河北省保定市部分高中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）

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1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊第五章至必修第二冊第六章前三節(jié).
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）
1. 已知向量，，，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由平面向量共線的坐標(biāo)表示，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可得，，且，
由可得，解得.
故選：B
2. 若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】，利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到正弦和正切值.
【詳解】，故，則，
故.
故選：A
3. 已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)3,?4，將角的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到角，則（ ）
A. B. 7C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義及兩角差的正切公式計(jì)算即可.
【詳解】角的終邊經(jīng)過點(diǎn)3,?4，則
將角的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到角，則.
故選：B.
4. 水滴是劉慈欣的科幻小說《三體Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三體文明使用強(qiáng)互作用力（）材料所制成的宇宙探測器，因?yàn)槠渫庑闻c水滴相似，所以被人類稱為水滴．如圖所示，水滴是由線段，和圓的優(yōu)弧圍成，其中，恰好與圓弧相切.若圓弧所在圓的半徑為2，點(diǎn)A到圓弧所在圓圓心的距離為4，則該封閉圖形的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出輔助線，得到，，利用扇形面積公式和三角形面積公式得到答案.
【詳解】取優(yōu)弧所在圓的圓心，連接，，則⊥，⊥，
則，所以，則，
，
故優(yōu)弧對應(yīng)圓心角為，對應(yīng)的扇形面積為，
而，
所以該封閉圖形的面積為.
故選：C
5. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡再結(jié)合所給條件求解出代數(shù)式值即可.
【詳解】，
再由，可知，
即，則.
故選：D.
6. 若直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，則（ ）
A. 函數(shù)的周期為
B. 函數(shù)在的值域?yàn)?br>C. 函數(shù)在單調(diào)遞增
D. 將函數(shù)圖象上的每一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，再將所得到的圖象向左平移個(gè)單位長度，可以得到的圖象
【答案】C
【解析】
【分析】由已知，得，求出周期，判斷A；求出在的值域，判斷B；求出的單調(diào)遞增區(qū)間，判斷C；由三角函數(shù)圖象的伸縮變換得到變換后的函數(shù)解析式，即可判斷D.
【詳解】因?yàn)橹本€是函數(shù)圖象的一條對稱軸，
所以，即，解得，
所以，則其周期為，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，則，
所以，
即函數(shù)在值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；
由，則，
則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
因?yàn)椋?br>所以函數(shù)在單調(diào)遞增，故C正確；
將函數(shù)圖象上的每一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮?br>再將所得到的圖象向左平移個(gè)單位長度，
則得到的圖象，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
7. 已知外接圓圓心為，為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且．若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作出輔助線，得到，，所以四點(diǎn)共線，由三線合一知，⊥，所以，不妨設(shè)，求出各邊長，所以，由同角三角函數(shù)關(guān)系得到答案.
【詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，
，
故，，則，
而，所以，
所以四點(diǎn)共線，

又為外接圓圓心，連接，則，
由三線合一知，⊥，所以，
不妨設(shè)，則，
所以，
故
故選：C
8. 已知，，函數(shù)的圖象如圖所示，，，是的圖象與相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，與軸交于相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)，，若在區(qū)間上，有2027個(gè)零點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得到和，得到函數(shù)解析式，得到相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離有兩種，可能為，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)為個(gè)和1014個(gè)時(shí)，取得最大值，得到答案.
【詳解】將原點(diǎn)坐標(biāo)代入得，又，所以，
故，
的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
故，
又對應(yīng)的點(diǎn)為軸左側(cè)第一個(gè)最低點(diǎn)，所以，
解得，解得，
所以，
令得，
則或，
解得或，
所以相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離有兩種，可能為，
在上，有2027個(gè)零點(diǎn)，要求的最大值，
則當(dāng)為個(gè)和1014個(gè)時(shí)，取得最大值，
故最大值為.
