滬教版（五四制）（2024）九年級上冊24.3 三角形一邊的平行線精品第2課時課后測評

這是一份滬教版（五四制）（2024）九年級上冊24.3 三角形一邊的平行線精品第2課時課后測評，文件包含滬教版五四制數(shù)學九上243《三角形一邊的平行線》第2課時題型專訓原卷版docx、滬教版五四制數(shù)學九上243《三角形一邊的平行線》第2課時題型專訓解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共37頁， 歡迎下載使用。

一、三角形的重心：三角形三條中線的交點叫做三角形的重心.
要點：
(1)重心的性質(zhì)：三角形的重心到一個頂點的距離，等于它到這個頂點對邊中點的距離的二倍.
（2）重心的畫法：兩條中線的交點.
二、三角形一邊的平行線的六種解題技巧：
①中間比代換法證比例式；②等積代換法證比例式；③等比代換法證比例中項；
④平行法證比例式；⑤等比過渡法證線段相等；同分母的中間比代換法。
過關檢測
一、單選題
1．對于以下判斷：①線段的中點是線段的重心；②三角形的重心是它的中線的一個三等分點；③三角形的三條中線交于一點，這一點就是三角形的重心；④平行四邊形的重心是它的兩條對角線的交點．其中正確的有（ ）
A．個B．個C．個D．個
【答案】D
【分析】根據(jù)重心的定義和特殊圖形的性質(zhì)求解．
【解析】解：線段中點到線段兩個端點的距離相等，為線段的重心，故①正確；
三角形的重心是它的中線的一個三等分點，故②正確；
三角形的三條中線交于一點，這一點就是三角形的重心，故③正確；
平行四邊形的重心是它的兩條對角線的交點，故④正確，
故選：D．
【點睛】此題考查了常見圖形的重心，正確理解重心的定義及常見圖形的性質(zhì)是解題的關鍵．
2．如圖，P是重心，且經(jīng)過點P，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)重心可得，結合可得，即可得到答案；
【解析】解：∵P是重心，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選A．
【點睛】本題考查平行線所截線段對應成比例，三角形重心的性質(zhì)，解題的關鍵是熟知三角形重心到頂點距離與到頂點對邊中點的距離比為．
3．如圖，點P是的重心，若的面積為12，則的面積為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形的重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍，再結合三角形的面積公式即可求解．
【解析】解：∵點P是的重心，
∴，
∴，，
∴的面積的面積，
故選：B．
【點睛】本題考查了三角形的重心的性質(zhì)，結合重心性質(zhì)得出三角形的面積公式找到三角形的面積比是解題的關鍵．
4．如圖，為的重心，過點作交于點，交于點，若，則四邊形的面積為（ ）
A．B．1.5C．2D．3
【答案】C
【分析】連接并延長，交于點D，連接，先根據(jù)三角形重心是三條中線的交點，可知是的中線，平分三角形的面積可得，由重心的性質(zhì)可得，
根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，由同高三角形面積的關系可得，證明四邊形是平行四邊形，可得結論．
【解析】解：連接并延長，交于點D，連接，
∵為的重心，
∴是的中線，且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴四邊形的面積是，
故選：C．
【點睛】此題考查了三角形重心的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，難度適中，準確作出輔助線是解題的關鍵．
5．如圖，在中，點D、E、F分別在邊上，，，則下列比例式中錯誤的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可．
【解析】A、∵，，
∴四邊形是平行四邊形，，
∴，
∴，不符合題意；
B、∵，
∴，
∴，不符合題意；
C、∵，
∴，
∴，不符合題意；
D、∵，
∴，
∴，
故D錯誤，符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了平行線判定三角形的相似和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．
6．如圖，在菱形中，點O是對角線，的交點，點E是上一點，．若，，，則的長為（ ）

A．2B．C．D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)可以求出的長，結合菱形的性質(zhì)可求出邊長，根據(jù)平行線分線段成比例，即可求解．
【解析】解：∵，，
∴，
∴，
∵四邊形ABCD為菱形，AC＝6，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得，
∴，
故選C．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，靈活運用所學知識是解題關鍵．
7．如圖，在中，，，已知，則的長是
A．B．3C．D．4
【答案】B
【分析】由于D、E、F和G、H、I分別是AB、AC的四等分點，則DG∥EH∥FI，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求出DG、EH、FI和BC的比例關系，由此可求出DG+EH+FI的長．
【解析】∵AD=DE=EF=FB，AG=GH=HI=IC，
∴DG∥EH∥FI；
∴，即DG=BC；
同理可得：EH=BC，F(xiàn)I=BC；
∴DG+EH+FI=BC+BC+BC=BC=3；
故選B．
【點睛】此題主要考查的是平行線分線段成比例定理的應用．
8．如圖，平行四邊形中，連接，在的延長線上取一點，點為的中點，連接，交、分別為點、點，則下列結論錯誤的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理解決問題即可．
【解析】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，，
∴故A正確，不符合題意；
∵，
∴，
又∵．
∴，故B正確，不符合題意；
∴，
∴，，
∴，故C正確，不符合題意；
∵與不一定相等，不一定等于， 而，故D錯誤，符合題意；
故選：D．
【點睛】考核知識點∶ 相似三角形的判定與性質(zhì)．理解性質(zhì)是關鍵．
9．如圖，是的中線，E是上一點，，的延長線交于F，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作交于，根據(jù)是中點可得,根據(jù)平行線分線段成比例可得,有已知條件可得,進而可得．
