（滬教版）數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)【單元測(cè)試】第二十一章 代數(shù)方程（夯實(shí)基礎(chǔ)過(guò)關(guān)卷）（2份，原卷版+解析版）

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【單元測(cè)試】第二十一章 代數(shù)方程（夯實(shí)基礎(chǔ)過(guò)關(guān)卷） （考試時(shí)間：90分鐘 試卷滿分：100分） 學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 本卷試題共三大題，共25小題，單選10題，填空8題，解答7題，限時(shí)90分鐘，滿分100分，本卷題型精選核心常考重難易錯(cuò)典題，具備舉一反三之效，覆蓋面積廣，可充分考查學(xué)生雙基綜合能力！ 單選題：本題共10個(gè)小題，每小題2分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)期末）如果關(guān)于的方程無(wú)解，那么滿足（ ）. A． B． C． D．任意實(shí)數(shù) 【答案】B 【分析】根據(jù)ax=b中當(dāng)a=0,b≠0方程無(wú)解可知當(dāng)m-1=0時(shí)關(guān)于的方程無(wú)解． 【詳解】解：由題意得 當(dāng)m-1=0時(shí)關(guān)于的方程無(wú)解 解得m=1， 故選B． 【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程無(wú)解的情況，根據(jù)題意得出關(guān)于m-1=0是解題關(guān)鍵． 2．（2021·福建福州·期末）下列一元二次方程中有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是 A． B． C． D． 【答案】C 【詳解】解：分別解出方程對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一計(jì)算即可：A、無(wú)實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，故本選項(xiàng)正確； D、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選C． 3．（2022·廣東·深圳市高級(jí)中學(xué)八年級(jí)期末）已知直線l1：y=kx+b與直線l2：y=-2x+4交于點(diǎn)C（m，2），則方程組的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)C坐標(biāo)，根據(jù)兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)與方程組的解得關(guān)系即可求解． 【詳解】解：∵y=-2x+4過(guò)點(diǎn)C（m，2）， ∴， 解得， ∴點(diǎn)C（1，2）， ∴方程組的解． 故選擇A． 【點(diǎn)睛】本題考查兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)與方程組的解的關(guān)系，掌握兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)與方程組的解是解題關(guān)鍵． 4．（2021·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）下列方程中，有實(shí)數(shù)根的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先移項(xiàng)，再根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性即可判斷A；根據(jù)根的判別式即可判斷B；根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性得出且，即可判斷C；方程兩邊都乘以，再求出方程的解，進(jìn)行檢驗(yàn)后即可判斷D． 【詳解】解：A、， 移項(xiàng)，得， 不論為何值，， 此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意； B、， △， 此方程無(wú)解， 即原方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意； C、， 且， 此時(shí)不存在， 即原方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意； D、， 方程兩邊都乘以，得， 解得：， 經(jīng)檢驗(yàn)是增根，是原方程的解， 即原方程有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)符合題意； 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查了解無(wú)理方程，算術(shù)平方根，四次方根，解分式方程等知識(shí)點(diǎn)，能把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化成有理方程和把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵． 