北師大版（2024）八年級下冊分式方程學案

這是一份北師大版（2024）八年級下冊分式方程學案，文件包含專題58分式方程的解法兩大題型40題北師大版原卷版2024-2025學年八年級數(shù)學下冊舉一反三系列北師大版docx、專題58分式方程的解法兩大題型40題北師大版解析版2024-2025學年八年級數(shù)學下冊舉一反三系列北師大版docx等2份學案配套教學資源，其中學案共35頁， 歡迎下載使用。

【基礎篇】
【題型1 分式方程的一般解法】
1．（24-25八年級·全國·期末）解分式方程：
(1)xx?1?1=3(x?1)(x+2)；
(2)x?2x+2+4x2?4=1．
【答案】(1)原方程無解
(2)x=3
【分析】本題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．
（1）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
【詳解】（1）解：xx?1?1=3(x?1)(x+2)
方程兩邊同時乘以x?1x+2得：xx+2?x?1x+2=3，整理得：2x?x+2=3，
解得：x=1，
檢驗：當x=1時，x?1x+2=0，
則x=1是增根，
∴原方程無解；
（2）解：x?2x+2+4x2?4=1，
方程兩邊同時乘以x+2x?2得：x?22+4=x2?4，整理得：?4x+4+4=?4，
解得：x=3，
檢驗：當x=3時，x+2x?2≠0，
∴原方程的解為x=3．
2．（24-25八年級·湖南岳陽·期中）解方程：
(1)x?3x?2+1=32?x；
(2)1x?1?2x+1=4x2?1．
【答案】(1)x=1；
(2)分式方程無解．
【分析】本題考查了解分式方程，熟知分式方程需檢驗是解題的關鍵．
（1）先將分式方程化為一元一次方程，再解一元一次方程，最后檢驗即可求解；
（2）先將分式方程化為一元一次方程，再解一元一次方程，最后檢驗即可求解．
【詳解】（1）解：x?3x?2+1=32?x，
∴x?3+x?2=?3，
解得：x=1，
檢驗：當x=1時，x?2≠0，
∴x=1是原分式方程的解．
（2）解：1x?1?2x+1=4x2?1，
∴x+1?2x?1=4，
解得：x=?1，
經(jīng)檢驗，x=?1增根，
∴原方程無解．
3．（24-25八年級·全國·期末）解分式方程：
(1)4x=6x+2；
(2)3?2xx?2=x2?x?2；
(3)7x2+x?6x2?1=3x?x2
【答案】(1)x=4
(2)x=1
(3)無解
【分析】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法，注意最后對方程的解進行檢驗．
（1）先去分母變分式方程為整式方程4x+2=6x，然后解整式方程，最后對方程的解進行檢驗即可；
（2）先去分母變分式方程為整式方程3?2x=?x?2x?2，然后解整式方程，最后對方程的解進行檢驗即可；
（3）先去分母變分式方程為整式方程7x?1?6x=?3x+1，然后解整式方程，最后對方程的解進行檢驗即可．
【詳解】（1）解：4x=6x+2，
去分母得：4x+2=6x，
去括號得：4x+8=6x，
移項合并同類項得：?2x=?8，
系數(shù)化為1得：x=4，
檢驗：把x=4代入xx+2得：4×4+2=24≠0，
∴x=4是原方程的解；
（2）解：3?2xx?2=x2?x?2，
去分母得：3?2x=?x?2x?2，
去括號得：3?2x=?x?2x+4，
移項合并同類項得：x=1，
檢驗：把x=1代入x?2得：1?2=?1≠0，
∴x=1是原方程的解；
（3）解：7x2+x?6x2?1=3x?x2，
去分母得：7x?1?6x=?3x+1，
去括號得：7x?7?6x=?3x?3，
移項合并同類項得：4x=4，
系數(shù)化為1得：x=1，
檢驗：把x=1代入xx+1x?1得：1×1+1×1?1=0，
∴x=1是原方程的增根，
∴原方程無解．
4．（24-25八年級·江蘇·階段練習）解下列方程：
(1)xx+3+2x=1；
(2)23+x3x?1=19x?3．
【答案】(1)x=6；
(2)無解．
【分析】本題考查的是分式方程的解法，掌握“去分母把分式方程化為整式方程，再解整式方程，再檢驗”是解本題的關鍵．
（1）先去分母，化為整式方程，再解整式方程即可；
（2）先去分母，化為整式方程，再解整式方程即可；
【詳解】（1）解：xx+3+2x=1
兩邊都乘以xx+3得：
x2+2x+3=x2+3x
解得：x=6,
經(jīng)檢驗：x=6是原方程的解，
∴方程的解為：x=6
（2）解：23+x3x?1=19x?3
去分母得：23x?1+3x=1，
整理得：9x=3
解得：x=13,
經(jīng)檢驗：x=13是增根，
∴原方程無解．
5．（24-25八年級·遼寧大連·期末）解下列方程：
