蘇州市2022-2023學(xué)年九年級（上）期末數(shù)學(xué)壓軸題分析

這是一份蘇州市2022-2023學(xué)年九年級（上）期末數(shù)學(xué)壓軸題分析，共23頁。
?2022-2023學(xué)年蘇州市九年級（上）期末數(shù)學(xué)壓軸題分析
1．（常張昆太四市9）如圖，在△ABC中，以BC為直徑的⊙O，交AB的延長線于點D，交AC于點E．連接OD，OE，若∠DOE＝130°，則∠A的度數(shù)為（　?。?br /> A．45° B．40° C．35° D．25°
第1題第2題
2．（常張昆太四市10）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的邊AB⊥x軸，A（﹣2，0），C（﹣4，1），二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象經(jīng)過點B．將△ABC沿x軸向右平移m（m＞0）個單位，使點A平移到點A′，然后繞點A'順時針旋轉(zhuǎn)90°，若此時點C的對應(yīng)點C′恰好落在拋物線上，則m的值為（　?。?br /> A．+1 B．+3 C．+2 D．2+1
3.（蘇州9）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0），點B（m，0），點C（0，﹣m），其中2＜m＜3，下列結(jié)論：①2a+b＞0，②2a+c＜0，③方程ax2+bx+c＝﹣m有兩個不相等的實數(shù)根，④不等式ax2+（b﹣1）x＜0的解集為0＜x＜m，其中正確結(jié)論的個數(shù)為（　?。〢．1 B．2 C．3 D．4
第3題第4題
4．（蘇州10）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，將△ABC沿AC翻折，得到△ADC，再將△ADC沿AD翻折，得到△ADE，連接BE，則tan∠EBC的值為（　?。?br /> A． B． C． D．
5．（常張昆太四市9）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點（﹣2，0）、（x1，0）．且1＜x1＜2，與y軸的負(fù)半軸相交．則下列關(guān)于a、b的大小關(guān)系正確的是（　　）
A．a(chǎn)＞0＞b B．a(chǎn)＞b＞0 C．b＞a＞0 D．b＜a＜0
第6題第7題
6．（常張昆太四市10）如圖，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，∠ABC與∠BAC的平分線交于點D，過點D作DE∥AC交AB于點E，則DE＝（　?。?br /> A． B．2 C． D．3
7．（蘇州9）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點O為圓心，6為半徑的⊙O與直線y＝﹣x+b（b＞0）交于A，B兩點，連接OA，OB，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，若點C恰好在⊙O上，則b的值為（　?。?br /> A．3 B．2 C．3 D．2
8．（蘇州10）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，將△ABC繞直角邊AC的中點O旋轉(zhuǎn)，得到△DEF，連接AD，若DE恰好經(jīng)過點C，且DE交AB于點G，則tan∠DAG的值為（　　）A． B． C． D．
第8題第9題
9．（常張昆太四市17）如圖，拋物線y1＝a（x﹣2）2+c分別與x軸、y軸交于A、C兩點，點B在拋物線上，且BC平行于x軸，直線y2＝x﹣1經(jīng)過A、B兩點，則關(guān)于x的不等式a（x﹣2）2+c+1＞x的解集是 　 ?。?br /> 10．（常張昆太四市18）如圖，半徑為4的扇形OAB中，∠O＝60°，C為半徑OA上一點，過C作CD⊥OB于點D，以CD為邊向右作等邊△CDE，當(dāng)點E落在上時，CD＝　 ?。?br /> 第10題第11題
11. （蘇州17）我們給出定義：如果兩個銳角的和為45°，那么稱這兩個角互為半余角．如圖，在△ABC中，∠A，∠B互為半余角，且，則tanA＝　 ?。?br /> 12．（蘇州18）如圖，以面積為20的Rt△ABC的斜邊AB為直徑作⊙O，∠ACB的平分線交⊙O于點D，若，則AC+BC＝　 ?。?br /> 第12題第14題
13．（常張昆太四市17）已知二次函數(shù)y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自變量），當(dāng)x≥2時，y隨x的增大而增大，且﹣2≤x≤1時，y的最大值為9，則a的值為　 ?。?br /> 14．（常張昆太四市18）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，點C為弧BD的中點，則AC的長是　 ?。?br />
15．（常張昆太四市25）某公司電商平臺．在2021年國慶期間舉行了商品打折促銷活動，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某種商品的周銷售量y（件）是關(guān)于售價x（元/件）的一次函數(shù)．已知，當(dāng)x＝50時，y＝200；當(dāng)x＝80時，y＝140．
（1）求y與x的函數(shù)表達(dá)式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（2）若該商品進(jìn)價為30（元/件）．
①當(dāng)售價x為多少元時，周銷售利潤W最大？并求出此時的最大利潤；
②因原料漲價，該商品進(jìn)價提高了a（元/件）（a＞0），公司為回饋消費者，規(guī)定該商品售價x不得超過75（元/件），且該商品在今后的銷售中，周銷售量y與售價x仍滿足（1）中的函數(shù)關(guān)系，若周銷售最大利潤是6000元，求a的值．





