數(shù)學(xué)八年級下冊等腰三角形學(xué)案

這是一份數(shù)學(xué)八年級下冊等腰三角形學(xué)案，文件包含專題12等邊三角形十大題型舉一反三北師大版原卷版2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列北師大版docx、專題12等邊三角形十大題型舉一反三北師大版解析版2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列北師大版docx等2份學(xué)案配套教學(xué)資源，其中學(xué)案共79頁， 歡迎下載使用。

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\l "_Tc31914" 【題型1 利用等邊三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)】 PAGEREF _Tc31914 \h 1
\l "_Tc21496" 【題型2 利用等邊三角形的性質(zhì)求線段長度】 PAGEREF _Tc21496 \h 2
\l "_Tc8062" 【題型3 利用等邊三角形的性質(zhì)求最值】 PAGEREF _Tc8062 \h 3
\l "_Tc18896" 【題型4 證明等邊三角形】 PAGEREF _Tc18896 \h 4
\l "_Tc24731" 【題型5 探究平面直角坐標(biāo)系中的等邊三角形問題】 PAGEREF _Tc24731 \h 6
\l "_Tc26019" 【題型6 探究等邊三角形中的折疊問題】 PAGEREF _Tc26019 \h 8
\l "_Tc6725" 【題型7 探究等邊三角形中的三角板問題】 PAGEREF _Tc6725 \h 9
\l "_Tc4449" 【題型8 探究等邊三角形中的動態(tài)問題】 PAGEREF _Tc4449 \h 11
\l "_Tc3193" 【題型9 探究等邊三角形中線段或角度之間的關(guān)系】 PAGEREF _Tc3193 \h 12
\l "_Tc23449" 【題型10 等邊三角形中的多結(jié)論問題判斷正誤】 PAGEREF _Tc23449 \h 14
知識點：等邊三角形
（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.
（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.
（3）等邊三角形的判定：
①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；
②三個角都相等的三角形是等邊三角形；
③有一個角為 60°的等腰三角形是等邊三角形.
【題型1 利用等邊三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)】
【例1】（23-24八年級·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，D為等邊三角形ABC內(nèi)一點，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，則∠BPD= 度．
【變式1-1】（23-24八年級·陜西西安·期中）等邊三角形兩條中線相交所成銳角度數(shù)為（ ）
A．30°B．45°C．50°D．60°
【變式1-2】（23-24八年級·福建莆田·期中）如圖，△ABC是等邊三角形，BC⊥CD，且AC=CD，則∠BAD的度數(shù)為（ ）
A．50°B．45°C．40°D．35°
【變式1-3】（23-24八年級·遼寧本溪·期中）如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，點E在AD上，且DE=12BC，則∠AFE的度數(shù)為 ．
【題型2 利用等邊三角形的性質(zhì)求線段長度】
【例2】（23-24八年級·江蘇無錫·期中）如圖，在等邊△ABC中，AC=9，點O在AC上，且AO=3，點P是AB上一動點，連接OP，將線段OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD，若使點D恰好落在BC上，則線段AP的長是（ ）

