初中數(shù)學(xué)北師大版七年級(jí)下冊第四章 三角形綜合與測試練習(xí)題

這是一份初中數(shù)學(xué)北師大版七年級(jí)下冊第四章 三角形綜合與測試練習(xí)題，共48頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?北師大新版七年級(jí)下冊《第4章 三角形》1
一、選擇題（共5小題）
1．已知：如圖在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，點(diǎn)C，D，E三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD，BE．以下四個(gè)結(jié)論：
①BD＝CE；
②BD⊥CE；
③∠ACE+∠DBC＝45°；
④BE2＝2（AD2+AB2），
其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的點(diǎn)，且CE＝DF，AE、BF相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AO＝OE；（4）S△AOB＝S四邊形DEOF中正確的有（　?。?br />
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
3．如圖，已知邊長為4的正方形ABCD，P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（與B、C不重合），連結(jié)AP，作PE⊥AP交∠BCD的外角平分線于E．設(shè)BP＝x，△PCE面積為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是（　?。?br />
A．y＝2x+1 B．y＝x﹣2x2 C．y＝2x﹣x2 D．y＝2x
4．在銳角三角形ABC中，AH是BC邊上的高，分別以AB、AC為一邊，向外作正方形ABDE和ACFG，連接CE、BG和EG，EG與HA的延長線交于點(diǎn)M，下列結(jié)論：①BG＝CE； ②BG⊥CE； ③AM是△AEG的中線； ④∠EAM＝∠ABC，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　?。?br />
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
5．如圖，已知l1∥l2∥l3，相鄰兩條平行直線間的距離相等，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在這三條平行直線上，則sinα的值是（　　）

A． B． C． D．
二、填空題（共2小題）
6．如圖，已知∠C＝∠D，∠ABC＝∠BAD，AC與BD相交于點(diǎn)O，請(qǐng)寫出圖中一組相等的線段　 ?。?br />
7．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，將斜邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AB′，連接B′C，則△AB′C的面積為　 ?。?br />
三、解答題（共23小題）
8．如圖，點(diǎn)E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠B＝∠C．求證：∠A＝∠D．

9．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延長AB至點(diǎn)D，使DB＝AB，連接CD，以CD為直角邊作等腰三角形CDE，其中∠DCE＝90°，連接BE．
（1）求證：△ACD≌△BCE；
（2）若AC＝3cm，則BE＝　 　cm．

10．已知，如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D為AB邊上一點(diǎn)．求證：BD＝AE．

11．如圖，∠AOB＝90°，OA＝OB，直線l經(jīng)過點(diǎn)O，分別過A、B兩點(diǎn)作AC⊥l交l于點(diǎn)C，BD⊥l交l于點(diǎn)D．
求證：AC＝OD．

12．如圖，已知AD是△ABC的中線，分別過點(diǎn)B、C作BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)F，求證：BE＝CF．

13．已知等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)E在AC邊的延長線上，且∠DEC＝45°，點(diǎn)M、N分別是DE、AE的中點(diǎn)，連接MN交直線BE于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)D在CB邊的延長線上時(shí)，如圖1所示，易證MF+FN＝BE

（1）當(dāng)點(diǎn)D在CB邊上時(shí)，如圖2所示，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給與證明；若不成立，請(qǐng)寫出你的猜想，并說明理由．
（2）當(dāng)點(diǎn)D在BC邊的延長線上時(shí)，如圖3所示，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．（不需要證明）
14．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上．
（1）求證：BE＝CE；
（2）如圖2，若BE的延長線交AC于點(diǎn)F，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC＝45°，原題設(shè)其它條件不變．求證：△AEF≌△BCF．

15．如圖，CD＝CA，∠1＝∠2，EC＝BC，求證：DE＝AB．

16．如圖1，點(diǎn)A是線段BC上一點(diǎn)，△ABD和△ACE都是等邊三角形．
（1）連結(jié)BE，CD，求證：BE＝CD；
（2）如圖2，將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′D′．
①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為　 　度時(shí)，邊AD′落在AE上；
②在①的條件下，延長DD’交CE于點(diǎn)P，連接BD′，CD′．當(dāng)線段AB、AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，△BDD′與△CPD′全等？并給予證明．

17．如圖：已知D、E分別在AB、AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求證：BE＝CD．

18．已知∠ACD＝90°，MN是過點(diǎn)A的直線，AC＝DC，DB⊥MN于點(diǎn)B，如圖（1）．易證BD+AB＝CB，過程如下：
過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E
∵∠ACB+∠BCD＝90°，∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BCD＝∠ACE．
∵四邊形ACDB內(nèi)角和為360°，∴∠BDC+∠CAB＝180°．
∵∠EAC+∠CAB＝180°，∴∠EAC＝∠BDC．
又∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，CE＝CB，∴△ECB為等腰直角三角形，∴BE＝CB．
又∵BE＝AE+AB，∴BE＝BD+AB，∴BD+AB＝CB．
（1）當(dāng)MN繞A旋轉(zhuǎn)到如圖（2）和圖（3）兩個(gè)位置時(shí)，BD、AB、CB滿足什么樣關(guān)系式，請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)圖（2）給予證明．
（2）MN在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠BCD＝30°，BD＝時(shí)，則CD＝　 　，CB＝　 ?。?br />
19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，連接CD．
（1）如圖1，DE與BC的數(shù)量關(guān)系是　 ??；
（2）如圖2，若P是線段CB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），連接DP，將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，連接BF，請(qǐng)猜想DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）若點(diǎn)P是線段CB延長線上一動(dòng)點(diǎn)，按照（2）中的作法，請(qǐng)?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，并直接寫出DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系．