5．（2021·山東萊西·八年級(jí)期中）解分式方程＝1時(shí)，去分母后變形為（ ） A．x2﹣2＝1 B．x2﹣2（x﹣1）＝1 C．x2﹣2（x﹣1）＝x（x﹣1） D．x2﹣2x﹣1＝x（x﹣1） 【答案】C 【分析】根據(jù)方程兩邊都乘x（x﹣1），即可求解． 【詳解】解：＝1， 去分母，得x2﹣2（x﹣1）＝x（x﹣1）． 故選：C 【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的基本步驟是解題的關(guān)鍵． 6．（2021·上海浦東新·八年級(jí)期末）下列方程中，是無(wú)理方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根據(jù)無(wú)理方程的定義：方程中含有根式，且開(kāi)方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無(wú)理方程；逐個(gè)判斷即可． 【詳解】解：A．根號(hào)下不含未知數(shù)，是有理方程，不是無(wú)理方程，故本選項(xiàng)不符合題意；B．根號(hào)下不含未知數(shù)，是有理方程，不是無(wú)理方程，故本選項(xiàng)不符合題意；C．方程中含有二次根式，且被開(kāi)方數(shù)含有x，所以是無(wú)理方程，故本選項(xiàng)符合題意；D．根號(hào)下不含未知數(shù)，是有理方程，不是無(wú)理方程，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理方程的定義，能熟記無(wú)理方程的定義是解此題的關(guān)鍵． 7．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知x，y滿足方程組．則的值為（　　） A． B．± C． D．± 【答案】D 【分析】利用加減消元法化簡(jiǎn)原方程組，得出xy的值，再利用完全平方公式及開(kāi)平方，得出x+2y的值，然后將要求的式子通分，最后將xy和x+2y的值代入即可得出答案． 【詳解】解： ②×3﹣①×2得：3xy+4xy＝108﹣94 ∴xy＝2③ 將③代入②得：x2+4y2＝17 ∴ ＝x2+4y2+4xy ＝17+8 ＝25 ∴x+2y＝5或x+2y＝﹣5 ∴＝＝± 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題主要考查解方程組，巧妙地運(yùn)用加減消元法化簡(jiǎn)得出的值，再利用完全平方公式得出的值是解題的關(guān)鍵． 8．（2021·安徽金寨·八年級(jí)期末）某手機(jī)廠商一月份生產(chǎn)手機(jī)20萬(wàn)臺(tái)，計(jì)劃二、三月份共生產(chǎn)手機(jī)45萬(wàn)臺(tái)，設(shè)二、三月平均每月增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列出方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】考查增長(zhǎng)率問(wèn)題，一般用增長(zhǎng)后的量=增長(zhǎng)前的量×（1+增長(zhǎng)率），如果設(shè)二、三月份每月的平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)“計(jì)劃二、三月份共生產(chǎn)45萬(wàn)臺(tái)”，即可列出方程． 【詳解】解：設(shè)二、三月平均每月增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列出方程為： 20（1+x）+20（1+x）2=45， 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程． 9．（2021·陜西·高新一中八年級(jí)期末）為迎接建黨一百周年，某校舉行歌唱比賽．901班啦啦隊(duì)買(mǎi)了兩種價(jià)格的加油棒助威，其中熒光棒共花費(fèi)40元，繽紛棒共花費(fèi)30元，繽紛棒比熒光棒少20根，繽紛棒單價(jià)是熒光棒的1.5倍．若設(shè)熒光棒的單價(jià)為元（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若設(shè)熒光棒的單價(jià)為元，根據(jù)等量關(guān)系“繽紛棒比熒光棒少20根”可列方程求解． 