高中人教A版 (2019)4.1 數(shù)列的概念教學設計

這是一份高中人教A版 (2019)4.1 數(shù)列的概念教學設計，共13頁。教案主要包含了重點總結，基礎自測，方法歸納，跟蹤訓練，跟蹤訓練2，易錯辨析，易錯警示等內容，歡迎下載使用。
4.1.1數(shù)列的概念要點一　數(shù)列的有關概念1．定義：按照確定的順序排列的一列數(shù)．2．項：數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項；排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項(也叫首項)．3．一般形式：a1，a2，a3，…，an，…，簡記為．【重點總結】(1)數(shù)列的項是指這個數(shù)列中的某一個確定的數(shù)，是一個函數(shù)值，也就是相當于f(n)，而項數(shù)是指這個數(shù)在數(shù)列中的位置序號，它是自變量的值，相當于f(n)中的n.(2)數(shù)列1,2,3,4,5和數(shù)列5,3,2,4,1為兩個不同的數(shù)列，因為二者的元素順序不同，而集合{1,2,3,4,5}與這兩個數(shù)列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有無序性．要點二　數(shù)列的分類 類別含義按項的個數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列項數(shù)無限的數(shù)列按項的變化趨勢遞增數(shù)列從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列常數(shù)列各項相等的數(shù)列擺動數(shù)列從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列要點三　數(shù)列的通項公式如果數(shù)列{an}的第n項an與序號n之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．要點四　數(shù)列與函數(shù)的關系從函數(shù)的觀點看，數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù)，關系如下表：定義域 (或它的有限子集{1,2,3，…，n})解析式數(shù)列的通項公式值域自變量按照從小到大的順序依次取值時對應的一列函數(shù)值構成表示方法(1)通項公式(解析法)；(2)列表法；(3)圖表法      【基礎自測】1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1){0,1,2,3,4}是有窮數(shù)列．(　　)(2)數(shù)列1,2,3,4和數(shù)列1,2,4,3是同一數(shù)列．(　　)(3)所有自然數(shù)能構成數(shù)列．(　　)(4)數(shù)列1,3,5,7，…，2n＋1，…的通項公式是an＝2n＋1.(　　)2．若數(shù)列{an}滿足an＝2n，則數(shù)列{an}是(　　)A．遞增數(shù)列  B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列    D．擺動數(shù)列【答案】A【解析】an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0，∴an＋1>an，即{an}是遞增數(shù)列．故選A.3．(多選題)數(shù)列－1,1，－1,1，…的通項公式可以為(　　)A．an＝(－1)n－1  B．an＝(－1)nC．an＝cos nπ    D．an＝sin nπ【答案】BC4．數(shù)列1,2，，，，…中的第26項為________．【答案】2【解析】因為a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，所以an＝，所以a26＝＝＝2.題型一　數(shù)列的概念和分類1．數(shù)列－11，－20，－27，…，n2－12n，…是(　　)A．遞增數(shù)列  B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列    D．擺動數(shù)列【答案】D【解析】該數(shù)列從第2項起，第n項與第n－1項的差為(n2－12n)－[(n－1)2－12(n－1)]＝2n－13，所以該數(shù)列的前6項單調遞減，從第6項往后單調遞增，故選D.2．已知下列數(shù)列：①1,2,22,23，…，260；②1,0.5,0.52,0.53，…；③－2,2，－2,2，…；④3,3,3,3，…；⑤0，，，，…，，…；⑥1,0，－1，…，sin，….其中有窮數(shù)列是______；無窮數(shù)列是________；遞增數(shù)列是________；遞減數(shù)列是________；擺動數(shù)列是________；常數(shù)列是________．(填序號)【答案】               【方法歸納】判斷數(shù)列是哪一種類型的數(shù)列時要緊扣概念及數(shù)列的特點．對于遞增、遞減、擺動還是常數(shù)列要從項的變化趨勢來分析；而有窮還是無窮數(shù)列則看項的個數(shù)有限還是無限．題型二　由數(shù)列的前n項求通項公式【例1】寫出數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項是下列各數(shù)：(1)－1，，－，；(2)，3，，；(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9；(4)3,5,3,5.【解析】(1)任何一個整數(shù)都可以看成一個分數(shù)，所以此數(shù)列可以看做是自然數(shù)列的倒數(shù)，正負相間用(－1)的多少次冪進行調整，其一個通項公式為an＝(－1)n·.(2)數(shù)列可化為，，，，即，，，，…，每個根號里面可分解成兩數(shù)之積，前一個因數(shù)為常數(shù)3，后一個因數(shù)為2n－1，故原數(shù)列的一個通項公式為an＝＝.(3)原數(shù)列可變形為，，，，…，故數(shù)列的一個通項公式為an＝1－.