20．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足為E，求證：AE＝CE．

21．如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CF∥AB交DE延長線于點(diǎn)F．求證：AD＝CF．

22．（1）如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，且BE＝BD，連結(jié)AE、DE、DC．
①求證：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE＝30°，求∠BDC的度數(shù)．
（2）為了提高產(chǎn)品的附加值，某公司計(jì)劃將研發(fā)生產(chǎn)的1200件新產(chǎn)品進(jìn)行精加工后再投放市場．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工廠都具備加工能力，公司派出相關(guān)人員分別到這兩個(gè)工廠了解情況，獲得如下信息：
信息一：甲工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品多用10天；
信息二：乙工廠每天加工的數(shù)量是甲工廠每天加工數(shù)量的1.5倍．
根據(jù)以上信息，求甲、乙兩個(gè)工廠每天分別能加工多少件新產(chǎn)品．

23．探究：如圖①，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，AE⊥CD于點(diǎn)E．若AE＝10，求四邊形ABCD的面積．
應(yīng)用：如圖②，在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，AE⊥BC于點(diǎn)E．若AE＝19，BC＝10，CD＝6，則四邊形ABCD的面積為　 ?。?br />
24．如圖，△ABO與△CDO關(guān)于O點(diǎn)中心對(duì)稱，點(diǎn)E、F在線段AC上，且AF＝CE．求證：FD＝BE．

25．如圖，C是AB的中點(diǎn)，AD＝BE，CD＝CE．求證：∠A＝∠B．

26．如圖，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E；求證：BC＝DC．

27．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD．
（1）如圖1，直接寫出∠ABD的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?br /> （2）如圖2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判斷△ABE的形狀并加以證明；
（3）在（2）的條件下，連接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．

28．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)P為AC邊上的一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)P對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′），當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時(shí)，點(diǎn)B、P、P′恰好在同一直線上，此時(shí)作P′E⊥AC于點(diǎn)E．
（1）求證：∠CBP＝∠ABP；
（2）求證：AE＝CP；
（3）當(dāng)，BP′＝5時(shí)，求線段AB的長．

29．正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AD、AB的中點(diǎn)，連接EF．
（1）如圖1，若點(diǎn)G是邊BC的中點(diǎn)，連接FG，則EF與FG關(guān)系為：　 　；
（2）如圖2，若點(diǎn)P為BC延長線上一動(dòng)點(diǎn)，連接FP，將線段FP以點(diǎn)F為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段FQ，連接EQ，請(qǐng)猜想BF、EQ、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（3）若點(diǎn)P為CB延長線上一動(dòng)點(diǎn)，按照（2）中的作法，在圖3中補(bǔ)全圖形，并直接寫出BF、EQ、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系：　 ?。?br />
30．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長線于點(diǎn)F，連接CF．
（1）求證：AF＝DC；
（2）若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．


北師大新版七年級(jí)下冊《第4章 三角形》1
參考答案與試題解析
一、選擇題（共5小題）
1．已知：如圖在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，點(diǎn)C，D，E三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD，BE．以下四個(gè)結(jié)論：
①BD＝CE；
②BD⊥CE；
③∠ACE+∠DBC＝45°；
④BE2＝2（AD2+AB2），
其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①由AB＝AC，AD＝AE，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得出三角形ABD與三角形ACE全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到BD＝CE；
②由三角形ABD與三角形ACE全等，得到一對(duì)角相等，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)及等量代換得到BD垂直于CE；
③由等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABD+∠DBC＝45°，等量代換得到∠ACE+∠DBC＝45°；
④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出關(guān)系式，等量代換即可作出判斷．
【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，故①正確；
②∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
則BD⊥CE，故②正確；
③∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵∠ABD＝∠ACE
∴∠ACE+∠DBC＝45°，故③正確；
④∵BD⊥CE，
∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：
BE2＝BD2+DE2，
∵△ADE為等腰直角三角形，
∴DE＝AD，
即DE2＝2AD2，
∴BE2＝BD2+DE2＝BD2+2AD2，
而BD2≠2AB2，故④錯(cuò)誤，
綜上，正確的個(gè)數(shù)為3個(gè)．
故選：C．

2．如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的點(diǎn)，且CE＝DF，AE、BF相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AO＝OE；（4）S△AOB＝S四邊形DEOF中正確的有（　?。?br />
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°，則由CE＝DF易得AF＝DE，根據(jù)“SAS”可判斷△ABF≌△DAE，所以AE＝BF；根據(jù)全等的性質(zhì)得∠ABF＝∠EAD，
利用∠EAD+∠EAB＝90°得到∠ABF+∠EAB＝90°，則AE⊥BF；連結(jié)BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到OA≠OE；最后根據(jù)△ABF≌△DAE得S△ABF＝S△DAE，則S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，即S△AOB＝S四邊形DEOF．
【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°，
而CE＝DF，
∴AF＝DE，
在△ABF和△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE，
∴AE＝BF，所以（1）正確；
∴∠ABF＝∠EAD，
而∠EAD+∠EAB＝90°，
∴∠ABF+∠EAB＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AE⊥BF，所以（2）正確；
連結(jié)BE，
∵BE＞BC，
∴BA≠BE，
而BO⊥AE，
∴OA≠OE，所以（3）錯(cuò)誤；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，
∴S△AOB＝S四邊形DEOF，所以（4）正確．
故選：B．

