高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊2.5.2 橢圓的幾何性質(zhì)練習(xí)

這是一份高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊2.5.2 橢圓的幾何性質(zhì)練習(xí)，共57頁。

知識點01 橢圓的幾何性質(zhì)
【即學(xué)即練1】（23-24高二上·云南昆明·期末）焦點在y軸上，且長軸長與短軸長之比為4:1，焦距為215的橢圓方程為（ ）
A．x264+y24=1B．x24+y264=1
C．x216+y2=1D．x2+y216=1
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得到方程組，求出b=1,a=4，結(jié)合焦點位置，得到橢圓方程.
【詳解】由題意得2a2b=4，2c=215，又c2=a2-b2，
解得b=1,a=4，
故橢圓方程為x2+y216=1.
故選：D
【即學(xué)即練2】（23-24高二上·四川德陽·階段練習(xí)）已知焦點在x軸上的橢圓x2m+y28=1的焦距是2，則該橢圓的長軸長為 .
【答案】6
【分析】根據(jù)焦點以及焦距即可根據(jù)a,b,c的關(guān)系求解.
【詳解】由于x2m+y28=1為焦點在x軸上，所以a2=m,b2=8,c=a2-b2=m-8，
由于焦距是2，所以2c=2?c=1=m-8，所以m=9，
故長軸長為2a=6，
故答案為：6
知識點02橢圓的離心率
1.定義：e＝eq \f(c,a).
2.離心率的范圍為：(0,1).
3.公式拓展：e＝eq \f(c,a)=1-b2a2
4.e越大，橢圓越扁平；e越小，橢圓越接近于圓.
【即學(xué)即練3】（21-22高二上·陜西銅川·期末）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短軸長為2，焦距為23，則該橢圓的離心率為（ ）
A．12B．23C．32D．63
【答案】C
【分析】由題求出b、c、a，即可求出離心率.
【詳解】由題的2b=2?b=1,2c=23?c=3，
所以a=b2+c2=2，
所以離心率為ca=32，
故選：C.
【即學(xué)即練4】（24-25高二上·湖南衡陽·階段練習(xí)）若橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)滿足a=2b，則該橢圓的離心率e=（ ）
A．12B．32C．33D．54
【答案】B
【分析】由橢圓離心率的公式e=ca=1-b2a2計算.
【詳解】橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)滿足a=2b，
則該橢圓的離心率e=ca=c2a2=1-b2a2=1-14=32.
故選：B.
難點：數(shù)形結(jié)合的運用
示例1：（24-25高二上·浙江溫州·階段練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2，過F1的直線與橢圓C交于M,N兩點，若2S△MNF2=5S△MF1F2且∠F2F1N=∠F2NF1，則橢圓C的離心率為（ ）
A．35B．22C．13D．32
【答案】A
【分析】作F2E⊥MN，結(jié)合條件可得MF1MN=25，結(jié)合橢圓定義求出ME,MF2,F1E，在Rt△MEF2，Rt△F1EF2中，分別由勾股定理建立等式得到a,c的方程，求得答案.
【詳解】如圖，F(xiàn)2E⊥MN，垂足為E，
因為∠F2F1N=∠F2NF1，所以F1F2=NF2=2c，E為F1N的中點，
∴F1N=2a-2c，F(xiàn)1E=a-c，
∵2S△MNF2=5S△MF1F2，
∴2MN?F2E×12=5MF1?F2E×12，整理得MF1MN=25，
所以MF1=25MF1+2F1E，即MF1=43F1E，
∴ME=43a-c+a-c=73a-c，
MF2=2a-MF1=2a-232a-2c=4c+2a3，
在Rt△MEF2中，ME2+EF22=MF22，在Rt△F1EF2中，F(xiàn)1F22-F1E2=EF22，
∴2c2-a-c2+73a-c2=4c+2a32，
化簡整理得5c2-8ac+3a2=0，
∴5e2-8e+3=0，解得e=1或35，又00的兩個焦點分別為F1-3,0,F23,0，上的頂點為P，且∠F1PF2=60°，則此橢圓長軸為（ ）
A．43B．23C．6D．12
【答案】D
【分析】根據(jù)焦點坐標(biāo)得到c，再由∠F1PF2=60°得到a，c的關(guān)系求解.
【詳解】因為橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的兩個焦點分別為F1-3,0,F23,0，則c=3，
又上頂點為P，且∠F1PF2=60°，所以ca=sin30°=12，所以a=6，故長軸長為12.
故選：D
變式2．（2024·江西·模擬預(yù)測）橢圓C:x280+y235=1的長軸長與焦距之差等于（ ）
A．5B．25C．26D．36
【答案】B
【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出a,b,c，再求長軸長2a與焦距2c之差.
【詳解】由題得a2=80，b2=35，所以a=45，c=a2-b2=35，
所以長軸長2a=85，焦距2c=65，
所以長軸長與焦距之差等于2a-2c =25．
故選：B
變式3．（23-24高二下·廣東廣州·期中）已知橢圓C:x2a2+y2a2-6=1的離心率為32，則橢圓C的長軸長為（ ）
A．23B．42C．43D．62
【答案】B
【分析】首先得到b2=a2-6，即可求出c2=6，再由離心率公式求出a2，最后再求出長軸長.
【詳解】因為a2>a2-6，
依題意可得b2=a2-6，
所以c2=a2-b2=a2-a2-6=6，
則離心率e=ca=c2a2=6a2=32，解得a2=8，則a=22，
所以橢圓C的長軸長為2a=42.
故選：B
變式4．（23-24高二上·福建南平·期末）已知橢圓C:x2m+y2m+6=1的離心率為22，則橢圓C的長軸長為（ ）
A．23B．42C．43D．62
【答案】C
【分析】由離心率公式首先求得參數(shù)m的值，進一步可得a以及長軸長.
【詳解】因為方程C:x2m+y2m+6=1表示橢圓，所以m+6>m>0，
從而e=ca=1-b2a2=1-mm+6=22，解得m=6，
所以a=m+6=23，則橢圓C的長軸長為2a=43.
故選：C.
變式5．（23-24高二上·江蘇宿遷·期末）已知橢圓x2t+12+y2t=1的離心率為63，則橢圓的長軸長為（ ）
A．122B．62C．32D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)離心率的公式，求解t，再根據(jù)方程求橢圓的長軸長.
【詳解】由條件可知，t+12=a2，t=b2，則c2=a2-b2=12，
由條件可知，e2=12t+12=23，得t=6，
所以a2=18，橢圓的長軸長2a=62.
