滬教版（五四制）數(shù)學(xué)九上第24章 《相似三角形》 單元綜合檢測（重點(diǎn)）（原卷+解析卷）

這是一份滬教版（五四制）數(shù)學(xué)九上第24章 《相似三角形》 單元綜合檢測（重點(diǎn)）（原卷+解析卷），文件包含滬教版五四制數(shù)學(xué)九上第24章《相似三角形》單元綜合檢測重點(diǎn)原卷版docx、滬教版五四制數(shù)學(xué)九上第24章《相似三角形》單元綜合檢測重點(diǎn)解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共32頁， 歡迎下載使用。
第24章 相似三角形 單元綜合檢測（重點(diǎn)） 一、單選題 1．下列各組中的四條線段成比例的是（????） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案． 【解析】解：A、∵， ∴四條線段不成比例，不符合題意； B、∵， ∴四條線段不成比例，不符合題意； C、∵， ∴四條線段成比例，不符合題意； D、∵， ∴四條線段成比例，符合題意； 故選：D． 【點(diǎn)睛】此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進(jìn)行判斷． 2．下列命題中，錯誤的是（????） A．兩個含有角的等腰三角形一定相似 B．兩個矩形一定相似 C．兩個等邊三角形一定相似 D．兩個正方形一定相似 【答案】B 【分析】利用相似圖形的定義分別判斷即可得到答案． 【解析】解：A．兩個含有角的等腰三角形一定相似，說法正確，不符合題意，選項(xiàng)錯誤； B．兩個矩形一定相似，對應(yīng)角相等，但對應(yīng)邊不成比例，故兩個矩形不一定相似，說法錯誤，符合題意，選項(xiàng)正確； C．兩個等邊三角形一定相似，說法正確，不符合題意，選項(xiàng)錯誤； D．兩個正方形一定相似，說法正確，不符合題意，選項(xiàng)錯誤， 故選B． 【點(diǎn)睛】本題考查了相似圖形的定義，熟練掌握相似多邊形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例是解題關(guān)鍵． 3．如果和都不為零，且，那么下列比例中正確的是（????） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根據(jù)逆用比例的基本性質(zhì)，將乘積式化成比例式，逐個判定即可． 【解析】解：A、∵，∴，故此選項(xiàng)錯誤，不符合題意； B、∵，∴，故此選項(xiàng)正確，符合題意； C、∵，∴，故此選項(xiàng)錯誤，不符合題意； D、∵，∴，故此選項(xiàng)錯誤，不符合題意； 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查比例的基本性質(zhì)，熟練掌握根據(jù)比例的基本性質(zhì)，將乘積式化成比例式是解題的關(guān)鍵． 4．如果點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)且，那么下列結(jié)論錯誤的為（???） A． B．是和的比例中項(xiàng) C． D． 【答案】C 【分析】根據(jù)黃金分割的概念進(jìn)行判斷即可． 【解析】解：點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)且， 是和的比例中項(xiàng)，， ， 故選項(xiàng)A、、不符合題意，選項(xiàng)C符合題意， 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應(yīng)線段是解決問題的關(guān)鍵． 5．如圖，在中，點(diǎn)D是在邊上一點(diǎn)，且，，，那么等于（????） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，求得的值，然后結(jié)合平面向量的三角形法則求得的值． 【解析】解：∵， ∴． ∵， ∴． 又， ∴． 故選：D． 【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的知識，解此題的關(guān)鍵是注意平面向量的三角形法則與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 6．根據(jù)下列條件，能判定和相似的個數(shù)是（　?。?（1），，，； （2），，，，，； （3），，，，，； （4），，，，，． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】A 【分析】根據(jù)兩三角形相似的判定定理，對各選項(xiàng)依次判斷即可． 【解析】解：（1）和中，，，，， ∴， ∴和不相似； （2）和中， ∵，，但與不一定相等， ∴和不相似； （3）∵，，， ∴， ∴和不相似； （4）∵，，， ∴， ∴和相似； 綜上，只有（4）相似， 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定定理：（1）兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．（2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似．（3）三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似．熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵． 7．如圖，直線，直線和分別與相交于A、B、C和D、E、F，若，則下列各式中，正確的是（????） ?? A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出，然后代入數(shù)值即可得到結(jié)論． 