初中數(shù)學(xué)滬科版七年級(jí)上冊(cè)1.5 有理數(shù)的乘除學(xué)案

這是一份初中數(shù)學(xué)滬科版七年級(jí)上冊(cè)1.5 有理數(shù)的乘除學(xué)案，共9頁(yè)。學(xué)案主要包含了例5－1，例5－2，例7－1，例7－2，例7－3，例7－4，例9－1，例9－2等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1.5　有理數(shù)的乘除 1．有理數(shù)的乘法(1)有理數(shù)的乘法法則①兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘．如：－3×(－2)＝＋(3×2)＝6，(－2)×3＝－(2×3)＝－6.②任何數(shù)與零相乘仍得零．如：(－5)×0＝0.(2)有理數(shù)乘法的步驟第一步：確定積的符號(hào)；第二步：計(jì)算各因數(shù)的絕對(duì)值；第三步：計(jì)算絕對(duì)值的積．由于絕對(duì)值總是正數(shù)或0，因此絕對(duì)值相乘就是小學(xué)中的算術(shù)乘法．由此可見(jiàn)，有理數(shù)乘法實(shí)質(zhì)上就是通過(guò)符號(hào)法則，歸結(jié)為算術(shù)的乘法完成的．解技巧  有理數(shù)的乘法運(yùn)算技巧(1)兩個(gè)有理數(shù)相乘時(shí)，先確定積的符號(hào)，再把絕對(duì)值相乘，帶分?jǐn)?shù)相乘時(shí)，要先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)與小數(shù)相乘時(shí)，一般統(tǒng)一寫成分?jǐn)?shù)．(2)一個(gè)數(shù)同零相乘，仍得零，同1相乘，仍得原數(shù)，同－1相乘得原數(shù)的相反數(shù)．(3)兩數(shù)相乘，若把一個(gè)因數(shù)換成它的相反數(shù)，則所得的積是原來(lái)積的相反數(shù)．【例1】 計(jì)算：(1)×0.2；(2)13×(－4)；(3)(－1.3)×(－5)；(4)；(5).分析：利用乘法法則進(jìn)行計(jì)算．這里(1)中是正數(shù)和正數(shù)相乘，因而得正；(2)中是正數(shù)和負(fù)數(shù)相乘，因而得負(fù)；(3)中是負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)相乘，因而得正；(4)中是負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)相乘，因而得正；(5)中是負(fù)數(shù)和零相乘，因而得零．小數(shù)和帶分?jǐn)?shù)一般化為分?jǐn)?shù)或假分?jǐn)?shù)．解：(1)原式＝×＝；(2)原式＝－(13×4)＝－52；(3)原式＝＋(1.3×5)＝6.5；(4)原式＝；(5)原式＝0.2.倒數(shù)(1)倒數(shù)的概念如果兩個(gè)有理數(shù)的乘積為1，我們稱這兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)，如2與，與分別互為倒數(shù)．用字母表示：若ab＝1，則a，b互為倒數(shù)，反之，若a，b互為倒數(shù)，則ab＝1.(2)倒數(shù)的求法若a≠0，則a的倒數(shù)是，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，0無(wú)倒數(shù)．為了方便，一般采用如下方法：
①非零整數(shù)——直接寫成這個(gè)數(shù)分之一．如：4的倒數(shù)是，－6的倒數(shù)是－.②分?jǐn)?shù)的倒數(shù)——把分子、分母顛倒寫即可；帶分?jǐn)?shù)要化為假分?jǐn)?shù)，小數(shù)要化為分?jǐn)?shù)后再把分子、分母顛倒位置寫．如：－的倒數(shù)是－；－0.25的倒數(shù)是－4，－1的倒數(shù)是－.③倒數(shù)等于本身的數(shù)是±1，零沒(méi)有倒數(shù)．辨誤區(qū)  倒數(shù)與相反數(shù)的區(qū)別一定要注意倒數(shù)的概念和相反數(shù)的概念的區(qū)分，互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為零，互為倒數(shù)的兩數(shù)之積為1，同時(shí)正數(shù)的倒數(shù)仍為正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)仍為負(fù)數(shù)．