(4)數(shù)列給出前4項，其中奇數(shù)項為3，偶數(shù)項為5，所以通項公式的一種表示方法為an＝.此數(shù)列還可以這樣考慮，3與5的算術平均數(shù)為＝4,4＋1＝5,4－1＝3，因此數(shù)列的一個通項公式又可以寫為an＝4＋(－1)n.【方法歸納】(1)據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時，需仔細觀察分析，抓住以下幾方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征；③拆項后的特征；④各項符號特征等，并對此進行歸納、聯(lián)想．(2)觀察、分析數(shù)列中各項的特點是最重要的，觀察出項與序號之間的關系、規(guī)律，利用我們熟知的一些基本數(shù)列(如自然數(shù)列、奇偶數(shù)列等)轉換而使問題得到解決，對于正負符號變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調整．【跟蹤訓練】寫出下列數(shù)列的一個通項公式：(1)0,3,8,15,24，…；(2)1，－3,5，－7,9，…；(3)1，2，3，4，…；(4)1,11,111,1 111，….【解析】(1)觀察數(shù)列中的數(shù)，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一個通項公式是an＝n2－1(n∈N*)．(2)數(shù)列各項的絕對值為1,3,5,7,9，…，是連續(xù)的正奇數(shù)，并且數(shù)列的奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，所以它的一個通項公式為an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N*)．(3)此數(shù)列的整數(shù)部分1,2,3,4，…恰好是序號n，分數(shù)部分與序號n的關系為，故所求的數(shù)列的一個通項公式為an＝n＋＝(n∈N*)．(4)原數(shù)列的各項可變?yōu)?/span>×9，×99，×999，×9 999，…，易知數(shù)列9,99,999,9 999，…的一個通項公式為an＝10n－1，所以原數(shù)列的一個通項公式為an＝(10n－1)(n∈N*)．題型三　數(shù)列的單調性【例2】已知函數(shù)f(x)＝(x≥1)，構造數(shù)列an＝f(n)(n∈N*)．(1)求證：an>－2；(2)數(shù)列{an}是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？為什么？【解析】(1)因為f(x)＝＝＝－2＋，所以an＝－2＋.因為n∈N*，所以an>－2.(2)數(shù)列{an}為遞減數(shù)列．理由如下：因為an＝－2＋，所以an＋1－an＝－＝－＝<0即an＋1<an，所以數(shù)列{an}為遞減數(shù)列．先化簡f?x?的解析式，再構造{an}，然后判斷an＋1－an的符號.【方法歸納】用作差法判斷數(shù)列的單調性關鍵是判斷符號，為此，一般要對差式進行通分，因式分解等變形；若用作商法則要特別注意分母的符號．【跟蹤訓練2】已知數(shù)列{an}的第n項可以表示為，n∈N*，試判斷數(shù)列的增減性．【解析】因為{an}的第n項為，所以{an}的第n＋1項為.因為－＝－＝＝＝>0，所以>，所以數(shù)列{an}的第n＋1項大于第n項，故數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．【易錯辨析】忽視數(shù)列中n∈N*致錯例3　已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－5n＋4，則an的最小值為________．【答案】－2【解析】∵an＝n2－5n＋4＝2－，可知對稱軸方程為n＝，又n∈N*，故n＝2或3時，an有最小值，且a2＝a3＝－2.【易錯警示】  出錯原因在求出an＝2－時，忘記n∈N*了，導致得出錯誤答案：－.2.糾錯心得數(shù)列的定義域是正整數(shù)集合，是特殊的函數(shù)，所以解題時一定不要忘記n∈N*這一條件.一、單選題1．某新冠疫苗接種點統(tǒng)計了一周（星期一至星期日）每天接種加強針的人數(shù)（單位:百人)如下:，(  )，，因不慎丟失星期六的數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)的規(guī)律，則星期六的數(shù)據(jù)為（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過觀察數(shù)列的規(guī)律，可得到從第三個數(shù)據(jù)起，每個數(shù)據(jù)等于它前面兩個數(shù)據(jù)之和，根據(jù)這一結論可推得結果.【解析】從第三個數(shù)據(jù)起，每個數(shù)據(jù)等于它前面兩個數(shù)據(jù)之和，所以星期六的數(shù)據(jù)為故選:C.2．數(shù)列，則是這個數(shù)列的第（    ）A．項 B．項 C．項 D．項【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列的規(guī)律，求出通項公式，進而求出是這個數(shù)列的第幾項【解析】數(shù)列為，故通項公式為，是這個數(shù)列的第項.故選：A.3．若數(shù)列滿足，，則（    ）A．2 B． C．-1 D．-2【答案】C【分析】由題意得數(shù)列是周期為3的數(shù)列，即可得解.【解析】由，代入可得，同理可得.由，得，從而有，即，從而有，所以數(shù)列的周期為3，所以.故選：C.4．已知數(shù)列滿足且，則的值為（    ）A．1 B．2 C．4 D．－4【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式，可知數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，由此即可求出結果.【解析】因為數(shù)列滿足且，所以，，所以，又，所以，又，所以所以，……所以數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，所以.