【解析】解：∵直線， ∴， ∵， ∴， ∴， 故選C． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，注意：一組平行線截兩條直線，所截的線段對應(yīng)成比例． 8．如圖，已知點(diǎn)D、E分別在的邊、上，，，那么等于（???） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根據(jù)題意得，與是同高，故底之比等于，從而得出面積之比． 【解析】解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵和的高相同， ∴， 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，高相等的兩個三角形的面積之比等于底之比是解題的關(guān)鍵． 9．如圖，已知正方形的頂點(diǎn)D、E在的邊上，點(diǎn)G、F分別在邊上，如果，的面積是32，那么這個正方形的邊長是（????） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】過點(diǎn)A作于H，交于M，如圖，先利用三角形面積公式計(jì)算出，設(shè)正方形的邊長為x，則，再證明，則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得方程，然后解關(guān)于x的方程即可． 【解析】解：如圖，過點(diǎn)A作于H，交于M， ∵的面積是32，， ∴， ∴， 設(shè)正方形的邊長為x，則， ∵， ∴， ∴ ， ，解得∶， 即這個正方形的邊長是4． 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵． 10．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AB上，將梯形ABCD沿直線EF翻折，使得點(diǎn)B與點(diǎn)D重合．如果，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵EF是點(diǎn)B、D的對稱軸， ∴△BFE≌△DFE， ∴DE=BE． ∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°， ∴∠BDE=∠DBE=45°， ∴∠DEB=90°， ∴DE⊥BC． 在等腰梯形ABCD中， ∵=， ∴設(shè)AD=1，BC=4，過A作AG⊥BC于G， ∴四邊形AGED是矩形， ∴GE=AD=1， ∵Rt△ABG≌Rt△DCE， ∴BG=EC=1.5， ∴AG=DE=BE=2.5， ∴AB=CD==， ∵∠ABC=∠C=∠FDE，∠CDE+∠C=90°， ∴∠FDE+∠CDE=90°， ∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°， ∴∠BDC=∠DFE， ∵∠DEF=∠DBC=45°， ∴△BDC∽△DEF， ∴， ∴DF=， ∴BF=， ∴AF=AB﹣BF=， ∴=． 故選B． 二、填空題 11．已知，那么 ． 【答案】 【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)即可求出答案． 【解析】解：， ， ； 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查比例的基本性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 12．兩個相似三角形的對應(yīng)邊上的中線之比，則這兩個三角形面積之比為 ． 【答案】/ 【分析】根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊上的中線之比等于相似比，相似三角形的面積之比等于相似比的平方進(jìn)行解答即可． 【解析】兩個相似三角形的對應(yīng)邊上的中線之比， 兩個相似三角形的相似比為， 兩個相似三角形的面積之比為， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的周長之比等于相似比，相似三角形的面積之比等于相似比的平方，熟練掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 13． ． 【答案】0 【分析】根據(jù)即可得到答案． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故答案為：0 【點(diǎn)睛】此題考查了向量，熟練掌握互為相反向量的和為0是解題的關(guān)鍵． 14．在的地圖上，若兩地圖上的距離為，則兩地的實(shí)際距離為 ． 【答案】 【分析】根據(jù)比例尺圖上距離實(shí)際距離進(jìn)行求解即可． 【解析】解：由題意得，兩地的實(shí)際距離為， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例尺，熟知比例尺圖上距離實(shí)際距離是解題的關(guān)鍵． 15．已知P點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)，，且，則 【答案】/ 【分析】如圖，點(diǎn)P是線段上的黃金分割點(diǎn)，，則，再代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可． 【解析】解：如圖，點(diǎn)P是線段上的黃金分割點(diǎn)，且，， ， 解得． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的黃金分割點(diǎn)，掌握“線段的黃金分割點(diǎn)的定義”是解題的關(guān)鍵． 16．如圖，在中，點(diǎn)D、E、F分別在邊、、上，，，如果，那么的值是 ． 