16．（常張昆太四市26）如圖，以AE為直徑的⊙O交直線AB于A、B兩點，點C在⊙O上，過點C作CD⊥AB于點D，連接AC，BC，CE，其中BC與AE交于點F，且AC平分∠DAE．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AD＝1，AB＝8．
①求CD的長；
②求tan∠AFC的值．

17．（常張昆太四市27）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+x+3的圖象交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，點D是BC上方拋物線上的一點，過D作AC的平行線，交BC于點E．
（1）求△ABC的面積；
（2）連接CD，當(dāng)CD∥x軸時，求△CDE的面積；
（3）求DE的最大值．







18．（常張昆太四市28）如果三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足α﹣β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)直角三角形”．
（1）若△ABC是“準(zhǔn)直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝70°，則∠B＝　 　°．
（2）如圖1，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，AB＝10，D是BC上的一點，tanB＝，若CD＝，請判斷△ABD是否為準(zhǔn)直角三角形，并說明理由．
（3）如圖2，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，E是直徑AB下方半圓上的一點，AB＝10，tan∠ABC＝，若△ACE為”準(zhǔn)直角三角形”，求CE的長．

19.．（蘇州26）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，D為AB延長線上一點，過點D作⊙O的切線，切點為E，連接BE，CE，AE．
（1）若BC∥DE，求證：△ACE∽△EBD；
（2）在（1）的條件下，若AC＝9，BD＝4，sin∠BAE＝，求⊙O的半徑．

20．（蘇州27）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0），點B（3，0），與y軸交于點C，連接BC．
（1）填空：b＝　 　，c＝　 ??；
（2）過點C作CD∥x軸，交二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象于點D，點M是二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c圖象上位于線段CD上方的一點，過點M作MN∥y軸，交線段BC于點N．設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m，四邊形MCND的面積為S．
①S與m的函數(shù)表達(dá)式，并求S的最大值；
②點P為直線MN上一動點，當(dāng)S取得最大值時，求△POC周長的最小值．