A．4B．5C．6D．8
【變式2-1】（23-24八年級·河南漯河·期末）如圖，已知等邊△ABC，點 O是 BC 上任意一點，OE、OF 分別與兩邊垂直，等邊三角形的高為 1，則 OE+OF 的值為（ ）
A．0.5B．1C．2D．不確
【變式2-2】（23-24八年級·吉林長春·期末）如圖，等邊△ABC的邊長為8cm，點D、E分別在邊AB、AC上，點A落在點A1處，且點A1在△ABC外部，則陰影部分圖形的周長為 cm．
【變式2-3】（23-24八年級·廣西南寧·期中）如圖，過邊長為4的等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點，當(dāng)PA=CQ時，連PQ交AC邊于D，則DE的長為（ ）
A．95B．2C．115D．125
【題型3 利用等邊三角形的性質(zhì)求最值】
【例3】（2024·湖北·中考真題）如圖，D是等邊三角形ABC外一點．若BD=8,CD=6，連接AD，則AD的最大值與最小值的差為 ．
【變式3-1】（23-24八年級·江蘇無錫·期中）如圖，在等邊三角形ABC中，AD是邊BC上的中線，且AD=6，E是AD上的一個動點，F(xiàn)是邊AB的中點，BE+EF的最小值為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【變式3-2】（23-24八年級·福建福州·期中）如圖，在等邊△ABC中，E是AC邊的中點，P是△ABC的中線AD上的動點，且AB=6，則BP?PE的最大值是 ．
【變式3-3】（23-24八年級·福建福州·期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，點D是AC邊上的中點，點P在BC上的一個動點，連接DP，在DP的下方作等邊三角形DPE，連接CE，則CE最小值是（ ）
A．3B．2C．1.5D．1
【題型4 證明等邊三角形】
【例4】（23-24八年級·天津?qū)幒印て谥校┤鐖D所示，在 △ABC中， ∠B=60°，AB=AC，點D，E分別在BC，AB上，且 BD=AE，AD與CE交于點 F．
(1)求證： △ABC是等邊三角形；
(2)求證： AD=CE；
(3)求 ∠DFC的大?。?br>【變式4-1】（23-24八年級·重慶豐都·期末）如圖，點E在△ABC的外部，點D在BC上，DE交AC于點F，∠2=∠3，AE=AC，DE=BC．
(1)求證：△ABC≌△ADE．
(2)若∠2=60°，猜想△ABD的形狀并證明．
【變式4-2】（23-24八年級·廣東廣州·階段練習(xí)）在等腰△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，點O、點P分別在射線AD、BA上運動，且保證∠OCP=60°，連接OP．
(1)當(dāng)點O運動到D點時，如圖1，求AP的長度；
(2)當(dāng)點O運動到D點時，如圖1，試判斷△OPC的形狀并證明；
(3)當(dāng)點O在射線AD其它地方運動時，△OPC還滿足（2）的結(jié)論嗎？請用圖2說明理由．
【變式4-3】（23-24八年級·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AC與BD相交于點E，∠ABD=∠ADB．
(1)填空：AC與BD的位置關(guān)系為__________，BE與DE的數(shù)量關(guān)系為__________；
(2)過點B作BF∥CD交CA的延長線于點F，且AB=AF．
①求證：△BCD是等邊三角形；
②若點G，H分別是線段AC，線段CD上的動點，當(dāng)GH+AH的值最小時，請確定點H的位置，并求出GH與CH之間的數(shù)量關(guān)系．
【題型5 探究平面直角坐標(biāo)系中的等邊三角形問題】
【例5】（23-24八年級·湖北武漢·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為0,4
(1)如圖1，若點B的坐標(biāo)為3,0，△ABC是等腰直角三角形，BA=BC，∠ABC=90°，求C點坐標(biāo)；
(2)如圖2，若點E是AB的中點，求證：AB=2OE；
(3)如圖3，△ABC是等腰直角三角形，BA=BC，∠ABC=90°，△ACD是等邊三角形，連接OD，若∠AOD=30°，求B點坐標(biāo)
【變式5-1】（23-24八年級·遼寧錦州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為1的正方形A1B1C1D1（記為第1個正方形）的頂點A1與原點重合，點B1在y軸上，點D1在x軸上，點C1在第一象限內(nèi)，以C1為頂點作等邊△C1A2B2，使得點A2落在x軸上，A2B2⊥x軸，再以A2B2為邊向右側(cè)作正方形A2B2C2D2（記為第2個正方形），點D2在x軸上，以C2為頂點作等邊△C2A3B3，使得點A3落在x軸上，A3B3⊥x軸，若按照上述的規(guī)律繼續(xù)作正方形，則第2021個正方形的邊長為 ．
【變式5-2】（23-24八年級·黑龍江齊齊哈爾·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOP為等邊三角形，A點坐標(biāo)為(0，1)，點B在y軸上且位于A點上方，以BP為邊向BP的右側(cè)作等邊△PBC，連接CA，并延長CA交x軸于點E．
(1)求證：OB=AC；
(2)判斷AP是否平分∠OAC？請說明理由；
(3)在y軸上是否存在點Q，使得△AEQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出滿足條件的所有點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【變式5-3】（23-24八年級·天津和平·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，等邊△ABC的頂點A，B在x軸上，頂點C的坐標(biāo)為(0,12)，∠BAC的平分線交y軸于點D．