【詳解】解：設(shè)熒光棒的單價(jià)為元，則繽紛棒單價(jià)是元，由題意可得： 故選：B． 【點(diǎn)睛】考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，應(yīng)用題中一般有三個(gè)量，求一個(gè)量，明顯的有一個(gè)量，一定是根據(jù)另一量來(lái)列等量關(guān)系的．本題分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 10．（2021·安徽·六安市輕工中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx＋b和y＝mx＋n相交于點(diǎn)（2，－1）則關(guān)于x、y的方程組的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根據(jù)題意直接利用方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行分析解決問(wèn)題． 【詳解】解：∵一次函數(shù)和相交于點(diǎn)（2，-1）， ∴關(guān)于x、y的方程組的解為． 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題與二元一次方程（組）解得關(guān)系，理清二者的聯(lián)系是解題關(guān)鍵． 二、填空題：本題共8個(gè)小題，每題3分，共24分。 11．（2021·廣東·江門(mén)市第二中學(xué)二模）設(shè)a為一元二次方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則______． 【答案】6065 【分析】根據(jù)a為一元二次方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，可以得到的值，從而可以求得所求式子的值． 【詳解】解：∵a為一元二次方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根， ∴， ∴， ∴ 故答案為：6065． 【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解，明確題意，利用整體的數(shù)學(xué)思想解答是解題的關(guān)鍵． 12．（2021·河北灤南·九年級(jí)期末）若實(shí)數(shù)，滿足，，則的值為_(kāi)_______． 【答案】或 【分析】當(dāng)時(shí)，由實(shí)數(shù)，滿足，，可把，可以看成一元二次方程的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，兩根之和等于，兩根之積等于，即可得到，，再將化簡(jiǎn)，代入數(shù)據(jù)求解即可；當(dāng)時(shí)，代入原式求解即可． 【詳解】解：當(dāng)時(shí)， 實(shí)數(shù)，滿足，， ，可以看成一元二次方程的兩個(gè)根， 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：，， 原式 ， 當(dāng)時(shí)， 原式 ， 綜上所述，的值為：或． 故答案為：或． 【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，分式的化簡(jiǎn)，掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 13．（2022·廣東南海·八年級(jí)期末）一次函數(shù)y＝kx+b與y＝x+2的圖象交點(diǎn)在y軸上，則關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是 _____． 【答案】 【分析】一次函數(shù)y＝kx+b與y＝x+2的圖象交點(diǎn)在y軸上，可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，從而可求解交點(diǎn)的坐標(biāo)，可得方程組的解. 【詳解】解： 一次函數(shù)y＝kx+b與y＝x+2的圖象交點(diǎn)在y軸上， 把代入得： 所以的交點(diǎn)坐標(biāo)為： 故答案為： 【點(diǎn)睛】本題考查的是利用一次函數(shù)圖象求解二元一次方程組的解，掌握“一次函數(shù)的圖象及一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)”是解本題的關(guān)鍵. 14．（2021·上海市民辦新竹園中學(xué)七年級(jí)期中）當(dāng)__時(shí)，關(guān)于的方程會(huì)產(chǎn)生增根． 【答案】6或 【分析】先將分式方程化為整式方程，再求得分式方程的增根，然后求解即可． 