∵A'D'＝AD＝1，C'D'＝CD＝2，∴點C'坐標(biāo)為（m﹣1，2），又點C'在拋物線上，
∴把C'（m﹣1，2）代入y＝x2﹣2x﹣3中，得：（m﹣1）2﹣2（m﹣1）﹣3＝2，
整理得：m2﹣4m﹣2＝0．解得：m1＝2+，m2＝2﹣（舍去）．故選：C．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)平移的性質(zhì)，正確表示出點C'坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．
3. （3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0），點B（m，0），點C（0，﹣m），其中2＜m＜3，下列結(jié)論：①2a+b＞0，②2a+c＜0，③方程ax2+bx+c＝﹣m有兩個不相等的實數(shù)根，④不等式ax2+（b﹣1）x＜0的解集為0＜x＜m，其中正確結(jié)論的個數(shù)為（　?。〢．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①利用點A（﹣1，0），點B（m，0）求出對稱軸，然后利用2＜m＜3判斷即可；
②把點A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c中可得a﹣b+c＝0，再結(jié)合①中的結(jié)論即可解答；
③利用直線y＝﹣m與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象的交點個數(shù)判斷即可；
④先求出函數(shù)y＝ax2+（b﹣1）x的對稱軸，再求出與x軸的兩個交點坐標(biāo)即可解答．
【解答】解：①∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0），點B（m，0），∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象的對稱軸是直線：x＝，
∵2＜m＜3，∴1＜﹣1+m＜2，
∴＜＜1，∴＜＜1，
∵＜1，a＞0，∴2a+b＞0，故①正確；
②把點A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c中
可得：a﹣b+c＝0，∴b＝a+c，
由①得：＞，∵a＞0，
∴a+b＜0，∴a+a+c＜0，∴2a+c＜0，故②正確；
③由圖可知：
直線y＝﹣m與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象拋物線有兩個交點，
∴方程ax2+bx+c＝﹣m有兩個不相等的實數(shù)根，故③正確；
④∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0），點B（m，0），
∴y＝a（x+1）（x﹣m）＝ax2﹣amx+ax﹣am，
∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過點C（0，﹣m），∴﹣am＝﹣m，∴a＝1，
二次函數(shù)y＝ax2+（b﹣1）x的對稱軸為直線：x＝，
把x＝0代入二次函數(shù)y＝ax2+（b﹣1）x中可得：y＝0，
∴二次函數(shù)y＝ax2+（b﹣1）x的圖象與x軸的交點為：（0，0），
設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+（b﹣1）x的圖象與x軸的另一個交點為（n，0），
∴＝，∴n＝＝1﹣b，
∵不等式ax2+（b﹣1）x＜0的解集為0＜x＜n，
∴不等式ax2+（b﹣1）x＜0的解集為0＜x＜，
∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象的對稱軸是直線：x＝，
∴＝，∴m＝＝1﹣b，∴不等式ax2+（b﹣1）x＜0的解集為0＜x＜m，
故④正確，所以：正確結(jié)論的個數(shù)有4個，故選：D．
【點評】本題考查了二次函數(shù)與不等式組，根的判別式，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸的交點，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．
4．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，將△ABC沿AC翻折，得到△ADC，再將△ADC沿AD翻折，得到△ADE，連接BE，則tan∠EBC的值為（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】過E作EG⊥CD交CD延長線于G，過A作AF⊥EG于F，證明△EDG∽△AEF，可得＝＝＝，設(shè)AF＝4m，EF＝4n，則EG＝3m，DG＝3n，根據(jù)四邊形ACGF是矩形，得4m＝3+3n，4＝4n+3m，解得m＝，n＝，從而EG＝3m＝，DG＝3n＝，在Rt△BEG中，即可求得tan∠EBC＝＝＝．
題圖答圖
【解答】解：過E作EG⊥CD交CD延長線于G，過A作AF⊥EG于F，如圖：
∵將△ABC沿AC翻折，得到△ADC，再將△ADC沿AD翻折，
∴BC＝CD＝DE＝3，AC＝AE＝4，∠ACD＝∠AED＝90°，
∴∠DEG＝90°﹣∠AEF＝∠EAF，又∠G＝∠F＝90°，
∴△EDG∽△AEF，∴＝＝＝，
設(shè)AF＝4m，EF＝4n，則EG＝3m，DG＝3n，
∵∠ACD＝90°＝∠G＝∠F，∴四邊形ACGF是矩形，
∴AF＝CD，AC＝FG，即4m＝3+3n，4＝4n+3m，解得m＝，n＝，
∴EG＝3m＝，DG＝3n＝，∴BG＝BC+CD+DG＝，
在Rt△BEG中，tan∠EBC＝＝＝，故選：A．
【點評】本題考查直角三角形的翻折，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)，作輔助線，構(gòu)造相似三角形，利用方程思想解決問題．
5．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點（﹣2，0）、（x1，0）．且1＜x1＜2，與y軸的負(fù)半軸相交．則下列關(guān)于a、b的大小關(guān)系正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)＞0＞b B．a(chǎn)＞b＞0 C．b＞a＞0 D．b＜a＜0
【分析】首先根據(jù)題意畫出草圖，再根據(jù)拋物線的開口方向和對稱軸的位置確定a、b的大小和符號即可．
【解答】解：根據(jù)題意畫出草圖，
可得拋物線開口向上，則a＞0，
∵1＜x1＜2，∴﹣1＜﹣2+x1＜0
∴﹣＜＜0，∴對稱軸在y軸左側(cè)，
∴a、b同號，∴b＞0，
∵﹣，∴＜1，∴b＜a，
∴a＞b＞0，故選：B．
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)所給點畫出圖象．
6．（3分）如圖，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，∠ABC與∠BAC的平分線交于點D，過點D作DE∥AC交AB于點E，則DE＝（　?。?br /> A． B．2 C． D．3
【分析】延長ED交BC于點G，作DF⊥AB于點F，作DH⊥AC于點H，根據(jù)正方形的判定和直角三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理解答即可．
題圖答圖
【解答】解：延長ED交BC于點G，作DF⊥AB于點F，作DH⊥AC于點H，
∵DE∥AC，∠C＝90°，∴∠BGE＝∠C＝90°，∴EG⊥BC，
∴∠DGC＝∠DHC＝∠C＝90°，∴四邊形DGCH為矩形，
∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，DF⊥AB，DH⊥AC，DG⊥BC，
∴DF＝DH，DG＝DF，∴DH＝DG，∴四邊形DGCH為正方形，
在Rt△BDG和Rt△BDF中，，∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL），∴BF＝BG，
同理可得：Rt△AHD≌Rt△AFD，由勾股定理可得：AB2＝AC2+BC2＝100，∴AB＝10，
設(shè)CH＝CG＝x，則AH＝6﹣x，BG＝8﹣x，∴AF＝6﹣x，BF＝8﹣x，
∴AB＝10＝AF+BF＝6﹣x+8﹣x＝14﹣2x，即14﹣2x＝10，解得：x＝2，
∴CH＝CG＝2，BG＝6，
∵DE∥AC，∴△BEG∽△BAC，∴，即，
∴EG＝4.5，∴DE＝EG﹣DG＝4.5﹣2＝2.5，
方法二，∵點D為角平分線的交點，∴點D到三邊距離相等，
∴點D到線段AB的距離DF為2，∵△DFE∽△CAB，∴DE＝2.5，故選：A．
【點評】此題考查直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)正方形的判定和直角三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理解答．
7．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點O為圓心，6為半徑的⊙O與直線y＝﹣x+b（b＞0）交于A，B兩點，連接OA，OB，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，若點C恰好在⊙O上，則b的值為（　?。?br /> A．3 B．2 C．3 D．2
【分析】如圖，連接OC交AB于T．求出點T的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題．
題圖答圖
【解答】解：如圖，連接OC交AB于T，設(shè)直線AB交x軸于M，交Y軸于N．
∵直線AB的解析式為y＝﹣x+b，∴N（0，b），M（b，0），∴OM＝ON，∴∠OMN＝45°，
∵四邊形OACB是平行四邊形，OA＝OB，∴四邊形OACB是菱形，
∴OC⊥AB，∴∠COM＝45°，∵OC＝6，∴C（3，3），
∵OT＝TC，∴T（，），
把T點坐標(biāo)代入y＝﹣x+b，可得b＝3，故選：C．
【點評】本題考查圓周角定理，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
8．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，將△ABC繞直角邊AC的中點O旋轉(zhuǎn)，得到△DEF，連接AD，若DE恰好經(jīng)過點C，且DE交AB于點G，則tan∠DAG的值為（　?。〢． B． C． D．
【分析】連接OG，由勾股定理求出AB＝5，由直角三角形的性質(zhì)求出CG，CD，AD的長，由銳角三角函數(shù)的定義可得出答案．
題圖答圖
【解答】解：連接OG，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵點O是AC邊的中點，∴OC＝OA＝OD＝AC＝2，
∴∠GCO＝∠ODC＝∠BAC，∠ADC＝90°，∴AG＝CG，∴OG⊥AC，
在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，cos∠BAC＝，
∴sin∠OCG＝，cos∠OCG＝，
在Rt△OCG中，CG＝＝，在Rt△ACD中，CD＝AC?cos∠OCG＝，
AD＝AC?sin∠OCG＝，∴DG＝CD﹣CG＝﹣＝，
∴tan∠DAG＝＝＝．故選：D．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
9．（3分）如圖，拋物線y1＝a（x﹣2）2+c分別與x軸、y軸交于A、C兩點，點B在拋物線上，且BC平行于x軸，直線y2＝x﹣1經(jīng)過A、B兩點，則關(guān)于x的不等式a（x﹣2）2+c+1＞x的解集是 　x＜1或x＞4?。?br /> 【分析】根據(jù)拋物線的對稱性求得B的橫坐標(biāo)，
由直線的解析式求得A的坐標(biāo)，然后根據(jù)圖象
寫出拋物線在直線上方時的x的取值即可．
【解答】解：∵拋物線y1＝a（x﹣2）2+c，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝2，
∴B點的橫坐標(biāo)為4，
∵直線y2＝x﹣1與x軸交于A點，
∴A（1，0），
由圖象可知，關(guān)于x的不等式a（x﹣2）2+c+1＞x的解集是x＜1或x＞4，
故答案為：x＜1或x＞4．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，求得A、B的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，半徑為4的扇形OAB中，∠O＝60°，C為半徑OA上一點，過C作CD⊥OB于點D，以CD為邊向右作等邊△CDE，當(dāng)點E落在上時，CD＝　?。?br /> 題圖答圖
【分析】如圖，連接OE．設(shè)OD＝m．證明∠OCE＝90°，利用勾股定理構(gòu)建方程求解．
【解答】解：如圖，連接OE．設(shè)OD＝m．∵CD⊥OB，∴∠CDO＝90°，
∵∠COD＝60°，∴∠OCD＝90°﹣60°＝30°，∴OC＝2OD＝2m，CD＝m，
∵△CDE是等邊三角形，∴CD＝CE＝m，∠DCE＝60°，
∴∠OCE＝∠OCD+∠DCE＝90°，∴OC2+CE2＝OE2，