故選：B
變式6．（多選）（23-24高二下·四川雅安·開學(xué)考試）已知橢圓C:x28+y228=1，則（ ）
A．橢圓C的長軸長為47B．橢圓C的焦距為12
C．橢圓C的短半軸長為42D．橢圓C的離心率為357
【答案】AD
【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析其性質(zhì)即可得解.
【詳解】因為橢圓C:x28+y228=1，所以a=27,b=22,c=25，
且橢圓C的焦點在y軸上，所以橢圓C的長軸長為47，焦距為45，短半軸長為22，離心率e=ca=357．
故選：AD
變式7．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓C:x216+y2b2=1(b>0)的左、右焦點分別為F1,F2，上頂點為A，若AF1⊥AF2，則C的短軸長為 .
【答案】42
【分析】由題意可得△AF1F2為等腰直角三角形，又a=4，計算可求c=22，可求C的短軸長.
【詳解】設(shè)|F1F2|=2c，易知AF1=AF2=a=4，
結(jié)合AF1⊥AF2，可知△AF1F2為等腰直角三角形，
所以F1F2=42=2c，故c=22，
所以b=a2-c2=16-8=22，
所以C的短軸長為2b=42.
故答案為：42.
變式8.（24-25高二上·上?！ふn堂例題）若方程x225-m+y216+m=1表示長軸長為10的橢圓，則實數(shù)m的值為 ．
【答案】0或9
【分析】根據(jù)方程的形式，結(jié)合長軸概念，分類討論得出結(jié)果.
【詳解】當(dāng)焦點在x軸上時，有25-m>16+m>0,25-m=5解得m=0；
當(dāng)焦點在y軸上時，有16+m>25-m>0,16+m=5,解得m=9．
綜上，實數(shù)m的值為0或9．
故答案為：0或9.
【題型2：點與橢圓的位置關(guān)系】
例2．（24-25高二上·全國·課堂例題）已知直線mx+ny-5=0與圓x2+y2=5沒有公共點，則點Pm,n與橢圓x27+y25=1的位置關(guān)系是（ ）
A．在橢圓內(nèi)B．在橢圓外
C．在橢圓上D．不確定
【答案】A
【分析】由直線與圓沒有公共點得m2+n20的左右焦點為F1，F(xiàn)2，右頂點為A，已知點P在橢圓E上，若∠F1PF2=90°，∠PAF2=45°，則橢圓的離心率為（ ）
A．57B．63C．2-1D．3-1
【答案】D
【分析】利用已知條件求出P點坐標(biāo)，代入PF1?PF2=2a2-2c2中形成齊次方程，解出離心率即可.
【詳解】

如圖：由題意不妨設(shè)Px1,y1在第一象限，知PF1+PF2=2a ①，
因為∠F1PF2=90°，所以PF12+PF22=4c2 ②，
所以PF1+PF22-PF12+PF22=2PF1?PF2=4a2-4c2，
則PF1?PF2=2a2-2c2，且OP=c，即x12+y12=c2，
又由∠PAF2=45°，所以HA=PH=y1，又OH=x1，即x1+y1=a，
結(jié)合S△F1PF2=b2解得x1=ac-b2c,y1=b2c，
代入x2a2+y2b2=1a>b>0中，整理得-2ac+2a2-c2=0，
即e2+2e-2=0，解得e=3+1（舍）或e=3-1.
故選：D.
變式4．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2，點M,N在C上（M位于第一象限），且點M,N關(guān)于原點O對稱，若MF1?MF2=0,15MF2=NF2，則C的離心率為（ ）
A．154B．157C．215-27D．15-24
【答案】C
【分析】根據(jù)對稱以及垂直可證四邊形MF1NF2是矩形，即可根據(jù)橢圓定義，以及勾股定理求解x=a-a2-2b2，根據(jù)15MF2=NF2得2c=4a-a2-2b2，即可求解離心率.
【詳解】點M,N關(guān)于原點對稱，所以線段MN,F1F2互相平分，故四邊形MF1NF2為平行四邊形，
又MF1?MF2=0，故∠F1MF2=π2，所以四邊形MF1NF2是矩形，故MN=F1F2，其中NF1=MF2，
設(shè)MF2=x，則MF1=2a-x，由MF12+MF22=F1F22，得(2a-x)2+x2=4c2，整理得x2-2ax+2b2=0，
由于點M在第一象限，所以x=a-a2-2b2，
由15MF2=NF2，得MN=4MF2，即2c=4a-a2-2b2，
整理得7c2+4ac-8a2=0，即7e2+4e-8=0，解得e=215-27．
故選：C
變式5.（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點為F，上、下頂點分別為A，B，點P在以O(shè)F為直徑的圓上，若PA⊥PB，sin∠PFO=33，則E的離心率為（ ）
A．22B．32C．12D．14
【答案】B
【分析】由已知可得點P在以AB為直徑的圓上，P在以O(shè)F為直徑的圓上，進而可得sin∠PFO=OPOF=bc=33，即可得橢圓離心率.
【詳解】
由PA⊥PB易知，點P在以AB為直徑的圓上，
又P在以O(shè)F為直徑的圓上，則PO⊥PF，且OF=c，OP=b，
可知sin∠PFO=OPOF=bc=33，所以c2=3b2，
結(jié)合b2=a2-c2可得，c2=3a2-c2，
解得e=ca=32，
故選：B.
變式6．（24-25高二上·湖南·階段練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(0b>0，
如圖所示則有F1-c,0,F2c,0,Aa,0,B0,b，
直線PF1方程為x=-c，代入方程x2a2+y2b2=1可得y=±b2a，所以P-c,b2a，
又PF2//AB，所以kPF2=kAB，
即b2a-0-c-c=b-00-a，整理可得b=2c；
所以a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，即c2a2=15，
即可得橢圓的離心率為e=ca=c2a2=15=55.
故答案為：55
變式8．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A在C上，點B在y軸上，F(xiàn)1A⊥F1B，F(xiàn)2B=-32F2A，則橢圓C的離心率為 ．
【答案】55/155
【分析】利用橢圓的定義，通過假設(shè)一條焦半徑長，就可以得到其他焦半徑的表示，再利用勾股定理來消元假設(shè)的字母，最后利用一個角和余弦定理來建立一個a,b,c的齊次式，求解離心率.
【詳解】令橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的半焦距為c，
設(shè)|AF2|=m，則|AF1|=2a-m，由點B在y軸上，
F2B=-32F2A，得|BF1|=|BF2|=32m，
而|AB|=52m，F(xiàn)1A⊥F1B，因此|AF1|2+|BF1|2=|AB|2，
即(2a-m)2+(32m)2=(52m)2，解得m=23a，
在Rt△BF2O中，cs∠OF2B=|OF2||BF2|=c32m=ca，
在△AF1F2中，由余弦定理得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2||F1F2|cs∠AF2F1，
即(43a)2=(23a)2+(2c)2-2?23a?2c?(-ca)，
整理得5c2=a2，而e2=c2a2=15，
所以橢圓C的離心率為55．
故答案為：55．
【方法技巧與總結(jié)】
1．橢圓的離心率的求法：
(1)直接求a，c后求e，或利用e＝eq \r(1－\f(b2,a2))，求出eq \f(b,a)后求e.
