河北省保定市部分高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

這是一份河北省保定市部分高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（解析版），共13頁。試卷主要包含了 若復(fù)數(shù)滿足，則， 已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，且，則， 在中，角的對邊分別為，若，則， 已知事件兩兩互斥，若，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所?
故選：C.
2. 已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，且，則（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】由可得，，
因，故，解得.
故選：D.
3. 若是空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】依題意，是空間的一個(gè)基底，
A選項(xiàng)，由于，所以共面，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
B選項(xiàng)，由于不存在實(shí)數(shù)，使得，
所以不共面，所以B選項(xiàng)正確.
C選項(xiàng)，由于，所以共面，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
D選項(xiàng)，由于，
所以共面，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：B.
4. 已知平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)在外，點(diǎn)在內(nèi)，且，則點(diǎn)到平面的距離（ ）
A. 1B. 2C. 3D.
【答案】A
【解析】由題得.
故選：A.
5. 續(xù)航能力關(guān)乎無人機(jī)的“生命力”，太陽能供能是實(shí)現(xiàn)無人機(jī)長時(shí)續(xù)航的重要路徑之一.某大學(xué)科研團(tuán)隊(duì)利用自主開發(fā)的新型靜電電機(jī)，成功研制出僅重克的太陽能動(dòng)力微型無人機(jī)，實(shí)現(xiàn)純自然光供能下的持續(xù)飛行.為激發(fā)同學(xué)們對無人機(jī)的興趣，某校無人機(jī)興趣社團(tuán)在校內(nèi)進(jìn)行選拔賽，8名參賽學(xué)生的成績依次為，則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)（也叫第75百分位數(shù)）為（ ）
A. 93B. 92C. D.
【答案】D
【解析】8名學(xué)生的成績從低到高依次為，且，
故上四分位數(shù)為.
故選：D.
6. 在中，角的對邊分別為，若，則（ ）
A. 6B. 4C. 3D. 2
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?，而?br>在中，，所以，故，
由余弦定理得，
代入得，
，故，
故，故B正確.故選：B.
7. 某人忘記了一位同學(xué)電話號碼的最后一個(gè)數(shù)字，但確定這個(gè)數(shù)字一定是奇數(shù)，隨意撥號，則撥號不超過兩次就撥對號碼的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)第次撥號撥對號碼.
撥號不超過兩次就撥對號碼可表示，
所以撥號不超過兩次就撥對號碼的概率為.故選：B.
8. 已知圓錐在正方體內(nèi)，，且垂直于圓錐的底面，當(dāng)該圓錐的底面積最大時(shí)，圓錐的體積為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】取的中點(diǎn)，分別記為，
連接，如圖所示，

根據(jù)正方體的性質(zhì)易知六邊形為正六邊形，此時(shí)的中點(diǎn)為該正六邊形的中心，且平面，
當(dāng)圓錐底面內(nèi)切于正六邊形時(shí)，該圓錐的底面積最大.
設(shè)此時(shí)圓錐的底面圓半徑為，因?yàn)?，所以?br>所以，圓錐的底面積，圓錐的高，
所以圓錐的體積.
故選：C.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題為真命題的有（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則或
D. 若，相交，則
【答案】BC
【解析】對于A，若，，則直線可能相交或平行或異面，故A錯(cuò)誤.
對于B，若，則，故B正確.
對于C，若，則或，故C正確.
對于D，若相交，則或與相交，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
10. 已知事件兩兩互斥，若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】對于A，因?yàn)槭录蓛苫コ猓?br>所以，故A錯(cuò)誤.
對于B，由，得，故B正確.
對于D，由，得，故D正確.
對于C，因?yàn)?，所以C正確.
故選：BCD.
11. 已知厚度不計(jì)的容器是由半徑為，圓心角為的扇形以一條最外邊的半徑為軸旋轉(zhuǎn)得到的，下列幾何體中，可以放入該容器中的有（ ）
A. 棱長為的正方體
B. 底面半徑和高均為的圓錐
C. 棱長均為的四面體
D. 半徑為的球
【答案】AC
【解析】設(shè)扇形所在圓的半徑為，對于A，設(shè)正方體的棱長為，如圖，