(1)12x=2x+3
(2)5x2+x?1x2?x=0
【答案】(1)x=1
(2)x=32
【分析】本題主要考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．
對于（1），將分式方程去分母轉化為整式方程，解整式方程得到x的值，代入最簡公分母檢驗即可；
對于（2），將分式方程去分母轉化為整式方程，解整式方程得到x的值，代入最簡公分母檢驗即可．
【詳解】（1）解：去分母得：x+3=4x，
解得：x=1，
當x=1時，2xx+3≠0，
∴x=1是分式方程的解；
（2）解：去分母得：5x?1?x+1=0，
去括號，得：5x?5?x?1=0，
移項，合并同類項，得4x=6
解得： x=32，
當x=32時，xx?1x+1≠0，
∴x=32是原方程的解．
6．（24-25八年級·山東淄博·期末）解方程：
(1)1x?2+1=2x2x+1
(2)7x2+x+3x2?x=4x2?1
【答案】(1)x=13
(2)x=23
【分析】本題考查了分式方程的解法，熟悉解分式方程的步驟是解題關鍵．
（1）先把分式方程兩邊同乘x?22x+1化為整式方程求解，然后檢驗即可；
（2）先把分式方程兩邊同乘xx+1x?1化為整式方程求解，然后檢驗即可．
【詳解】（1）解：方程兩邊同乘x?22x+1得：
2x+1+x?22x+1=2xx?2，
解得x=13.
檢驗：當x=13時，x?22x+1≠0.
所以原分式方程的解為x=13；
（2）解：方程兩邊同乘xx+1x?1得：
7x?1+3x+1=4x，
去括號得7x?7+3x+3=4x，
整理得6x=4,
解得x=23，
經(jīng)檢驗，x=23是原方程的解.
所以原分式方程的解是x=23.
7．（24-25八年級·重慶·期末）解方程：
(1)xx?1+23x?3=23
(2)7x2+x+3x2?x=6x2?1
【答案】(1)x=?4
(2)無解
【分析】(1)按照解分式方程的基本步驟求解即可．
(2)按照解分式方程的基本步驟求解即可．
本題考查了分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的基本步驟是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：∵xx?1+23x?3=23
去分母，得
3x+2=2x?1，
去括號，得
3x+2=2x?2，
移項，得
3x?2x=?2?2，
合并同類項，系數(shù)化為1，得x=?4，
經(jīng)檢驗，x=?4是原方程的根，
故x=?4是原方程的根．
（2）∵7x2+x+3x2?x=6x2?1，
即7xx+1+3xx?1=6x?1x+1，
去分母，得
7x?1+3x+1=6x，
去括號，得
7x?7+3x+3=6x，
移項、合并同類項，得
4x=4，
系數(shù)化為1，得x=1
經(jīng)檢驗，x=1是原方程的增根，
故原方程無解．
8．（24-25八年級·山東泰安·期末）分式方程：
(1)4x2?2x+xx?2=1；
(2)7x2+x+1x2?x=6x2?1；
(3)x?5x?4+2=14?x；
(4)xx+1?4x2?1=1．
【答案】(1)x=?2；
(2)x=3；
(3)無解；
(4)x=?3．
【分析】（1）根據(jù)解分式方程的步驟解答即可求解；
（2）根據(jù)解分式方程的步驟解答即可求解；
（3）根據(jù)解分式方程的步驟解答即可求解；
（4）根據(jù)解分式方程的步驟解答即可求解；
本題考查了解分式方程，掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：方程兩邊同時乘以x2?2x得，4+x2=x2?2x，
解得x=?2，
檢驗：x=?2代入x2?2x中得，x2?2x=4+4=8≠0，
∴x=?2是原方程的解；
（2）解：方程變形得，7xx+1+1xx?1=6x+1x?1，
方程兩邊同時乘以xx+1x?1得，7x?1+x+1=6x，
解得x=3，
檢驗：把x=3代入xx+1x?1中得，xx+1x?1=24≠0，
∴x=3是原方程的解；
（3）解：方程兩邊同時乘以x?4得，x?5+2x?4=?1，
解得x=4，
檢驗：把x=4代入x?4中得，x?4=0，
∴x=4不是原方程的解，
∴原方程無解；
（4）解：方程兩邊同時乘以x2?1得，xx?1?4=x2?1，
解得x=?3，
檢驗：把x=?3代入x2?1中得，x2?1=9?1=8≠0，
∴x=?3是原方程的解．
9．（24-25八年級·安徽合肥·期末）解分式方程：
(1)1?x2?x?1=3x?4x?2；
(2)x+2x2?9+2x+3=23?x
【答案】(1)x=53
(2)x=?25
【分析】(1)按照解分式方程的基本步驟求解即可．
(2)按照解分式方程的基本步驟求解即可．