(1)如圖①，求點D坐標(biāo)；
(2)如圖②，E為x軸上一點，以CE為邊，在第一象限內(nèi)作等邊△CEF，連接FB并延長交y軸于點G．求OG的長；
(3)如圖③，在（1）的條件下，M為y軸正半軸上D點上方的任意一點，在BM右上方作∠BMN=60°交AD延長線于N點，求證：DN?DM是定值．
【題型6 探究等邊三角形中的折疊問題】
【例6】（23-24八年級·廣西賀州·期末）如圖，等邊△ABC邊長為3，點D為AB邊上的一動點（D不與A、B重合）．過點A折疊△ABC，使點B與C重合，得折痕AF交BC于F，然后展開；再過點D折疊△ABC，折痕DE交AC于點E，使點A落在折痕AF所在的直線上，記為點P，兩折痕AF與DE交于點O．
(1)求證：DE∥BC；
(2)點D在運動過程中，△ADE始終是等邊三角形嗎？請說明理由；
(3)連接DP、BP，當(dāng)△BDP為直角三角形時，求AD的長．
【變式6-1】（23-24八年級·河北廊坊·期末）如圖1，△ABD是等邊三角形，點P為射線AB上一動點，連接DP，作∠DPE=∠DAB=60°，PE交射線DA于點E，點O是線段AE，PE垂直平分線的交點．
（1）當(dāng)點O在AB邊上時，∠ADP=______．
（2）①當(dāng)點P，B重合時，作AO′⊥DE，交PE的垂直平分線于點O′，則∠O′PD=______．
②當(dāng)點P在線段AB上，或AB的延長線上時，∠OPD的度數(shù)是否為定值？若是，請寫出這個數(shù)，并選擇點P在線段AB上時，通過計算進(jìn)行說明；若不是，請說明理由．
（3）如圖2，把等邊三角形△ABD沿著BD折疊，得到△BDC，且點A落在點C處，連接AC．當(dāng)PE//AC時，證明AP平分∠DPE，并在△DPE內(nèi)確定一點T，使點T到△DPE三邊的距離相等（不寫作法，只保留作圖痕跡）．
【變式6-2】（23-24八年級·廣東中山·期末）已知△ABC中，∠B= 60°，點D是AB邊上的動點，過點D作DE∥BC交AC于點E，將△ABE沿DE折疊，點A對應(yīng)點為F點.
(1)如圖1，當(dāng)點F恰好落在BC邊上，求證：△BDF是等邊三角形；
(2)如圖2，當(dāng)點F恰好落在△ABC內(nèi)，且DF的延長線恰好經(jīng)過點C，CF=EF，求∠A的大??；
(3)如圖3，當(dāng)點F恰好落在△ABC外，DF交BC于點G，連接BF，若BF⊥AB，AB=9，求BG的長.
【變式6-3】（23-24八年級·河南省直轄縣級單位·期末）在學(xué)習(xí)完等腰三角形之后，某興趣小組開展了如下數(shù)學(xué)活動：如圖，正方形紙片ABCD，①先對折使AB與CD重合，得到折痕EF；②折疊紙片，使得點A落在EF的點H上，沿BH和CH剪下△BCH，小組成員得到了如下結(jié)論：①∠BHF=30°；②BF=12CH；③△BCH是等邊三角形；④∠ABG=15°；⑤四邊形ABHE和四邊形DCHE全等．正確的個數(shù)是（ ）

A．2個B．3個C．4個D．5個
【題型7 探究等邊三角形中的三角板問題】
【例7】（23-24八年級·河北保定·期中）如圖，在等邊△ABC中，AB=10，將含30°角的三角板中60°角的頂點D放在邊AB上移動，使這個60°角的兩邊與△ABC的邊AC，BC分別交于點E，F(xiàn)，且DE始終與AB垂直，連接EF．
(1)△BDF是什么三角形？請說明理由．
(2)如圖1，若AE=8，求CF的長．
(3)如圖2，當(dāng)EF∥AB時，求AE的長．
【變式7-1】（23-24八年級·遼寧沈陽·期末）將含30°角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，已知∠α=60°，點B，點C表示的刻度分別為1cm,3cm，則△ABC的周長為 cm．
【變式7-2】（23-24八年級·安徽銅陵·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1．將三角板中30°角的頂點D放在AB邊上移動，使這個30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC，BC相交于點E，F(xiàn)，且使DE始終與AB垂直．
(1)求證：△BDF是等邊三角形；
(2)求AD?CF的值．
【變式7-3】（23-24八年級·江蘇徐州·期末）如圖①，已知∠AOB=120°，OC平分∠AOB．將直角三角板如圖放置，使直角頂點D在OC上，60°角的頂點E在OB上，斜邊與OA交于點F（F與O不重合），連接DF．
(1)如圖②，若DE⊥OB，求證：△DEF為等邊三角形．
(2)如圖③，求證：OD=OE+OF．
【題型8 探究等邊三角形中的動態(tài)問題】
【例8】（23-24八年級·山東棗莊·開學(xué)考試）如圖，△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，
(1)當(dāng)點P的運動速度是1cm/s，點Q的運動速度是2cm/s，當(dāng)Q到達(dá)點C時，設(shè)運動時間為t（s），當(dāng)t=2時，判斷△BPQ的形狀，并說明理由；
(2)當(dāng)它們的速度都是1cm/s，當(dāng)點P到達(dá)點B時，P、Q兩點停止運動，設(shè)點P的運動時間為t（s），則當(dāng)t為何值時，△PBQ是直角三角形？
【變式8-1】（23-24八年級·河北廊坊·期末）如圖，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，現(xiàn)有兩點M、N分別從點A、點B同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，已知點M的速度為1cm/s，點N的速度為2cm/s．當(dāng)點N第一次到達(dá)B點時，M、N同時停止運動．點M、N運動（ ）s后，可得到等邊△AMN．
A．3B．4C．5D．不能確定
【變式8-2】（23-24八年級·廣東江門·期中）已知，如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．動點P從點A出發(fā)，沿AB向點B運動，動點Q從點B出發(fā)，沿BC向點C運動，如果動點P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同時出發(fā)，設(shè)運動時間為ts，解答下列問題：
(1)AB= ．
(2)求當(dāng)△PBQ是等邊三角形時對應(yīng)的t值？
(3)P，Q在運動過程中，△PBQ的形狀不斷發(fā)生變化，當(dāng)t為何值時，△PBQ是直角三角形？說明理由．
【變式8-3】（23-24八年級·廣東湛江·期末）如圖，在△ABC中，∠B=60°，點M從點B出發(fā)沿射線BC方向，在射線BC上運動．在點M運動的過程中，連結(jié)AM，并以AM為邊在射線BC上方，作等邊△AMN，連結(jié)CN．