【例2】 求下列各數(shù)的倒數(shù)．(1)－3；(2)；(3)－0.2；(4)3.分析：求一個(gè)整數(shù)的倒數(shù)直接寫成這個(gè)數(shù)分之一即可；求一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母顛倒位置即可；求一個(gè)小數(shù)的倒數(shù)，先把這個(gè)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，再求其倒數(shù)；求一個(gè)帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，要先化為假分?jǐn)?shù)再求．解：(1)－3的倒數(shù)為－；(2)的倒數(shù)為；(3)由于－0.2＝－，所以－0.2的倒數(shù)為－5；(4)由于3＝，所以3的倒數(shù)為.3．有理數(shù)乘法法則的推廣(1)幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為零，積為零．如：1×2×(－5)×0×6＝0.(2)幾個(gè)不為零的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定．當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．(3)由上面的法則可以知道：幾個(gè)不等于零的數(shù)相乘，首先確定積的符號(hào)，然后，再把每個(gè)因數(shù)的絕對(duì)值相乘．這就是多個(gè)因數(shù)求積的常用方法．解技巧  多個(gè)有理數(shù)相乘的技巧多個(gè)有理數(shù)相乘時(shí)，先觀察因數(shù)中有沒(méi)有0.如果有0，積就是0；如果沒(méi)有0，一般按從左向右的順序計(jì)算絕對(duì)值的積作為積的絕對(duì)值．【例3】 計(jì)算：(1)；(2)(＋5.9)×(－1 992)×(＋1 993)×(－2 000)×0；(3)(－5)×8×(－7)×(－0.25)．分析：(1)四個(gè)因數(shù)只有一個(gè)是負(fù)數(shù)，所以結(jié)果是負(fù)數(shù)，再把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，約分之后得出結(jié)果；(2)因?yàn)槌耸街泻幸粋€(gè)因數(shù)0，故積為零；(3)式子中的負(fù)數(shù)有3個(gè)，所以結(jié)果是負(fù)數(shù)．多個(gè)有理數(shù)進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，應(yīng)一次確定結(jié)果的符號(hào)，再計(jì)算各因數(shù)絕對(duì)值的積，這樣既簡(jiǎn)捷又不易出錯(cuò)．解：(1)＝－×××＝－7.(2)(＋5.9)×(－1 992)×(＋1 993)×(－2 000)×0＝0.(3)(－5)×8×(－7)×(－0.25)＝－(5×8×7×0.25)＝－70.4.有理數(shù)的除法(1)有理數(shù)除法的意義在有理數(shù)運(yùn)算中，除法的意義依然是乘法的逆運(yùn)算，即已知兩個(gè)因數(shù)的積和其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算．除法可以轉(zhuǎn)化為乘法來(lái)進(jìn)行．(2)有理數(shù)的除法法則①有理數(shù)的除法法則一(直接相除的法則)：Ⅰ.兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除．
Ⅱ.零除以一個(gè)不為零的數(shù)，仍得零．零不能作除數(shù)．用字母表示：Ⅰ.若a＞0，b＞0，則＝；若a＜0，b＜0，則＝；若a＜0，b＞0，則＝－；若a＞0，b＜0，則＝－.Ⅱ.若a≠0，則＝0.②有理數(shù)的除法法則二(化除為乘的法則)：除以一個(gè)不為零的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)．用字母表示：a÷b＝a×(b≠0)．析規(guī)律  兩個(gè)除法法則的區(qū)別對(duì)于除法的兩個(gè)法則，在計(jì)算時(shí)根據(jù)具體情況，靈活運(yùn)用，一般在不能整除的情況下應(yīng)用法則二，在能整除的情況下，應(yīng)用法則一比較簡(jiǎn)便．【例4】 計(jì)算：(1)(－16)÷(－4)；(2)；(3)；(4)0÷(－20)．