3．如圖，已知邊長為4的正方形ABCD，P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（與B、C不重合），連結(jié)AP，作PE⊥AP交∠BCD的外角平分線于E．設(shè)BP＝x，△PCE面積為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是（　?。?br />
A．y＝2x+1 B．y＝x﹣2x2 C．y＝2x﹣x2 D．y＝2x
【分析】過E作EH⊥BC于H，求出EH＝CH，求出△BAP∽△HPE，得出＝，求出EH＝x，代入y＝×CP×EH求出即可．
【解答】解：過E作EH⊥BC于H，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DCH＝90°，
∵CE平分∠DCH，
∴∠ECH＝∠DCH＝45°，
∵∠H＝90°，
∴∠ECH＝∠CEH＝45°，
∴EH＝CH，
∵四邊形ABCD是正方形，AP⊥EP，
∴∠B＝∠H＝∠APE＝90°，
∴∠BAP+∠APB＝90°，∠APB+∠EPH＝90°，
∴∠BAP＝∠EPH，
∵∠B＝∠H＝90°，
∴△BAP∽△HPE，
∴＝，
∴＝，
∴EH＝x，
∴y＝×CP×EH
＝（4﹣x）?x
y＝2x﹣x2，
故選：C．

4．在銳角三角形ABC中，AH是BC邊上的高，分別以AB、AC為一邊，向外作正方形ABDE和ACFG，連接CE、BG和EG，EG與HA的延長線交于點(diǎn)M，下列結(jié)論：①BG＝CE； ②BG⊥CE； ③AM是△AEG的中線； ④∠EAM＝∠ABC，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　?。?br />
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，然后求出∠CAE＝∠BAG，再利用“邊角邊”證明△ABG和△AEC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BG＝CE，判定①正確；設(shè)BG、CE相交于點(diǎn)N，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后求出∠CNG＝90°，根據(jù)垂直的定義可得BG⊥CE，判定②正確；過點(diǎn)E作EP⊥HA的延長線于P，過點(diǎn)G作GQ⊥AM于Q，根據(jù)同角的余角相等求出∠ABH＝∠EAP，再利用“角角邊”證明△ABH和△EAP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠EAM＝∠ABC判定④正確，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EP＝AH，同理可證GQ＝AH，從而得到EP＝GQ，再利用“角角邊”證明△EPM和△GQM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EM＝GM，從而得到AM是△AEG的中線．
【解答】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠CAE＝∠BAG，
∵在△ABG和△AEC中，
，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE，（故①正確）；
設(shè)BG、CE相交于點(diǎn)N，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE＝∠AGB，
∵∠NCF+∠NGF＝∠ACF+∠AGF＝90°+90°＝180°，
∴∠CNG＝360°﹣（∠NCF+∠NGF+∠F）＝360°﹣（180°+90°）＝90°，
∴BG⊥CE，（故②正確）；
過點(diǎn)E作EP⊥HA的延長線于P，過點(diǎn)G作GQ⊥AM于Q，
∵AH⊥BC，
∴∠ABH+∠BAH＝90°，
∵∠BAE＝90°，
∴∠EAP+∠BAH＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABH＝∠EAP，
∵在△ABH和△EAP中，
，
∴△ABH≌△EAP（AAS），
∴∠EAM＝∠ABC，（故④正確），
EP＝AH，
同理可得GQ＝AH，
∴EP＝GQ，
∵在△EPM和△GQM中，
，
∴△EPM≌△GQM（AAS），
∴EM＝GM，
∴AM是△AEG的中線，（故③正確）．
綜上所述，①②③④結(jié)論都正確．
故選：A．

5．如圖，已知l1∥l2∥l3，相鄰兩條平行直線間的距離相等，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在這三條平行直線上，則sinα的值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】過點(diǎn)A作AD⊥l1于D，過點(diǎn)B作BE⊥l1于E，根據(jù)同角的余角相等求出∠CAD＝∠BCE，然后利用“角角邊”證明△ACD和△CBE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CD＝BE，然后利用勾股定理列式求出AC，再根據(jù)等腰直角三角形斜邊等于直角邊的倍求出AB，然后利用銳角的正弦等于對(duì)邊比斜邊列式計(jì)算即可得解．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥l1于D，過點(diǎn)B作BE⊥l1于E，設(shè)l1，l2，l3間的距離為1，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在等腰直角△ABC中，AC＝BC，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE＝1，
在Rt△ACD中，AC＝＝＝，
在等腰直角△ABC中，AB＝AC＝×＝，
∴sinα＝＝．
故選：D．

二、填空題（共2小題）
6．如圖，已知∠C＝∠D，∠ABC＝∠BAD，AC與BD相交于點(diǎn)O，請(qǐng)寫出圖中一組相等的線段　AC＝BD（答案不唯一）?。?br />
【分析】利用“角角邊”證明△ABC和△BAD全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等解答即可．
【解答】解：∵在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（AAS），
∴AC＝BD，AD＝BC．
故答案為：AC＝BD（答案不唯一）．
7．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，將斜邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AB′，連接B′C，則△AB′C的面積為　8?。?br />
【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及矩形的判定得出AC′＝B′D＝AC＝4，進(jìn)而利用三角形面積公式求出即可．
【解答】解：根據(jù)題意得出旋轉(zhuǎn)后圖形，AC′⊥AC，過點(diǎn)B'作B′D⊥AC于點(diǎn)D，
∵∠C′AC＝∠AC′B′＝∠ADB′，
∴四邊形C′ADB′是矩形，
∴AC′＝B′D＝AC＝4，
∴△AB′C的面積為：×AC×B′D＝×4×4＝8．
故答案為：8．

