高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)4.2 等差數(shù)列教案

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)4.2 等差數(shù)列教案，共14頁(yè)。教案主要包含了重點(diǎn)總結(jié)，基礎(chǔ)自測(cè)，變式訓(xùn)練1，變式探究2，方法歸納，跟蹤訓(xùn)練1，跟蹤訓(xùn)練2，易錯(cuò)辨析等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?4.2.2.2等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)一　等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特點(diǎn)
等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝na1＋d可以改寫成：Sn＝n2＋n.當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是關(guān)于n的一元二次函數(shù)，所以可借助一元二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)來(lái)處理等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的有關(guān)問(wèn)題．
要點(diǎn)二　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值
(1)在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)a1>0，d0時(shí)，Sn有最小值；當(dāng)d0，d0，S3＝S11，當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，n的值為_(kāi)_______．
【答案】7
【解析】解法一：函數(shù)法
由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d，即d＝－a1.從而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，
因?yàn)閍1>0，所以－0，S3＝S11”換成“an＝26－2n”，當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n的值為_(kāi)_______．
【答案】12或13
【解析】∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，
∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列，又a1＝24，d＝－2，∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n＝－2＋.
∵n∈N*，∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn最大．
【變式探究2】將本例中“a1>0，S3＝S11”換為“a1>0，a2 019＋a2 020>0，a2 019·a2 0200成立的最大自然數(shù)n.
【解析】∵a1>0，a2 019＋a2 020>0，a2 019·a2 0200，a2 020|a2 020|
∴a2 019＋a2 020＝a1＋a4 038>0
∴S4 038＝>0
又∵a1＋a4 039＝2a2 020＜0
∴S4 039＝＜0
∴使Sn>0成立的最大自然數(shù)n是4 038.
【方法歸納】
討論等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值的方法：(一)已知通項(xiàng)時(shí)，由an≥0(或an≤0)探索求；(二)已知前n項(xiàng)和時(shí)，用配方法探求(注意n∈N*)；(三)已知Sn＝Sm時(shí)，借助二次函數(shù)性質(zhì)探求．
題型二　an與Sn關(guān)系的應(yīng)用
【例2】已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且4Sn＝an(an＋2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
【解析】∵4Sn＝an(an＋2)，∴當(dāng)n＝1時(shí)，4a1＝a1(a1＋2)
解得a1＝2或a1＝0(舍去)；
當(dāng)n≥2時(shí)，4an＝4Sn－4Sn－1
＝an(an＋2)－an－1(an－1＋2)
＝a＋2an－a－2an－1
∴a－2an－a－2an－1＝0
∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0
又an＋an－1≠0
∴an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2.
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，∴an＝2n.
【方法歸納】
已知an與Sn的關(guān)系時(shí)，應(yīng)用an＝Sn－Sn－1(n≥2)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化后構(gòu)成新的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的定義求解．
【跟蹤訓(xùn)練1】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝1，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求{an}的通項(xiàng)公式．
【解析】(1)∵n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，又an＋2SnSn－1＝0，
∴Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0.
∵Sn≠0，兩邊同除以SnSn－1，得
－＋2＝0，即－＝2(n≥2)．
∴數(shù)列是等差數(shù)列．
（2）∵a1＝1，＝＝1，∴＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
∴Sn＝.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.
而－＝2≠1，故{an}的通項(xiàng)公式為
an＝
題型三　等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用
【例3】一支車隊(duì)有15輛車，某天依次出發(fā)執(zhí)行任務(wù)．第1輛車于下午2時(shí)出發(fā)，第2輛車于下午2時(shí)10分出發(fā)，第3輛車于下午2時(shí)20分出發(fā)，依此類推．假設(shè)所有的司機(jī)都連續(xù)開(kāi)車，并且都在下午6時(shí)停下休息．
(1)到下午6時(shí)，最后一輛車行駛了多長(zhǎng)時(shí)間？
(2)如果每輛車的行駛速度都是60 km/h，這支車隊(duì)當(dāng)天一共行駛了多少路程？
【解析】由題意，知第1輛車休息時(shí)行駛了240 min，各輛車行駛的時(shí)間構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{an}，其中a1＝240，公差d＝－10，則an＝240－10(n－1)＝－10n＋250.
(1)因?yàn)閍15＝－10×15＋250＝100，所以到下午6時(shí)，最后一輛車行駛了100 min.
(2)這支車隊(duì)所有車輛行駛的總時(shí)間為×15＝2 550(min)＝ h，所以這支車隊(duì)當(dāng)天一共行駛的路程為×60＝2 550(km)．
【方法歸納】
(1)本題屬于與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的應(yīng)用題，其關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的等差數(shù)列．
(2)遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時(shí)，可以考慮與數(shù)列知識(shí)聯(lián)系，建立數(shù)列模型，具體解決要注意以下兩點(diǎn)：
①抓住實(shí)際問(wèn)題的特征，明確是什么類型的數(shù)列模型．
②深入分析題意，確定是求通項(xiàng)公式an，或是求前n項(xiàng)和Sn，還是求項(xiàng)數(shù)n.
【跟蹤訓(xùn)練2】植樹(shù)節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹(shù)，每人植樹(shù)一棵，相鄰兩棵樹(shù)相距10米，開(kāi)始時(shí)需將樹(shù)苗集中放置在某一棵樹(shù)坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹(shù)坑出發(fā)前來(lái)領(lǐng)取樹(shù)苗往返所走的路程總和最小，此最小值為_(kāi)_______米．
【答案】2 000
【解析】假設(shè)20位同學(xué)是1號(hào)到20號(hào)依次排列，使每位同學(xué)從各自樹(shù)坑出發(fā)前來(lái)領(lǐng)取樹(shù)苗往返所走的路程總和最小，則樹(shù)苗需放在第10或第11號(hào)樹(shù)坑旁，此時(shí)兩側(cè)的同學(xué)所走的路程都組成以20為首項(xiàng)，20為公差的等差數(shù)列，故所有同學(xué)往返的總路程為S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000米．
【易錯(cuò)辨析】數(shù)列中的最值錯(cuò)誤
【例4】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S11＝S18，則當(dāng)n＝________時(shí)，Sn最大．
【答案】14或15
【解析】(法一)由S11＝S18，得11a1＋d＝18a1＋d，即a1＝－14d>0，所以d0，所以d