分析：在做除法時(shí)，選擇哪一個(gè)除法法則，應(yīng)從運(yùn)算是否方便考慮，和乘法一樣，做除法時(shí)，先要把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)．解：(1)(－16)÷(－4)＝16÷4＝4；(2)；(3)＝×＝；(4)0÷(－20)＝0.5．有理數(shù)的乘、除混合運(yùn)算(1)有理數(shù)的乘、除混合運(yùn)算①形式a÷b÷c；a×b÷c；a÷b×c，這些都是有理數(shù)的乘、除混合運(yùn)算．②方法有理數(shù)的乘、除混合運(yùn)算，先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后按照乘法法則確定積的符號(hào)，最后求出結(jié)果．如，計(jì)算：(－81)÷2×÷(－15)．③運(yùn)算順序對(duì)于連除或乘除混合運(yùn)算問(wèn)題，我們可以按從左到右的順序依次進(jìn)行計(jì)算，也可以直接把除法轉(zhuǎn)化為乘法來(lái)計(jì)算．(2)有理數(shù)的四則混合運(yùn)算對(duì)于含有加、減、乘、除的有理數(shù)的混合運(yùn)算，運(yùn)算順序是：如沒(méi)有括號(hào)，應(yīng)先做乘除運(yùn)算，后做加減運(yùn)算；如有括號(hào)，應(yīng)先做括號(hào)里的運(yùn)算，再做其他運(yùn)算．【例5－1】 計(jì)算：(1)(－)×(－3)÷(－1)÷3；(2)－2÷1.125×(－8)．分析：
乘除混合運(yùn)算要按從左到右順序進(jìn)行．對(duì)于有理數(shù)的乘除法混合運(yùn)算，應(yīng)將它們統(tǒng)一為有理數(shù)的乘法運(yùn)算．先由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)確定結(jié)果的符號(hào)，再把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，同時(shí)把小數(shù)也化為分?jǐn)?shù)，最后考慮約分．解：(1)(－)×(－3)÷(－1)÷3＝(－)×(－)×(－)×＝－×××＝－；(2)－2÷1.125×(－8)＝÷×8＝××8＝16.【例5－2】 計(jì)算：(－)×(＋)÷(－)÷(－).分析：本題是有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算，可按四則混合運(yùn)算的順序進(jìn)行計(jì)算，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的．解：(－)×(＋)÷(－)÷(－)＝－××(－20)×(－3)＝－(××20×3)＝－.6．有理數(shù)的乘法的運(yùn)算律(1)乘法交換律兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變．即ab＝ba.(2)乘法結(jié)合律三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積不變．即(ab)c＝a(bc)．(3)分配律一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加．即a(b＋c)＝ab＋ac.分配律在有理數(shù)的運(yùn)算以及今后的有關(guān)代數(shù)式運(yùn)算及變形中運(yùn)用非常廣泛，它的正向運(yùn)用(即從左到右)與逆向運(yùn)用(即從右到左)對(duì)于不同形式的計(jì)算與變形都起著簡(jiǎn)化的作用，應(yīng)注意靈活運(yùn)用．如，計(jì)算：(1－－)×(－1)，考慮前一個(gè)括號(hào)里面的各個(gè)因數(shù)的分子都是7，而后面括號(hào)里面的因數(shù)的分母是7，可以直接利用乘法的分配律簡(jiǎn)化運(yùn)算．【例6】 用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：(1) (－＋－＋)×(－24)；(2)－13×－0.34×＋×(－13)－×0.34.分析：第(1)題中有(－24)是括號(hào)中各分母的公倍數(shù)，所以應(yīng)利用分配律變形；第(2)題把－0.34×與×(－13)交換位置，然后利用結(jié)合律將前兩項(xiàng)結(jié)合、后兩項(xiàng)結(jié)合，即分成兩組，再分別在每組中逆用分配律即可．解：(1)原式＝×(－24)＋×(－24)＋×24＋×(－24)＝12－4＋9－10＝7. 