【詳解】解：方程兩邊都乘，得 ， 最簡(jiǎn)公分母為， 原方程增根為或2， 把代入整式方程，得，解得； 把代入整式方程，得，解得． 故答案為：6或． 【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的增根，先把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，若整式方程的解使分式方程的分母為0，則這個(gè)整式方程的解就是分式方程的增根，掌握分式方程的增根是解題的關(guān)鍵． 15．（2022·上海徐匯·八年級(jí)期末）方程的解是___________． 【答案】 【分析】由可以得出或且，由此求得原方程的解即可． 【詳解】解：∵， ∴或且， 解得：且， ，不合題意，舍去， ∴． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查了解無(wú)理方程，注意被開(kāi)方數(shù)必須大于或等于0，求此類(lèi)方程的解必須滿足這一條件． 16．（2021·上海奉賢·八年級(jí)期末）如果一個(gè)二元二次方程的一個(gè)解是，那么這個(gè)二元二次方程可以是 ___．（只需寫(xiě)一個(gè)） 【答案】（答案不唯一） 【分析】給出二元二次方程組的解，只需要寫(xiě)出兩個(gè)二次方程，讓方程的解滿足方程即可． 【詳解】解：因?yàn)榉匠探M的解是：， 我們可以寫(xiě)出兩個(gè)關(guān)于和的二元二次方程 ． 故答案為：．（答案不唯一）． 【點(diǎn)睛】本題考查方程組解的概念，并非唯一答案，只需要所列方程組是二元二次方程組，滿足就是可以的． 17．（2022·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)期末）小亮利用8個(gè)同樣大小的長(zhǎng)方形小木塊拼成下面兩個(gè)圖形，經(jīng)測(cè)量得知圖②中的小正方形（陰影部分）的面積為，則一個(gè)長(zhǎng)方形小木塊的周長(zhǎng)為_(kāi)_______. 【答案】16 【分析】仔細(xì)觀察圖形，發(fā)現(xiàn)本題中2個(gè)等量關(guān)系為：小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)小長(zhǎng)方形的寬，（小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)小長(zhǎng)方形的寬小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)小長(zhǎng)方形的寬．根據(jù)這兩個(gè)等量關(guān)系可列出方程組，即可求出小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)． 【詳解】解：設(shè)這8個(gè)大小一樣的小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為． 由題意，得， 解得． 小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為， 故答案為． 【點(diǎn)睛】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是弄清題意，找到合適的等量關(guān)系，列出方程組．解決本題需仔細(xì)觀察圖形，發(fā)現(xiàn)大長(zhǎng)方形的對(duì)邊相等及正方形的面積個(gè)小長(zhǎng)方形的面積小正方形的面積是關(guān)鍵． 18．（2022·北京·八年級(jí)期末）“有一種速度叫中國(guó)速度，有一種驕傲叫中國(guó)高鐵．”快速發(fā)展的中國(guó)高速鐵路，正改變著中國(guó)人的出行方式．下表是從北京到上海的兩次列車(chē)的相關(guān)信息： 已知從北京到上海乘坐G27次高鐵列車(chē)比T109次特快列車(chē)用時(shí)少10小時(shí)26分鐘．設(shè)G27次高鐵列車(chē)的平均速度為x km/h，根據(jù)題意可列方程為_(kāi)___________． 【答案】 【分析】由題意直接依據(jù)從北京到上海乘坐G27次高鐵列車(chē)比T109次特快列車(chē)用時(shí)少10小時(shí)26分鐘建立分式方程即可. 【詳解】解：由題意設(shè)G27次高鐵列車(chē)的平均速度為x km/h， 可得. 故答案為：. 【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意并根據(jù)題干所給定的等量關(guān)系建立方程是解題的關(guān)鍵. 三、解答題：本題共7個(gè)小題，19-23每題7分，24小題9分，25每題12分，共56分。 19．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠?