初中數(shù)學(xué)湘教版七年級下冊4.4 平行線的判定學(xué)案設(shè)計

這是一份初中數(shù)學(xué)湘教版七年級下冊4.4 平行線的判定學(xué)案設(shè)計，共9頁。學(xué)案主要包含了學(xué)習(xí)目標，要點梳理，典型例題，總結(jié)升華，答案與解析，思路點撥，鞏固練習(xí)等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1.熟練掌握平行線的畫法；
2.掌握平行公理及其推論；
3.掌握平行線的判定方法，并能運用“平行線的判定方法”，判定兩條直線是否平行.
【要點梳理】
要點一、平行線的畫法及平行公理
1.平行線的畫法
用直尺和三角板作平行線的步驟：
①落：用三角板的一條斜邊與已知直線重合.
②靠：用直尺緊靠三角板一條直角邊.
③推：沿著直尺平移三角板,使與已知直線重合的斜邊通過已知點.
④畫：沿著這條斜邊畫一條直線,所畫直線與已知直線平行.
2.平行公理及推論
平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．
推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．
要點詮釋：
(1)平行公理特別強調(diào)“經(jīng)過直線外一點”，而非直線上的點，要區(qū)別于垂線的第一性質(zhì)．
(2)公理中“有”說明存在；“只有”說明唯一．
（3）“平行公理的推論”也叫平行線的傳遞性.
要點二、平行線的判定
判定方法1：同位角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）
判定方法2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語言：
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）
判定方法3：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.如上圖，幾何語言：
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）
要點詮釋：平行線的判定是由角相等或互補，得出平行，即由數(shù)推形.
【典型例題】
類型一、平行公理及推論
1．在同一平面內(nèi)，下列說法：（1）過兩點有且只有一條直線；（2）兩條直線有且只有一個公共點；（3）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；（4）過一點有且只有一條直線與已知直線平行. 其中正確的個數(shù)為：( ) .
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【解析】正確的是：（1）(3).
【總結(jié)升華】對平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語，要做到對它們正確理解，對不同的幾何語言的表達要注意區(qū)分不同表述之間的聯(lián)系和區(qū)別．
舉一反三：
【變式】下列說法正確的個數(shù)是 ( ) .
（1）直線a、b、c、d，如果a∥b、c∥b、c∥d，則a∥d.
（2）兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角的平分線互相垂直.
（3）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等.
（4）在同一平面內(nèi)，如果兩直線都垂直于同一條直線，那么這兩直線平行．
A．1個 B .2個 C．3個 D．4個
【答案】B
2.證明：平行于同一直線的兩條直線平行．
【答案與解析】
已知：如圖，．求證：．
證明：假設(shè)直線a與直線b不平行，則直線a與直線b相交，設(shè)交點為A，如圖．
，
則過直線c外一點A有兩條直線a、b與直線c平行，
這與平行公理矛盾，所以假設(shè)不成立．
．
【總結(jié)升華】本題采用的是“反證法”的證明方法，反證法證題的一般步驟：
第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；
第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；
第三步，結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立．
類型二、平行線的判定
3. 如圖，給出下列四個條件：（1）AC＝BD；（2）∠DAC＝∠BCA；（3）∠ABD＝∠CDB；（4）∠ADB＝∠CBD,其中能使AD∥BC的條件有 （ ）.
A．（1）（2） B．（3）（4） C．（2）（4） D．（1）（3）（4）
【思路點撥】欲證AD∥BC，在圖中發(fā)現(xiàn)AD、BC被一直線所截，故可按同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補，兩直線平行補充條件．
【答案】C
【解析】從分解圖形入手，即尋找AD、BC的截線.