(2)原式＝－13×＋×(－13)－0.34×－×0.34＝＋＝＝(－13)×1＋0.34×(－1)＝－13－0.34＝－13.34.7．有理數(shù)混合運(yùn)算的技巧進(jìn)行有理數(shù)的乘除運(yùn)算，除了注意運(yùn)算順序和運(yùn)算法則之外，還要注意一些運(yùn)算技巧，力求使運(yùn)算簡(jiǎn)便．解答有理數(shù)除法運(yùn)算有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，我們應(yīng)注意利用有理數(shù)的除法法則，將有理數(shù)的除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的乘法運(yùn)算．如果被除數(shù)或除數(shù)中有小數(shù)應(yīng)先化為分?jǐn)?shù)，有帶分?jǐn)?shù)應(yīng)先化為假分?jǐn)?shù)，便于約分，簡(jiǎn)化運(yùn)算．辨誤區(qū)  除法沒(méi)有分配律除法沒(méi)有分配律，如在有理數(shù)的除法運(yùn)算中，如果按a÷(b＋c)＝a÷b＋a÷c進(jìn)行分配就錯(cuò)了．除法是沒(méi)有分配律的，從而不能運(yùn)用分配律．像6÷3×有時(shí)會(huì)習(xí)慣性地將3和分母中的3約分，這是錯(cuò)誤的，應(yīng)嚴(yán)格按運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算，并經(jīng)過(guò)一定練習(xí)才能靈活進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算．有理數(shù)的乘、除混合運(yùn)算的性質(zhì)有：①a÷b÷c＝a÷(b×c)＝a÷c÷b.即一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)所得的商再除以第三個(gè)數(shù)，等于第一個(gè)數(shù)除以第二、三兩數(shù)的積；也等于第一個(gè)數(shù)除以第三個(gè)數(shù)所得的商再除以第二個(gè)數(shù)．如：740÷(37×4)＝740÷37÷4＝20÷4＝5.②a×b÷c＝a×(b÷c)＝(a÷c)×b.即兩個(gè)數(shù)的積除以第三個(gè)數(shù)，等于其中任意一個(gè)乘數(shù)除以第三個(gè)數(shù)，再與另一個(gè)乘數(shù)相乘．如：136×73÷68＝2×73＝146.③a÷b×c＝a÷(b÷c)．即第一個(gè)數(shù)除以第二個(gè)數(shù)所得的商再乘以第三個(gè)數(shù)，等于先求出第二個(gè)數(shù)除以第三個(gè)數(shù)的商，再用第一個(gè)數(shù)除以這個(gè)商．如：480 000÷144×12＝480 000÷(144÷12)＝480 000÷12＝40 000.以上三個(gè)公式中，添括號(hào)或去括號(hào)都有規(guī)律．添括號(hào)時(shí)，如果一個(gè)數(shù)的前面是乘號(hào)，那么這個(gè)數(shù)前面添上括號(hào)后，括到括號(hào)里面的運(yùn)算符號(hào)不變；如果一個(gè)數(shù)的前面是除號(hào)，那么在這個(gè)數(shù)前面添上括號(hào)后，括到括號(hào)里面的運(yùn)算符號(hào)要改變，乘號(hào)變除號(hào)，除號(hào)變乘號(hào)．【例7－1】 計(jì)算：(1)÷；(2)÷.分析：(1)先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，運(yùn)用了分配律后使運(yùn)算簡(jiǎn)便；第(2)題屬于易錯(cuò)題，因?yàn)槌](méi)有分配律，只有乘法才有分配律，而一些學(xué)生往往因不看清題目而錯(cuò)誤地運(yùn)用運(yùn)算律．解：(1)方法一：÷＝×60＝×60＝23.方法二：÷＝(－＋)×60＝×60－×60＋×60＝23.(2)方法一：÷(－＋)＝÷(－＋)＝÷＝.