本題考查了分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的基本步驟是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：∵1?x2?x?1=3x?4x?2,
去分母，得
?1?x?x?2=3x?4，
去括號，得
x?1?x+2=3x?4，
移項，得
4?1+2=3x+x?x，
合并同類項，得3x=5，
系數(shù)化為1，得x=53，
經(jīng)檢驗，x=53是原方程的根，
故x=53是原方程的根．
（2）∵x+2x2?9+2x+3=23?x，
即x+2x?3x+3+2x+3=?2x?3，
去分母，得
x+2+2x?3=?2x+3，
去括號，得
x+2+2x?6=?2x?6，
移項、合并同類項，得
5x=?2，
系數(shù)化為1，得x=?25
經(jīng)檢驗，x=?25是原方程的根，
故原方程的根為x=?25．
10．（24-25八年級·山東日照·期末）解分式方程
(1)14x?2=14+12x?1；
(2)x?2x?3=2?13?x．
【答案】(1)x=?12
(2)無解
【分析】本題主要考查了解分式方程，按照解分式方程的步驟解分式方程即可．
（1）按照解分式方程的步驟解分式方程即可．
（2）按照解分式方程的步驟解分式方程即可．
【詳解】（1）解：14x?2=14+12x?1
分式兩邊同時乘以42x?1得：2=2x?1+4，
移項：2x=2?3，
化系數(shù)為1：x=?12．
經(jīng)檢驗，x=?12是原分式方程的解，
故原分式方程的解為：x=?12．
（2）x?2x?3=2?13?x
分式兩邊同時乘以x?3，得：x?2=2x?3+1，
去括號得：x?2=2x?6+1，
移項得：x?2x=2?6+1，
合并同類項得：?x=?3，
化系數(shù)為1：x=3，
經(jīng)檢驗，x=3是分式方程的增根，
∴原分式方程無解．
11．（24-25八年級·湖南湘西·期末）解分式方程：
(1)2xx2?4?1x+2=0；
(2)3x2?6x+9?x+3x2?3x=?1x．
【答案】(1)原方程無解
(2)x=6是原方程的解
【分析】本題考查了解分式方程．
（1）先通過方程兩邊乘最簡公分母將分式方程化為整式方程，再解整式方程，最后檢驗整式方程的解是不是分式方程的解；
（2）先通過方程兩邊乘最簡公分母將分式方程化為整式方程，再解整式方程，最后檢驗整式方程的解是不是分式方程的解．
【詳解】（1）解：2xx+2x?2?1x+2=0，
去分母得2x?x?2=0，
解得：x=?2，
檢驗當x=?2時，x+2x?2=0，
所以x=?2不是原方程的解．
（2）解：3x?32?x+3xx?3=?1x，
去分母得：3x?x2+9=?x?32，
3x=18，
解得：x=6，
檢驗當x=6時，xx?32=6×9=54≠0，
所以x=6是原方程的解．
12．（24-25八年級·山東東營·期末）解方程
(1)2x=3x?1；
(2)2x2?4?x2?x=1．
【答案】(1)x=?2
(2)x=?3
【分析】本題考查解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法步驟是解題的關鍵．
（1）根據(jù)解分式方程的方法步驟（去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1，檢驗，）求解，即可解題；
（2）解題方法與（1）類似．
【詳解】（1）解：2x=3x?1
方程兩邊同乘xx?1，得
2x?1=3x，
解得：x=?2，
檢驗：x=?2時，xx?1≠0，
∴x=?2是該分式方程的解；
（2）解：2x2?4?x2?x=1
方程兩邊同乘x+2x?2，得
2+xx+2=x2?4
解得：x=?3，
檢驗：x=?3時，x+2x?2≠0，
∴x=?3是該分式方程的解．
13．（24-25八年級·貴州黔東南·期末）解分式方程：
(1)x?2x+2?1=16x2?4；
(2)2xx+3=1x+3+1．
【答案】(1)原方程無解
(2)x=4
【分析】本題考查解分式方程，
（1）根據(jù)解分式方程的方法求解即可；
（2）根據(jù)解分式方程的方法求解即可．
【詳解】（1）解：x?2x+2?1=16x2?4，
去分母得，x?22?x2?4=16，
去括號得，x2?4x+4?x2+4=16，
移項、合并同類項得，?4x=8，
化系數(shù)為1得，x=?2，
把x=?2代入x2?4= ?22?4=0，是原方程增根，
∴原方程無解．
（2）解：2xx+3=1x+3+1，
去分母得，2x=1+x+3，
移項、合并同類項得，x=4，
把x=4代入x+3= 4+3=7≠0，
∴x=4是原方程的解．
14．（24-25八年級·山東濟南·期末）解分式方程：