【總結(jié)升華】從題目的結(jié)論出發(fā)分析所要說明的結(jié)論能成立，必須具備的是哪些條件，再看這些條件成立又需具備什么條件，直到追溯到已知條件為止．
舉一反三：
【變式】一個學(xué)員在廣場上駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是( )
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°
【答案】A
提示：“方向相同”有兩層含義，即路線平行且方向相同，在此基礎(chǔ)上準確畫出示意圖．
圖B顯然不同向，因為路線不平行．
圖C中，∠1＝180°-130°＝50°，路線平行但不同向．
圖D中，∠1＝180°-130°＝50°，路線平行但不同向．
只有圖A路線平行且同向，故應(yīng)選A．
4. 如圖所示，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°．試說明AB∥EF的理由．
【思路點撥】利用輔助線把AB、EF聯(lián)系起來．
【答案與解析】
解法1：如圖所示，在∠BCD的內(nèi)部作∠BCM＝25°，在∠CDE的內(nèi)部作∠EDN＝10°．
∵ ∠B＝25°，∠E＝10°(已知)，
∴ ∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN(等量代換)．
∴ AB∥CM，EF∥DN(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)．
又∵ ∠BCD＝45°，∠CDE＝30°(已知)，
∴ ∠DCM＝20°，∠CDN＝20°(等式性質(zhì))．
∴ ∠DCM＝∠CDN(等量代換)．
∴ CM∥DN(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)．
∵ AB∥CM，EF∥DN(已證)，
∴ AB∥EF(平行線的傳遞性)．
解法2：如圖所示，分別向兩方延長線段CD交EF于M點、交AB于N點．
∵ ∠BCD＝45°，∴ ∠NCB＝135°．
∵ ∠B＝25°，
∴ ∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°(三角形的內(nèi)角和等于180°)．
又∵ ∠CDE＝30°，∴ ∠EDM＝150°．
又∵ ∠E＝10°，
∴ ∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°(三角形的內(nèi)角和等于180°)．
∴ ∠CNB＝∠EMD(等量代換)．
所以AB∥EF(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)．
【總結(jié)升華】判定兩條直線平行的方法有四種，選擇哪種方法要根據(jù)問題提供的條件來靈活選取．
舉一反三：
【高清課堂：平行線及判定403102經(jīng)典例題2 】
【變式】已知，如圖，BE平分?ABD，DE平分?CDB，且?1與?2互余，試判斷直線AB、CD的位置關(guān)系，請說明理由．
【答案】
解：AB∥CD，理由如下：
∵ BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，
∴ ∠ABD＝2∠1，∠CDB＝2∠2．
又∵ ∠1+∠2＝90°，
∴ ∠ABD+∠CDB＝180°．
∴ AB∥CD(同旁內(nèi)角互補，兩直線平行)．
ADDIN CNKISM.UserStyle平行線的判定（提高）鞏固練習(xí)
【鞏固練習(xí)】
一、選擇題
1.下列說法中正確的有( ) .
①一條直線的平行線只有一條．
②過一點與已知直線平行的直線只有一條．
③因為a∥b，c∥d，所以a∥d．
④經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2．如果兩個角的一邊在同一直線上，另一邊互相平行，則這兩個角( ) .
A．相等 B．互補 C．互余 D．相等或互補
3．如圖，能夠判定DE∥BC的條件是 ( ) .
A．∠DCE+∠DEC＝180° B．∠EDC＝∠DCB
C．∠BGF＝∠DCB D．CD⊥AB，GF⊥AB
4．一輛汽車在廣闊的草原上行駛，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，那么這兩次拐彎的角度可能是 ( ) ．
A．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°．
B．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°．
C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°．
D．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°．
5．如圖所示，下列條件中，不能推出AB∥CE成立的條件是 ( ) .
A．∠A＝∠ACE B．∠B＝∠ACE C．∠B＝∠ECD D．∠B+∠BCE＝180°
6.( 紹興)學(xué)習(xí)了平行線后，小敏想出了過已知直線外一點畫這條直線的平行線的新方法，她是通過折一張半透明的紙得到的（如圖，(1)—(4)）:
從圖中可知，小敏畫平行線的依據(jù)有（ ）.