方法二：∵÷＝(－＋)×60＝×60－×60＋×60＝23，∴根據(jù)倒數(shù)的定義有÷(－＋)＝.【例7－2】 計(jì)算：(－48)×.分析：在有理數(shù)的計(jì)算中，如果能夠準(zhǔn)確地確定運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)，則可省去一些不必要的括號(hào)，運(yùn)算步驟的簡(jiǎn)明與流暢可以提高運(yùn)算的正確率．解：(－48)×＝48×－48×－48×＝32－36－4＝－8.【例7－3】 計(jì)算：－3.5×35.2＋(－7)×32.4.分析：仔細(xì)觀察算式的特點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)3.5和7存在倍數(shù)關(guān)系，不妨將7寫成3.5×2，然后逆用分配律來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算．解：－3.5×35.2＋(－7)×32.4＝－3.5×35.2＋(－3.5)×2×32.4＝－3.5×(35.2＋2×32.4)＝－3.5×100＝－350.【例7－4】 計(jì)算：0.25÷×(－).分析：本題如果先計(jì)算0.25÷的結(jié)果再乘以，運(yùn)算過(guò)程就很繁雜，而且容易出錯(cuò)．仔細(xì)觀察每一個(gè)數(shù)的特點(diǎn)，考慮0.25×4＝1，可將68分解成4×17.,　　去括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)的前面是乘號(hào)，那么去掉括號(hào)后，括號(hào)里面的運(yùn)算符號(hào)不變；如果括號(hào)的前面是除號(hào)，那么去掉括號(hào)后，括號(hào)里面的運(yùn)算符號(hào)要改變，乘號(hào)變除號(hào)，除號(hào)變乘號(hào)．解：0.25÷×(－)＝0.25×68×(－)＝0.25×4×17×(－)＝(0.25×4)×＝1×(－15)＝－15.8．計(jì)算器的使用計(jì)算器是一種方便實(shí)用的計(jì)算工具，計(jì)算速度快，計(jì)算準(zhǔn)確，操作方便．使用時(shí)要特別注意以下幾點(diǎn)：(1)按下數(shù)字鍵后，應(yīng)看清顯示器上的顯示是否正確；(2)用計(jì)算器進(jìn)行有理數(shù)的加減運(yùn)算時(shí)，按式子的順序從左向右按；(3)用計(jì)算器進(jìn)行有理數(shù)的乘除運(yùn)算時(shí)，特別是有負(fù)數(shù)出現(xiàn)時(shí)，先應(yīng)按，再輸入其絕對(duì)值；(4)對(duì)于加減乘除混合運(yùn)算，只要按算式的書寫順序輸入，計(jì)算器會(huì)按要求求出結(jié)果．【例8】 用計(jì)算器計(jì)算：－15.13＋4.85＋(－7.69)－(－13.88)．分析：不同的計(jì)算器用法不一樣，要注意，使用計(jì)算器能進(jìn)行一些較為復(fù)雜的運(yùn)算．解：用帶符號(hào)鍵的計(jì)算器計(jì)算．按鍵順序：.得到－4.09.9．有理數(shù)的混合運(yùn)算在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用有理數(shù)的混合運(yùn)算在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，是解決其他數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)，也是解應(yīng)用題的基礎(chǔ)，多以實(shí)際應(yīng)用、規(guī)律探究型問(wèn)題的形式出現(xiàn)．尤其是運(yùn)算律在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用更加廣泛．在現(xiàn)實(shí)生活中我們經(jīng)常會(huì)遇到一些較大的或者較復(fù)雜的數(shù)的混合運(yùn)算，這時(shí)就要利用運(yùn)算律進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使運(yùn)算簡(jiǎn)化．解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)問(wèn)題情境找出數(shù)量關(guān)系，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為所學(xué)的數(shù)學(xué)問(wèn)題．有理數(shù)的混合運(yùn)算可以解決一些實(shí)際應(yīng)用題，如：銀行利息計(jì)算、話費(fèi)計(jì)算等．解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，用運(yùn)算符號(hào)正確表達(dá)出關(guān)系式，注意單位和解題格式．
【例9－1】 某校體育器材室共有60個(gè)籃球．一天課外活動(dòng)，有3個(gè)班級(jí)分別計(jì)劃借籃球總數(shù)的、和.請(qǐng)你算一算，這60個(gè)籃球夠借嗎？如果夠了，還多幾個(gè)籃球？如果不夠，還缺幾個(gè)？分析：本題可以轉(zhuǎn)化為：求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的數(shù)學(xué)模型，所以用乘法來(lái)解答．解：60×＝60×1－60×－60×－60×＝60－30－20－15＝－5(個(gè))．答：不夠借，還缺5個(gè)籃球．【例9－2】 根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)定，高度每增加1 km，氣溫大約下降6 ℃，小王是一位登山運(yùn)動(dòng)員，他在攀登山峰的途中發(fā)回信息，報(bào)告他所在的位置的氣溫是－15 ℃，如果當(dāng)時(shí)地面的氣溫是3 ℃，則小王所在的位置離地面的高度是多少？分析：地面的溫度是3 ℃，小王所在的位置是－15 ℃，我們可以根據(jù)溫度差與高度每增加1 km氣溫大約下降6 ℃之間的關(guān)系，通過(guò)計(jì)算得到小王所在位置的高度．解：[3－(－15)]÷6×1＝3(km)．所以小王所在的位置離地面的高度為3 km.