，
，，
三個(gè)頂點(diǎn)中頂點(diǎn)到另外兩個(gè)頂點(diǎn)的距離和最小，
又已知當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)，
該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為點(diǎn)．
故答案為：等邊；兩點(diǎn)之間線段最短；；；
（2）如圖4，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，
由（1）可知當(dāng)、、、在同一條直線上時(shí)，取最小值，最小值為，
，
，
又，
，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，
，
即的最小值為5；
（3）總鋪設(shè)成本，
當(dāng)最小時(shí)，總鋪設(shè)成本最低，
將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，，，
，
，
當(dāng)、、、在同一條直線上時(shí)，取最小值，
即取最小值為，
過點(diǎn)作于，
，，
，
，
，
，
，
即的最小值為，
總鋪設(shè)成本為：總鋪設(shè)成本（元．
故答案為：．
24．（12分）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，和，連接，點(diǎn)，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
（1）直接寫出拋物線和直線的解析式；
（2）如圖2，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與以，，為頂點(diǎn)的三角形相似（其中點(diǎn)與點(diǎn)相對(duì)應(yīng)），若存在，直接寫出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）由題得拋物線的解析式為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入求，進(jìn)而得到拋物線的解析式；設(shè)直線的解析式為，將、兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可得到直線的解析式．
（2）由題可得坐標(biāo)，分別求出，，，對(duì)等腰三角形中相等的邊界線分類討論，進(jìn)而列方程求解．
（3）對(duì)點(diǎn)在點(diǎn)左右兩側(cè)進(jìn)行分類討論，設(shè)法表示出各線段的長度，利用相似三角形的相似比求解，進(jìn)而得到點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）拋物線過點(diǎn)，，
拋物線的表達(dá)式為，
將點(diǎn)代入得，，
，
拋物線的表達(dá)式為，即．
設(shè)直線的表達(dá)式為，
將，代入得，
，
解得，
直線的表達(dá)式為．
（2）點(diǎn)在直線上，且，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，，
當(dāng)為等腰三角形時(shí)，
①若，則，
即，
解得；
②若，則，
即，
解得或（舍去）；
③若，則，
即，
解得或（舍去）．
綜上，或或．
（3）點(diǎn)與點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，
或，
①若點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，
則，
當(dāng)，即時(shí)，
直線的表達(dá)式為，
，
解得或（舍去），
，即，
，即，
解得，
，
當(dāng)，即時(shí)，
，
，即，
解得（舍去）．
②若點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，
則，，
當(dāng)，即時(shí)，
直線的表達(dá)式為，
，
解得或（舍去），
，
，即，
解得，
，
當(dāng)，即時(shí)，
，，
，即，
解得或（舍去），
，
綜上，，或，或，．