河北省保定市部分高中2024-2025學年高二下學期開學考試數學試卷（Word版附解析）

這是一份河北省保定市部分高中2024-2025學年高二下學期開學考試數學試卷（Word版附解析），共14頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內容，歡迎下載使用。
1．已知直線經過點，，則的斜率為（ ）
A．B．2C．D．
2．雙曲線的離心率為（ ）
A．B．3C．D．
3．若構成空間的一個基底，則下列向量可作為基底的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
4．已知數列滿足，設的前項和為，則（ ）
A．0B．1C．D．2025
5．已知橢圓的兩個焦點為，，橢圓上有一點，則的周長為（ ）
A．6B．16C．D．12
6．已知數列滿足，且，則（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，在直三棱柱中，，，，E是的中點，則直線AB與平面所成角的正弦值為（ ）

A．B．C．D．
8．已知數列滿足，，設的前項和為，若，，成等差數列，則（ ）
A．10B．11C．12D．13
二、多選題
9．在空間直角坐標系中，已知點，，，，則（ ）
A．B．與夾角的余弦值為
C．在上的投影向量為D．點到直線BC的距離為
10．在數列中，若對任意連續(xù)三項，，，均有，，則稱該數列為“跳躍數列”．已知等比數列是“跳躍數列”，則公比的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
11．已知A，B，C是拋物線上不同的動點，F為拋物線W的焦點，直線l為拋物線W的準線，AB的中點為，則（ ）
A．當時，的最大值為32
B．當時，的最小值為22
C．當時，直線AB的斜率為
D．當A，F，B三點共線時，點P到直線l的距離的最小值為14
三、填空題
12．在棱長為6的正四面體中，點M在OA上，且，則 ．
13．已知等差數列的前項和為，若，則 .
14．“將軍飲馬”問題源自唐代詩人李顧的詩作《古從軍行》，其中隱含著一個有趣的數學問題：將軍在觀望烽火之后，從山腳下的某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在區(qū)域為，河岸線所在直線方程為，若將軍從點處出發(fā)，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為 ，在河邊飲馬點的坐標為 ．
四、解答題
15．已知定點，定直線，曲線上有一動點，過點作直線的垂線，垂足為，且．
(1)求曲線的方程；
(2)若點在軸的右側，，求周長的最小值．
16．在等差數列中，，且．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前項和．
17．如圖，在四棱錐中，平面，底面是矩形，，是PD的中點．
(1)證明：平面．
(2)證明：平面．
(3)求平面與平面夾角的余弦值．
18．已知數列的前項和為，滿足；是以為首項，且公差不為0的等差數列，，，成等比數列．
(1)求，的通項公式；
(2)令，求數列的前項和．
19．已知橢圓的短軸長為，且離心率為.
(1)求C的方程.
(2)過點作斜率不為0的直線與橢圓C交于S，T不同的兩點，再過點作直線ST的平行線與橢圓C交于G，H不同的兩點.
①證明：為定值.
②求面積的取值范圍.
1．C
【詳解】解：直線的斜率．
故選：C
2．A
【詳解】因為，，所以，
故離心率為．
故選：A.
3．D
【詳解】因為，所以，，共面；
因為，所以，，共面；
因為，所以，，共面；
因為不存在x，y，使得，所以，，不共面，所以可以作為基底．
故選：D.
4．B
【詳解】由正弦函數周期公式可知是周期為4的周期數列，
且，，，，得：，
所以．
故選：B
5．D
【詳解】因為，，
所以，
故的周長為．
故選：D.
6．C
【詳解】因為，所以．
因為，所以數列是首項為1，公比為2的等比數列，
所以，所以，
故．
故選：C
7．D
【詳解】由題意知CA，CB，兩兩垂直，以，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
設平面的法向量為，
因為，，
所以令，得，
因為，所以，
故直線AB與平面所成角的正弦值為．

故選：D.
8．B
【詳解】因為，且，
所以當時，，
因為也滿足，所以，
因為，
所以，
若，，成等差數列，則，即，得.
故選：B.
9．ABD
【詳解】因為，，所以，故A正確；
因為，，所以，故B正確；
因為，，所以在上的投影向量為，故C錯誤；
因為，所以的一個單位方向向量為，
因為，所以點到直線BC的距離為，故D正確．
故選：ABD.
10．AC
【詳解】因為等比數列是“跳躍數列”，
由已知，，
則，得，所以A，C正確．
故選：AC.
11．ACD
【詳解】拋物線的焦點，準線，設，
對于A，，
當且僅當A，F，B三點共線時，有最大值32，A正確；
對于B，如圖，分別過點作準線的垂線，垂足分別為，
設交拋物線于點，因，故，
由圖知當且僅當三點共線時取得最小值為長，
因的中點為，則為梯形的中位線，且，
，即的最小值為15，B錯誤；
對于C，由，得，當時，，
直線AB的斜率為，C正確；
對于D，設直線的方程為，由消去得，
則，則點P到直線l的距離
，
因此當時，點P到直線l的距離的最小值為14，D正確.
故選：ACD
12．
【詳解】因為，
所以，
．
故答案為：-12
13．12
【詳解】設，則，
因為也成等差數列，所以，
即，即，
所以.
故答案為：12.
14．
【詳解】
設點關于直線對稱的點為，
則,解得，故最短路徑為．
記圓的圓心為，則直線BC的方程為，
聯立，解得，即飲馬點的坐標為．
故答案為：；.
15．(1)
(2)
【詳解】（1）設．因為，所以，
整理得，即曲線的方程為；
（2）設曲線的左焦點為，則．
因為點在雙曲線的右支上，所以，所以．
因為，
所以的周長為．
當Ｑ，Ｐ，三點共線時，取得最小值，
所以周長的最小值為．
16．(1)
(2)
【詳解】（1）設的公差為．因為，所以．
因為，所以，解得，
故．
（2）設的前項和為，則．
當時，；
當時，．
故.
17．(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【詳解】（1）連接BD，交AC于點O，連接OM．
因為底面是矩形，所以O為AC，BD的中點．
因為M是PD的中點，所以．
因為平面，平面，所以平面．
（2）因為平面，所以．
因為，平面，所以平面．
因為平面，所以．
因為，M是PD的中點，所以．
因為平面，所以平面．
（3）以為坐標原點，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，．
由（2）知平面的一個法向量為．
設平面的法向量為，因為，，
所以令，得．
設平面與平面的夾角為，則，
所以平面與平面夾角的余弦值為．
18．(1)，；
(2).
【詳解】（1）因為，所以當時，，所以．
當時，，
兩式相減可得，所以，
所以是首項為1，公比為的等比數列，所以.
設等差數列的公差為，
因為，所以，，，
因為，，成等比數列，
所以，解得（舍去）或，所以.
（2）因為，
所以，，
兩式相減得，
所以.
19．(1)；
(2)①證明見解析；
②.
【詳解】（1）由已知得，
因為，又由，
可解得，
所以橢圓方程為：.
（2）
①設斜率不為0的直線的方程為，
聯立直線和橢圓方程可得，化簡得，
由于橢圓與直線交于兩點，，
因此，所以或，
根據韋達定理可得，，
又因為，，
因此，
令的方程為，橢圓與直線交于兩點，
聯立直線和橢圓方程，化簡得，
同理：，，
，
因此（為定值）．
②由于，又由于，
因此，
化簡可得，設，由于，因此，
因此，
又由于當時，，因此，
因此，
所以面積的取值范圍為．題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
B
D
C
D
B
ABD
AC
題號
11









答案
ACD