故選：A
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）
9. 有下列四個(gè)命題，其中說法正確的是（ ）
A. 點(diǎn)，，與向量方向相反的單位向量為
B. 若且，則角為第二或第四象限角
C. 若向量，，則向量在向量上投影向量為
D. ，則與的夾角為60°
【答案】BC
【解析】
【分析】對于A選項(xiàng)，考單位向量，向量方向相反的單位向量為；
對于B選項(xiàng)，先找出為第四象限角，從而得到角為第二或第四象限角；
對于C選項(xiàng)，向量在向量上的投影向量為；
對于D選項(xiàng)，由平行四邊法則，作圖求解即可.
【詳解】對于A，，與向量方向相反的單位向量為，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;
對于B，，故為第四象限角，
，
故角為第二或第四象限角，故B選項(xiàng)正確；
對于C, 向量在向量上的投影向量為，故C選項(xiàng)正確；
對于D，如圖，由平行四邊形法則，，

故且，,
作,,故即為與的夾角，且為等腰三角形，
故，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：BC.
10. 已知，且，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式以及商數(shù)關(guān)系求解出的值，可判斷AB選項(xiàng)；根據(jù)二倍角的正弦公式可求解出的值，由此可判斷C選項(xiàng)；逆用兩角和的正弦公式求解出的值，結(jié)合角的范圍可求的值，由此可判斷D選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)椋裕?br>所以，解得，故A錯(cuò)誤，B正確；
又因?yàn)?，故C正確；
因?yàn)?，且?br>所以，所以，故D正確；
故選：BCD.
11. 已知點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，則以下說法正確的有（ ）
A. 若，，分別表示，的面積，則
B. 若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的重心
C. 若，則點(diǎn)是的垂心
D. 若，，分別為，，中點(diǎn)，且，，則的最大值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線，得到，從而得到所以，即可判斷；B選項(xiàng)，作出輔助線，得到，故點(diǎn)在中線上，故向量一定經(jīng)過的重心； C選項(xiàng)，作出輔助線，得到，故⊥，并得到在的平分線上，同理可得，在的平分線上. D根據(jù)得到點(diǎn)的軌跡，將轉(zhuǎn)化為，然后求數(shù)量積，根據(jù)點(diǎn)的軌跡求最值.
【詳解】對于A：如圖，分別為的中點(diǎn)，
，
則，故，
所以，
故，A正確；
對于B：過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，
則，，
則，
故點(diǎn)在中線上，故向量一定經(jīng)過的重心，B正確；
對于C： 分別表示方向上的單位向量，
故，
，故⊥，
由三線合一可得，在的平分線上，同理可得，在的平分線上，
則點(diǎn)是的內(nèi)心，C錯(cuò)誤.
D選項(xiàng)，設(shè)中點(diǎn)為，
因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，
結(jié)合上圖，
，
當(dāng)為直徑時(shí)最大，最大為，故D正確.
故選：ABD
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的重心，
點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的垂心，
點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的外心，
點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且，則點(diǎn)為的內(nèi)心，
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．）
12. 已知，都為銳角，，，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系分別得到，，再由，結(jié)合和差角公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，都為銳角，所以，
由可得，
由可得，
所以
.
故答案為：
13. 在中，，，，，，若，則實(shí)數(shù)的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】用、作為一組基地表示出、，再由數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>又，所以，
則，
又，，，所以，
所以
，
又，即，解得.
故答案為：
14. 如圖，圓與軸的正半軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)，在圓上，且點(diǎn)位于第一象限，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．若，則的值為______．
【答案】##0.8
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，進(jìn)而由圖可得，利用二倍角公式即可化簡求解
【詳解】由于的坐標(biāo)為，故，故在單位圓上，設(shè)終邊所對角為，
由于，故,，
所以，故，
，
故答案為：
四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
15. 已知向量，，其中．
（1）若，求角的大??；
（2）若，求的值．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）由，得，利用向量垂直坐標(biāo)運(yùn)算列式，進(jìn)而解出的值即可；
（2）由題意解出，進(jìn)而弦化切得出，再根據(jù)角的范圍解出即可.