(1)2x?2=3x+2；
(2)2?14?x=x?3x?4．
【答案】(1)x=10
(2)無解
【分析】本題主要考查了解分式方程，解題的關鍵是熟練掌握解分式方程的一般步驟，準確計算，注意最后要進行檢驗．
（1）按照解分式方程的步驟和方法計算即可；
（2）先將原式化為2+1x?4=x?3x?4，再按照解分式方程的步驟逐一計算即可；
【詳解】（1）解：2x?2=3x+2，
去分母得：2x+2=3x?2，
去括號得：2x+4=3x?6，
移項并合并同類項得：?x=?10，
化系數(shù)為1得：x=10，
檢驗：將x=10代入x?2x+2得：10?2×10+2=8×12≠0，
∴x=10是原方程的根；
（2）解：原式可化為：2+1x?4=x?3x?4，
去分母得：2x?4+1=x?3，
去括號得：2x?8+1=x?3，
移項并合并同類項得：x=4，
檢驗：將x=4代入4?xx?4得4?4×4?4=0，
∴x=4是原方程的增根，即原分式方程無解．
15．（24-25八年級·山東濱州·期末）解方程：
(1)xx?2=8x2?4+1；
(2)4?xx?3=13?x?2．
【答案】(1)方程無解
(2)x=1
【分析】（1）根據(jù)解分式方程的一般步驟求解即可；
（2）根據(jù)解分式方程的一般步驟求解即可．
【詳解】（1）解：xx?2=8x2?4+1
化為整式方程得，xx+2=8+x2?4，
去括號得，x2+2x=x2+4，
移項、合并同類項得，2x=4，
系數(shù)化為1得，x=2，
檢驗：把x=2代入x2?4=4?4=0，
∴x=2是原方程的增根，原方程無解；
（2）解：4?xx?3=13?x?2
化為整式方程得，4?x=?1?2x?3，
去括號得，4?x=?1?2x+6，
移項、合并同類項得，x=1，
檢驗：把x=1代入x?3=1?3=?2≠0，
∴x=1是原方程的解．
【題型2 換元法解分式方程】
16．（24-25八年級·四川成都·期中）換元法解方程：x+1x?9xx+1=0．
【答案】原分式方程的解為x1=12或x2=14．
【詳解】解：設y=x+1x，則原方程化為：y?9y=0，
方程兩邊同時乘y得：y2?9=0，
解得：y1=3，y2=?3．
經(jīng)檢驗：y1=3，y2=?3都是方程y?9y=0的解，
當y=3時，x+1x=3，解得：x=12；
當y=?3時，x?1x=?3，解得：x=14．
經(jīng)檢驗：x1=12或x2=14都是原分式方程的解．
∴原分式方程的解為x1=12或x2=14．
17．（2024八年級·江蘇·專題練習）述換元法解方程：1?3x+2?x+2x?1=0．
【答案】x=?12
【分析】本題考查了分式方程的解法，關鍵是如何換元，題目比較好，有一定的難度．
利用換元法解分式方程，設y=x?1x+2，將原方程化為y?1y=0，求出y的值并檢驗是否為原方程的解，然后求解x的值即可．
【詳解】原方程化為：x?1x+2?x+2x?1=0，
設y=x?1x+2，則原方程化為：y?1y=0，
方程兩邊同時乘y得：y2?1=0，
解得：y=±1，
經(jīng)檢驗：y=±1都是方程y?1y=0的解．
當y=1時，x?1x+2=1，該方程無解；
當y=?1時，x?1x+2=?1，解得：x=?12；
經(jīng)檢驗：x=?12是原分式方程的解，
∴原分式方程的解為x=?12．
18．（24-25八年級·重慶黔江·階段練習）換元法解方程：x?1x+2?3x?1?1=0．
【答案】)x=?12
【分析】本題考查了解分式方程，利用換元法是解題的關鍵；
根據(jù)分式的加減法，可得x?1x+2?x+2x?1=0，再根據(jù)換元法求解即可；
【詳解】原方程化為：x?1x+2?x+2x?1=0，
設y=x?1x+2， 則原方程化為：y?1y=0，
方程兩邊同時乘以y得：y2?1=0，解得：y=±1，
經(jīng)檢驗：y=±1都是方程y?1y=0的解，
∴當y=1時，x?1x+2=1，該方程無解，
當y=?1時，x?1x+2=?1，解得x=?12，
經(jīng)檢驗：x=?12是原分式方程的解，
∴原分式方程的解x=?12．
19．（24-25八年級·山西晉城·階段練習）換元法解方程：x?1x+2?27x?1?9=0．
【答案】x=?72或x=?54
【分析】先把方程變形為x?1x+2?9(x+2)x?1=0，再用換元法求解即可．
【詳解】解：∵x?1x+2?27x?1?9=x?1x+2?(27x?1+9)=x?1x+2?9(x+2)x?1，
∴原方程為x?1x+2?9(x+2)x?1=0。
設y=x?1x+2，原方程可化為y?9y=0，
方程兩邊同時乘以y，得y2?9=0，
解得，y=±3，
經(jīng)檢驗，y=±3都是原方程的解，
當y=3時，有x?1x+2=3，解得：x=?72，
當y=?3時，有x?1x+2=?3，解得：x=?54，