由設(shè)AB＝2x，CD＝x，∴CH＝DH＝x，OC＝OD＝x，
∴OH＝＝x，∴OD＝2OH，∴∠OCH＝∠ODH＝30°，
∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠ACO＝∠OAC＝15°，∠OCB＝75°，∴∠COB＝30°，
∴∠OCE＝60°，∴CE＝x，OE＝x，
∵S△ABC＝AB?CE＝?x?2x＝20，∴x＝2，
∴AO＝BO＝2，OE＝x＝×2＝，CE＝x＝×2＝，
∴AE＝AO+OE＝2+，BE＝OB﹣OE＝2﹣，
∴AC＝＝2+2，BC＝＝2﹣2，
∴AC+BC＝2+2+2﹣2＝4，故答案為：4．
【點評】本題考查了垂徑定理、勾股定理、角平分線的定義、含30°角的直角三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造直角三角形，然后通過三角形的三邊關(guān)系得到含30°角的直角三角形．
13．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自變量），當(dāng)x≥2時，y隨x的增大而增大，且﹣2≤x≤1時，y的最大值為9，則a的值為　1?。?br /> 【分析】先求出二次函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性得出拋物線開口向上a＞0，然后由﹣2≤x≤1時，y的最大值為9，可得x＝1時，y＝9，即可求出a．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自變量），
∴對稱軸是直線x＝﹣＝﹣1，
∵當(dāng)x≥2時，y隨x的增大而增大，∴a＞0，
∵﹣2≤x≤1時，y的最大值為9，∴x＝1時，y＝a+2a+3a2+3＝9，
∴3a2+3a﹣6＝0，∴a＝1，或a＝﹣2（不合題意舍去）．故答案為：1．
【點評】考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的性質(zhì)并作出正確的判斷．
14．（3分）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，點C為弧BD的中點，則AC的長是　　．
題圖
【分析】將△ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)120°得△CBE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠E＝∠CAD＝30°，BE＝AD＝5，AC＝CE，求出A、B、E三點共線，解直角三角形求出即可；過C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得出∠E＝∠CFD＝∠CFA＝90°，推出＝，求出∠BAC＝∠DAC，BC＝CD，求出CE＝CF，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求出∠D＝∠CBE，證△CBE≌△CDF，推出BE＝DF，證△AEC≌△AFC，推出AE＝AF，設(shè)BE＝DF＝x，得出5＝x+3+x，求出x，解直角三角形求出即可．
【解答】解：解法一、∵A、B、C、D四點共圓，∠BAD＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°，
∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
如圖1，將△ACD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)120°得△CBE，
則∠E＝∠CAD＝30°，BE＝AD＝5，AC＝CE，
∴∠ABC+∠EBC＝（180°﹣∠CAB﹣∠ACB）+（180°﹣∠E﹣∠BCE）＝180°，
∴A、B、E三點共線，過C作CM⊥AE于M，∵AC＝CE，
∴AM＝EM＝×（5+3）＝4，在Rt△AMC中，AC＝＝＝；