【解析】解：作交于，
是的中線，
，
，
，
，
，
，
，
．
故選A．
【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，三角形中線的性質(zhì)，比例的性質(zhì)，添加輔助線是解題的關鍵．
10．如圖，在中，點,點為邊的三等分點，與交于點，則下列比例式正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的定理去求出各個線段的比例關系，選出正確選項．
【解析】解：A選項錯誤，
∵點D、點E是AB的三等分點，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
則；
B選項錯誤，無法證明；
C選項正確，
∵，
∴，
∵，
∴，
則；
D選項錯誤，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：C．
【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是熟練運用這個定理求出線段的比例關系．
11．如圖，在△ABC中，M是AC的中點，P,Q為BC邊上的點，且BP=PQ=CQ，BM與AP,AQ分別交于D,E點，則BD∶DE∶EM等于
A．3∶2∶1B．4∶2∶1C．5∶3∶2D．5∶2∶1
【答案】C
【分析】過A作AF∥BC交BM延長線于F，設BC=3，則BP=PQ=QC=；根據(jù)平行線間的線段對應成比例的性質(zhì)分別求出BD、BE、BM的長度，再來求BD，DE，EM三條線段的長度，即可求得答案．
【解析】過A作AF∥BC交BM延長線于F，設，
則；
∵，∥，
∴，
∴，
∵∥，
∴，
∴，
∵∥，
∴，
∴，即，
∵∥，
∴，
∴，即，
∴，，
∴．
故選：C．
【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理以及比例的性質(zhì)，正確作出輔助線是關鍵．
12．在中，、是邊上的三等分點，是邊上的中線，、分為三段的長分別是、、，若這三段有，則等于( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設BM分別交AE,AF于P,Q,連接MF, 作FH//BM交AC于H,根據(jù)中點的性質(zhì)可得EP//MF,根據(jù)BE=EF，得到BP=PM，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得CF:CB=FH:BM=CH:CM=1:3,則FH:QM=AH:AM=5:3, 設FH=t,所以BM=3t,QM=0.6t,BP=1.5t,
PQ=0.9t，即可求解.
【解析】設BM分別交AE,AF于P,Q,連接MF,
因為MF//AE,所以EP//MF,又因為BE=EF,所以BP=PM
作FH//BM交AC于H,CF:CB=FH:BM=CH:CM=1:3,
FH:QM=AH:AM=5:3,
設FH=t,所以BM=3t,QM=0.6t,BP=1.5t,PQ=0.9t
所以BP：PQ：QM=5：3：2
即x：y：z=5：3：2
故選D.
【點睛】考查平行線分線段成比例定理，中位線的性質(zhì)，掌握平行線分線段成比例定理是解題的關鍵.
二、填空題
13．如圖：、是的中線，、相交于，若厘米，則________厘米．

【答案】/
【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)即可求解．
【解析】解：、是的中線，、相交于，
，
厘米，
厘米，
解得厘米，
故答案為：．
【點睛】本題考查三角形重心的概念和性質(zhì)，三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離等于它到對邊中點的距離的2倍，掌握上述內(nèi)容是解題的關鍵．
14．如圖，、分別為兩邊、的中點，與交于點，則______．
【答案】
【分析】根據(jù)中線的性質(zhì)轉化為面積的數(shù)量關系再求解即可．
【解析】解：∵、分別為兩邊、的中點，
∴，
∴
∴
故答案為：
【點睛】本題主要考查中線的性質(zhì)和三角形的重心，利用中線的性質(zhì)并轉化為面積的數(shù)量關系是解決本題的關鍵．
15．如圖，在中，，，與相交于點O，若，則__________．
【答案】1
【分析】根據(jù)題意可知：點O是的重心，根據(jù)重心的性質(zhì)，即可求解．
【解析】解：在中，，，
，分別是的中線，
點O是的重心，
∵,
，
故答案為：1．
【點睛】本題考查了三角形重心的性質(zhì)，熟練掌握和運用三角形重心的性質(zhì)是解決本題的關鍵．
16．如圖，在中，是中線，是重心，過點作，分別交、于點、，若，則____________．
【答案】12
【分析】如圖，運用平行線分線段成比例定理列出比例式：，根據(jù)AC=18，求出AF即可解決問題．
【解析】解：∵G是△ABC的重心，
∴AG=2DG，AD=3DG；
∵EF∥BC，
∴，
∵AC=18，
∴AF=12．
故答案為12．
【點睛】該題主要考查了三角形重心的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等幾何知識點及其應用問題；牢固掌握平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．
17．如圖，在中，，，，、分別是、的中點，連結、交于點，則______．
【答案】
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可知為直角三角形，根據(jù)重心的性質(zhì)可知線段的比例關系，進而得出的長度．
【解析】解：∵在中，、分別是、的中點，
∴點是的重心，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，重心的性質(zhì)，熟記重心的性質(zhì)是解題的關鍵．
18．如圖為的重心，交于，那么=________
【答案】
【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理求解即可
【解析】根據(jù)重心性質(zhì)得出：
∴MN=MC,BC=2MC
∴MN:BC=1:6
所以答案為1:6
【點睛】本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)，熟練掌握重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1是解題關鍵
19．如圖，的中線、交于點，點在邊上，，那么的值是__________.
