滬教版八年級數學下冊《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破第21章代數方程單元綜合檢測(原卷版+解析)

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第21章 代數方程 單元綜合檢測 一、單選題 1．下列說法正確的是(????) A．是二項方程 B．是二元二次方程 C．是分式方程 D．是無理方程 2．由方程組消去y后化簡得到的方程是（　?。?A．2x2﹣2x﹣6＝0 B．2x2+2x+5＝0 C．2x2+5＝0 D．2x2﹣2x+5＝0 3．用換元法解分式方程時，如果設，那么原方程可化為（????） A．； B．； C．； D．． 4．下列方程中，有一個根是的方程是（????） A． B． C． D． 5．下列關于的方程中，一定有實數解的是（????） A． B． C． D． 6．如果關于的方程有實數根，那么的值是（??） A． B． C． D． 7．方程組的解是（　?。?A． B． C． D． 8．A，B兩地相距180km，新修的高速公路開通后，在A，B兩地間行駛的長途客車平均車速提高了50%，而從A地到B地的時間縮短了1h．若設原來的平均車速為，則根據題意可列方程為（????） A． B． C． D． 9．二元二次方程組的解的個數是（　　） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 10．方程組有四組不同的實數解，則m的取值范圍是（??　 ） A． B． C． D．，且 二、填空題 11．方程 的解是_______． 12．二元二次方程可以化為兩個一次方程，它們是______． 13．方程的根是______． 14．方程組的解為______． 15．甲乙兩人加工一批零件，甲先加工了一半，然后乙加工了剩下部分，前后共用了10天完成，如果甲乙兩人一起加工，6天可加工完，如設甲、乙兩人單獨加工完成這批零件各需x天．y天可列方程組為______． 16．解關于的方程有增根，則的值為___________ 17．如果關于x的分式方程的解為正數，那么a的取值范圍是___________． 18．若關于x的方程-2x+m+4020=0存在整數解，則正整數m的所有取值的和為___________. 三、解答題 19．解方程組： 20．解方程：． 21．解方程組：． 22．解方程： (1)； (2)； (3) 23．關于x的方程有且只有一個實數解，求k. 24．北京冬奧會期間，海內外掀起一股購買冬奧會吉祥物“冰墩墩”的熱潮．某玩具廠接到6000箱“冰墩墩”的訂單，需要在冬奧會閉幕之前全部交貨．為了盡快完成訂單，玩具廠改良了原有的生產線，每天可以多生產20箱“冰墩墩”，結果提前10天完成任務，求該玩具廠改良生產線前每天生產多少箱“冰墩墩”？ 25．甲，乙兩名摩托車選手在勻速狀態(tài)下進行賽道訓練，已知兩名選手先后從起點A地駛往相距60千米的終點B地．如果甲的速度比乙的速度慢1千米/分鐘．甲比乙早出發(fā)1分鐘，最后乙先到達終點B地．設甲的行駛時間為x（分鐘），甲、乙的行駛路程、（千米）與x之間的函數圖像如圖所示． （1）根據圖像，回答問題： 當乙到達終點B地時，________千米； （2）求甲、乙兩名摩托車選手的速度； （3）求關于x的函數解析式． 26．“程，課程也，二物者二程，三物者三程，皆如物數程之，并列為行，故謂之方程．”這是我國古代著名數學家劉徽在《九章算術》對方程一詞給出的注釋．對于一些特殊的方程，我們給出兩個定義：①若兩個方程有相同的一個解，則稱這兩個方程為“相似方程”：②若兩個方程有相同的整數解，則稱這兩個方程為“相伴方程”． (1)判斷分式方程與無理方程是否是“相似方程”，并說明理由； (2)已知關于x，y的方程：和，它們是“相似方程”嗎？如果是，請寫出它們的公共解；如果不是，請說明理由； (3)已知關于x，y的二元一次方程：和（其中k為常數）是“相伴方程”，求k的值.  第21章 代數方程 單元綜合檢測 一、單選題 1．下列說法正確的是(????) A．是二項方程 B．是二元二次方程 C．是分式方程 D．是無理方程 【答案】B 【分析】根據二項方程：形如;無理方程:根式方程就是根號下含有未知數的方程.二元二次方程：含有兩個未知數，并且含有未知數的項的最高次數是二的整式方程；分式方程：是指分母里含有未知數的有理方程，依次判斷即可． 【解析】解：A、沒有常數項，不符合題意； B、符合二元二次方程的定義，符合題意； C、分母中無未知量，不符合分式方程的定義，不符合題意； D、根號下無未知量，不符合無理方程的定義，不符合題意； 故選：B． 