(2)將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，利用b2＝a2－c2消去b.等式兩邊同除以a2或a4構(gòu)造關(guān)于eq \f(c,a)(e)的方程求e.
2．求離心率范圍時，常需根據(jù)條件或橢圓的范圍建立不等式關(guān)系，通過解不等式求解，注意最后要與區(qū)間(0,1)取交集．
【題型4：離心率取值范圍問題】
例4．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2，且F1F2=2c，點P為直線x=a2c上一點，若點F2在線段PF1的垂直平分線上，則C的離心率的取值范圍是（ ）
A．0,22B．0,33C．22,1D．33,1
【答案】D
【分析】由題意可得PF2≥a2c-c，若點F2在線段PF1的垂直平分線上，可得PF2=F1F2=2c，即2c≥a2c-c，運算求解即可.
【詳解】由題意可知：F2c,0，
因為點P為直線x=a2c上一點，則PF2≥a2c-c，
若點F2在線段PF1的垂直平分線上，可得PF2=F1F2=2c，
則2c≥a2c-c，整理可得c2a2≥13，即e=ca≥33，
所以C的離心率的取值范圍是33,1.
故選：D.
變式1．（23-24高二下·黑龍江齊齊哈爾·期中）已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0上一點A關(guān)于原點的對稱點為點B，F(xiàn)為其右焦點，若AF⊥BF，設(shè)∠ABF=α，且α∈π6,π4，則該橢圓離心率e的取值范圍為（ ）
A．22,3-1B．22,1C．22,32D．33,63
【答案】A
【分析】設(shè)橢圓的左焦點為F1，根據(jù)AF⊥BF，得到四邊形為AF1BF為矩形，再由∠ABF=α，結(jié)合橢圓的定義得到2a=2csinα+2ccsα，然后由e=ca=1sinα+csα求解.
【詳解】設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點為F1，
因為AF⊥BF，所以四邊形為AF1BF為矩形，所以AB=FF1=2c，
因為∠ABF=α，
所以AF=2csinα，BF=2ccsα，則BF1=AF=2csinα，
由橢圓的定義得2a=2csinα+2ccsα，
所以e=ca=1sinα+csα=1222sinα+22csα=12sinα+π4，
因為α∈π6,π4，所以α+π4∈5π12,π2，
所以sinα+π4∈2+64,1，
其中sin5π12=sinπ4+π6=sinπ4csπ6+csπ4sinπ6
=22×32+22×12=6+24，
所以2sinα+π4∈1+32,2，
所以e∈22,3-1.
故選：A
變式2．（23-24高二下·浙江·期中）已知橢圓x2a2+y2b2=1，P為橢圓上一動點（不含左右端點），左右端點為A?B,kAP?kBP≤-23，則離心率e的范圍為（ ）
A．33,1B．0,33C．63,1D．33,63
【答案】B
【分析】將條件中的不等式用坐標(biāo)表示，再結(jié)合橢圓方程化簡不等式，即可求解橢圓的離心率的范圍.
【詳解】設(shè)Px0,y0，x0≠±a，A-a,0，Ba,0，
kAP?kBP=y0x0+a×y0x0-a=y02x02-a2=-b2a2，
由題意可知，-b2a2≤-23，即a2-c2a2≥23，得c2a2≤13，
則e=ca∈0,33.
故選：B
變式3．（23-24高二下·浙江·開學(xué)考試）已知點A是橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左頂點，過點A且斜率為12的直線l與橢圓C交于另一點P（點P在第一象限）．以原點O為圓心，OP為半徑的圓在點P處的切線與x軸交于點Q．若PA≥PQ，則橢圓C離心率的取值范圍是（ ）
A．0,12B．0,22C．12,1D．22,1
【答案】B
【分析】由題意可推得要使PA≥PQ，只需-kPQ≥12，由此設(shè)直線AP方程，并聯(lián)立橢圓方程，求出點Q的坐標(biāo)，進而得到kPQ，令-kPQ≥12，，即可得到a,b的不等關(guān)系，求得答案.
【詳解】要使PA≥PQ，只要∠PQA≥∠PAQ，只要-kPQ≥kPA，
因為直線l的斜率為12，
即只要-kPQ≥12，
設(shè)直線AP方程為：y=12x+a，
聯(lián)立x2a2+y2b2=1y=12x+a，整理可得：a2+4b2x2+2a3x+a4-4a2b2=0,*
因為x1=-a為方程(*)的一個根，
故x2=a4-4a2b2a2+4b2-a=-a3+4b2aa2+4b2,y2=12x2+a=4ab2a2+4b2，
所以點P-a3+4b2aa2+4b2,4ab2a2+4b2，
可得kOP=4ab2-a3+4ab2=4b24b2-a2，
由于OP⊥PQ，故kPQ=a2-4b24b2，
令-kPQ≥12，可得a2-4b24b2≥12，
可得b2b>0)的左、右焦點，點P在橢圓M上，且PF1-PF2=4b，則M的離心率的取值范圍為（ ）
A．0,255B．255,1C．0,32D．32,1
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，由橢圓的定義，分別表示出PF1,PF2，再由橢圓的離心率公式，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意得PF1+PF2=2a,PF1-PF2=4b,則PF1=a+2b,PF2=a-2b，
由PF1=a+2b≤a+c,PF2=a-2b≥a-c，得2b≤c，
即4b2=4a2-c2≤c2，得ca≥255．
故M的離心率的取值范圍為255,1．
故選：B
變式5．（23-24高二上·浙江麗水·期末）設(shè)橢圓C1:x2m+y22=1與橢圓C2:x28+y2m=1的離心率分別為e1, e2，若m∈(2,8)，則（ ）
A．e1e2的最小值為14B．e1e2的最小值為12
C．e1e2的最大值為14D．e1e2的最大值為12
【答案】D
【分析】由橢圓的離心率，結(jié)合橢圓的性質(zhì)及對勾函數(shù)的單調(diào)性求解．
【詳解】已知橢圓C1:x2m+y22=1與橢圓C2:x28+y2m=1的離心率分別為e1，e2，
又m∈(2,8)，
則e1=m-2m，e2=8-m22，
則e1e2=-m2+10m-1622m=10-(m+16m)22，
設(shè)f(m)=m+16m，m∈(2,8)，
則根據(jù)對勾函數(shù)知f(m)在(2,4)為減函數(shù)，在(4,8)為增函數(shù)，
則f(m)∈[8,10)，
則e1e2∈(0,12]，
即e1e2的最大值為12，無最小值．
故選：D．
變式6．（23-24高二上·安徽·期末）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長軸長大于43，當(dāng)m變化時直線x-my+2-2m=0與C都恒過同一個點，則C的離心率的取值范圍是（ ）
A．0,22B．22,1C．0,12D．12,1
【答案】B
【分析】先求出直線所過的定點，由題，此定點也在橢圓上，從而得出a，b，c的關(guān)系，用離心率表示出a，再由題目中長軸長的范圍列出關(guān)于離心率的不等式，求解即可.