【答案】 【分析】根據(jù)得到，根據(jù)比例的性質(zhì)可得，再根據(jù)，即可得到答案； 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查平行線截線段對應(yīng)成比例，解題的關(guān)鍵是根據(jù)比例性質(zhì)求得． 17．如圖，G是的重心，延長交于點(diǎn)D，延長交于點(diǎn)E，P、Q分別是和的重心，長為6，則的長為 ． 【答案】1 【分析】連接，延長交于F點(diǎn)，連接，由G是的重心，可證是的中位線，從而可求出的長．利用三角形重心的定義和性質(zhì)得到，，再證明得到即可． 【解析】解：連接，延長交于F點(diǎn)，連接，如圖， ?? ∵G是的重心， ∴D、E分別是的中點(diǎn)， ∴是的中位線， ∴． ∵P點(diǎn)是的重心， ∴F點(diǎn)為的中點(diǎn)，， ∵Q點(diǎn)是的重心， ∴點(diǎn)Q在中線上，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案為：1． 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心，三角形的中位線，相似三角形的判定與性質(zhì)．三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)；重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為． 18．在中，1，以為邊在外作等邊，設(shè)點(diǎn)E、F分別是和的重心，則兩重心E與F之間的距離是 ． ?? 【答案】/ 【分析】如圖：取中點(diǎn)O，連接．根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出，利用勾股定理得出，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，那么，利用勾股定理求出．然后證明，得出． 【解析】解：如圖：取中點(diǎn)O，連接 在中，， ∴AC=2BC=2，AB==， ∵是等邊三角形， ∴， ∴， ∴， ∴BD==． ∵點(diǎn)E、F分別是和的重心， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案為：． ?? 【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形重心的定義與性質(zhì)等知識點(diǎn)，掌握重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1是解題的關(guān)鍵． 三、解答題 19．已知線段a、b滿足，且． (1)求a、b的值； (2)若線段x是線段a、b的比例中項(xiàng)，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根據(jù)可得，再代入計(jì)算即可得； （2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義求解即可得． 【解析】（1）解：， ， ， ， 解得， 則． （2）解：線段是線段、的比例中項(xiàng)， ，即， 解得或（不符合題意，舍去）， 則的值為． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例線段和比例中項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題，熟記定義是解題關(guān)鍵． 20．如圖，已知直線，直線和被、、所截．若，，． (1)求、的長； (2)如果，，求的長． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根據(jù)平行線間線段成比例即可求出答案； （2）如圖，先將平移經(jīng)過A點(diǎn)，把線段分成和兩部分求解即可． 【解析】（1）∵直線， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∴長為，長為． （2）如圖，將直線向左平移到直線交于H點(diǎn)，交于G點(diǎn)， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴， ∴， ∴的長為． 【點(diǎn)睛】本題考查平行線間線段成比例定理，熟練掌握線段中的比例關(guān)系是解題關(guān)鍵． 21．如圖，在中，點(diǎn)D在邊上，，E是的中點(diǎn)． (1)求證：； (2)設(shè)，，用向量、表示向量． 【答案】(1)見解析 (2) 【分析】（1）根據(jù)題目條件，證明，即可求證； （2）利用平面向量線性運(yùn)算的三角形法則即可求解． 【解析】（1）∵E是的中點(diǎn)， ∴， ∴, 又, ∴， ∴ （2）∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ 【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平面向量的線性運(yùn)算，解題關(guān)鍵是找出相似三角形． 22．如圖，，于點(diǎn)，，，且，求： ?? (1)的長； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根據(jù)已知條件證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解； （2）根據(jù)已知得出，根據(jù)（1）的結(jié)論得出，，即可求解． 【解析】（1）解： ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． ， ， ； （2）， ，， ， 又，，則， ． 