高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)4.2 等差數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)4.2 等差數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)，共18頁(yè)。教案主要包含了重點(diǎn)總結(jié)，基礎(chǔ)自測(cè)，方法歸納，跟蹤訓(xùn)練，筆記小結(jié)，跟蹤訓(xùn)練2，跟蹤訓(xùn)練3，易錯(cuò)辨析等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?4.2.2.1等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

要點(diǎn)一　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則Sn＝
【重點(diǎn)總結(jié)】
(1)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)：設(shè)Sn＝a1＋a2＋…＋an，倒序得Sn＝an＋an－1＋…＋a2＋a1.相加得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)．
由等差數(shù)列性質(zhì)，得2Sn＝n(a1＋an)，∴Sn＝.
我們不妨將上面的推導(dǎo)方法稱為倒序相加求和法. 今后，某些數(shù)列求和常常會(huì)用到這種方法．
(2)在求等差數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，若已知a1和an及項(xiàng)數(shù)n，則使用Sn＝；若已知首項(xiàng)a1和公差d及項(xiàng)數(shù)n，則采用公式Sn＝na1＋d來(lái)求．
要點(diǎn)二　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的主要性質(zhì)
1．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差數(shù)列．
2．若S奇表示奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶表示偶數(shù)項(xiàng)的和，公差為d，
①當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S偶－S奇＝nd，＝；
②當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n－1時(shí)，S奇－S偶＝，＝.S2n－1＝（2n-1）an.
【重點(diǎn)總結(jié)】關(guān)于奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和的問(wèn)題，要根據(jù)項(xiàng)數(shù)來(lái)分析，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)，S奇與S偶的關(guān)系是不相同的．
【基礎(chǔ)自測(cè)】
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)數(shù)列的前n項(xiàng)和就是指從數(shù)列的第1項(xiàng)a1起，一直到第n項(xiàng)an所有項(xiàng)的和．(　　)
(2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)和，則S2，S4，S6成等差數(shù)列．(　　)
(3)在等差數(shù)列{an}中，Sn為前n項(xiàng)和，則有S2n－1＝(2n－1)an.(　　)
(4)在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)m為偶數(shù)2n時(shí)，則S偶－S奇＝an＋1.(　　)
【答案】（1）√（2）×（3）√（4）×
2．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a9＝10，則S9等于(　　)
A．45 B．52
C．108 D．54
【答案】D
【解析】S9＝＝＝54.故選D.
3．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4＝8，S8＝20，則S12＝(　　)
A．28 B．32
C．36 D．40
【答案】C
【解析】∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，
∴S4，S8－S4，S12－S8成等差數(shù)列，
∴2(S8－S4)＝S4＋S12－S8，解得：S12＝36.
4．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a3＋a9＝4，那么數(shù)列{an}的前11項(xiàng)和等于________.
【答案】22
【解析】∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，∴a3＋a9＝a1＋a11＝4.∴S11＝＝×4＝22.

題型一　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本運(yùn)算
【例1】在等差數(shù)列{an}中，
(1)已知a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.
(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
【解析】(1)由題意得，Sn＝＝＝－5，解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，
∴d＝－.∴n＝15，d＝－.
(2)由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
∴a8＝39，d＝5.
(3)∵an＝11，d＝2，Sn＝35，∴解得n＝5，a1＝3或n＝7，a1＝－1.
【方法歸納】
a1，d，n稱為等差數(shù)列的三個(gè)基本量，an和Sn都可以用這三個(gè)基本量來(lái)表示，五個(gè)量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通過(guò)通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式聯(lián)立方程組求解，在求解過(guò)程中要注意整體思想的運(yùn)用．
【跟蹤訓(xùn)練】在等差數(shù)列{an}中，
(1)a1＝，d＝－，Sm＝－15，求m及am；
(2)a6＝10，S5＝5，求a8和S10.
(3)已知a3＋a15＝40，求S17.
【解析】(1)∵Sm＝m×＋×＝－15，
整理得m2－7m－60＝0
解得m＝12或m＝－5(舍去)
∴am＝a12＝＋(12－1)×＝－4.
(2)解得
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.
(3)S17＝＝＝＝340.
題型二　等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用
【例2】(1)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為30，前6項(xiàng)的和為100，則它的前9項(xiàng)的和為(　　)
A．130 B．170
C．210 D．260
【答案】C
【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)：S3，S6－S3，S9－S6成等差數(shù)列．
所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，
即30＋(S9－100)＝2(100－30)，解得S9＝210.
(2)已知{an}，{bn}均為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且＝，則＝________.
【答案】　
【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，知
＝＝＝＝＝.
(3)已知等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，則n＝________.
【答案】14
【解析】 Sn－Sn－4＝an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40.
兩式相加得4(a1＋an)＝120，
∴a1＋an＝30，又Sn＝＝15n＝210，∴n＝14.
【筆記小結(jié)】
(1)中S3，S6－S3，S9－S6也成等差數(shù)列．
(2)中＝＝.
(3)中Sn－Sn－4為末4項(xiàng)和，S4為前4項(xiàng)和，倒序相加可得 4(a1＋an)．
【方法歸納】
等差數(shù)列前n項(xiàng)和的常用性質(zhì)
(1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等差數(shù)列．
(2)數(shù)列是等差數(shù)列，公差為數(shù)列{an}的公差的.
(3)涉及兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比時(shí)，一般利用公式＝·進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用其他知識(shí)解決問(wèn)題．
(4)用公式Sn＝時(shí)常與等差數(shù)列的性質(zhì)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…相結(jié)合．
【跟蹤訓(xùn)練2】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4＝8，S8＝20，則a11＋a12＋a13＋a14等于(　　)
A．18　B．17
C．16 D．15
【答案】A
【解析】設(shè){an}的公差為d，則a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，(a5＋a6＋a7＋a8)－S4＝16d，解得d＝，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18.故選A.
(2)已知等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)于任意的自然數(shù)n，都有＝，則＋＝(　　)
A. B.
C. D.
【答案】A　
【解析】＋＝＋＝＝＝＝＝.故選A.
(3)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝100，S100＝10，則S110＝________.
【解析】(3)方法一：因?yàn)镾10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，前10項(xiàng)的和為：10×100＋d＝10，所以d＝－22，
所以前11項(xiàng)的和S110＝11×100＋d＝11×100＋×(－22)＝－110.
方法二：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
則＝(n－1)＋a1，所以數(shù)列成等差數(shù)列．
所以＝，即＝，
所以S110＝－110.
方法三：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
S110＝a1＋a2＋…＋a10＋a11＋a12＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)＋[(a1＋10d)＋(a2＋10d)＋…＋(a100＋10d)]＝S10＋S100＋100×10d，
又S100－10S10＝d－d＝10－10×100，
即100d＝－22，所以S110＝－110.
題型三　求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和
【例3】在等差數(shù)列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和．
【解析】等差數(shù)列{an}的公差
d＝＝＝3，
∵an＝a1＋(n－1)d＝－60＋3(n－1)＝3n－63，
令an