(1)； (2) 【答案】（1），；（2），． 【分析】利用求根公式法解方程即可；先移項(xiàng)，然后利用因式分解法解方程即可． 【詳解】解：（1）∵，，． ∴ ， ∴，； ， ， 或， ∴，． 【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法也考查了公式法解一元二次方程． 20．（2022·重慶·八年級(jí)期末）解分式方程 （1） （2） （3） （4）（在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)求解） 【答案】（1）；（2）無(wú)解；（3）或；（4） 【分析】 （1）方程兩邊同時(shí)乘以，將分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解再驗(yàn)根即可； （2）方程兩邊同時(shí)乘以，將分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解再驗(yàn)根即可； （3）由①可得：，即，將二元二次方程組轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二元一次方程組，分別求解即可； （4）利用換元法，令，將方程整理得到，解得或，即或，分別求解即可． 【詳解】解：（1） 方程兩邊同時(shí)乘以可得： 解得： 即， 經(jīng)檢驗(yàn)得是分式方程的解； （2） 整理，得： 方程兩邊同時(shí)乘以可得：， 解得， 當(dāng)時(shí)，原分式方程的分母為0， 故該分式方程無(wú)解； （3） 由①可得：，即， ∴或， 解得或； （4） 整理，得：， 令，即，解得或， ∴或， 解得， 經(jīng)檢驗(yàn)得是分式方程的解． 【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程、解二元二次方程組，根據(jù)方程特點(diǎn)選擇合適的求解方法是解題的關(guān)鍵． 21．（2022·廣東海豐·八年級(jí)期末）已知：， (1)化簡(jiǎn)分式； (2)若關(guān)于的分式方程：的解是非負(fù)數(shù)，求的取值范圍； (3)當(dāng)取什么整數(shù)時(shí)，分式的值為整數(shù)． 【答案】(1) (2)且 (3)當(dāng)時(shí)，分式的值為；當(dāng)時(shí)，分式的值為0；當(dāng)時(shí)，分式的值為；當(dāng)時(shí)，分式的值為0 【解析】 【分析】 （1）將分式的分子、分母分解因式，將除法化為乘法，約分計(jì)算即可； （2）將A、B的值代入解方程，根據(jù)解是非負(fù)數(shù)，得到，計(jì)算即可； （3）將A利用完全平方公式及整式加減法添括號(hào)法則變形為，由值為整數(shù)得到x的值，代入計(jì)算． (1) 解： ； (2) 解：由題意： ， ， ． ∵解是非負(fù)數(shù)， ∴ ∴． ∵即， ∴， 解得， ∴且； (3) 解： ． 當(dāng)時(shí)，分式的值為； 當(dāng)時(shí)，分式的值為0； 當(dāng)時(shí)，分式的值為； 當(dāng)時(shí)，分式的值為0． 【點(diǎn)睛】此題考查了分式的除法運(yùn)算法則，解分式方程，正確掌握分式的分解，運(yùn)算法則，完全平方公式是解題的關(guān)鍵． 22．（2021·上海金山·八年級(jí)期末）在2021“五五購(gòu)物節(jié)”中，某商店的兩種品牌的小電器參與促銷(xiāo)活動(dòng)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)，每天的銷(xiāo)售中，乙品牌小電器的銷(xiāo)售數(shù)量y（件）與甲品牌小電器的銷(xiāo)售量x（件）符合如圖表示的函數(shù)關(guān)系． （1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不必寫(xiě)出白變量x的取值范圍）； （2）在5月2日一天的銷(xiāo)售中，甲、乙兩種品牌的小電器的銷(xiāo)售額分別為1200元和1440元，已知甲品牌的小電器單價(jià)比乙品牌的小電器單價(jià)多20元，求甲、乙兩種品牌的小電器的單價(jià)．（其中小電器的單價(jià)大于100元） 【答案】（1）；（2）甲品牌的小電器單價(jià)為200元，乙品牌的小電器單價(jià)為180元 【分析】 （1）根據(jù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式； （2）設(shè)甲品牌的小電器單價(jià)m元，則乙品牌的小電器單價(jià)為（m-20）元，根據(jù)甲、乙兩種品牌的小電器的銷(xiāo)售額分別為1200元和1440元，即可得出關(guān)于m的方程組，解之即可得出結(jié)論． 