【詳解】直線x-my+2-2m=0即x+2=my+2，該直線過定點-2,-2，所以點-2,-2在C上，4a2+4b2=1，即4a2+b2=a2b2，
設(shè)c=a2-b2，則42a2-c2=a2a2-c2，
所以a2=42a2-c2a2-c2 =42-e21-e2，
因為C的長軸長大于43，所以a>23，a2>12，
所以2-e21-e2>3，解得12b>0的右焦點為F1,0，且經(jīng)過點Q2,62
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(2)經(jīng)過橢圓C的右焦點作傾斜角為45°的直線l，直線l與橢圓相交于M，N兩點，求線段MN的長．
【答案】(1)x24+y23=1
(2)247
【分析】（1）根據(jù)橢圓右焦點F1,0，且過點Q2,62，從而可求解.
（2）根據(jù)題意求出直線方程為y=x-1，與橢圓方程聯(lián)立后，利用根與系數(shù)關(guān)系從而可求解.
【詳解】（1）由題意得a2=b2+12a2+64b2=1，
解得a2=4b2=3，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1．
（2）由題意可得直線l的方程為y=x-1，
與橢圓方程聯(lián)立y=x-1x24+y23=1，得7x2-8x-8=0，
設(shè)Mx1,y1，Nx2,y2，則x1+x2=87,x1x2=-87，
故MN=1+k2x1-x2=1+k2x1+x22-4x1x2
=1+12872-4×(-87)=247．
變式8．（23-24高二上·北京西城·期末）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個焦點為5,0，四個頂點構(gòu)成的四邊形面積等于12.設(shè)圓(x-1)2+y2=25的圓心為M,P為此圓上一點.
(1)求橢圓C的離心率；
(2)記線段MP與橢圓C的交點為Q，求PQ的取值范圍.
【答案】(1)53
(2)1,5-455
【分析】（1）根據(jù)四邊形面積得到ab=6，結(jié)合焦點坐標(biāo)，求出a=3,b=2，得到離心率；
（2）PQ=MP-MQ=5-MQ，設(shè)Qx1,y1，得到MQ=59x1-952+165，結(jié)合x1∈-3,3，求出MQ的取值范圍，得到PQ的取值范圍.
【詳解】（1）由題意得c=5,a2=b2+c2，且12?2a?2b=2ab=12，即ab=6，
解得a=3,b=2，
所以橢圓C的離心率e=ca=53.
（2）由題意，得PQ=MP-MQ=5-MQ.
設(shè)Qx1,y1，則x129+y124=1.
所以MQ=x1-12+y12=x1-12+4-49x12=59x1-952+165，.
因為x1∈-3,3，
所以當(dāng)x1=95時，|MQ|min=455；當(dāng)x1=-3時，|MQ|max=4.
所以PQ的取值范圍為1,5-455.
【方法技巧與總結(jié)】
1.定義：連接橢圓上兩個點的線段稱為橢圓的弦．
2.求弦長的方法
①交點法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點的坐標(biāo)，然后運用兩點間的距離公式來求．
②根與系數(shù)的關(guān)系法：
如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長公式為：
|AB|＝eq \r(1＋k2)（x1+x2）2-4x1?x2＝ eq \r(1＋\f(1,k2))（y1+y2）2-4y1?y2.·
【題型7：中點弦問題】
例7．（24-25高二上·山東濱州·階段練習(xí)）已知M4,2是直線l被橢圓x2+4y2=36所截得的線段AB的中點，則直線l的方程為（ ）
A．2x+y-8=0B．x+2y-8=0
C．x-2y-8=0D．2x-y-6=0
【答案】B
【分析】設(shè)出直線l方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理用k表示中點坐標(biāo)，結(jié)合已知中點坐標(biāo)解關(guān)于k的方程可得解.
【詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時，由對稱性可知l被橢圓截得線段AB的中點在x軸上，不合題意；
故可設(shè)直線l的方程為y-2=kx-4，代入橢圓方程x2+4y2=36化簡得，
1+4k2x2+16k-32k2x+64k2-64k-20=0，
有Δ>0，x1+x2=32k2-16k1+4k2=8，解得k=-12，
所以直線l的方程為y-2=-12x-4，即x+2y-8=0.
故選：B.
變式1．（23-24高二上·天津·階段練習(xí)）已知M4,2是直線l被橢圓x2+4y2=36所截得的線段AB的中點，則直線l的方程為（ ）
A．2x+y-8=0B．x+2y-8=0C．x-2y-8=0D．2x-y-8=0
【答案】B
【分析】設(shè)出直線l方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理用k表示中點坐標(biāo)，結(jié)合已知中點坐標(biāo)解關(guān)于k的方程可得
【詳解】當(dāng)直線l斜率不存在時，
由對稱性可知，此時直線l被橢圓x2+4y2=36所截得的線段AB的中點在x軸上，
而已知M4,2是線段AB的中點，不在x軸上，不滿足題意.
故直線斜率存在，可設(shè)斜率為k，則直線的方程為y-2=k(x-4)，
即kx-y+2-4k=0，
代入橢圓的方程化簡得(1+4k2)x2+(16k-32k2)x+64k2-64k-20=0，
所以x1+x2=32k2-16k1+4k2=8，解得k=-12，
故直線l方程為y-2=-12(x-4)，即x+2y-8=0.
故選：B.
變式2．（11-12高二上·浙江衢州·期末）斜率為1的直線與橢圓x24+y23=1相交于A、B兩點，AB的中點為Mm,1，則m= ．
【答案】-43/-113
【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線AB的方程為y=x+b，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達定理代入計算，即可求解.
【詳解】設(shè)直線AB的方程為y=x+b，代入橢圓方程x24+y23=1，
可得7x2+8bx+4b2-12=0，
由韋達定理可得x1+x2=-8b7，
則xM=12x1+x2=-4b7，
則yM=xM+b=-47b+b=3b7=1，則b=73，
所以m=xM=-47×73=-43.