解法二、過C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，則∠E＝∠CFD＝∠CFA＝90°，
∵點C為弧BD的中點，∴＝，∴∠BAC＝∠DAC，BC＝CD，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，∵A、B、C、D四點共圓，∴∠D＝∠CBE，
在△CBE和△CDF中 ∴△CBE≌△CDF，∴BE＝DF，
在△AEC和△AFC中 ∴△AEC≌△AFC，∴AE＝AF，
設(shè)BE＝DF＝x，∵AB＝3，AD＝5，∴AE＝AF＝x+3，∴5＝x+3+x，
解得：x＝1，即AE＝4，∴AC＝＝，故答案為：．
【點評】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強，難度適中．
15．（8分）某公司電商平臺．在2021年國慶期間舉行了商品打折促銷活動，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某種商品的周銷售量y（件）是關(guān)于售價x（元/件）的一次函數(shù)．已知，當(dāng)x＝50時，y＝200；當(dāng)x＝80時，y＝140．
（1）求y與x的函數(shù)表達(dá)式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（2）若該商品進(jìn)價為30（元/件）．
①當(dāng)售價x為多少元時，周銷售利潤W最大？并求出此時的最大利潤；
②因原料漲價，該商品進(jìn)價提高了a（元/件）（a＞0），公司為回饋消費者，規(guī)定該商品售價x不得超過75（元/件），且該商品在今后的銷售中，周銷售量y與售價x仍滿足（1）中的函數(shù)關(guān)系，若周銷售最大利潤是6000元，求a的值．
【分析】（1）設(shè)y＝kx+b，把x＝50時，y＝200；x＝80時，y＝140，代入可得解析式．
（2）①根據(jù)利潤＝（售價﹣進(jìn)價）×數(shù)量，得W＝（﹣2x+300）（x﹣30），化成頂點式W＝﹣2（x﹣90）2+7200，頂點的縱坐標(biāo)是有最大值．
②根據(jù)利潤＝（售價﹣進(jìn)價）×數(shù)量，得W＝﹣2（x﹣150）（x﹣30﹣a）（x≤75），其對稱軸x＝90+＞60，0＜x≤75時，函數(shù)單調(diào)遞增，只有x＝75時周銷售利潤最大，即可得m＝5．
【解答】解：（1）設(shè)y＝kx+b，由題意有：
，解得，所以y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝﹣2x+300；
（2）①由（1）W＝（﹣2x+300）（x﹣30）＝﹣2x2+360x﹣9000＝﹣2（x﹣90）2+7200，
所以售價x＝90時，周銷售利潤W最大，最大利潤為7200；
②由題意W＝﹣2（x﹣150）（x﹣30﹣a）（x≤75），
其對稱軸x＝90+＞90，∴0＜x≤75時，W的值隨x增大而增大，
∴只有x＝75時周銷售利潤最大，∴6000＝﹣2（75﹣150）（75﹣30﹣a），∴a＝5．
【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵理解題意，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和銷售問題中利潤公式，
16．（10分）如圖，以AE為直徑的⊙O交直線AB于A、B兩點，點C在⊙O上，過點C作CD⊥AB于點D，連接AC，BC，CE，其中BC與AE交于點F，且AC平分∠DAE．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AD＝1，AB＝8．
①求CD的長；
②求tan∠AFC的值．