【詳解】解：（1）設(shè)關(guān)于的函數(shù)解析式為． 將，代入得： ， 解得：， 關(guān)于的函數(shù)解析式為； （2）設(shè)甲品牌的小電器單價(jià)元，則乙品牌的小電器單價(jià)為元， 依題意得：， 解得：，． 小電器的單價(jià)大于100元， ， （元）， 答：甲品牌的小電器單價(jià)為200元，則乙品牌的小電器單價(jià)為180元． 【點(diǎn)睛】本題考查了方程組的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程組． 23．（2021·河南永城·九年級(jí)期末）如圖，直線和雙曲線交于，兩點(diǎn)，軸，垂足為，射線，交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且四邊形的面積為1． （1）求雙曲線的解析式． （2）求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)． 【答案】1）雙曲線的解析式為；（2）A(1，1)，B(-1，-1)． 【分析】 （1）過(guò)A作AF⊥y軸于F，利用角平分線性質(zhì)可得AE=AF，可證△CAF≌△DAE（ASA），可證S△CAF=S△DAE，可求S正方形OFAE =S四邊形CADO=1即可； （2）聯(lián)立方程組，解方程組即可． 【詳解】解：（1）過(guò)A作AF⊥y軸于F， ∵直線是一三象限的角平分線，軸，AF⊥y軸， ∴AE=AF， ∵， ∴∠CAD=90°， ∴∠CAF+∠FAD=90°，∠FAD+∠DAE=90°， ∴∠CAF=∠DAE， ∵∠CFA=∠DEA=90° ∴△CAF≌△DAE（ASA）， ∴S△CAF=S△DAE， ∴S正方形OFAE=S四邊形OFAD+S△DAE= S四邊形OFAD+S△CAF=S四邊形CADO=1， ∴k=1， 雙曲線的解析式為； （2）∵直線和雙曲線交于，兩點(diǎn)， ∴聯(lián)立方程組， 消去y得， 解得， ∴y=x=， A(1，1)，B(-1，-1)． 【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)解析式，三角形全等，面積和差計(jì)算，解方程組，掌握反比例函數(shù)解析式，三角形全等，面積和差計(jì)算，解方程組，引輔助線構(gòu)造三角形全等是解題關(guān)鍵． 24．（2022·浙江杭州·八年級(jí)期末）某汽車(chē)公司有甲、乙兩種貨車(chē)可供租用，現(xiàn)有一批貨物要運(yùn)往某地，貨主準(zhǔn)備租用該公司貨車(chē)，已知甲，乙兩種貨車(chē)運(yùn)貨情況如下表： （1）甲、乙兩種貨車(chē)每輛可裝多少噸貨物？ （2）若某貨主共有20噸貨物，計(jì)劃租用該公司的貨車(chē)，正好（每輛貨車(chē)都滿載）把這批貨物運(yùn)完，則該貨主有________種租車(chē)方案？ （3）王先生要租用該公可的甲、乙兩種貨車(chē)送一批貨，如果租用甲種貨車(chē)數(shù)量比乙種貨車(chē)數(shù)量多1輛，而乙種貨車(chē)每輛的運(yùn)費(fèi)是甲種貨車(chē)的1.4倍，結(jié)果甲種貨車(chē)共付運(yùn)費(fèi)800元，乙種貨車(chē)共付運(yùn)費(fèi)980元，試求此次甲、乙兩種貨車(chē)每輛各需運(yùn)費(fèi)多少元？ 【答案】（1）甲種貨車(chē)每輛可裝2噸貨物，乙種貨車(chē)每輛可裝3噸貨物；（2）4種租車(chē)方案；（3）甲種貨車(chē)每輛需運(yùn)費(fèi)100元，乙種貨車(chē)每輛需運(yùn)費(fèi)140元 【分析】 （1）設(shè)甲種貨車(chē)每輛可裝噸貨物，乙種貨車(chē)每輛可裝噸貨物，根據(jù)第一、二次兩種貨車(chē)運(yùn)貨情況表，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論； （2）設(shè)租用輛甲種貨車(chē)，輛乙種貨車(chē)，根據(jù)貨物的總重量為20噸且每輛貨車(chē)都滿載，即可得出關(guān)于，的二元一次方程，結(jié)合，均為非負(fù)整數(shù)，即可得出各租車(chē)方案； （3）設(shè)甲種貨車(chē)每輛需運(yùn)費(fèi)元，租用甲種貨車(chē)輛，則乙種貨車(chē)每輛需運(yùn)費(fèi)元，租用乙種貨車(chē)輛，根據(jù)總費(fèi)用每輛車(chē)所需費(fèi)用租用該種車(chē)的輛數(shù)，即可得出關(guān)于，的二元二次方程組，解之即可得出結(jié)論． 【詳解】解：（1）設(shè)甲種貨車(chē)每輛可裝噸貨物，乙種貨車(chē)每輛可裝噸貨物， 依題意，得：， 解得：． 