故答案為：-43
變式3．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）過橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點F2(1,0)的直線交該橢圓于A、B兩點，線段AB的中點為M(12,13)，則橢圓E的離心率為 ．
【答案】53/135
【分析】求出直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立結(jié)合弦的中點坐標(biāo)求解即得.
【詳解】依題意，kAB=13-012-1=-23，所以直線AB的方程為y=-23(x-1)，
由y=-23(x-1)x2a2+y2b2=1消去y并整理得(b2+49a2)x2-89a2x+49a2-a2b2=0，
由弦AB的中點為M(12,13)，得89a2b2+49a2=1，解得b2=49a2，
由a>1可得上述關(guān)于x的一元二次方程Δ>0，

所以橢圓E的離心率為e=a2-b2a=53.
故答案為：53
變式4．（23-24高二上·山東青島·階段練習(xí)）已知直線3x+4y-7=0與橢圓x24+y2m=1和交于A，B兩點，且點1,1平分弦AB，則m的值為 ．
【答案】3
【分析】利用點差法，結(jié)合橢圓方程和直線方程，即可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)A,B坐標(biāo)為x1,y1,(x2,y2)，則x124+y12m=1x224+y22m=1，
作差可得(x1-x2)(x1-x2)4=-(y1-y2)(y1+y2)m，則y1-y2x1-x2×y1+y22x1+x22=-m4，
根據(jù)題意可得y1-y2x1-x2=-34，x1+x22=y1+y22=1，則-34×1=-m4，解得m=3.
當(dāng)m=3時，聯(lián)立3x+4y-7=0x24+y33=1，可得21x2-42x+1=0，
其Δ=422-84>0，滿足題意；故m=3.
故答案為：3.
變式5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F，離心率為32，過點F的直線l交橢圓于A,B兩點，若AB的中點為1,1，則直線l的斜率為 ．
【答案】-14
【分析】根據(jù)中點坐標(biāo)公式、橢圓離心率公式，結(jié)合點差法進行求解即可.
【詳解】設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，則AB的中點坐標(biāo)為x1+x22,y1+y22，
由題意可得x1+x2=2，y1+y2=2，
將A，B的坐標(biāo)的代入橢圓的方程：x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1，
作差可得x12-x22a2+y12-y22b2=0，
所以y1-y2x1-x2=-b2a2?x1+x2y1+y2=-b2a2，
又因為離心率e=ca=32，c2=a2-b2，所以a2-b2a2=34，
所以-b2a2=-14，即直線l的斜率為-14，
故答案為：-14.
變式6．（24-25高二上·上海·課堂例題）在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距為23，長軸長是短軸長的2倍，斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓于A、B．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若P為線段AB的中點，設(shè)OP的斜率為k'，求證：k?k'為定值．
【答案】(1)x24+y2=1
(2)證明見解析
【分析】（1）由題意，利用焦距，長軸，短軸間關(guān)系可得答案；
（2）設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，Pm,n，將A，B兩點代入橢圓方程可得k'及k?k'表達式，即可得答案.
【詳解】（1）設(shè)半焦距為c，長半軸為a，短半軸為b，依題意可知2c=232a=4ba2=b2+c2 ， 解得c=3a=2b=1.
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1；
（2）證明：設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，Pm,n，則x1+x2=2m，y1+y2=2n．
把Ax1,y1，Bx2,y2代入橢圓方程x24+y2=1得：x124+y12=1x224+y22=1.
兩式相減可得y2-y1x2-x1=-x2+x14y2+y1，即k=-m4n．又k'=nm，
則k?k'=-m4n?nm=-14，故k?k'為定值．
變式7．（23-24高二下·北京·開學(xué)考試）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e=32，橢圓上任意一點到橢圓的兩個焦點的距離之和為4.若直線l過點-1,0，且與橢圓相交于不同的兩點A,B.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若線段AB中點的縱坐標(biāo)14，求直線l的方程.
【答案】(1)x24+y2=1
(2)x-2y+1=0
【分析】
（1）根據(jù)已知條件及橢圓的簡單幾何性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)已知條件設(shè)出直線l的方程，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立方程組，利用韋達定理及中點坐標(biāo)公式，結(jié)合線段AB中點在直線l上即可求解.
【詳解】（1）由題意可知2a=4,解得a=2，
因為e=ca=32，
所以c=3，
所以b2=a2-c2，解得b2=1.
所以橢圓的方程為x24+y2=1.
（2）由題意可知直線斜率存在，如圖所示
設(shè)l:y=kx+1，設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
y=kx+1x24+y2=1消y得，1+4k2x2+8k2x+4k2-4=0，
所以Δ=8k22-4×1+4k24k2-4=48k2+16>0，解得k∈R.
x1+x2=-8k21+4k2,x1x2=4k2-41+4k2,
設(shè)線段AB中點的坐標(biāo)為Mx0,y0，
所以x0=x1+x22=-8k21+4k22=-4k21+4k2,
y0=kx0+1=k-4k21+4k2+1=k1+4k2,
又因為線段AB中點的縱坐標(biāo)14，
所以y0=k1+4k2=14，解得k=12，
所以直線方程為y=12x+1，即x-2y+1=0.
【方法技巧與總結(jié)】
解決橢圓中點弦問題的兩種方法：
（1）根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標(biāo)公式解決；
（2）點差法：利用交點在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點坐標(biāo)和
【題型8：解答題匯總】
例8．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0經(jīng)過點M1,32，F(xiàn)1、F2是橢圓C的左、右兩個焦點，F(xiàn)1F2=23，P是橢圓C上的一個動點．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點P在第一象限，且PF1?PF2≤14，求點P的橫坐標(biāo)的取值范圍．
【答案】(1)x24+y2=1
(2)0,3．
【分析】（1）依題意得焦點坐標(biāo)，再利用橢圓的定義求得a，進而求得b即可；
（2）設(shè)Px,y(x>0,y>0)，從而可求得PF1?PF2=-3-x2+y2≤14，再把y2=1-x24代入求解即可.
【詳解】（1）由已知得2c=23，∴c=3，
∴F1-3,0，F(xiàn)23,0，MF1=(1+3)2+322=19+834=4+32，
同理MF2=4-32，
∴2a=MF1+MF2=4，
∴a=2，∴b=a2-c2=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1．
（2）設(shè)Px,y(x>0,y>0)，且x24+y2=1，則PF1=-3-x,-y，PF2=3-x,-y，
∴PF1?PF2=-3-x2+y2≤14．
由橢圓方程可得-3-x2+1-x24≤14，
整理得3x2≤9，所以0b>0上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點．
(1)求a，b的值及C的離心率；
(2)若動點P，Q均在C上，且P，Q在x軸的兩側(cè)，求四邊形PF1QF2的面積的取值范圍．
【答案】(1)a=2，b=3，離心率為12
(2)0,23
【分析】（1）待定系數(shù)法求出橢圓方程，并求出離心率；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上求出F1F2=2，結(jié)合P，Q在x軸的兩側(cè)，表達出四邊形PF1QF2的面積并求出取值范圍.