經(jīng)檢驗：x=?72或x=?54都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解為x=?72或x=?54．
【點睛】本題考查了用換元法解可化為一元二次方程的分式方程，解題的關鍵是正確使用換元法．
20．（24-25八年級·陜西西安·階段練習）換元法解：x+12x?1?2x?1x+1=0．
【答案】答案見解析．
【分析】設y=x+12x?1，原方程化為y?1y=0，按照解分式方程的方法，可求得y的值，進而求得x的值．
【詳解】解：設y=x+12x?1，則原方程化為y?1y=0．
方程兩邊同時乘y，得
y2?1=0，
解得y=±1．
經(jīng)檢驗：y=±1都是y?1y=0的解．
當y=1時，
x+12x?1=1，
解得x=2．
當y=?1時，
x+12x?1=?1，
解得x=0．
經(jīng)檢驗：x=2和x=0都是原分式方程的解．
所以原分式方程的解為x=2和x=0．
【點睛】本題主要考查分式方程的解法，牢記分式方程的解題步驟是解答的關鍵．
21．（2024八年級·全國·專題練習）換元法解方程：x?1x+2?27x?1?9=0．
【答案】x=?72或x=?54
【分析】本題考查了用換元法解分式方程， 先把方程變形為x?1x+2?9x+2x?1=0，再用換元法和平方根的意義求解即可．解題的關鍵是正確使用換元法．
【詳解】解：∵x?1x+2?27x?1?9=x?1x+2?27x?1+9=x?1x+2?9x+2x?1，
∴原方程為x?1x+2?9x+2x?1=0
設y=x?1x+2，原方程可化為y?9y=0，
方程兩邊同時乘以y，得y2?9=0，
解得，y=±3，
經(jīng)檢驗，y=±3都是原方程的解，
當y=3時，有x?1x+2=3，解得：x=?72，
當y=?3時，有x?1x+2=?3，解得：x=?54，
經(jīng)檢驗：x=?72或x=?54都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解為x=?72或x=?54．
22．（2024八年級·全國·專題練習）換元法解方程：x?1x+2?3x?1?1=0．
【答案】x=?12
【分析】本題考查了分式方程的解法．利用換元法解分式方程，設y=x?1x+2，將原方程化為y?1y=0，求出y的值并檢驗是否為原方程的解，然后求解x的值即可．
【詳解】解：原方程可化為x?1x+2?x+2x?1=0，設y=x?1x+2，則原方程可化為y?1y=0，
方程兩邊同時乘y，得y2?1=0，
解得y1=1，y2=?1，
經(jīng)檢驗，y1=1，y2=?1都是方程y?1y=0的解；
當y=1時，x?1x+2=1，該方程無解；
當y=?1時，x?1x+2=?1，解得x=?12，
經(jīng)檢驗，x=?12是原分式方程的解，
所以原分式方程的解為x=?12．
【拓展篇】
23．（2024八年級·全國·專題練習）解方程：13x+115x+135x+163x=1x+1．
【答案】x=45
【分析】本題考查了解分式方程；本題不是直接去分母，而是先“裂項”，把方程左邊化簡，再去分母解分式方程；首先根據(jù)“裂項”的方法化簡方程左邊，然后把分式方程化為整式方程，計算即可．解本題的關鍵在于充分利用運算規(guī)律計算．
【詳解】解：13x+115x+135x+163x=1x+1
1x?13+115+135+163=1x+1，
1x?11×3+13×5+15×7+17×9=1x+1，
12x1?13+13?15+15?17+17?19=1x+1，
12x1?19=1x+1，
12x?89=1x+1，
49x=1x+1，
9x=4x+4，
5x=4，
x=45，
檢驗：x=45是原分式方程的解，
∴原方程的解為x=45．
24．（24-25八年級·山東青島·期中）解分式方程
(1)3x2+3x=1x2?9；
(2)8x2?4+1=xx?2．
【答案】(1)x=92；
(2)原方程無解．
【分析】本題主要考查了解分式方程.
（1）先用平方差公式將原方程變形，然后方程兩邊同乘x(x+3)(x?3)，化成關于x的整式方程，求解并檢驗即可.
（2）先用平方差公式將原方程變形，然后方程兩邊同乘(x+2)(x?2)，化成關于x的整式方程，求解并檢驗即可.
【詳解】（1）解：原方程可化為3x(x+3)=1(x+3)(x?3)
方程兩邊同乘x(x+3)(x?3)，得3(x?3)=x，
所以x=92；
檢驗：當x=92時，x(x+3)(x?3)≠0，
所以x=92是原方程的根．
（2）解：原方程可化為8(x+2)(x?2)+1=xx?2
方程兩邊同乘(x+2)(x?2)，得
8+x2?4=x(x+2)，
所以x=2；
檢驗：當x=2時，(x+2)(x?2)=0，
所以x=2是原方程的增根，
∴原方程無解.