三、解答題（共23小題）
8．如圖，點(diǎn)E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠B＝∠C．求證：∠A＝∠D．

【分析】可通過證△ABF≌△DCE，來得出∠A＝∠D的結(jié)論．
【解答】證明：∵BE＝FC，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE；
又∵AB＝DC，∠B＝∠C，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠A＝∠D．
9．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延長AB至點(diǎn)D，使DB＝AB，連接CD，以CD為直角邊作等腰三角形CDE，其中∠DCE＝90°，連接BE．
（1）求證：△ACD≌△BCE；
（2）若AC＝3cm，則BE＝　6　cm．

【分析】（1）求出∠ACD＝∠BCE，根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可；
（2）根據(jù)全等得出AD＝BE，根據(jù)勾股定理求出AB，即可求出AD，代入求出即可．
【解答】（1）證明：∵△CDE是等腰直角三角形，∠DCE＝90°，
∴CD＝CE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）解：∵AC＝BC＝3，∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB＝3，
又∵DB＝AB，
∴AD＝2AB＝6，
∵△ACD≌△BCE；
∴BE＝AD＝6，
故答案為：6．
10．已知，如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D為AB邊上一點(diǎn)．求證：BD＝AE．

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC＝BC，CD＝CE，再根據(jù)同角的余角相等求出∠ACE＝∠BCD，然后利用“邊角邊”證明△ACE和△BCD全等，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可證明．
【解答】證明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE+∠ACD＝∠BCD+∠ACD，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD＝AE．
11．如圖，∠AOB＝90°，OA＝OB，直線l經(jīng)過點(diǎn)O，分別過A、B兩點(diǎn)作AC⊥l交l于點(diǎn)C，BD⊥l交l于點(diǎn)D．
求證：AC＝OD．

【分析】根據(jù)同角的余角相等求出∠A＝∠BOD，然后利用“角角邊”證明△AOC和△OBD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可．
【解答】證明：∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵AC⊥l，BD⊥l，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴∠A+∠AOC＝90°，
∴∠A＝∠BOD，
在△AOC和△OBD中，，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴AC＝OD．
12．如圖，已知AD是△ABC的中線，分別過點(diǎn)B、C作BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)F，求證：BE＝CF．

【分析】根據(jù)中線的定義可得BD＝CD，然后利用“角角邊”證明△BDE和△CDF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證．
【解答】證明：∵AD是△ABC的中線，
∴BD＝CD，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴BE＝CF．
13．已知等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)E在AC邊的延長線上，且∠DEC＝45°，點(diǎn)M、N分別是DE、AE的中點(diǎn)，連接MN交直線BE于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)D在CB邊的延長線上時(shí)，如圖1所示，易證MF+FN＝BE

（1）當(dāng)點(diǎn)D在CB邊上時(shí)，如圖2所示，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給與證明；若不成立，請(qǐng)寫出你的猜想，并說明理由．
（2）當(dāng)點(diǎn)D在BC邊的延長線上時(shí)，如圖3所示，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．（不需要證明）
【分析】（1）首先對(duì)結(jié)論作出否定，寫出猜想FN﹣MF＝BE，連接AD，根據(jù)M、N分別是DE、AE的中點(diǎn)，可得MN＝AD，再根據(jù)題干條件證明△ACD≌△BCE，得出AD＝BE，結(jié)合MN＝FN﹣MF，于是證明出猜想．
（2）連接AD，根據(jù)M、N分別是DE、AE的中點(diǎn)，可得MN＝AD，再根據(jù)題干條件證明△ACD≌△BCE，得出AD＝BE，結(jié)合MN＝FM﹣FN，得到結(jié)論MF﹣FN＝BE．
【解答】（1）答：不成立，
猜想：FN﹣MF＝BE，
理由如下：
證明：如圖2，連接AD，
∵M(jìn)、N分別是DE、AE的中點(diǎn)，
∴MN＝AD，
又∵在△ACD與△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∵M(jìn)N＝FN﹣MF，
∴FN﹣MF＝BE；

（2）圖3結(jié)論：MF﹣FN＝BE，
證明：如圖3，連接AD，
∵M(jìn)、N分別是DE、AE的中點(diǎn)，
∴MN＝AD，
∵在△ACD與△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
∴MN＝BE，
∵M(jìn)N＝FM﹣FN，
∴MF﹣FN＝BE．


14．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上．
（1）求證：BE＝CE；
（2）如圖2，若BE的延長線交AC于點(diǎn)F，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC＝45°，原題設(shè)其它條件不變．求證：△AEF≌△BCF．

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠BAE＝∠EAC，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ACE全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；
（2）先判定△ABF為等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的兩直角邊相等可得AF＝BF，再根據(jù)同角的余角相等求出∠EAF＝∠CBF，然后利用“角邊角”證明△AEF和△BCF全等即可．
【解答】證明：（1）∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，
∴∠BAE＝∠EAC，
在△ABE和△ACE中，，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE＝CE；

（2）∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，
∴△ABF為等腰直角三角形，
∴AF＝BF，
∵AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF+∠C＝90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C＝90°，
∴∠EAF＝∠CBF，
在△AEF和△BCF中，，
∴△AEF≌△BCF（ASA）．
15．如圖，CD＝CA，∠1＝∠2，EC＝BC，求證：DE＝AB．