【詳解】（1）因為A-2,0，B1,32在橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0上，
所以-22a2+0=11a2+322b2=1,解得a=2，b=3，
所以c=a2-b2=1，C的離心率為ca=12；
（2）由（1）得x24+y23=1，c=1，
故F1F2=2，
因為動點P，Q均在C上，且P，Q在x軸的兩側(cè)，
所以四邊形PF1QF2的面積S=12?F1F2?yP+yQ=yP+yQ∈0,2b=0,23，
當(dāng)且僅當(dāng)P，Q分別為上頂點和下頂點時，等號成立.
變式2．（23-24高二上·浙江嘉興·期中）給定橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0，稱圓心在原點O，半徑是a2+b2的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個焦點為F2,0，其短軸的一個端點到點F的距離為3．
(1)求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；
(2)若點A，B是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸的兩交點，P是橢圓C上的一個動點，求AP?BP的取值范圍．
【答案】(1)橢圓C的方程為x23+y2=1，其“準(zhǔn)圓”方程為x2+y2=4；
(2)-3,-1.
【分析】（1）根據(jù)已知求橢圓方程中的參數(shù)，即得橢圓方程，再由“準(zhǔn)圓”定義寫出對應(yīng)“準(zhǔn)圓”的方程；
（2）設(shè)Pm,n-3≤m≤3，寫出A，B坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得AP?BP=m2-4+n2，結(jié)合P是橢圓C上及其有界性，即可求范圍.
【詳解】（1）由題意知c=2，且a=b2+c2=3，可得b=a2-c2=1，
故橢圓C的方程為x23+y2=1，其“準(zhǔn)圓”方程為x2+y2=4．
（2）由題意，設(shè)Pm,n-3≤m≤3，則有m23+n2=1，
不妨設(shè)A 2,0，B-2,0，所以AP=m-2,n，BP=m+2,n，
所以AP?BP=m2-4+n2=m2-4+1-m23=2m23-3，又-3≤m≤3，則2m23-3∈-3,-1，
所以AP?BP的取值范圍是-3,-1．

變式3．（23-24高二上·浙江嘉興·階段練習(xí)）已知橢圓M:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為63，焦距為22，斜率為k的直線l與橢圓M有兩個不同的交點A，B.
(1)求橢圓M的方程；
(2)若直線l過橢圓上頂點，且k=1，求AB的值.
【答案】(1)x23+y2=1
(2)322
【分析】（1）由題意可得a2=b2+c2e=ca=632c=22，解出a,b,c，進而求解.
（2）由題意可得直線l的方程，將其與橢圓方程聯(lián)立后，再結(jié)合韋達定理及弦長公式求解即可.
【詳解】（1）由題意得，a2=b2+c2e=ca=632c=22，
解得c=2，a=3，b=a2-c2=32-22=1，
∴橢圓M的方程為x23+y2=1.
（2）因為k=1，橢圓上頂點為0,1，
所以直線l的方程為y=x+1，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2.
聯(lián)立y=x+1x23+y2=1，得2x2+3x=0，
又直線l與橢圓M有兩個不同的交點，
所以Δ=9>0，∴x1+x2=-32，x1x2=0，
∴AB=1+k2?x1-x2=2?x1+x22-4x1x2=2?94=322.

變式4．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2，離心率為32，長軸長與短軸長之和為6.
(1)求C的方程；
(2)設(shè)P為C上一點，M1,0.若存在實數(shù)λ使得PF1+PF2=λPM，求λ的取值范圍.
【答案】(1)x24+y2=1
(2)43,26
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合離心率列式解得a2=4,b2=1，即可得橢圓方程；
（2）根據(jù)橢圓定義可得λ=4PM，根據(jù)兩點間距離公式結(jié)合橢圓方程列式求解即可.
【詳解】（1）因為橢圓C的長軸長與短軸長之和為6，則2a+2b=6，即a+b=3①，
又因為e=ca=32，結(jié)合c2=a2-b2可得a2=4b2②，
聯(lián)立①②解得a2=4b2=1，所以C的方程為x24+y2=1.
（2）設(shè)Px,y，則x∈-2,2，
因為存在實數(shù)λ使得PF1+PF2=λPM，即λPM=PF1+PF2=2a=4，
可得λ=4PM=4(x-1)2+y2=4(x-1)2+1-x24=434x-432+23,x∈-2,2，
又因為34x-432+23∈23,9，則34x-432+23∈63,3，可得λ∈43,26，
所以λ的取值范圍為43,26.
變式5．（23-24高二下·江蘇南京·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點為F，左頂點為A，上頂點為B，且3|OA|=2|OB|.
(1)求橢圓的離心率；
(2)設(shè)經(jīng)過點F且斜率為34的直線l與橢圓在x軸上方的交點為P，點C為直線x=4上一點，以C為圓心的圓同時與x軸和直線l相切，且OC//AP，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【答案】(1)12
(2)x216+y212=1
【分析】（1）根據(jù)3|OA|=2|OB|，由3a=2b求解；
（2）設(shè)橢圓方程為x24c2+y23c2=1，直線l的方程為y=34x+c，聯(lián)立x24c2+y23c2=1y=34x+c，得到Pc,32c，由圓心C在直線x=4上，設(shè)C4,t，再根據(jù)OC//AP求解.
【詳解】（1）
設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知得，3a=2b，
又由a2=b2+c2，消去b得a2=32a2+c2，解得ca=12，
所以，橢圓的離心率為12.
（2）由（1）知，a=2c,b=3c，故橢圓方程為x24c2+y23c2=1，
由題意，F(xiàn)-c,0，則直線l的方程為y=34x+c，
點P的坐標(biāo)滿足x24c2+y23c2=1y=34x+c，消去y并化簡，得到7x2+6cx-13c2=0，
解得x1=c,x2=-13c7，代入到l的方程，解得y1=32c,y2=-914c，
因為點P在x軸的上方，所以Pc,32c，
由圓心C在直線x=4上，可設(shè)C4,t，
由（1）知A-2c,0，則kOC=t4,kAP=3c2c+2c=12，又OC//AP，
∴kOC=kAP，即t4=12，解得t=2，即C4,2.