【分析】（1）連接OC，根據(jù)OA＝OC推出∠OCA＝∠OAC，根據(jù)角平分線得出∠OCA＝∠OAC＝∠DCA，推出OC∥AB，得出OC⊥CD，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）①由（1）知，∠OCD＝90°，所以∠OCA+∠ACD＝90°，因為AE是⊙O的直徑，所以∠ACE＝90°，則∠OCA+∠OCE＝90°，所以∠ACD＝∠OCE，又OC＝OE，所以∠OCE＝∠E＝∠B＝∠ACD，可得△ADC∽△CDB，所以AD：CD＝CD：BD，則CD2＝AD?BD，又BD＝AD+AB＝9，所以CD2＝1×9＝9，即CD＝3．
②過點C作CG⊥AE于點G，過點O作OH⊥BC于H，因為CD⊥AB，CD＝3，BD＝9，所以BC＝3，因為OH⊥BC，則CH＝BC＝，易證△ADC∽△ACE，所以AD：AC＝AC：AE，因為CD⊥AB，AD＝1，CD＝3，所以AC2＝10，則AE＝＝10，OA＝AE＝5＝OC；易證△ACD≌△ACG（AAS），所以AG＝AD＝1，CG＝CD＝3，OG＝OA﹣AG＝5﹣1＝4，因為OH⊥BC，OC＝5，CH＝，所以O(shè)H＝，易證△CFG∽△OFH，