25．（24-25八年級·山東淄博·期中）解方程：
(1)16x?2=12+21?3x
(2)xx?1?1=3x?1x+2
【答案】(1)x=2
(2)無解
【分析】本題主要考查了解分式方程，解分式方程的關鍵是將分式方程化成整式方程，最后的檢驗是解題的易錯點．
（1）先通過去分母將分式方程化成整式方程，然后再檢驗即可解答；
（2）先通過去分母將分式方程化成整式方程，然后再檢驗即可解答．
【詳解】（1）解：16x?2=12+21?3x，
123x?1=12+21?3x，
1=3x?1?4，
3x=6，
x=2，
檢驗，當x=2時，23x?1=23×2?1=10≠0，
所以該分式方程的解為：x=2；
（2）解：xx?1?1=3x?1x+2，
xx+2?x?1x+2=3，
x2+2x?x2?x+2=3
x=1，
檢驗，當x=1時，x?1x+2=1?11+2=0，
所以該分式方程無解
26．（24-25八年級·上?！て谥校┙夥匠蹋?br>(1)xx?2=4xx?2+1；
(2)6x2?25=3x2+8x+15+5x2?2x?15．
【答案】(1)無解
(2)x=4
【分析】本題考查解分式方程，掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．
（1）方程兩邊同乘最簡公分母xx?2，將分式方程轉化為整式方程，求解后檢驗即可；
（2）將各分母進行因式分解，找出各分母的最簡公分母，方程兩邊同乘該最簡公分母，將分式方程轉化為整式方程，求解后檢驗即可．
【詳解】（1）解：xx?2=4xx?2+1
方程兩邊同乘xx?2，得x2=4+xx?2，
化簡，得?2x+4=0，
解得x=2，
檢驗：當x=2時，xx?2=0，
∴x=2不是原分式方程的解，原分式方程無解．
（2）解：6x2?25=3x2+8x+15+5x2?2x?15
方程可化為6x+5x?5=3x+5x+3+5x?5x+3，
方程兩邊同乘x?5x+5x+3，得6x+3=3x?5+5x+5，
化簡，得2x?8=0，
解得x=4，
檢驗：當x=4時，x?5x+5x+3≠0，
∴x=4是原分式方程的解．
27．（24-25八年級·吉林長春·期中）解下列分式方程：
(1)1x?1=5x；
(2)1x?2+3=1?x2?x．
【答案】(1)x=54
(2)原方程無解
【分析】本題考查解分式方程，熟練掌握分式方程的解法的一般步驟，注意對所得的解進行檢驗是解題的關鍵．
（1）在方程兩邊同乘以xx?1，將原方程化為整式方程，解方程后再驗根，即可得解；
（2）在方程兩邊同乘以x?2，將原方程化為整式方程，解方程后再驗根，即可得解；
【詳解】（1）解：方程兩邊同乘以xx?1，
得：x=5x?1，
解得：x=54，
檢驗：當x=54時，54×54?1≠0，
∴原方程的解是x=54；
（2）方程兩邊同乘以x?2，
得：1+3x?2=?1?x，
解得：x=2，
檢驗：當x=2時，2?2=0，
∴x=2是原方程的增根，
∴原方程無解．
28．（24-25八年級·山東威?！て谥校┙夥匠?br>(1)x+14x2?1=32x+1?44x?2；
(2)1x+3?23?x=12x2?9．
【答案】(1)x=6
(2)無解
【分析】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗．
（1）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
【詳解】（1）解：去分母得：2(x+1)=6(2x?1)?4(2x+1)，
去括號得：2x+2=12x?6?8x?4，
移項、合并同類項得：?2x=?12，
解得：x=6，
檢驗：把x=6代入得：2(2x+1)(2x?1)≠0，
所以x=6是分式方程的解；
（2）解：1x+3?23?x=12x2?9，
去分母得：x?3+2(x+3)=12，
去括號得：x?3+2x+6=12，
移項，合并同類項得：3x=9，
系數(shù)化為1得：x=3，
經(jīng)檢驗：x=3不是原方程的解，
∴原分式方程無解．
29．（24-25八年級·湖南岳陽·期中）解下列方程：
(1)5x?1=1x+3；
(2)2x+2x?x+2x?2=x2?2x2?2x．
【答案】(1)x=?4
(2)x=?12
【分析】本題主要考查解分式方程．
（1）分式方程兩邊乘以x?1x+3去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解；
（2）分式方程兩邊乘以xx?2去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
【詳解】（1）解：5x?1=1x+3，
去分母得：5x+15=x?1，
移項合并得：4x=?16，
解得：x=?4，
經(jīng)檢驗x=?4是分式方程的解；
