河北省保定市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）

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1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2．請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答：字體工整，筆跡清楚．
4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交．
5，本卷主要考查內(nèi)容：必修第一冊(cè)第二章2.2~第四章．
一、單項(xiàng)選釋題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合，再根據(jù)并集的定義求解即可.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以.
故選：D.
2. 已知，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式，求出的取值范圍，再由充分條件、必要條件的定義即可得出結(jié)果.
【詳解】由，
則，解得或，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
3. 下列敘述正確的是（ ）
A. 如果函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的一條曲線，且在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，則一定有
B. 函數(shù)的零點(diǎn)是，
C. 已知方程的解在內(nèi)，則
D. 函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)
【答案】C
【解析】
【分析】對(duì)于A，舉例判斷即可；對(duì)于B，求出函數(shù)的零點(diǎn)即可判斷；對(duì)于C，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可；對(duì)于D，作出的圖象,觀察其交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，函數(shù)在0,3內(nèi)有零點(diǎn)，
而，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，令，解得或，
所以函數(shù)的零點(diǎn)是，3，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，設(shè)，
因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，
所以在上增函數(shù)，
又，，則，
所以函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，
所以方程在內(nèi)有唯一解，則，故C正確；
對(duì)于D，作出的圖象如圖：
當(dāng)時(shí)，函數(shù)和的圖象顯然有一個(gè)交點(diǎn)，
又，所以函數(shù)和的圖象在，處相交，
所以函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
4. 已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若，則（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義，結(jié)合特值法可解.
【詳解】是偶函數(shù)，則，且，代入計(jì)算得到.
故選：A.
5. 已知函數(shù)，若，且，則的最小值為（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】結(jié)合圖象利用得出，，然后利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
【詳解】畫出函數(shù)的圖象，如圖，
不妨設(shè)，則，
由，則，即，即，
所以，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，
即的最小值為.
故選：C.
6. 如圖，曲線是函數(shù)的圖象，曲線與曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，曲線與曲線關(guān)于直線對(duì)稱，曲線與曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，則曲線，，對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式分別是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱變化逐一求解可得.
【詳解】由圖可知，曲線與曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，且曲線是函數(shù)的圖象，
所以曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，
由曲線與曲線關(guān)于直線對(duì)稱，
所以曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，
由曲線與曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，
所以曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，即.
故選：A.
7. 已知函數(shù)，，則（ ）
A. 是奇函數(shù)
B.
C. 的值域是1,+∞
D. 的值域是
【答案】B
【解析】
【分析】對(duì)于A，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷；對(duì)于B，通過指數(shù)冪的運(yùn)算求解判斷；對(duì)于C，取特殊值判斷；對(duì)于D，由當(dāng)時(shí)，判斷.
【詳解】對(duì)于A，設(shè)，定義域?yàn)椋?br>則，所以函數(shù)為偶函數(shù) ，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，
，
則，故B正確；
對(duì)于C，，
當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，
當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤．
故選：B.
8. 已知，，，則（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，再利用作商法結(jié)合換底公式及基本不等式即可得解.
【詳解】由，，，
則，，，
而，，，
因?yàn)椋?br>所以，故；
又，
所以，故
綜上所述，.
故選：A.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 若實(shí)數(shù)，，，且，，，則下列各式中，恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算判斷A；根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷BCD.
【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，故B正確；
對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，故D正確.
故選：BD.
10. 設(shè)函數(shù)且，則（ ）
A. 函數(shù)和的圖像關(guān)于直線對(duì)稱
B. 函數(shù)和的圖像的交點(diǎn)均在直線上
C. 若，方程的根為，方程的根為，則
D. 已知，若恒成立，則的取值范圍為
【答案】AC
【解析】
【分析】對(duì)于A：根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)分析判斷；對(duì)于B：舉反例說明即可；對(duì)于C：整理可得，，同構(gòu)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析證明；對(duì)于D：根據(jù)題意分析可得，構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析其最值，結(jié)合恒成立問題即可得結(jié)果.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)楹突榉春瘮?shù)，可知其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：例如，則，
可知和的圖像有交點(diǎn)和，均不在直線上，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：由題意可得：，
因?yàn)椋傻?，即?br>設(shè)函數(shù)，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋瑒t，即，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，
若，則，與矛盾，舍去，所以，
若恒成立，則，即，
兩邊取對(duì)數(shù)可得，即，
同理可得：等價(jià)于，即，
令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
則，可得，解得，
所以的取值范圍為，
例如，可得，
即，且為增函數(shù)，
可得，符合題意，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于C：根據(jù)題意整理可得，，進(jìn)而可同構(gòu)函數(shù)；
對(duì)于D：根據(jù)題意分析可知：，解得的取值范圍為，進(jìn)而取反例說明.
11. 函數(shù)（，且）恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則a可以是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】轉(zhuǎn)化問題為函數(shù)和有2個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而分，兩種情況結(jié)合圖象求解即可.
【詳解】令，即，
因?yàn)楹瘮?shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，
則函數(shù)和有2個(gè)交點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，畫出函數(shù)的圖象，如下圖：