17．（10分）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+x+3的圖象交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，點D是BC上方拋物線上的一點，過D作AC的平行線，交BC于點E．
（1）求△ABC的面積；
（2）連接CD，當(dāng)CD∥x軸時，求△CDE的面積；
（3）求DE的最大值．

【分析】（1）先令x＝0求得點C的坐標(biāo)，再令y＝0求得點A和點B的坐標(biāo)，然后求得△ABC的面積；
（2）先由CD∥x軸求得點D的坐標(biāo)得到線段CD的長度，然后結(jié)合DE∥AC得證△CDE∽△BAC，再利用相似三角形的性質(zhì)得到△CDE的面積；
（3）過點D作DF∥y軸交BC于點F，過點E作EH⊥DF于點H，然后由DE∥AC可知∠DEF的度數(shù)不變，由DF∥y軸可知∠EFD的度數(shù)不變，從而知道在點D的移動過程中△DEF的形狀保持不變，即有當(dāng)DF最大時，DE的長度也最大，然后設(shè)點D的坐標(biāo)，進(jìn)而得到點F的坐標(biāo)，再表示出DF的長度，得到DF取最大值時的點D的坐標(biāo)，即可得到直線DE的解析式，最后聯(lián)立直線DE的解析式和直線BC的解析式求得點E的坐標(biāo)，進(jìn)而得到DE長的最大值．
【解答】解：（1）當(dāng)x＝0時，y＝3，∴C（0，3），OC＝3，
當(dāng)y＝0時，﹣x2+x+3＝0，解得：x＝﹣3或x＝6，
∴A（﹣3，0），B（6，0），∴AB＝9，∴S△ABC＝＝．
（2）∵C（0，3），CD∥x軸，∴D（3，3），∠DCE＝∠ABC，∴CD＝3，
∵DE∥AC，∴∠DEC＝∠ACB，∴△DEC∽△ACB，
∴＝，∵S△ABC＝，∴S△DEC＝．
（3）如圖，過點D作DF∥y軸交BC于點F，過點E作EH⊥DF于點H，
∵DE∥AC，DF∥y軸，∴∠DEF的度數(shù)不變，∠EFD的度數(shù)不變，
∴在點D的移動過程中△DEF的形狀保持不變，∴當(dāng)DF最大時，DE的長度也最大，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，則，解得：，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，
設(shè)點D的坐標(biāo)（x，﹣x2+x+3），則點F的坐標(biāo)（x，﹣x+3），
∴DF＝﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣3）2+，
∴當(dāng)x＝3時，DF有最大值，此時，點D的坐標(biāo)為（3，3），
∴直線DE是由直線AC向右平移3個單位所得，設(shè)直線AC的解析式為y＝mx+n，則
，解得：，∴直線AC的解析式為y＝x+3，
∴直線DE的解析式為y＝x+3﹣3＝x，聯(lián)立直線DE的解析式和直線BC的解析式，得
，解得：，∴點E的坐標(biāo)為（2，2），∴DE最大值＝．

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定與性質(zhì)、兩點間的距離公式，解題的關(guān)鍵是會通過平行線的性質(zhì)得到角度相等進(jìn)而證明三角形相似．
18．（10分）如果三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足α﹣β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)直角三角形”．
（1）若△ABC是“準(zhǔn)直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝70°，則∠B＝　10　°．
（2）如圖1，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，AB＝10，D是BC上的一點，tanB＝，若CD＝，請判斷△ABD是否為準(zhǔn)直角三角形，并說明理由．
（3）如圖2，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，E是直徑AB下方半圓上的一點，AB＝10，tan∠ABC＝，若△ACE為”準(zhǔn)直角三角形”，求CE的長．