【分析】根據(jù)三角形全等的判定，由已知先證∠ACB＝∠DCE，再根據(jù)SAS可證△ABC≌△DEC，繼而可得出結(jié)論．
【解答】證明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+ECA＝∠2+∠ACE，
即∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
∵
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
∴DE＝AB．
16．如圖1，點(diǎn)A是線段BC上一點(diǎn)，△ABD和△ACE都是等邊三角形．
（1）連結(jié)BE，CD，求證：BE＝CD；
（2）如圖2，將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′D′．
①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為　60　度時(shí)，邊AD′落在AE上；
②在①的條件下，延長DD’交CE于點(diǎn)P，連接BD′，CD′．當(dāng)線段AB、AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，△BDD′與△CPD′全等？并給予證明．

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，然后求出∠BAE＝∠DAC，再利用“邊角邊”證明△BAE和△DAC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（2）①求出∠DAE，即可得到旋轉(zhuǎn)角度數(shù)；
②當(dāng)AC＝2AB時(shí)，△BDD′與△CPD′全等．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB＝BD＝DD′＝AD′，然后得到四邊形ABDD′是菱形，根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠ABD′＝∠DBD′＝30°，菱形的對(duì)邊平行可得DP∥BC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出AC＝AE，∠ACE＝60°，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出∠PCD′＝∠ACD′＝30°，從而得到∠ABD′＝∠DBD′＝∠BD′D＝∠ACD′＝∠PD′C＝30°，然后利用“角邊角”證明△BDD′與△CPD′全等．
【解答】（1）證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形．
∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD+∠DAE＝∠CAE+∠DAE，
即∠BAE＝∠DAC，
在△BAE和△DAC中，
，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴BE＝CD；

（2）解：①∵∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠DAE＝180°﹣60°×2＝60°，
∵邊AD′落在AE上，
∴旋轉(zhuǎn)角＝∠DAE＝60°．
故答案為：60．
②當(dāng)AC＝2AB時(shí)，△BDD′與△CPD′全等．
理由如下：由旋轉(zhuǎn)可知，AB′與AD重合，
∴AB＝BD＝DD′＝AD′，
∴四邊形ABDD′是菱形，
∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠ABD＝×60°＝30°，DP∥BC，
∵△ACE是等邊三角形，
∴AC＝AE，∠ACE＝60°，
∵AC＝2AB，
∴AE＝2AD′，
∴∠PCD′＝∠ACD′＝∠ACE＝×60°＝30°，
又∵DP∥BC，
∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠BD′D＝∠ACD′＝∠PCD′＝∠PD′C＝30°，
在△BDD′與△CPD′中，
，
∴△BDD′≌△CPD′（ASA）．
17．如圖：已知D、E分別在AB、AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求證：BE＝CD．

【分析】要證明BE＝CD，把BE與CD分別放在兩三角形中，證明兩三角形全等即可得到，而證明兩三角形全等需要三個(gè)條件，題中已知一對(duì)邊和一對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，觀察圖形可得出一對(duì)公共角，進(jìn)而利用ASA可得出三角形ABE與三角形ACD全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得證．
【解答】證明：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴BE＝CD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．
18．已知∠ACD＝90°，MN是過點(diǎn)A的直線，AC＝DC，DB⊥MN于點(diǎn)B，如圖（1）．易證BD+AB＝CB，過程如下：
過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E
∵∠ACB+∠BCD＝90°，∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BCD＝∠ACE．
∵四邊形ACDB內(nèi)角和為360°，∴∠BDC+∠CAB＝180°．
∵∠EAC+∠CAB＝180°，∴∠EAC＝∠BDC．
又∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，CE＝CB，∴△ECB為等腰直角三角形，∴BE＝CB．
又∵BE＝AE+AB，∴BE＝BD+AB，∴BD+AB＝CB．
（1）當(dāng)MN繞A旋轉(zhuǎn)到如圖（2）和圖（3）兩個(gè)位置時(shí)，BD、AB、CB滿足什么樣關(guān)系式，請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)圖（2）給予證明．
（2）MN在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠BCD＝30°，BD＝時(shí)，則CD＝　　，CB＝　?。?br />
【分析】（1）過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，證明△ACE≌△DCB，則△ECB為等腰直角三角形，據(jù)此即可得到BE＝CB，根據(jù)BE＝AB﹣AE即可證得；
（2）過點(diǎn)B作BH⊥CD于點(diǎn)H，證明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的長，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，即可求得．
【解答】解：（1）如圖（2）：AB﹣BD＝CB．
證明：過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，∠BCD＝90°﹣∠ECD，
∴∠BCD＝∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE＝90°﹣∠AFC，∠D＝90°﹣∠BFD，
∵∠AFC＝∠BFD，
∴∠CAE＝∠D，
又∵AC＝DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE＝DB，CE＝CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE＝CB．
又∵BE＝AB﹣AE，
∴BE＝AB﹣BD，
∴AB﹣BD＝CB．


如圖（3）：BD﹣AB＝CB．
證明：過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°+∠ACB，∠BCD＝90°+∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE＝90°﹣∠AFB，∠D＝90°﹣∠CFD，
∵∠AFB＝∠CFD，
∴∠CAE＝∠D，
又∵AC＝DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE＝DB，CE＝CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴BE＝CB．
又∵BE＝AE﹣AB，
∴BE＝BD﹣AB，
∴BD﹣AB＝CB．