【答案】
【分析】根據(jù)三角形的重心和平行線分線段成比例解答即可．
【解析】∵△ABC的中線AD、CE交于點G，
∴G是△ABC的重心，
∴，
∵GF∥BC，
∴，
∵DC=BC，
∴ ，
故答案為：.
【點睛】此題考查三角形重心問題以及平行線分線段成比例，解題關鍵是根據(jù)三角形的重心得出比例關系．
20．如圖，在中，為邊上的中線，是的角平分線，交于點F．則的長為______．
【答案】
【分析】過點E作EG⊥AB，垂足為G，證明△CBE≌△GBE，求得CE，EG，AE的長，過點F作FO⊥AC，垂足為O，利用平行線分線段成比例定理求解即可．
【解析】∵
∴AB==10，
過點E作EG⊥AB，垂足為G，
∵是的角平分線，
∴∠CBE=∠GBE，
∵∠C=∠BGE=90°，BE=BE，
∴△CBE≌△GBE，
∴BC=BG=6，EC=EG，
設CE=x，則EG=x，AE=8-x,AG=AB-BG=4,
在直角三角形AEG中，根據(jù)勾股定理，得，
即，
解得x=3，
∴CE=3，AE=5，
過點F作FO⊥AC，垂足為O，，
∴FO∥BC，
∴，
∴即FO=2OE，
∵AD是中線，BC=6，
∴CD=3，
∵FO∥DC，
∴，
∴，
解得OE=，
在直角三角形OEF中，，
∴EF==．
故答案為：．
【點睛】本題考查了勾股定理，三角形全等，平行線分線段成比例定理，中線，角的平分線，構造輔助線實施全等證明，平行線分線段成比例證明是解題的關鍵．
三、解答題
21．已知，點G是的重心，，求的長度．
【答案】
【分析】延長交于點H；證明；證明，求出，即可解決問題．
【解析】解：如圖，延長交于點H；
∵點G是的重心，
∴；
∵，
∴，
∴；
由勾股定理得：
，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了三角形重心的性質(zhì)及其應用問題；解題的關鍵是作輔助線，靈活運用有關定理來分析、判斷、推理或解答．
22．如圖，O是△ABC的重心，AN，CM相交于點O，△MON的面積是1，求△ABC的面積．
【答案】12
【分析】由三角形的重心定理得出AO=2ON，CO=2MO，BN=CN，得出△CON的面積=2△MON的面積=2，得出△AOC的面積=2△CON的面積=4，求出△ACN的面積=△OCN的面積+△AOC的面積=2+4=6，即可得出答案．
【解析】解：∵O是△ABC的重心，
∴AO=2ON，CO=2MO，BN=CN
∵△MON的面積是1，
∴△CON的面積=2△MON的面積=2
∴△AOC的面積=2△CON的面積=4.