【點睛】此題考查了各類方程的定義，熟記二項方程，二元二次方程，分式方程，無理方程的定義是解題的關鍵． 2．由方程組消去y后化簡得到的方程是（　?。?A．2x2﹣2x﹣6＝0 B．2x2+2x+5＝0 C．2x2+5＝0 D．2x2﹣2x+5＝0 【答案】D 【分析】根據題目中方程組的特點，由x﹣y﹣1＝0，可以得到y(tǒng)＝x-1，然后將x-1看成一個整體，換為y代入第二方程，再化簡即可解答本題． 【解析】解：， 由①，得y＝x-1③， 將③代入②，得（x﹣1）2+x2+4＝0， 化簡，得2x2﹣2x+5＝0， 故選：D． 【點睛】本題考查二元二次方程組，解答本題的關鍵是明確消元法，利用方程的思想解答． 3．用換元法解分式方程時，如果設，那么原方程可化為（????） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】把代入原方程，得出，再進行整理即可． 【解析】解：整理，得 ， 把代入方程得： ， 整理得：， 故選 A． 【點睛】本題考查了解分式方程，解題的關鍵是熟練掌握利用換元法，把一個式子做為整體進行替換，將分式方程化簡為一元二次方程． 4．下列方程中，有一個根是的方程是（????） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程再檢驗，或把x=2代入選項中的每個方程，再逐個判斷． 【解析】A.解方程， 方程兩邊都乘以x-2，得x=2， 檢驗：當x=2時，x-2=0，所以x=2是增根， 即x=2不是原方程的解，故A選項不符合題意； B.當x=2時，分母不等于0， 方程的左邊=， 右邊=0， 即左邊=右邊， 所以x=2是原方程的解，故本選項符合題意； C．當x=2時，中x-3＜0， 所以x=2不是方程的解，故本選項不符合題意； D．當x=2時，中x-6＜0， 所以x=2不是方程的解，故本選項不符合題意； 故選：B． 【點睛】本題考查了解分式方程和解無理方程，注意：解分式方程和解無理方程的過程中都必須進行檢驗． 5．下列關于的方程中，一定有實數解的是（????） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解答選項中的各個方程，即可判斷那個選項中的方程一定有實數解，從而可以解答本題． 【解析】解：∵， ∴無解，故選項A錯誤； ∵，得， ∴， 則Δ＝，故此方程無解，故選項B錯誤； ∵，∴Δ＝， ∴一定有兩個不相等的實數根，故選項C正確； ∵，解得，x＝1，而x＝1時，x?1＝0，故此分式方程無解，故選項D錯誤； 故選：C． 【點睛】本題考查無理方程、根的判別式、分式方程的解，解題的關鍵是明確無理方程根號里面的數或式子大于等于0，根的判別式△0時，方程有實數根，分式方程的解要使得原分式方程有意義． 6．如果關于的方程有實數根，那么的值是（??） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把代入方程得出，再求出方程的解即可． 【解析】解：把代入方程， 得：， 兩邊平方得：， 解得：， 經檢驗是方程的解， 即， 故選：A． 【點睛】本題考查了解無理方程和方程的解，能把無理方程轉化為有理方程是解此題的關鍵． 7．方程組的解是（　?。?A． B． C． D． 【答案】A 【分析】將分解因式，將x?y＝1代入可得x＋y＝3，據此可求出x，y． 【解析】解：由得：（x＋y）（x?y）＝3， ∵x?y＝1①， ∴x＋y＝3②， 由①＋②得2x＝4， 解得：x＝2， 把x＝2代入x?y＝1得y＝1， ∴方程組的解為， 故選：A． 【點睛】本題考查解二元二次方程組，解題的關鍵是將二次方程通過因式分解和整體代換轉化為解二元一次方程組． 8．A，B兩地相距180km，新修的高速公路開通后，在A，B兩地間行駛的長途客車平均車速提高了50%，而從A地到B地的時間縮短了1h．若設原來的平均車速為，則根據題意可列方程為（????） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】設原來的平均車速為，則根據題意“從A地到B地的時間縮短了1h”，列出分式方程即可求解． 【解析】解：設原來的平均車速為，則新修的高速公路開通后車速為，根據題意可列方程為 ． 故選A． 【點睛】本題考查了列分式方程，找到等量關系列出方程是解題的關鍵． 9．