則可容納的最長對角線，解得，故A正確.
對于C，如圖，

取三段圓弧的中點(diǎn)，則四面體的棱長均為2 m，所以可以容納，故C正確.
對于B，如圖，

同選項(xiàng)C的分析，的外接圓半徑為，所以不可以容納，故B錯(cuò)誤.
對于D，如圖，

設(shè)球的半徑為，按正中間剖開所得的軸截面，如圖，

可知圓與圓內(nèi)切，，
解得，所以不可以容納，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.
12. 《九章算術(shù)》中將正四棱臺(tái)稱為方亭，現(xiàn)有一方亭體積為13，則該方亭的高是______.
【答案】3
【解析】設(shè)正四棱臺(tái)的高為.
因?yàn)椋?br>所以方亭的體積，
解得.
13. 在空間直角坐標(biāo)系中，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為______.
【答案】
【解析】依題意可得，
則，
故異面直線與所成角的余弦值為.
14. 在中，點(diǎn)在邊上，，則的外接圓的半徑為______.
【答案】
【解析】設(shè)，則，
由，得，
即，
又，所以，即，
又，所以，
所以，則，
所以，所以，
則外接圓的半徑為.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 某高中為了解本校高二年級學(xué)生的體育鍛煉情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們每天體育鍛煉的時(shí)間，并以此作為樣本，按照進(jìn)行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.已知樣本中體育鍛煉時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生有10人.
（1）求頻率分布直方圖中和的值；
（2）估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)（求平均數(shù)時(shí)，同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.
解：（1）由題意可知，學(xué)生每天體育鍛煉的時(shí)間在[50，60）內(nèi)的頻率為，
則，
由各組頻率之和為1，可知，
解得.
（2）前3組的頻率之和為，
前4組的頻率之和為，
所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)在第4組，設(shè)為，
所以，解得，
估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是72分鐘；
估計(jì)平均數(shù)分鐘.
16. 在中，角的對邊分別是，已知.
（1）證明：.
（2）若的面積為1，求.
解：（1）由可得，
故，,
即,
由正弦定理可得，故.
（2）由可得，故,
結(jié)合得,故，
又,故，
故，
由余弦定理可得.
17. 如圖，在四棱錐中，已知底面是邊長為的菱形，，且平面，垂足為.
（1）證明：平面.
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
解：（1）連接，因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，，，
由勾股定理得，，
因?yàn)椋?
又四邊形是菱形，，所以是正三角形，
所以.
由，得是正三角形，.
所以，
即.
由平面，平面，
可得.
因?yàn)?，平面?br>所以平面.
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.
因?yàn)椋?br>所以，
則，
，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
由得
取，可得.
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
即直線與平面所成角的正弦值為.
18. 在正四棱柱中，已知，點(diǎn)分別在棱上，且四點(diǎn)共面，.
（1）若，記平面與底面的交線為，證明：.
（2）若，記四邊形的面積為，求的最小值.
解：（1）連接，
因?yàn)椋?br>所以，則.
在正四棱柱中，易知，
所以四邊形是平行四邊形，從而.
又平面，平面，所以平面.
又平面，平面平面，所以.
（2）由正四棱柱對面平行，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得，即四邊形為平行四邊形.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.
，
則，
，
，
化簡可得.
因?yàn)椋?br>所以，
整理得.
由，
可得.
，
易知在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.
19. 給定平面上一個(gè)圖形D，以及圖形D上的點(diǎn)，如果對于D上任意的點(diǎn)P，為與P無關(guān)的定值，我們就稱為關(guān)于圖形D的一組穩(wěn)定向量基點(diǎn).
（1）已知為圖形D，判斷點(diǎn)是不是關(guān)于圖形D的一組穩(wěn)定向量基點(diǎn)；
（2）若圖形D是邊長為2的正方形，是它的4個(gè)頂點(diǎn)，P為該正方形上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；
（3）若給定單位圓及其內(nèi)接正2024邊形為該單位圓上的任意一點(diǎn)，證明是關(guān)于圓的一組穩(wěn)定向量基點(diǎn)，并求的值.
解：（1）點(diǎn)不是關(guān)于的一組穩(wěn)定向量基點(diǎn)，理由如下：
當(dāng)與重合時(shí)，有，
當(dāng)與重合時(shí)，有，
故不是關(guān)于的一組穩(wěn)定向量基點(diǎn).
（2）因?yàn)椋?br>所以，故由正方形結(jié)構(gòu)性質(zhì)得：
當(dāng)與重合時(shí)，取得最大值；當(dāng)與重合時(shí)，取得最小值0.
所以的取值范圍為.
（3）設(shè)單位圓的圓心為，
則，
所以，
因?yàn)槎噙呅问钦?024邊形，
所以由偶數(shù)邊的正多邊形圖形結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知，故，
又，所以，
故是關(guān)于圓的一組穩(wěn)定向量基點(diǎn)，且.