遼寧省撫順市六校協(xié)作體2024-2025學(xué)年5月高一下學(xué)期 數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（含解析）

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1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教B版必修第二冊第六章至必修第三冊．
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 若向量，，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平面向量垂直的坐標表示可得解.
【詳解】因為向量，，且，所以，
即，C正確，D錯誤，
取，可得，，此時，
但，，A，B錯誤，
故選：C
2. 已知扇形的半徑為6，圓心角為20°，則該扇形的弧長為（ ）
A. B. C. 60D. 120
【答案】B
【解析】
【分析】先將圓心角轉(zhuǎn)化為弧度制，然后根據(jù)扇形的弧長公式計算即可.
【詳解】圓心角為20°，即圓心角為，又扇形的半徑為6，
由弧長公式得，該扇形的弧長為，
故選：B
3. 若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由二倍角公式得到方程，解得即可.
【詳解】因為，所以，解得.
故選：B
4. 下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項判定，即可求解，
【詳解】函數(shù)的定義域為關(guān)于原點對稱，又，所以是偶函數(shù)，故A不符合題意；
函數(shù)的定義域為關(guān)于原點對稱，又，
所以且，所以是非奇非偶函數(shù)，故B不符合題意，
函數(shù)的定義域為關(guān)于原點對稱，
又，所以是偶函數(shù)，故C不符合題意；
函數(shù)的定義域為關(guān)于原點對稱，
又，所以是奇函數(shù)，故D符合題意．
故選：D.
5. 已知點，則向量在向量方向上投影的坐標為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量坐標運算法則求得，利用投影向量的定義求解即可.
【詳解】因為，可得，
則向量在向量方向上的投影為．
故選：C.
6. 已知α為第二象限角，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由同角的正余弦的平方和求得，進而求得，再利用兩角和的正切公式求解即可.
【詳解】因為α為第二象限角，且，所以，
則，所以．
故選：D.
7. 已知為所在平面內(nèi)的一點，為的中點，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面的線性運算法則求解即可.
【詳解】由題意得
．
故選：C
8. 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點、，的最小值為，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函數(shù)的最小正周期，可求出的值，分析可知的圖象關(guān)于點對稱，了正弦型函數(shù)的對稱性結(jié)合的取值范圍可得出的值.
【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則，則，，
由，得的圖象關(guān)于點對稱，
則，得，因，所以．
故選：D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知角的終邊經(jīng)過點，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用三角函數(shù)的定義求出，即可判斷選項A和B的正誤；再利用誘導(dǎo)公式，即可判斷選項C和D的正誤.
【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，
則，
又，所以選項B錯誤，選項A、C和D正確，
故選：ACD.
10. 為了得到函數(shù)的圖象，只要將函數(shù)圖象上（ ）
A. 所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的圖象向左平移個單位長度
B. 所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的圖象向左平移個單位長度
C. 所有的點向左平移個單位長度，再把得到的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變
D. 所有的點向左平移個單位長度，再把得到的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律逐個分析可得答案.
【詳解】由題意得，將圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，故A正確，B不正確．
將圖象上所有的點向左平移個單位長度，再把得到的圖象上所有點的橫坐標
縮短到原來的，縱坐標不變，得到的圖象，故C正確，D錯誤．
故選：AC.
11. 已知非零向量，的夾角為θ，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. θ的取值范圍為D. 的最大值為12
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知可得，進而可求得可判斷A；利用共線向量的定義可得或，代入計算可判斷B；由，方程有解求解可判斷C；由，計算可判斷D.
【詳解】對于A，由，得，得．
若，則，得，故A正確．
對于B，若，則或，當時，不成立，
當時，，解得或6，故B錯誤．
對于C，由，得，因為，所以，故C正確．
對于D，由，得，所以，
當6時，等號成立，故D正確．
故選：ACD.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 若，則__________，__________．
【答案】 ①. ## ②. ##0.3
【解析】
【分析】分子分母同時除以，即可求解；先將原式轉(zhuǎn)化為分式，分子分母同時除以，即可求解.
【詳解】；
.
故答案為：；.
13. 已知向量，，且與的夾角為銳角，則x的取值范圍為________．
【答案】
【解析】
【分析】由，且與不共線,即可求解.
【詳解】由題意有，又與不共線，所以，
所以，
故答案為：.
14. 的值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】由正弦的和差角公式代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】
．
故答案：
四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．
15. 已知向量．
（1）求的坐標；
（2）求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知根據(jù)向量加法和減法的坐標運算即可；
（2）求出向量的數(shù)量積和模，根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案.
【小問1詳解】
，
；
【小問2詳解】
由（1）得，
，，
所以
16. 已知函數(shù)的最小正周期為，且的圖象關(guān)于直線對稱．
（1）求的解析式；
（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）求在上的值域．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)由最小正周期求出,再由對稱軸求出即可;
(2)令,解不等式即可;
(3) 由，得到，進而求出值域.
【小問1詳解】
由題意得．
因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以，
得．
又，所以．故．
【小問2詳解】
由，
得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．
【小問3詳解】
由，得，
由正弦函數(shù)的圖象得，
故在上的值域為．
17. 如圖，在四邊形中，，，設(shè)，．
（1）用，表示，；
（2）若與相交于點，，，，求．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角形法則即可求解；
（2）由向量的夾角公式即可求解.
【小問1詳解】
，
；
【小問2詳解】
由圖可知得夾角即為，
，
，
所以
18. 已知，．
（1）求、的值；
（2）求的值；
（3）若、均為銳角，且，求的值．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由兩角和與差的正弦公式可得出關(guān)于、的方程組，即可解出這兩個量的值；
（2）利用二倍角的正弦、余弦公式結(jié)合（1）中的結(jié)果可得出所求代數(shù)式的值；
（3）根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性得出，可求出、的取值范圍，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合兩角和的余弦公式可求出的值.
【小問1詳解】
由題意得，得．
【小問2詳解】
．
【小問3詳解】
由，得．
由，得，得，
所以，，
由，得，
，
所以
．
19. 定義：區(qū)間的長度為，區(qū)間的長度為．
（1）已知不等式在上的解集為，求的長度．
（2）已知，函數(shù)．
①求在上的零點之和；
②若不等式在上的解集為，求的長度的最大值．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）解不等式可得，結(jié)合區(qū)間長度的定義即可求解；
（2）①由已知解方程可得在上有4個零點，設(shè)的兩根為，的兩根為，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解；②由①結(jié)合已知條件可知的長度為，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合基本不等式可知，由兩角差的余弦公式可得，由此可得的范圍，即可求解.
【小問1詳解】
由題意得，
得，得，
因為，所以，即，
故的長度為；
【小問2詳解】
①由，得，，
由，得或，
所以方程在上均有兩個實數(shù)根，
即在上有4個零點，
設(shè)的兩根為，的兩根為，
得，
且，
則，
所以在上的零點之和為；
②由，得或，由①可得，
則的長度為，
易得，
則
，
當且僅當，即時等號成立，
所以，
由，得，所以，
所以，故長度的最大值為.