因為圓C與x軸相切，所以圓的半徑r為2，
由圓C與l:y=34x+c相切，得圓心C到直線l的距離d=344+c-21+342=2=r，解得c=2，
故a=4,b=23，所以橢圓的方程為：x216+y212=1.
【點睛】思路點睛：（1）解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．
（2）涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．
一、單選題
1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）若橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，線段F1F2被點b2,0分成5:3的兩段，則此橢圓的離心率為（ ）
A．1617B．41717C．45D．255
【答案】D
【分析】由已知條件可列出等量關(guān)系式c+b2c-b2=53，結(jié)合a2=b2+c2和離心率公式e=ca即可求解
【詳解】依題意得c+b2c-b2=53，解得c=2b，
所以a=b2+c2=5b，所以e=ca=2b5b=255.
故選：D.
2．（23-24高二上·云南曲靖·階段練習(xí)）橢圓x29+y27=1的焦距為（ ）
A．22B．4C．8D．16
【答案】A
【分析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦距的定義即可得解.
【詳解】由x29+y27=1，a2=9,b2=7得c2=a2-b2=9-7=2，
所以焦距為2c=22．
故選：A．
3．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知橢圓C:x2m+y2m+1=1(m>0)的離心率為33，則m=（ ）
A．3B．13C．2D．12
【答案】C
【分析】先分別表示出a,c，結(jié)合離心率公式列出方程即可求解.
【詳解】∵a=m+1,c=1,∴1m+1=33，解得m=2.
故選：C.
4．（23-24高二上·廣東潮州·期末）已知橢圓的方程為x24+y23=1，則該橢圓的（ ）
A．長軸長為2B．短軸長為3C．焦距為1D．離心率為12
【答案】D
【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出a,b,c即可判斷選項的正誤.
【詳解】由橢圓的方程x24+y23=1可知：焦點在x軸上，即a2=4,b2=3,c2=a2-b2=1，
則a=2,b=3,c=1.
所以長軸長為2a=4，短軸長為2b=23，焦距為2c=2，離心率為e=ca=12.
故選：D
5．（24-25高二上·江西贛州·階段練習(xí)）在△ABC中，sinB+sinC=2sinA，已知點B-3,0 ，C3,0，設(shè)點C到直線AB的最大距離為d1，點A到直線BC的最大距離為d2，則 d1d2=（ ）
A．34B．433C．32D．233
【答案】D
【分析】根據(jù)正弦定理進行邊角互化，可知點A的軌跡及d1，d2，即可得解.
【詳解】由已知B-3,0，C3,0，則BC=6，
由sinB+sinC=2sinA，再由正弦定理可知AC+AB=2BC=12>6=BC，
所以動點A的軌跡是以B，C為焦點，長軸長為12得橢圓，不含左、右頂點，
所以當(dāng)且僅當(dāng)點A是橢圓的上、下頂點時，
點A到直線BC的距離最大為d2=62-32=33，
當(dāng)AB⊥BC時，點C到直線AB的距離最大為d1=BC=6，
所以d1d2=633=233，
故選：D.
6．（22-23高二上·河北保定·期末）阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計算了一個橢圓的面積，當(dāng)我們垂直地縮小一個圓時，得到一個橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的面積為6π，兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線y=kx與橢圓C交于A，B兩點，若四邊形AF1BF2的周長為12，則橢圓C的短半軸長為（ ）
A．4B．3C．2D．6
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，可得ab=6，再由四邊形周長求出a即可得解.
【詳解】依題意，ab=6，由橢圓對稱性，得線段AB,F1F2互相平分于原點，
則四邊形AF1BF2為平行四邊形，
由橢圓的定義得4a=2(|AF1|+|AF2|)=12，解得a=3，
所以橢圓C的短半軸長b=2.
故選：C

7．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知P是橢圓x25+y24=1在第一象限上的點，且以點P及焦點F1,F2為頂點的三角形面積等于1，則點P的坐標(biāo)為（ ）
A．534,12B．152,1
C．152,12D．354,32
【答案】B
【分析】先設(shè)點的坐標(biāo)，再應(yīng)用面積公式計算參數(shù)即可.
【詳解】設(shè)Px0,y0x0>0,y0>0，由題知，c=1，所以S△PF1F2=12×2c×y0=y0，
又S△PF1F2=1，所以y0=1，將其代入x025+y024=1，解得x0=152，
所以P152,1，
故選:B.
8．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）橢圓x2m+y24=1的焦距是2，則m的值是（ ）
A．3B．5C．3或5D．不存在
【答案】C
【分析】分焦點在x軸和y軸上兩種情況求解即可.
【詳解】∵2c=2，∴c=1．
當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時，a2=m，b2=4，c2=m-4．
∴m-4=1，m=5．
當(dāng)圓的焦點在y軸上時，a2=4，b2=m，
∴c2=4-m=1，∴m=3．
綜上，m的值是3或5．
故選：C
二、多選題
9．（24-25高二上·江蘇徐州·開學(xué)考試）關(guān)于方程mx2+ny2=1，下列說法正確的是（ ）
A．若m>n>0，則該方程表示橢圓，其焦點在y軸上
B．若m=n>0，則該方程表示圓，其半徑為n
C．若n>m>0，則該方程表示橢圓，其焦點在x軸上
D．若m=0,n>0，則該方程表示兩條直線
【答案】ACD
【分析】AC選項，化為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合橢圓的特征得到答案；B選項，化為x2+y2=1n，得到B正確；D選項，化為y=±nn，故D正確.
【詳解】對于A，若m>n>0，則mx2+ny2=1可化為x21m+y21n=1，
因為m>n>0，所以0m>0，則mx2+ny2=1可化為x21m+y21n=1，
由于n>m>0，所以1m>1n>0，故該方程表示焦點在x軸上的橢圓，故C正確；
對于D，若m=0,n>0，則mx2+ny2=1可化為y2=1n，即y=±nn，
此時該方程表示平行于x軸的兩條直線，故D正確．
故選：ACD
10．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）阿基米德是古希臘數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”算出橢圓面積等于圓周率、橢圓的長半軸長、短半軸長三者的乘積．據(jù)此得某橢圓面積為62π，且兩焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為（ ）
A．x28+y29=1B．x218+y216=1
C．x212+y26=1D．x29+y28=1
【答案】AD
【分析】設(shè)橢圓的長軸長為2a，短軸長為2b，焦距為2c，則由題意可得πab=62π，2c=13×2a，再結(jié)合a2=b2+c2可求出a,b，從而可求得橢圓方程.