【分析】（1）根據(jù)“準(zhǔn)直角三角形”的概念和三角形內(nèi)角和是180°求角度即可；
（2）根據(jù)三角函數(shù)求出AC和BC的值，再根據(jù)tan∠CAD＝tanB，得出∠CAD＝∠B，再根據(jù)“準(zhǔn)直角三角形”的概念得出結(jié)論即可；
（3）根據(jù)“準(zhǔn)直角三角形”的概念分兩種情況分別求出CE的值即可．
【解答】解：（1）∵△ABC是“準(zhǔn)直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝70°，
∴①∠C﹣∠A＝90°，此時∠C＝160°，∠A+∠C＞180°，∴此情況不存在，舍去，
②∠C﹣∠B＝90°，此時∠C＝100°，∠B＝10°，故答案為：10°；
（2）△ABD是準(zhǔn)直角三角形，
∵AB＝10，tanB＝，∴AC＝6，BC＝8，∵CD＝，∴tan∠CAD＝＝＝，
∴∠CAD＝∠B，∴∠ADB﹣∠CAD＝∠ADB﹣∠B＝90°，∴△ABD是準(zhǔn)直角三角形；
（3）連接AE，由（2）知，AC＝6，BC＝8，
∵△ACE為準(zhǔn)直角三角形，E為直徑AB下方圓上的一點，
∴∠CAE＞90°，∠CEA＜90°，∠ECA＜90°，且∠CEA＝∠CBA，
①當(dāng)∠CAE＝90°+∠CEA時，
即∠CAE＝90°+∠CBA＝180°﹣90°+∠CBA＝∠ACB+∠CBA＝180°﹣∠CAB，
∵四邊形ACBE的內(nèi)角和是360°，∠ACB＝90°＝∠AEB，
∴∠CBE＝180°﹣∠CAE＝∠CAB，
又∵∠CAB＝∠CEB，∴∠CBE＝∠CEB，∴CE＝BC＝8；

②當(dāng)∠CAE＝90°+∠ECA時，
即∠CAE＝90°+∠ABE＝∠AEB+∠ABE＝180°﹣∠BAE＝180°﹣∠CBE，
∴∠BAE＝∠CBE，即∠CBE＝∠ECB，∴CE＝BE，
∵tan∠ABC＝，∴tan∠CAB＝，∴tan∠CEB＝，
作CH⊥BE于H，作EM⊥BC于M，設(shè)EH＝3x，則CH＝4x，
∴EC＝BE＝＝5x，∵BE?CH＝BC?EM，∴EM＝x2，
∵EC2＝CM2+EM2，且CM＝BC＝4，∴（5x）2＝42+（x2）2，
令（5x）2＝t，即CE2＝t，則上式可表示為t＝16+（）2，
解得t＝80或t＝20（不合題意舍去），∴CE＝＝4，
綜上，若△ACE為”準(zhǔn)直角三角形”，CE的長為8或4．
【點評】本題主要考查圓的綜合知識，明確題中“準(zhǔn)直角三角形”的定義是解題的關(guān)鍵．
19. （10分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，D為AB延長線上一點，過點D作⊙O的切線，切點為E，連接BE，CE，AE．
（1）若BC∥DE，求證：△ACE∽△EBD；
（2）在（1）的條件下，若AC＝9，BD＝4，sin∠BAE＝，求⊙O的半徑．
題圖答圖
【分析】（1）由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ACE+∠ABE＝180°，由鄰補角得到∠ABE+∠EBD＝180°，從而得到∠EBD＝∠ACE，然后由BC∥DE得到∠CBE＝∠DEB，再由圓周角定理得到∠CAE＝∠CBE，從而得到∠CAE＝∠BED，最后可知△ACE∽△EBD；
（2）連接OE交BC于點H，連接CO，由DE是⊙O的切線得到OE⊥DE，再由CB∥DE得到OE⊥BC，從而利用垂徑定理得到CE＝BE，然后利用相似三角形的性質(zhì)求得CE的長，進(jìn)而由圓周角定理得到∠BAE＝∠BCE，然后結(jié)合sin∠BAE＝求得EH的長，最后設(shè)半徑為r，由Rt△OHC三邊關(guān)系列出方程求得r的值．
【解答】（1）證明：連接AE，∵四邊形ABEC是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ACE+∠ABE＝180°，
∵∠ABE+∠EBD＝180°，∴∠EBD＝∠ACE，∵BC∥DE，∴∠CBE＝∠DEB，
∵∠CAE＝∠CBE，∴∠CAE＝∠BED，∴△ACE∽△EBD．
（2）解：如圖，連接OE交BC于點H，連接CO，