（2）MN在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，這個(gè)的意思并沒有指明是哪種情況，
∴綜合了第一個(gè)圖和第二個(gè)圖兩種情況
若是第1個(gè)圖：易證△ACE≌△DCB，CE＝CB，
∴△ECB為等腰直角三角形，
∴∠AEC＝45°＝∠CBD，
過D作DH⊥CB．則△DHB為等腰直角三角形．
BD＝BH，
∴BH＝DH＝1．
直角△CDH中，∠DCH＝30°，
∴CD＝2DH＝2，CH＝．
∴CB＝+1
若是第二個(gè)圖：過D作DH⊥CB交CB延長線于H．
解法類似上面，CD＝2，但是CB＝﹣1．

19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，連接CD．
（1）如圖1，DE與BC的數(shù)量關(guān)系是　DE＝BC　；
（2）如圖2，若P是線段CB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），連接DP，將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，連接BF，請(qǐng)猜想DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）若點(diǎn)P是線段CB延長線上一動(dòng)點(diǎn)，按照（2）中的作法，請(qǐng)?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，并直接寫出DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系．

【分析】（1）由∠ACB＝90°，∠A＝30°得到∠B＝60°，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得到DB＝DC，則可判斷△DCB為等邊三角形，由于DE⊥BC，DE＝BC；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠PDF＝60°，DP＝DF，易得∠CDP＝∠BDF，則可根據(jù)“SAS”可判斷△DCP≌△DBF，則CP＝BF，利用CP＝BC﹣BP，DE＝BC可得到BF+BP＝DE；
（3）與（2）的證明方法一樣得到△DCP≌△DBF得到CP＝BF，而CP＝BC+BP，則BF﹣BP＝BC，所以BF﹣BP＝DE．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴DB＝DC，
∴△DCB為等邊三角形，
∵DE⊥BC，
∴DE＝BC；
故答案為DE＝BC．

（2）BF+BP＝DE．理由如下：
∵線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DF，
∴∠PDF＝60°，DP＝DF，
而∠CDB＝60°，
∴∠CDB﹣∠PDB＝∠PDF﹣∠PDB，
∴∠CDP＝∠BDF，
在△DCP和△DBF中
，
∴△DCP≌△DBF（SAS），
∴CP＝BF，
而CP＝BC﹣BP，
∴BF+BP＝BC，
∵DE＝BC，
∴BC＝DE，
∴BF+BP＝DE；

（3）如圖，
與（2）一樣可證明△DCP≌△DBF，
∴CP＝BF，
而CP＝BC+BP，
∴BF﹣BP＝BC，
∴BF﹣BP＝DE．

20．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足為E，求證：AE＝CE．

【分析】過點(diǎn)B作BF⊥CE于F，根據(jù)同角的余角相等求出∠BCF＝∠D，再利用“角角邊”證明△BCF和△CDE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BF＝CE，再證明四邊形AEFB是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得AE＝BF，從而得證，
【解答】證明：如圖，過點(diǎn)B作BF⊥CE于F，
∵CE⊥AD，
∴∠D+∠DCE＝90°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠BCF+∠DCE＝90°，
∴∠BCF＝∠D，
在△BCF和△CDE中，，
∴△BCF≌△CDE（AAS），
∴BF＝CE，
又∵∠A＝90°，CE⊥AD，BF⊥CE，
∴四邊形AEFB是矩形，
∴AE＝BF，
∴AE＝CE．

21．如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CF∥AB交DE延長線于點(diǎn)F．求證：AD＝CF．

【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠1＝∠F，∠2＝∠A，求出AE＝EC，根據(jù)AAS證△ADE≌△CFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可．
【解答】證明：∵CF∥AB，
∴∠1＝∠F，∠2＝∠A，
∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，
∴AE＝EC，
在△ADE和△CFE中

∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF．

22．（1）如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，且BE＝BD，連結(jié)AE、DE、DC．
①求證：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE＝30°，求∠BDC的度數(shù)．
（2）為了提高產(chǎn)品的附加值，某公司計(jì)劃將研發(fā)生產(chǎn)的1200件新產(chǎn)品進(jìn)行精加工后再投放市場．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工廠都具備加工能力，公司派出相關(guān)人員分別到這兩個(gè)工廠了解情況，獲得如下信息：
信息一：甲工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品多用10天；
信息二：乙工廠每天加工的數(shù)量是甲工廠每天加工數(shù)量的1.5倍．
根據(jù)以上信息，求甲、乙兩個(gè)工廠每天分別能加工多少件新產(chǎn)品．

【分析】（1）①求出∠ABE＝∠CBD，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△CBD全等即可；
②先根據(jù)等腰直角三角形的銳角都是45°求出∠CAB，再求出∠BAE，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等求出∠BCD，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余其解即可；
（2）設(shè)甲工廠每天能加工x件產(chǎn)品，表示出乙工廠每天加工1.5x件產(chǎn)品，然后根據(jù)甲加工產(chǎn)品的時(shí)間比乙加工產(chǎn)品的時(shí)間多10天列出方程求解即可．
【解答】（1）①證明：∵∠ABC＝90°，D為AB延長線上一點(diǎn)，
∴∠ABE＝∠CBD＝90°，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
②解：∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∵∠CAE＝30°，
∴∠BAE＝∠CAB﹣∠CAE＝45°﹣30°＝15°，
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BCD＝∠BAE＝15°，
∴∠BDC＝90°﹣∠BCD＝90°﹣15°＝75°；