【詳解】設(shè)橢圓的長軸長為2a，短軸長為2b，焦距為2c，
則由題意可知πab=62π2c=13×2a，又a2=b2+c2，
解得a=3，b=22，c=1，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29+y28=1或y29+x28=1．
故選：AD
11．（23-24高二下·云南保山·階段練習(xí)）已知橢圓x29+y2b2=1(0b>0的左、右焦點分別為F1,F2，若直線y=kx與C交于P,Q兩點，且PF1+QF1=PF1?QF1=8,PF1⊥QF1，則C的方程為 ．
【答案】x216+y24=1
【分析】利用橢圓性質(zhì)先確定四邊形PF1QF2是矩形，再由橢圓定義計算即可.
【詳解】

易知O是PQ的中點，又PF1⊥QF1，所以四邊形PF1QF2是矩形，故PF1=QF2，
結(jié)合PF1+QF1=8可得，QF1+QF2=8，由橢圓的定義可知，2a=8,a=4，
又知PQ=F1F2，由PF1+QF1=8兩邊平方得，F(xiàn)1F22+2PF1?QF1=64，
即4c2+16=64，解得c2=12，所以b2=a2-c2=4，所以C的方程為x216+y24=1．
故答案為：x216+y24=1
13．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知點P在橢圓C:x225+y29=1上，點Q在直線l:4x-5y+30=0上，則PQ的最小值為 .
【答案】54141/54141
【分析】設(shè)出于直線l平行的直線m的方程并與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式求得直線m的方程，再根據(jù)兩平行線間的距離公式即可得解.
【詳解】如圖，由直線l的方程與橢圓的方程可以知道，直線l與橢圓不相交．
設(shè)與直線l平行的直線m:4x-5y+t=0與橢圓C相切，

由x225+y29=14x-5y+t=0，得25x2+8tx+t2-225=0，
則Δ=36252-t2=0，解得t=±25，
由圖可知，當(dāng)t=25時，直線m與橢圓的切點到直線l的距離最近，
又直線m與直線l間的距離d=|30-25|42+(-5)2=54141，
所以|PQ|min=54141.
故答案為：54141##54141.
14．（24-25高二·上海·隨堂練習(xí)）如圖所示，某探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為左焦點、長軸長為40萬公里、短軸長為4萬公里的橢圓軌道T1繞月飛行，之后衛(wèi)星在點P第二次變軌進入仍以F為左焦點、長軸長為20萬公里的橢圓軌道T2繞月飛行，則橢圓軌道T2的短軸長為 萬公里．（近似到0.1）
【答案】2.8
【分析】根據(jù)題意，可得橢圓T1的半長軸a1，半短軸b1，根據(jù)a1,b1,c1的關(guān)系，可求得c1的值，即可求得|PF|=a1-c1=a2-c2=20-611，又橢圓T2的中，2a2=20，可求得c2的值，進而可求得b2的值，即可得答案.
【詳解】設(shè)橢圓T1的長軸長，短軸長，焦距為2a1，2b1，2c1；
設(shè)橢圓T2的長軸長，短軸長，焦距為2a2，2b2，2c2．
因此2a1=40，2b1=4，c1=202-4=611，
所以|PF|=a1-c1=a2-c2=20-611，
又2a2=20，所以c2=611-10，
所以b2=a22-c22=12011-396≈1.412，
故橢圓軌道T2的短軸長為2.8萬公里．
故答案為：2.8
四、解答題
15．（24-25高二上·吉林長春·階段練習(xí)）分別求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(1)已知橢圓的離心率為e=23，短軸長為85；
(2)橢圓C與x22+y2=1有相同的焦點，且經(jīng)過點M1,32，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【答案】(1)x2144+y280=1或y2144+x280=1；
(2)x24+y23=1.
【分析】（1）由題意得ca=232b=85a2=b2+c2，解出該方程組即可由橢圓焦點在x軸上或在y軸上得解；
（2）先求出橢圓x22+y2=1焦點即可得橢圓C焦點坐標(biāo)為±1,0，進而可設(shè)圓C方程為x2a2+y2b2=1且12a2+322b2=1a2=b2+1，解出a2和b2即可得解.
【詳解】（1）由題得ca=232b=85a2=b2+c2?a=12b=45c=8，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2144+y280=1或y2144+x280=1.
（2）橢圓x22+y2=1滿足c=2-1=1，故該橢圓焦點坐標(biāo)為±1,0，
因為橢圓C與x22+y2=1有相同的焦點，且經(jīng)過點M1,32，
所以可設(shè)橢圓C方程為x2a2+y2b2=1，且12a2+322b2=1a2=b2+1，解得4a4-17a2+4=0，
故4a2-1a2-4=0，解得a2=14（舍去）或a2=4，故b2=a2-1=3.
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1.
16．（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0，若橢圓的焦距為4且經(jīng)過點-2,2，過點T-6,0的直線交橢圓于P，Q兩點．
(1)求橢圓方程；
(2)若直線PQ與x軸不垂直，在x軸上是否存在點Ss,0使得∠PST=∠QST恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)x28+y24=1
(2)存在，S-463,0
【分析】（1）由焦距是4求出c，將-2,2代入橢圓方程求出a,b，得到答案；
（2）根據(jù)題意有kPS+kQS=0，轉(zhuǎn)化為2my1y2-6+sy1+y2=0，由第二問代入運算得解.
【詳解】（1）由題意，c=2，將點-2,2代入橢圓方程得a2-b2=44a2+2b2=1，解得a2=8，b2=4，
所以橢圓C的方程為x28+y24=1.
（2）在x軸上存在點S-463,0使得∠PST=∠QST，理由如下：
設(shè)Px1,y1,Qx2,y2,直線PQ:x=my-6，
聯(lián)立PQ:x=my-6與橢圓x28+y24=1可得m2+2y2-26my-2=0，
則y1+y2=26mm2+2,y1y2=-2m2+2，
因為∠PST=∠QST，所以kPS+kQS=0，即y1x1-s+y2x2-s=0，
整理得y1x2-s+y2x1-s=0，即y1my2-6-s+y2my1-6-s=0，
即2my1y2-6+sy1+y2=0，
則2m×-2m2+2-6+s×26mm2+2=0，又m≠0，解得s=-463，
所以在x軸上存在點S-463,0使得∠PST=∠QST.
17．（24-25高二上·河南南陽·階段練習(xí)）已知圓C:(x-1)2+y2=r2r>0在橢圓E:x24+y2=1里.過橢圓E上頂點P作圓C的兩條切線，切點為A,B，切線PA與橢圓E的另一個交點為N，切線PB與橢圓E的另一個交點為M.
(1)求r的取值范圍；
(2)是否存在圓C，使得直線MN與之相切，若存在求出圓C的方程，若不存在，說明理由.
【答案】(1)0