（2）解：2x+2x?x+2x?2=x2?2x2?2x
兩邊同乘以xx?2得，2x+2x?2?xx+2=x2?2，
解得，x=?12，
當x=?12時，xx?2=?12×?12?2=54≠0，
∴x=?12是分式方程的解．
30．（24-25八年級·湖南常德·期中）解分式方程：
(1)2x+1+1=xx?1；
(2)19x?3?x3x?1=23．
【答案】(1)x=3
(2)無解
【分析】（1）按照解分式方程的步驟解答即可；
（2）按照解分式方程的步驟解答即可；
本題考查了解分式方程，掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：方程兩邊同時乘(x?1)(x+1)得，2x?1+x+1x?1=xx+1，
解得x=3，
檢驗：當x=3時，x?1x+1=8≠0，
∴原分式方程的解為x=3；
（2）解：方程兩邊同時乘3(3x?1)得，1?3x=23x?1，
解得x=13，
檢驗：當x=13時，33x?1=0，
∴x=13是原分式方程的增根，
∴原分式方程無解．
31．（24-25八年級·廣東廣州·期中）解方程： 6x2?9+13?x=0．
【答案】分式方程無解．
【分析】本題考查了解分式方程，先將分式方程兩邊同時乘以x?3x+3化為一元一次方程，再解一元一次方程，最后檢驗即可求解，熟練掌握解分式方程是解題的關鍵．
【詳解】解：6x2?9+13?x=0
6x?3x+3?1x?3=0
6?x+3=0
解得：x=3，
當x=3時，x?3x+3=0，
∴分式方程無解．
32．（24-25八年級·山東濰坊·期中）解分式方程
(1)xx+1=3x2x+2?1
(2)1x+1+2x?1=4x2?1
【答案】(1)x=?2
(2)原方程無解
【分析】本題主要考查了解分式方程：
（1）按照去分母，去括號，移項，合并同類項的步驟解方程，然后檢驗即可得到答案；
（2）按照去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟解方程，然后檢驗即可得到答案．
【詳解】（1）解；xx+1=3x2x+2?1
去分母得：2x=3x?2x+1，
去括號得：2x=3x?2x?2，
移項得：2x+2x?3x=?2，
合并同類項得：x=?2，
檢驗，當x=?2時，x+1≠0，
∴x=?2是原方程的解；
（2）解：1x+1+2x?1=4x2?1
去分母得：x?1+2x+1=4，
去括號得：x?1+2x+2=4，
移項得：x+2x=4+1?2，
合并同類項得：3x=3，
系數(shù)化為1得：x=1，
檢驗，當x=1時，x?1=0，
∴x=1是原方程的增根，
∴原方程無解．
33．（24-25八年級·北京·期中）解方程：2x+83x?9=4x?3x?3+1．
【答案】x=2
【分析】本題考查了解分式方程，解題的關鍵是熟練掌握解分式方程的方法和步驟，注意解分式方程需要檢驗．
先去分母，然后去括號，在移項合并，系數(shù)化為1，驗根，即可得到答案；
【詳解】解：2x+83x?9=4x?3x?3+1
2x+8=34x?3+3x?9
2x+8=12x?9+3x?9
?13x=?26，
x=2，
檢驗，當x=2時，3x?9≠0，
∴ x=2是原分式方程的解．
34．（24-25八年級·福建廈門·期中）解方程：
(1)5x?1=3x+1；
(2)8x2?4+1=xx?2．
【答案】(1)x=?4
(2)無解
【分析】本題考查了解分式方程，解題的關鍵是：
（1）方程兩邊都乘x+1x?1，得出5x+1=3x?1，求出方程的解，再進行檢驗即可；
（2）方程兩邊都乘x+2x?2得出8+x+2x?2=xx+2，求出方程的解，再進行檢驗即可．
【詳解】（1）解：方程兩邊都乘x+1x?1，得
5x+1=3x?1，
解這個方程，得x=?4，
經(jīng)檢驗，x=?4是原方程的根；
（2）解：方程兩邊都乘x+2x?2，得
8+x+2x?2=xx+2．
解這個方程，得x=2．
經(jīng)檢驗x=2是增根，原方程無解．
35．（24-25八年級·全國·單元測試）解方程：
(1)3xx?1?21?x=1
(2)xx?2?1=4x2?4x+4
【答案】(1)x=?32
(2)x=4
【分析】（1）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
本題考查的知識點是解分式方程，將分式方程轉化為整式方程的是解此題的關鍵，注意要驗根．
【詳解】（1）解：3xx?1?21?x=1，
方程兩邊同時乘以x?1，得：3x+2=x?1，解得：x=?32，
檢驗：當x=?32時，x?1≠0，
∴x=?32是原方程的解，
（2）解：xx?2?1=4x2?4x+4，
方程兩邊同時乘以x?22，得：xx?2?x?22=4，解得：x=4，