由圖可知，要使函數(shù)和有2個(gè)交點(diǎn)，
則，解得；
當(dāng)時(shí)，畫出函數(shù)的圖象，如下圖：

由圖可知，要使函數(shù)和有2個(gè)交點(diǎn)，
則，解得，不符合題意.
綜上所述，的取值范圍為.
故選：CD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知函數(shù)（，且）的圖象恒過定點(diǎn)P，點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上，則______．
【答案】9
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)求出定點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，求出的值，進(jìn)而計(jì)算.
【詳解】對(duì)于函數(shù)，
令，即，則，
所以函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，
則，即，
所以，則.
故答案為：9.
13. 一段時(shí)間內(nèi)，某養(yǎng)兔基地的兔子快速繁殖，兔子總只數(shù)的倍增期為21個(gè)月（假設(shè)沒有捕殺與其他損耗）、那么一萬只兔子增長到一億只兔子大約需要______年（）
【答案】23
【解析】
【分析】設(shè)經(jīng)過年后的一萬只兔子有只,依題可得，令，求解即可.
【詳解】設(shè)經(jīng)過年后的一萬只兔子有只，
根據(jù)倍增期為21個(gè)月，可得，
令，則，則，
則，故大約需要23年，
故答案為：23.
14. 已知，函數(shù)，若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的零點(diǎn)情況，分類討論的取值，即可求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上只有1個(gè)零點(diǎn)4，
函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，為，
若，此時(shí)函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，
函數(shù)在上有1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
若，此時(shí)函數(shù)在上有1個(gè)零點(diǎn)，
函數(shù)在上有1個(gè)零點(diǎn)，符合題意；
若，此時(shí)函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，
函數(shù)在上有1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；
若，此時(shí)函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，
函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，符合題意.
綜上所述，a的取值范圍是.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．
15. （1）求值：；
（2）求值：；
（3）已知，，求的值．
【答案】（1）14；（2）2；（3）2
【解析】
【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪及對(duì)數(shù)公式運(yùn)算即可；
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算即可；
（3）根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的相互轉(zhuǎn)化可得，，進(jìn)而結(jié)合換底公式計(jì)算即可.
【詳解】（1）
.
（2）
.
（3）由，，得，，
則.
16. 已知函數(shù)（其中為常數(shù)，且）的圖象經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求的表達(dá)式；
（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由函數(shù)經(jīng)過兩點(diǎn)，列出方程組，求解即可.
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最小值，然后求解不等式即可.
【小問1詳解】
由題意，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),
則，解得，
所以函數(shù).
【小問2詳解】
不等式在上恒成立，
則，
令，
因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，
所以，
所以.
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
17. 已知的定義域?yàn)?，且滿足，．
（1）求的解析式；
（2）判斷在上的單調(diào)性；
（3）若，求x的取值范圍．
【答案】（1）
（2）單調(diào)遞增，理由見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求解參數(shù)即可；
（2）先判斷單調(diào)性，再利用定義法證明即可；
（3）移項(xiàng)變形得，從而得到不等式組，解出即可
【小問1詳解】
因?yàn)榈亩x域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且，故是奇函數(shù)，
因?yàn)樵谔幱卸x，所以，
得到，解得，此時(shí)，
因?yàn)?，所以，解得?br>故解析式.
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.
【小問2詳解】
在上單調(diào)遞增，理由如下，
任取，且使，
而，
，
因?yàn)椋?，?br>由已知得，所以，故，
故，即，
最后得到在上單調(diào)遞增.
【小問3詳解】
，則，
又因?yàn)樵谏系膯握{(diào)遞增，
則，解得.
則的取值范圍為.
18. 已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求該函數(shù)的值域；
（2）求不等式的解集；
（3）若對(duì)于恒成立，求m的取值范圍．
【答案】（1）
（2）或；
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合換元法，將轉(zhuǎn)化為，，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解，
（2）換元，解一元二次不等式，進(jìn)而根據(jù)對(duì)數(shù)的單調(diào)性求解，
（3）換元，分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即可利用函數(shù)的單調(diào)性求解最值得解.
【小問1詳解】
因?yàn)?br>令，，則，
函數(shù)轉(zhuǎn)化為，，
則二次函數(shù)，對(duì)稱軸為，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取到最小值為，當(dāng)時(shí)，取到最大值為5，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?br>【小問2詳解】
由題得，令，
則，即，解得或，
當(dāng)時(shí)，即，解得；
當(dāng)時(shí)，即，解得，
故不等式的解集為或．
【小問3詳解】
由于對(duì)于上恒成立，
令，，則，即在上恒成立，
所以在上恒成立，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，也在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，它的最大值為，
故時(shí)，對(duì)于恒成立．
19. 若函數(shù)在區(qū)間上的值域恰為，則稱區(qū)間為的一個(gè)“倒域區(qū)間”．已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．
（1）求的解析式；
（2）若關(guān)于x的方程在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）求函數(shù)在內(nèi)的“倒域區(qū)間”．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（2）整理方程，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)題目中的新定義，利用分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，建立方程，可得答案.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，則，
由奇函數(shù)的定義可得，
所以.
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，方程，即，
設(shè)，
由題意知，解得，
則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
【小問3詳解】
因?yàn)樵趨^(qū)間上的值域恰為，
其中且，所以，則，
由題意，，
而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，，所以，
則，所以，
則，解得，
所以在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與函數(shù)的新定義有關(guān)的問題的求解策略：
1.通過給出一個(gè)新的定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)心信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；
2.遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使得問題得以解決.