（2）解：設(shè)甲工廠每天能加工x件產(chǎn)品，則乙工廠每天加工1.5x件產(chǎn)品，
根據(jù)題意得，﹣＝10，
解得x＝40，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝40是原方程的解，并且符合題意，
1.5x＝1.5×40＝60，
答：甲、乙兩個(gè)工廠每天分別能加工40件、60件新產(chǎn)品．
23．探究：如圖①，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，AE⊥CD于點(diǎn)E．若AE＝10，求四邊形ABCD的面積．
應(yīng)用：如圖②，在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，AE⊥BC于點(diǎn)E．若AE＝19，BC＝10，CD＝6，則四邊形ABCD的面積為　152　．

【分析】探究：過點(diǎn)A作AF⊥CB，交CB的延長線于點(diǎn)F，先判定四邊形AFCE為矩形，根據(jù)矩形的四個(gè)角都是直角可得∠FAE＝90°，然后利用同角的余角相等求出∠FAB＝∠EAD，再利用“角角邊”證明△AFB和△AED全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE＝AF，從而得到四邊形AFCE是正方形，然后根據(jù)正方形的面積公式列計(jì)算即可得解；
應(yīng)用：過點(diǎn)A作AF⊥CD交CD的延長線于F，連接AC，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等可得∠ABC＝∠ADF，然后利用“角角邊”證明△ABE和△ADF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF＝AE，再根據(jù)S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD列式計(jì)算即可得解．
【解答】解：探究：如圖①，過點(diǎn)A作AF⊥CB，交CB的延長線于點(diǎn)F，
∵AE⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四邊形AFCE為矩形，
∴∠FAE＝90°，
∴∠FAB+∠BAE＝90°，
∵∠EAD+∠BAE＝90°，
∴∠FAB＝∠EAD，
∵在△AFB和△AED中，
，
∴△AFB≌△AED（AAS），
∴AF＝AE，
∴四邊形AFCE為正方形，
∴S四邊形ABCD＝S正方形AFCE＝AE2＝102＝100；

應(yīng)用：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥CD交CD的延長線于F，連接AC，
則∠ADF+∠ADC＝180°，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADF，
∵在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AF＝AE＝19，
∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD
＝BC?AE+CD?AF
＝×10×19+×6×19
＝95+57
＝152．
故答案為：152．

24．如圖，△ABO與△CDO關(guān)于O點(diǎn)中心對(duì)稱，點(diǎn)E、F在線段AC上，且AF＝CE．求證：FD＝BE．

【分析】根據(jù)中心對(duì)稱得出OB＝OD，OA＝OC，求出OF＝OE，根據(jù)SAS推出△DOF≌△BOE即可．
【解答】證明：∵△ABO與△CDO關(guān)于O點(diǎn)中心對(duì)稱，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵AF＝CE，
∴OF＝OE，
∵在△DOF和△BOE中

∴△DOF≌△BOE（SAS），
∴FD＝BE．
25．如圖，C是AB的中點(diǎn)，AD＝BE，CD＝CE．求證：∠A＝∠B．

【分析】根據(jù)中點(diǎn)定義求出AC＝BC，然后利用“SSS”證明△ACD和△BCE全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等證明即可．
【解答】證明：∵C是AB的中點(diǎn)，
∴AC＝BC，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SSS），
∴∠A＝∠B．
26．如圖，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E；求證：BC＝DC．

【分析】先求出∠ACB＝∠ECD，再利用“角邊角”證明△ABC和△EDC全等，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可．
【解答】證明：∵∠BCE＝∠DCA，
∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ACE，
即∠ACB＝∠ECD，
在△ABC和△EDC中，，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴BC＝DC．
27．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD．
（1）如圖1，直接寫出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）如圖2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判斷△ABE的形狀并加以證明；
（3）在（2）的條件下，連接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．

【分析】（1）求出∠ABC的度數(shù)，即可求出答案；
（2）連接AD，CD，ED，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出BC＝BD，∠DBC＝60°，求出∠ABD＝∠EBC＝30°﹣α，且△BCD為等邊三角形，證△ABD≌△ACD，推出∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α，求出∠BEC＝α＝∠BAD，證△ABD≌△EBC，推出AB＝BE即可；
（3）求出∠DCE＝90°，△DEC為等腰直角三角形，推出DC＝CE＝BC，求出∠EBC＝15°，得出方程30°﹣α＝15°，求出即可．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝α，
∴∠ABC＝∠ACB，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣α，
∵∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC，∠DBC＝60°，
即∠ABD＝30°﹣α；

（2）△ABE是等邊三角形，
證明：連接AD，CD，ED，
∵線段BC繞B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD，
則BC＝BD，∠DBC＝60°，
∵∠ABE＝60°，
∴∠ABD＝60°﹣∠DBE＝∠EBC＝30°﹣α，且△BCD為等邊三角形，
在△ABD與△ACD中

∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α，
∵∠BCE＝150°，
∴∠BEC＝180°﹣（30°﹣α）﹣150°＝α＝∠BAD，
在△ABD和△EBC中

∴△ABD≌△EBC（AAS），
∴AB＝BE，
∴△ABE是等邊三角形；

（3）解：∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°，
∴∠DCE＝150°﹣60°＝90°，
∵∠DEC＝45°，
∴△DEC為等腰直角三角形，
∴DC＝CE＝BC，
∵∠BCE＝150°，
∴∠EBC＝（180°﹣150°）＝15°，
∵∠EBC＝30°﹣α＝15°，
∴α＝30°．