∴△ACN的面積=△OCN的面積+△AOC的面積=2+4=6，
∴△ABC的面積=2△ACN的面積=2×6=12．
【點睛】本題考查了三角形的重心定理以及三角形面積，熟練掌握三角形的重心定理是解題的關鍵．
23．已知，△ABC中，∠C=90°，G是三角形的重心，AB=8，
求：① GC的長；
②過點G的直線MN∥AB，交AC于M，BC于N，求MN的長．
【答案】①GC的長為；見詳解；②，見詳解．
【分析】①延長CG交AB于點H，由題目的已知條件可得CH=AB=4，，所以可得CG的長度；
②由（1）及根據(jù)直角三角形的中線定理可得MN的長．
【解析】①延長CG，交AB于點H
∵G是三角形的重心
∴，AH=BH=AB
∵AB=8，∠C=90°
∴CH=4，∴CG=CH=；
②由（1）可知：
∵CG=，G為MN中點
∴MN=．
【點睛】本題主要考查三角形的重心及直角三角形斜邊中線定理，關鍵是根據(jù)三角形的重心得到MN的長，進而求出GC的長．
24．如圖，中，是中線，點在上，且，的延長線交于，求的值．
【答案】的值為．
【分析】作DH∥AC交BE于H，如圖，根據(jù)平行線分線段成比例，由DH∥CE得到，則CE=2DH，由DH∥AE得到，則AE=DH，然后計算AE：EC的值．
【解析】解：作DH∥AC交BE于H，如圖，
∵DH∥CE，
∴，
∴CE=2DH，
∵DH∥AE，
∴，
∴AE=DH，
∴．
【點睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．也考查了比例的性質(zhì)．
25．如圖，在中，，，點為邊上的中點，連接，過點作于點，延長交于點，求的值．
【答案】2
【分析】過點作的平行線，過點作的平行線相交于點，延長交于點．先證明，得到，然后根據(jù)及平行線分線段成比例定理求解即可．
【解析】解：如解圖，過點作的平行線，過點作的平行線相交于點，延長交于點．
∵，，
∴四邊形為正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
【點睛】本題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形，靈活運用平行線分線段成比例定理解答．
26．已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點，且EF∥BD，AE、AF分別交BD于點G和點H，BD=12，EF=8．
求：（1）的值；
（2）線段GH的長.
【答案】(1)DF:AB=1:3,(2)GH=6.
【解析】試題分析：（1）根據(jù)EF∥BD，則CF:CD=EF:BD，再利用平行四邊形的性質(zhì)即可得出DF:AB的值；
（2）利用DF∥AB，則FH:AH=DF:AB=1:3，進而得出GH:EF=AH:AF=3:4，求出GH即可．
試題解析：（1）∵EF∥BD，
∴CF:CD=EF:BD，
∵BD=12，EF=8，
∴CF:CD=2:3，
∴DF:CD=1:3，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，
∴DF:AB=1:3；
（2）∵DF∥AB，
∴FH:AH=DF:AB=1:3，
∴AH:AF=3:4，
∵EF∥BD，
∴GH:EF=AH:AF=3:4，
∴GH:8=3:4，
∴GH=6．
考點：1.平行線分線段成比例；2.平行四邊形的性質(zhì)．
27．如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與直線交于點．點為射線上的一個動點，過點作軸交于點，過點作交軸于點．
(1)求點的坐標；
(2)當點在線段上時，且，求四邊形的面積；
(3)若四邊形的面積為9，請直接寫出點的坐標．
【答案】(1)點的坐標
(2)
(3)或或．
【分析】（1）將一次函數(shù)聯(lián)立組成二元一次方程組，解方程，求出交點坐標即可；
（2）根據(jù)相似比分別表示出平行四邊形的底和高，再求解即可；
（3）根據(jù)坐標的特點，可設，則，表示出四邊形的面積，再讓面積等于9，解方程即可得到答案．
【解析】（1）解：由題意得：
解得：
故點的坐標為；
（2）解：過點A作于點L，過點C作于點K，
∵直線與軸交于點
∴點B坐標
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴四邊形是平行四邊形
∴
∵
∴
∵， ，
∴
∵
∴
∴
故四邊形的面積；
（3）解：∵，則可設，則
∴
∴
當時，
∴
則
∴或
∴或
當時，；
當時，．
當時，
∴
則或
∵，點為射線上的一個動點
∴，（舍去）
∴當時，；
綜上所述，或或 ．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題關鍵是能根據(jù)坐標的特征求出線段的長度．
28．在四邊形中，，點E在上，連接，與交于點F，，；
(1)如圖1，求證：四邊形是平行四邊形；
(2)如圖2，若，猜想和之間的數(shù)量關系，并證明；
(3)如圖3，在（2）的條件下，W為中點，K為中點，E為的中點，連接，，若，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)；
(3)．
【分析】（1）由平行線的性質(zhì)結合等邊對等角得到，再推出，得到，即可證明四邊形是平行四邊形；
（2）先證明是等腰直角三角形，由勾股定理得到，即可求解；
（3）證明、都是等腰直角三角形，設，得到，作于M，于N，推出是等腰直角三角形，是的中位線，在中，利用勾股定理得到，據(jù)此即可求解．
【解析】（1）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：∵E為的中點，∴，
∵，，
∴，
∴、都是等腰直角三角形，
設，則，
∴，
作于M，于N，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵K為中點，，
∴，
∴，
∴是的中位線，
∴，
∵W為中點，
∴，
∴，
在中，，
∵，即
∴，
∴．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，三角形中位線中位線定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．