檢驗：當x=4時，x?22≠0，
∴x=4是原方程的解．
36．（24-25八年級·全國·期中）解方程：1xx+1+1x+1x+2+?1?2x=18．
【答案】x=4
【分析】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．
先去分母非常麻煩，通過觀察分式特點，聯(lián)想到“1nn+1=1n?1n+1”， 可考慮化積為差，裂項抵消來簡化運算，然后將分式方程化為整式方程，再進行計算，最后驗根即可．
【詳解】解:原方程變形為:
1x?1x+1+1x+1?1x+2+1x+2?1x+3+?+12x?1?12x=18，
合并，得1x?12x=18，
去分母，得x=4
經(jīng)檢驗，x=4是原方程的根．
37．（24-25八年級·四川資陽·期中）解方程：
(1)1x?1?2=3x1?x；
(2)7x2+x+3x2?x=6x2?1．
【答案】(1)x=?3
(2)無解．
【分析】本題考查求解分式方程．把分式方程轉化為整式方程是解題關鍵，且需要注意驗根．
（1）兩邊同乘以最簡公分母x?1，即可把分式方程轉化為整式方程，即可求解，再驗根即可．
（2）兩邊同乘以最簡公分母x(x+1)(x?1)，即可把分式方程轉化為整式方程，即可求解，再驗根即可．
【詳解】（1）解：1x?1?2=3x1?x，
兩邊同乘以x?1得：
1?2x?1=?3x，
解得x=?3，
經(jīng)檢驗x=?3是原方程的根；
（2）解：7x2+x+3x2?x=6x2?1，
兩邊同乘以x(x?1)(x+1)得：
7x(x+1)(x?1)x(x+1)+3x(x+1)(x?1)x(x?1)=6x(x+1)(x?1)(x+1)(x?1)，
整理得7(x?1)+3(x+1)=6x，
解得x=1，
經(jīng)檢驗，x=1是原方程的增根，所以方程無解．
38．（2024八年級·全國·專題練習）解分式方程：
(1)18001.2x?10=1400x；
(2)1?xx?2+2=12?x．
【答案】(1)x=10
(2)無解
【分析】本題考查解分式方程，掌握等式的性質，解分式方程的步驟和方法是正確解答的關鍵．
（1）根據(jù)等式的性質將方程的兩邊都乘以1.2x化為整式方程，求出整式方程的解，再檢驗即可；
（2）根據(jù)等式的性質將方程的兩邊都乘以x?2化為整式方程，求出整式方程的解，再檢驗即可．
【詳解】（1）解：兩邊都乘以1.2x，得1800?12x=1400×1.2，
即12x=120
解得x=10，
經(jīng)檢驗，x=10是原方程的解，
所以原方程的解為x=10；
（2）兩邊都乘以x?2，得1?x+2(x?2)=?1，
去括號得1?x+2x?4=?1，
移項得?x+2x=?1+4?1，
解得x=2，
經(jīng)檢驗x=2是原方程的增根，
所以原方程無解．
39．（24-25八年級·四川遂寧·期中）（1）解方程：2+1x?3=2?x3?x
（2）解分式方程：5x?4x?2=4x?103x?6?1．
【答案】（1）該分式方程無解（2）x=47
【分析】本題主要考查解分式方程．
（1）根據(jù)解分式方程的步驟，先去分母化為整式方程，再解整式方程，最后檢驗，看整式方程的解是否是分式方程的解即可．
（2）分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
【詳解】（1）解：2+1x?3=2?x3?x，
2+1x?3=?2?xx?3，
2x?3+1=x?2，
2x?6+1=x?2，
x=3，
經(jīng)檢驗，x=3是該分式方程的增根，
故該分式方程無解；
（2）解：5x?4x?2=4x?103x?6?1，
5x?4x?2=4x?103x?2?1，
35x?4=4x?10?3x?2，
15x?12=4x?10?3x+6，
15x?4x+3x=12?10+6，
14x=8，
x=47，
經(jīng)檢驗，x=47是該分式方程的解．
40．（24-25八年級·全國·課后作業(yè)）解關于x的分式方程x+14x?6=a2+3a+12a？
【答案】x1=a+32，x2=3a+12a
【分析】將原方程變形為2x?3+12x?3=a+1a，得到2x?3=a或2x?3=1a，進行計算并檢驗即可得到答案．
【詳解】解：方程兩邊同乘以2，得2x+12x?3=a2+3a+1a，
方程兩邊同減3，得2x?3+12x?3=a2+3a+1a?3，
即2x?3+12x?3=a+1a，
∴2x?3=a或2x?3=1a，
解得：x1=a+32，x2=3a+12a，
經(jīng)檢驗，x1=a+32，x2=3a+12a均是原分式方程的解，
∴原分式方程的解為：x1=a+32，x2=3a+12a．
【點睛】本題考查了解分式方程，解本題的關鍵是將x+14x?6=a2+3a+12a變形為2x?3+12x?3=a+1a．