(1)當(dāng)∠BAM=__________°時，AB=2BM；
(2)請?zhí)砑右粋€條件：__________，使得△ABC為等邊三角形；
(3)在（2）的條件下，當(dāng)△ABC為等邊三角形時，求證：CN+CM=AC；
【題型9 探究等邊三角形中線段或角度之間的關(guān)系】
【例9】（23-24八年級·廣東廣州·期末）如圖1，△ABC是等邊三角形，D為AC邊上一點，連接BD，點C關(guān)于BD的對稱點為點E，連接BE．
(1)若AB是∠DBE的平分線，求∠ABD的度數(shù)；
(2)如圖2，連接EA并延長交BD的延長線于點F，
①求∠F的度數(shù)；
②探究EA，AF和BF三者之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由．
【變式9-1】（23-24八年級·貴州畢節(jié)·期末）如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點D，分別作BD，CD的垂直平分線EM，F(xiàn)N，分別交BC于點M，N，則MN與△ABC邊長的關(guān)系是（ ）
A．MN=12BCB．MN=13BC
C．MN=14BCD．無法確定其倍比關(guān)系
【變式9-2】（23-24八年級·河南洛陽·期末）如圖，將長方形紙片ABCD對折，使AD與BC重合，展平紙片，得到折痕EF；折疊紙片，使點B落在EF上，并使折痕經(jīng)過點A，得到折痕AM，點B，E的對應(yīng)點分別為G，H，展平紙片，連結(jié)BG，BH，則∠ABH與∠GAM的關(guān)系是 ．
【變式9-3】（23-24八年級·重慶綦江·期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點D在邊AC上（點D不與點A，C重合），點E是射線BC上的一個動點（點E不與點B，C重合），連接DE，以DE為邊作等邊△DEF，連接CF.
（1）如圖1，當(dāng)DE的延長線與AB的延長線相交，且點C，F(xiàn)在直線DE的同側(cè)時，過點D作DG∥AB，DG交BC于點G，求證：CF=EG；
（2）如圖2，當(dāng)DE的反向延長線與AB的反向延長線相交，且點C，F(xiàn)在直線DE的同側(cè)時，求證：CD=CE+CF；
（3）如圖3，當(dāng)DE的反向延長線與線段AB相交，且點C，F(xiàn)在直線DE的異側(cè)時，猜想CD、CE、CF之間的等量關(guān)系，并說明理由.
【題型10 等邊三角形中的多結(jié)論問題判斷正誤】
【例10】（23-24八年級·廣東深圳·期末）如圖，C為線段AE上一動點（不與A、E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ，以下五個結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③CP=CQ；④BO=OE；⑤∠AOB=60°，恒成立的結(jié)論有（ ）

A．①③⑤B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②③④⑤
【變式10-1】（23-24八年級·廣東佛山·期中）如圖，△ABC是等邊三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于點E，連接CD，分別交AE、AB于點F、G，過點A作AH⊥CD交BD于點H，EH=1，則下列結(jié)論：①∠ACD=15°；②△AFG是等腰三角形；③△ADF≌△BAH；④DF=2．其中正確的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【變式10-2】（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）如圖，等邊△ABC中，AB=2，D為△ABC內(nèi)一點，且DA=DB，E為△ABC外一點，BE=AB且∠EBD=∠CBD，連接DE、CE，則下列結(jié)論：①∠DAC=∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB=30°；④若EC∥AD，則S△EBC=1，其中正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式10-3】（23-24八年級·重慶璧山·期中）如圖，已知等邊△ABC和等邊△BPE，點P在BC的延長線上，EC的延長線交AP于點M，連接BM；下列結(jié)論：①AP=CE；②∠PME=60°；③BM平分∠AME；④AM+MC=BM，其中正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個