故選：A.5．已知數(shù)列滿足，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】寫出數(shù)列的前5項，即可得出數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，．【解析】解：因為，所以由已知可得，，，.可以判斷出數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，所以.故選：A6．大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題，其中一列數(shù)如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……，按此規(guī)律得到的數(shù)列記為，則（    ）A．98 B．112 C．128 D．132【答案】B【分析】根據(jù)題意可得奇數(shù)項的通項公式，即可求出.【解析】奇數(shù)項為0，4，12，24，40，…，即可得當為奇數(shù)時，，.故選：B.7．數(shù)列滿足，，且，，記數(shù)列的前項和為，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用遞推公式求出數(shù)列的前20項，直接求和.【解析】因為，，且，，所以；；；；；；同理遞推可得：；；；；；；；；；；；.所以=2.故選：C8．在數(shù)列中，，，，，則（    ）A．0 B．1 C． D．【答案】B【分析】計算得到數(shù)列周期為6，化簡得到原式，計算得到答案.【解析】，故，故，數(shù)列的周期為6.，，，，，，，.故選：B. 二、多選題9．已知數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝－，能使an＝3的n可以為（    ）A．22 B．24C．26 D．28【答案】AD【分析】通過計算找到數(shù)列的周期，即得解.【解析】解：由a1＝3，an＋1＝－，得a2＝－，a3＝－，a4＝3．所以數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，故a22＝a28＝3．故選：AD10．下列四個選項中，正確的是（    ）A．數(shù)列的圖象是一群孤立的點B．數(shù)列1，，1，，…與數(shù)列，1，，1，…是同一數(shù)列C．數(shù)列，，，，…的一個通項公式是D．數(shù)列，，…，是遞減數(shù)列【答案】AD【分析】利用數(shù)列通項公式、數(shù)列的圖象、數(shù)列的定義以及數(shù)列的單調性依次判斷四個選項即可．【解析】解：對于A，由數(shù)列的通項公式以及可知，數(shù)列的圖象是一群孤立的點，故選項A正確；對于B，由于兩個數(shù)列中的數(shù)排列的次序不同，因此不是同一數(shù)列，故選項B錯誤；對于C，當通項公式為時，，不符合題意，故選項C錯誤；對于D，數(shù)列，，是遞減數(shù)列，故選項D正確．故選：AD. 第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明 三、填空題11．在數(shù)學課堂上、教師引導學生構造新數(shù)列：在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構造出新的數(shù)列，例如將數(shù)列1，2進行構造，第一次得到數(shù)列1，3，2；第二次得到數(shù)列1，4，3，5，2；第次得到數(shù)列1，，，，…，，2（共項），則______．【答案】【分析】根據(jù)第一次得到數(shù)列1，3，2，共項，第二次得到數(shù)列1，4，3，5，2，共項，第三次得到數(shù)列1，5，4,7，3，8，5,7，2，共項，得到規(guī)律求解.【解析】第一次得到數(shù)列1，3，2，共項；第二次得到數(shù)列1，4，3，5，2，共項；第三次得到數(shù)列1，5，4,7，3，8，5,7，2，共項；依此第n次得到數(shù)列1，，，，…，，2，共項；解得，故答案為：12．數(shù)列{an}的通項公式為an＝，則a3＋a6＝________.【答案】8【解析】a3＋a6＝(3＋2)＋(6－3)＝5＋3＝8.13．已知數(shù)列滿足，則該數(shù)列前26項的和為____．【答案】【分析】根據(jù)遞推公式可以求出數(shù)列的周期，利用周期進行求解即可.【解析】因為，所以，，，，因此該數(shù)列的周期為，且，所以該數(shù)列前26項的和為：，故答案為： 四、解答題14．若數(shù)列滿足，，，求．【答案】【分析】計算出數(shù)列的前項的值，可知數(shù)列為周期數(shù)列，結合數(shù)列的周期性可得結果.【解析】解：因為，，則，，，，所以，數(shù)列是周期為的數(shù)列，因此，.15．根據(jù)下面的圖形及相應的點數(shù)，寫出點數(shù)構成的數(shù)列的一個通項公式，并在橫線上和括號中分別填上第項的圖形和點數(shù)．（1）（2）（3）【答案】（1）第項圖形見解析，通項公式為，第項的點數(shù)為（2）第項圖形見解析，通項公式為，第項的點數(shù)為（3）第項圖形見解析，通項公式為，第項的點數(shù)為【分析】（1）根據(jù)圖形中點數(shù)的規(guī)律可作出第項的圖形，并根據(jù)各項的點數(shù)可歸納出數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)圖形中點數(shù)的規(guī)律可作出第項的圖形，并根據(jù)各項的點數(shù)可歸納出數(shù)列的通項公式；（3）根據(jù)圖形中點數(shù)的規(guī)律可作出第項的圖形，并根據(jù)各項的點數(shù)可歸納出數(shù)列的通項公式.（1）解：設第項的點數(shù)為，，，，，該數(shù)列的第項為，數(shù)列的一個通項公式為，第項的圖形如下圖所示：
（2）解：設第項的點數(shù)為，，，，，該數(shù)列的第項為，數(shù)列的一個通項公式為，第項的圖形如下圖所示：
（3）解：設第項的點數(shù)為，，，，，該數(shù)列的第項為，數(shù)列的一個通項公式為，第項的圖形如下圖所示：