【總結(jié)】本題考查相似三角形的性質(zhì)及判定，直角三角形的性質(zhì)等知識，證明是解題的關(guān)鍵． 23．如圖，已知四邊形是菱形，兩對角線和相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)H，和交于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)并延長交邊于點(diǎn)G．求證： ?? (1)； (2)． 【答案】(1)見解析 (2)見解析 【分析】（1）先判斷出，進(jìn)而判斷出，得出，再用等角的余角相等判斷出，即可得出結(jié)論； （2）先判斷出，進(jìn)而判斷出，得出． 【解析】（1）證明：是菱形的對角線， ， 點(diǎn)是菱形的兩條對角線的交點(diǎn)， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ∵， ∴； （2）證明：由（1）知，， 是菱形的對角線， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，同角的余角相等，判斷出是解本題的關(guān)鍵． 24．已知一次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸交于A、B點(diǎn)（如圖），AE平分∠BAO，交x軸于點(diǎn)E． (1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)； (2)求直線AE的表達(dá)式； (3)過點(diǎn)B作BF⊥AE，垂足為F，連接OF，試判斷△OFB的形狀，并求△OFB的面積． 【答案】(1)B（8，0） (2)直線AE的表達(dá)式為y=-2x+6 (3)△OFB為等腰三角形，S△OBF=8 【分析】（1）將代入直線的表達(dá)式中求出值，此題得解； （2）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合勾股定理可求出的長度，再利用角平分線的性質(zhì)以及等面積法即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn) 、的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線的表達(dá)式； （3）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由可得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出、的長度，同理可得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出、的長度，結(jié)合即可得出，由此可得出為等腰三角形，再根據(jù)三角形的面積公式可得出的面積． 【解析】（1）解：當(dāng)時，， 點(diǎn)的坐標(biāo)為； （2）解：當(dāng)時，， 點(diǎn)的坐標(biāo)為， ，， ， 平分，交軸于點(diǎn)， 到軸距離與到直線的距離相等都等于長， 即 ， ， 點(diǎn)的坐標(biāo)為， 設(shè)直線的表達(dá)式為， 將、代入， ，解得：， 直線的表達(dá)式為； （3）解：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖所示． ， ， ， ， ， ，， ， ， ，． 同理可得：， ，， ， ， 為等腰三角形， ． 【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是：（1）利用一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）利用角平分線的性質(zhì)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出、的長度． 25．在中，， 點(diǎn)P在線段上，，交于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作，垂足為E，交的延長線于點(diǎn)F． (1)如果， ①如圖1當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，求證： ； ②如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上，且不與點(diǎn)、點(diǎn)重合時，問： ①中的“”仍成立嗎?請說明你的理由； (2)如果，如圖11，已知 (n為常數(shù))，當(dāng)點(diǎn)P在線段上，且不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合時，請?zhí)骄康闹?用含n的式子表示)，并寫出你的探究過程． 【答案】(1)①證明見解析；②成立，證明見解析 (2)，過程見解析 【分析】（1）①由等角對等邊可得，證明，則，證明，則，進(jìn)而可證；②如圖1，過作交于，交于，則，同理①可證，，則，同理①可證，，則，； （2）如圖2，過作交于，交于，同理（1）可證：，則，證明，則，證明，則，即，可知，即，進(jìn)而可得． 【解析】（1）①證明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②解：仍成立，理由如下： 如圖1，過作交于，交于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理①可證，， ∴， 同理①可證，， ∴， ∴； （2）解：如圖2，過作交于，交于， 同理（1）可證：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∴． 【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．