①兩直線平行，同位角相等．②兩直線平行，內(nèi)錯角相等．③同位角相等，兩直線平行．
④內(nèi)錯角相等，兩直線平行．
A.①② B. ②③ C. ③④ D. ④①
二、填空題
7. 在同一平面內(nèi)的三條直線，它們的交點個數(shù)可能是________．
8．如圖，DF平分∠CDE，∠CDF＝55°，∠C＝70°，則________∥________．
9．規(guī)律探究：同一平面內(nèi)有直線a1，a2，a3…，a100，若a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4…，按此規(guī)律，a1和a100的位置是________．
10．已知兩個角的兩邊分別平行，其中一個角為40°，則另一個角的度數(shù)是
11．直線同側(cè)有三點A、B、C，如果A、B兩點確定的直線 與B、C兩點確定的直線都與平行，則A、B、C三點 ，其依據(jù)是
12. 如圖，AB⊥EF于點G，CD⊥EF于點H，GP平分∠EGB，HQ平分∠CHF，則圖中互相平行的直線有 ．
三、解答題
13.如圖，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝100°，要使AB∥EF，∠4應(yīng)為多少度?說明理由．
14．小敏有一塊小畫板(如圖所示)，她想知道它的上下邊緣是否平行，而小敏身邊只有一個量角器，你能幫助她解決這一問題嗎?
15．如圖，把一張長方形紙條ABCD沿AF折疊，已知∠ADB＝20°，那么∠BAF為多少度時，才能使AB′∥BD?
16．如圖所示，由∠1＝∠2，BD平分∠ABC，可推出哪兩條線段平行，寫出推理過程，如果推出另兩條線段平行，則應(yīng)將以上兩條件之一作如何改變?
【答案與解析】
一、選擇題
1. 【答案】A；
【解析】只有④正確，其它均錯．
2. 【答案】D；
3. 【答案】B；
【解析】內(nèi)錯角相等，兩直線平行．
4. 【答案】B；
5. 【答案】B；
【解析】∠B和∠ACE不是兩條直線被第三條直線所截所得到的角．
6. 【答案】C；
【解析】解決本題關(guān)鍵是理解折疊的過程，圖中的虛線與已知的直線垂直，過點P的折痕與虛線垂直．
二、填空題
7. 【答案】0或1或2或3個；
8. 【答案】BC， DE；
【解析】∠CFD＝180°－70°－55°＝55°，而∠FDE＝∠CDF＝55°，所以∠CFD＝∠FDE．
9. 【答案】a1∥a100；
【解析】為了方便，我們可以記為a1⊥a2∥a3⊥a4∥a5⊥a6∥a7⊥a8∥a9⊥a10…∥a97⊥a98∥a99⊥a100，因為a1⊥a2∥a3，所以a1⊥a3，而a3⊥a4，所以a1∥a4∥a5．同理得a5∥a8 ∥a9，a9∥a12 ∥a13，…，接著這樣的規(guī)律可以得a1∥a97∥a100，所以a1∥a100．
10.【答案】 40°或140°；
11.【答案】共線，平行公理；
【解析】此題考查是平行公理，它是論證推理的基礎(chǔ)，應(yīng)熟練應(yīng)用．
12.【答案】AB∥CD，GP∥HQ；
【解析】
理由：∵ AB⊥EF，CD⊥EF．∴ ∠AGE＝∠CHG＝90°．∴ AB∥CD．
∵ AB⊥EF．∴ ∠EGB＝∠2＝90°．∴ GP平分∠EGB．
∴ ∠1＝EGB＝45°．
∴ ∠PGH＝∠1+∠2＝135°．
同理∠GHQ＝135°，∴ ∠PGH＝∠GHQ．
∴ GP∥HQ．
三、解答題
13. 【解析】
解：∠4＝100°．理由如下：
∵ ∠1＝60°，∠2＝60°，
∴ ∠1＝∠2，∴ AB∥CD
又∵∠3＝∠4＝100°，
∴ CD∥EF，∴ AB∥EF．
14．【解析】
解：如圖所示，用量角器在兩個邊緣之間畫一條線段MN，用量角器測得∠1＝50°，
∠2＝50°，因為∠1＝∠2，所以由內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可知畫板的上下邊緣是平行的．
15. 【解析】
解：要使AB′∥BD，只要∠B′AD＝∠ADB＝20°，
∠B′AB＝∠BAD+∠B′AD＝90°+20°＝110°．
∴∠BAF＝∠B′AB＝×110°＝55°．
16．【解析】
解：可推出AD∥BC．∵ BD平分∠ABC(已知)．
∴ ∠1＝∠DBC(角平分線定義)．
又∵ ∠1＝∠2(已知)，∴ ∠2＝∠DBC(等量代換)．
∴ AD∥BC(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)．
把∠1＝∠2改成∠DBC＝∠BDC．