答：甲種貨車(chē)每輛可裝2噸貨物，乙種貨車(chē)每輛可裝3噸貨物． （2）設(shè)租用輛甲種貨車(chē)，輛乙種貨車(chē)， 依題意，得：， ． ，均為非負(fù)整數(shù)， 為偶數(shù)， 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，． 共有4種租車(chē)方案，方案1：租用10輛甲種貨車(chē)；方案2：租用7輛甲種貨車(chē)，2輛乙種貨車(chē)；方案3：租用4輛甲種貨車(chē)，4輛乙種貨車(chē)；方案4：租用1輛甲種貨車(chē)，6輛乙種貨車(chē)． （3）設(shè)甲種貨車(chē)每輛需運(yùn)費(fèi)元，租用甲種貨車(chē)輛，則乙種貨車(chē)每輛需運(yùn)費(fèi)元，租用乙種貨車(chē)輛， 依題意，得：， 解得：， ． 答：甲種貨車(chē)每輛需運(yùn)費(fèi)100元，乙種貨車(chē)每輛需運(yùn)費(fèi)140元． 【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、二元一次方程的應(yīng)用以及二元二次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程；（3）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元二次方程組． 25．（2022·江蘇錫山·八年級(jí)期末）某興趣小組利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行電子蟲(chóng)運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)．如圖1，在相距100個(gè)單位長(zhǎng)度的線段AB上，電子蟲(chóng)甲從端點(diǎn)A出發(fā)，勻速往返于端點(diǎn)A、B之間，電子蟲(chóng)乙同時(shí)從端點(diǎn)B出發(fā)，設(shè)定不低于甲的速度勻速往返于端點(diǎn)B、A之間．他們到達(dá)端點(diǎn)后立即轉(zhuǎn)身折返，用時(shí)忽略不計(jì)． 興趣小組成員重點(diǎn)探究了甲、乙迎面相遇的情況，這里的“迎面相遇”包括面對(duì)面相遇、在端點(diǎn)處相遇這兩種．設(shè)甲、乙第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長(zhǎng)度，他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長(zhǎng)度． (1)請(qǐng)直接寫(xiě)出：當(dāng)x＝20時(shí)，y的值為_(kāi)________；當(dāng)x＝40時(shí)，y的值為_(kāi)_______； (2)興趣小組成員發(fā)現(xiàn)了y與x的函數(shù)關(guān)系，并畫(huà)出了部分函數(shù)圖像（如圖2中的線段OM，但不包括點(diǎn)O，因此點(diǎn)O用空心畫(huà)出） ①請(qǐng)直接寫(xiě)出：a＝_______； ②分別求出各部分圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并在圖2中補(bǔ)全函數(shù)圖像，標(biāo)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)； (3)設(shè)甲、乙第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長(zhǎng)度，他們第三次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為z個(gè)單位長(zhǎng)度．若z不超過(guò)40，則x的取值范圍是_______（直接寫(xiě)出結(jié)果）． 【答案】(1)60，80 (2)①；②，補(bǔ)全函數(shù)圖像見(jiàn)解析，標(biāo)出N（50，50） (3)0＜x≤8或32≤x≤48 【分析】 （1）①根據(jù)題意可得相遇點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離為80個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)甲的速度為v，乙的速度為b，由所用時(shí)間相等得出，求出甲從相遇點(diǎn)到B所用的時(shí)間為，乙從相遇點(diǎn)到點(diǎn)A再返回點(diǎn)B所用的時(shí)間為，根據(jù)題意列出方程求解即可得； ②解法與①方法類(lèi)似，求解即可； （2）①當(dāng)?shù)诙蜗嘤鳇c(diǎn)剛好在點(diǎn)B時(shí)，設(shè)甲的速度為v，則乙的速度為：，根據(jù)題意得出方程求解可得； ②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段OM上，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)M代入可確定此段的函數(shù)解析式；當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，此時(shí)第二次相遇點(diǎn)是甲在到點(diǎn)B返回向點(diǎn)A時(shí)，設(shè)設(shè)甲的速度為v，則乙的速度為：，根據(jù)題意列出相應(yīng)方程化簡(jiǎn)即可確定第二段函數(shù)解析式，然后描出特殊點(diǎn)，作出圖象即可； （3）甲乙第三次迎面相遇時(shí)，共有3種情況，結(jié)合圖象進(jìn)行分析，然后列出方程得出z與x的函數(shù)解析式，然后代入不等式求解即可得． 