【小問1詳解】
由，得，所以，即，
因?yàn)椋?，所以或，解得?
【小問2詳解】
由題得，，化簡得
即，
整理得，
因?yàn)?，所以，齊次化后得，
即，
即，
解得
因?yàn)椋?br>所以.
16. 如圖，在中，，．設(shè)，．
（1）用，表示，；
（2）若為內(nèi)部一點(diǎn)，且．求證：，，三點(diǎn)共線．
【答案】（1），
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用平面向量線性運(yùn)算法則，計(jì)算出，進(jìn)而得到；
（2）計(jì)算出，結(jié)合（1）可得，證明出結(jié)論.
【小問1詳解】
由題可知，
，
【小問2詳解】
，且有公共點(diǎn)M
，，三點(diǎn)共線.
17. 已知以下四個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)
；
；
；
.
（1）試從上述四個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù).
（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論.
【答案】（1）選第四個(gè)式子，；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】(1)選第四個(gè)式子，由即可求三角函數(shù)式的值；
(2)由題意，設(shè)一個(gè)角為，另一個(gè)角為，應(yīng)用兩角差的余弦公式展開三角函數(shù)，由同角正余弦的平方和關(guān)系化簡求值
【詳解】（1）由第四個(gè)式子：
（2）證明：


【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)，利用特殊角的函數(shù)值求三角函數(shù)式的值，應(yīng)用兩角差余弦公式展開三角函數(shù)式及同角的正余弦平方和關(guān)系化簡求值，屬于簡單題
18. 某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：
（1）求出實(shí)數(shù)，，和函數(shù)的解析式；
（2）將圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度，并把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象.已知圖象的一個(gè)對稱中心為，求的最小值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)取最小值時(shí)，若對，關(guān)于的方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)表中的最值可得，根據(jù)，可解得的值，從而得出解析式；
（2）根據(jù)伸縮平移變換可得，結(jié)合為對稱中心，從而求得實(shí)數(shù)的最小值；
（3）在（2）的條件下結(jié)合，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合即可得解.
【小問1詳解】
由題意得，所以，
所以，
故，
根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，，所以，
，所以，
.
【小問2詳解】
的圖象向右平移個(gè)單位，
再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），
可得的圖象，
則，得，
所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)最小值為.
【小問3詳解】
當(dāng)取最小值時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，
恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
所以與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
結(jié)合圖象可知，即，
.
19. 已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Aa,0，點(diǎn)（其中，為常數(shù)，且），點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）設(shè)點(diǎn)為線段上靠近的三等分點(diǎn)，，求的值；
（2）如圖所示，設(shè)點(diǎn)，，，…，是線段的等分點(diǎn)，其中，，
①當(dāng)時(shí)，求的值（用含，的式子表示）；
②當(dāng)，時(shí)，求的最小值．
（說明：可能用到的計(jì)算公式：，）．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算化簡即可得解；
（2）①由特殊到一般，可得對滿足條件的，，即可化簡求向量的模；
②根據(jù)條件用表示出向量，再由數(shù)量積化簡，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，分類討論求最值.
【小問1詳解】
因?yàn)?br>而點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，
則，可得，所以.
【小問2詳解】
①由題意得，，
，，
所以，
事實(shí)上，對任意正整數(shù)，且時(shí)，
，，
有，
所以，
所以.
②當(dāng)，時(shí)，
，，
，
令，
當(dāng)，2，3時(shí)，
當(dāng)或3時(shí)，上式有最小值為
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)，6，7時(shí)，，當(dāng)或6時(shí)，上式有最小值為
綜上，的最小值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題時(shí)要有特殊到一般類比思想，發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律，化簡所求復(fù)雜向量求和，對于第二問的第二小問，利用數(shù)量積化簡后需要分類討論，對能力要求很高.
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