28．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)P為AC邊上的一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)P對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′），當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時(shí)，點(diǎn)B、P、P′恰好在同一直線上，此時(shí)作P′E⊥AC于點(diǎn)E．
（1）求證：∠CBP＝∠ABP；
（2）求證：AE＝CP；
（3）當(dāng)，BP′＝5時(shí)，求線段AB的長．

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP＝AP′，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠APP′＝∠AP′P，再根據(jù)等角的余角相等證明即可；
（2）過點(diǎn)P作PD⊥AB于D，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得CP＝DP，然后求出∠PAD＝∠AP′E，利用“角角邊”證明△APD和△P′AE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE＝DP，從而得證；
（3）設(shè)CP＝3k，PE＝2k，表示出AE＝CP＝3k，AP′＝AP＝5k，然后利用勾股定理列式求出P′E＝4k，再求出△ABP′和△EP′P相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出P′A＝AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．
【解答】（1）證明：∵AP′是AP旋轉(zhuǎn)得到，
∴AP＝AP′，
∴∠APP′＝∠AP′P，
∵∠C＝90°，AP′⊥AB，
∴∠CBP+∠BPC＝90°，∠ABP+∠AP′P＝90°，
又∵∠BPC＝∠APP′（對(duì)頂角相等），
∴∠CBP＝∠ABP；

（2）證明：如圖，過點(diǎn)P作PD⊥AB于D，
∵∠CBP＝∠ABP，∠C＝90°，
∴CP＝DP，
∵P′E⊥AC，
∴∠EAP′+∠AP′E＝90°，
又∵∠PAD+∠EAP′＝90°，
∴∠PAD＝∠AP′E，
在△APD和△P′AE中，，
∴△APD≌△P′AE（AAS），
∴AE＝DP，
∴AE＝CP；

（3）解：∵＝，
∴設(shè)CP＝3k，PE＝2k，
則AE＝CP＝3k，AP′＝AP＝3k+2k＝5k，
在Rt△AEP′中，P′E＝＝4k，
∵∠C＝90°，P′E⊥AC，
∴∠CBP+∠BPC＝90°，∠EP′P+∠EPP′＝90°，
∵∠BPC＝∠EPP′（對(duì)頂角相等），
∴∠CBP＝∠EP′P，
又∵∠CBP＝∠ABP，∴∠ABP＝∠EP′P，
又∵∠BAP′＝∠P′EP＝90°，
∴△ABP′∽△EP′P，
∴＝，
即＝，
解得P′A＝AB，
在Rt△ABP′中，AB2+P′A2＝BP′2，
即AB2+AB2＝（5）2，
解得AB＝10．

29．正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AD、AB的中點(diǎn)，連接EF．
（1）如圖1，若點(diǎn)G是邊BC的中點(diǎn)，連接FG，則EF與FG關(guān)系為：　EF⊥FG，EF＝FG　；
（2）如圖2，若點(diǎn)P為BC延長線上一動(dòng)點(diǎn)，連接FP，將線段FP以點(diǎn)F為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段FQ，連接EQ，請(qǐng)猜想BF、EQ、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（3）若點(diǎn)P為CB延長線上一動(dòng)點(diǎn)，按照（2）中的作法，在圖3中補(bǔ)全圖形，并直接寫出BF、EQ、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系：　BF+BP＝EQ?。?br />
【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求出AE＝AF＝BF＝BG，然后利用“邊角邊”證明△AEF和△BFG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF＝FG，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AFE＝∠BFG＝45°，再求出∠EFG＝90°，然后根據(jù)垂直的定義證明即可；
（2）取BC的中點(diǎn)G，連接FG，根據(jù)同角的余角相等求出∠1＝∠3，然后利用“邊角邊”證明△FQE和△FPG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得QE＝FG，BF＝BG，再根據(jù)BG+GP＝BP等量代換即可得證；
（3）根據(jù)題意作出圖形，然后同（2）的思路求解即可．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)E、F分別是邊AD、AB的中點(diǎn)，G是BC的中點(diǎn)，
∴AE＝AF＝BF＝BG，
在△AEF和△BFG中，
，
∴△AEF≌△BFG（SAS），
∴EF＝FG，∠AFE＝∠BFG＝45°，
∴EF⊥FG，EF＝FG；

（2）BF+EQ＝BP．
理由：如圖2，取BC的中點(diǎn)G，連接FG，
則EF⊥FG，EF＝FG，
∴∠1+∠2＝90°，
又∵∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△FQE和△FPG中，
，
∴△FQE≌△FPG（SAS），
∴QE＝PG且BF＝BG，
∵BG+GP＝BP，
∴BF+EQ＝BP；

（3）如圖3所示，BF+BP＝EQ．

30．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長線于點(diǎn)F，連接CF．
（1）求證：AF＝DC；
（2）若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．

【分析】（1）根據(jù)AAS證△AFE≌△DBE，推出AF＝BD，即可得出答案；
（2）得出四邊形ADCF是平行四邊形，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出CD＝AD，根據(jù)菱形的判定推出即可．
【解答】（1）證明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中點(diǎn)，AD是BC邊上的中線，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中

∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF＝BD，
∴AF＝DC．

（2）四邊形ADCF是菱形，
證明：AF∥BC，AF＝DC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵AC⊥AB，AD是斜邊BC的中線，
∴AD＝BC＝DC，
∴平行四邊形ADCF是菱形．

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