【詳解】(1)解：①∵相遇點(diǎn)與點(diǎn)A相距20個(gè)單位長(zhǎng)度， ∴相遇點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離為：個(gè)單位長(zhǎng)度， 設(shè)甲的速度為v，乙的速度為b， 則， ∴， ∴甲從相遇點(diǎn)到B所用的時(shí)間為：， 乙從相遇點(diǎn)到點(diǎn)A再返回點(diǎn)B所用的時(shí)間為：， ∵， ∴甲與乙第二次相遇時(shí)，乙從第一次相遇點(diǎn)到點(diǎn)A，返回到點(diǎn)B，再返回向A時(shí)與甲第二次相遇，此時(shí)相遇點(diǎn)距離點(diǎn)A為y個(gè)單位長(zhǎng)度， 根據(jù)題意可得： ， 解得：； ②∵相遇點(diǎn)與點(diǎn)A相距40個(gè)單位長(zhǎng)度， ∴相遇點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離為：個(gè)單位長(zhǎng)度， 設(shè)甲的速度為v，乙的速度為b， 則， ∴， ∴甲從相遇點(diǎn)到B所用的時(shí)間為：， 乙從相遇點(diǎn)到點(diǎn)A所用的時(shí)間為：， 乙從相遇點(diǎn)到點(diǎn)A再返回點(diǎn)B所用的時(shí)間為：， ∵， ∴甲從相遇點(diǎn)到A，然后返回，乙從相遇點(diǎn)到B，然后返回途中，第二次迎面相遇，設(shè)相遇點(diǎn)距離點(diǎn)A為y個(gè)單位長(zhǎng)度， 根據(jù)題意可得： ， 解得：； 故答案為：60；80； (2) 解：①結(jié)合圖象可得：當(dāng)?shù)诙蜗嘤鳇c(diǎn)剛好在點(diǎn)B時(shí)，設(shè)甲的速度為v， 則乙的速度為：， 根據(jù)題意可得：， 解得：， 經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的解， ∴， 故答案為：； ②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段OM上， 設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)M代入可得： ， 解得：， ∴當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，， 即當(dāng)時(shí)，此時(shí)第二次相遇點(diǎn)是甲在到點(diǎn)B返回向點(diǎn)A時(shí)， 設(shè)設(shè)甲的速度為v，則乙的速度為：， 根據(jù)題意可得：， 化簡(jiǎn)得：， 當(dāng)時(shí)，， ∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)，描點(diǎn)，連接即可得出函數(shù)圖象， 綜上可得：， 函數(shù)圖象如圖所示： (3) 解：甲乙第三次迎面相遇時(shí)，共有3種情況： ①如圖所示： 由題意可得： ， 化簡(jiǎn)得：， ∵第三次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離不超過(guò)40個(gè)單位長(zhǎng)度， 且， 解得：； ②如圖所示： 根據(jù)題意可得：， 化簡(jiǎn)得：， ∵， ∴， 解得：， ③如圖所示： 根據(jù)題意可得：， 化簡(jiǎn)得：， ∵， ∴， 解得：， 綜合①②③可得：相遇點(diǎn)與A點(diǎn)之間的距離x的取值范圍為：或， 故答案為：或． 【點(diǎn)睛】題目主要考查一次函數(shù)、分式方程及不等式的應(yīng)用，求解一次函數(shù)解析式，作函數(shù)圖象等，理解題意，作出相應(yīng)圖形，列出方程及不等式是解題關(guān)鍵．出行方式出發(fā)站－到達(dá)站路程平均速度特快列車(chē)T109北京－上海全程1463km98 km/h高鐵列車(chē)G27北京南－上海虹橋全程1325kmx km/h第一次第二次甲種貨車(chē)（輛）25乙種貨車(chē)（輛）36累計(jì)運(yùn)貨（噸）1328