二元二次方程組的解的個數是（　　） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】C 【分析】先由方程①求出x，y的值，代入②，求解，即可得出結論． 【解析】解：， 由①得x＝﹣1或y＝2， 當x＝﹣1時，代入②得∶y＝1， 當y＝2時， 代入②得∶x＝±， 所以方程組的解或或． 故選：C． 【點睛】本題主要考查解方程的能力，體現數學中化歸思想，消元和降次是解此類問題的關鍵． 10．方程組有四組不同的實數解，則m的取值范圍是（??　 ） A． B． C． D．，且 【答案】D 【分析】首先運用代入法將方程組變形，然后利用根的判別式即可得解. 【解析】 由②，得③ 將③代入①，得 ∵方程組有四組不同的實數解， ∴且 ∴，且 故選：D. 【點睛】此題主要考查根據二元二次方程組的解求參數的取值范圍，解題關鍵的利用根的判別式. 二、填空題 11．方程 的解是_______． 【答案】 【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解． 【解析】解：去分母得：， 移項合并得：， 檢驗：當時，， ∴分式方程的解為． 故答案為：． 【點睛】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗． 12．二元二次方程可以化為兩個一次方程，它們是______． 【答案】x-6y=0或x+y=0 【分析】把y看成常量，方程就是關于x的一元二次方程，利用因式分解法化為兩個一次方程即可． 【解析】解：x2-5xy-6y2=0， （x-6y）（x+y）=0， ∴x-6y=0或x+y=0． 故答案為：x-6y=0或x+y=0． 【點睛】本題考查了二元二次方程，把y看成常量，方程看成關于x的一元二次方程是解決本題的關鍵． 13．方程的根是______． 【答案】 【分析】首先把方程兩邊同時平方，去掉根號，然后解一元二次方程，最后檢驗即可求解． 【解析】解：兩邊平方得，， 移項得：， 即， 解得，， 經檢驗，是增根， ∴方程的解為． 故答案為：． 【點睛】此題主要考查了解無理方程的方法，解題的關鍵是利用平方把方程的根號去掉，化無理方程為有理方程． 14．方程組的解為______． 【答案】 【分析】設=m，=n，即可得到一個關于m，n的方程組求得m，n的值，進而即可求得x，y的值． 【解析】解：設=m，=n． 則原方程組即可化為：， 解得：， 則， 解得：． 經檢驗是原方程組的解． 故答案是：． 【點睛】本題主要考查了分式方程組的解法，利用換元法轉化為整式方程組是解題的關鍵． 15．甲乙兩人加工一批零件，甲先加工了一半，然后乙加工了剩下部分，前后共用了10天完成，如果甲乙兩人一起加工，6天可加工完，如設甲、乙兩人單獨加工完成這批零件各需x天．y天可列方程組為______． 【答案】 【分析】根據“甲先加工了一半，然后乙加工了剩下部分，前后共用了10天完成”得到第一個等量關系；根據“如果甲乙兩人一起加工，6天可加工完”得到第二個等量關系，據此列出方程組即可． 【解析】解：由題意，得 ， 故答案為：． 【點睛】此題考查了分式方程的應用，解題的關鍵是找出題目中的等量關系，工程問題中常用的關系式有：工作時間=工作總量÷工作效率． 16．解關于的方程有增根，則的值為___________ 【答案】## 【分析】根據分式方程增根的產生，即使其最簡公分母為0，但適合其轉化為的整式方程進行求解． 【解析】解：根據題意，得 該分式方程的增根是， 該分式方程轉化為整式方程，得， 把代入，得． 故答案為：． 【點睛】此題考查了分式方程的增根，即適合分式方程轉化為整式方程，但卻使分式方程的最簡公分母為0． 17．如果關于x的分式方程的解為正數，那么a的取值范圍是___________． 【答案】且 【分析】根據解分式方程的一般步驟，可得分式方程的解，根據解為正數，可得不等式，根據解不等式，可得答案． 【解析】解：， ， 解得：， ， ， 即， 解得， 因為解為正數， ， 即， 解得， 故答案為：且． 【點睛】此題考查分式方程的解；解題關鍵在于根據解為正數，可得不等式再求出解集. 18．若關于x的方程-2x+m+4020=0存在整數解，則正整數m的所有取值的和為___________. 【答案】18 【分析】將原方程變形為m=2x-4020，由m為正整數、被開方數非負，可得出2010≤x≤2018，依此代入各值求出m的值，再將是正整數的m的值相加即可得出結論． 【解析】原題可得：m=2x-4020， ∵m為正整數， ∴m≥0， ∴2x-4020≥0， ∴x≥2010． ∵2018-x≥0， ∴x≤2018， ∴2010≤x≤2018． 當x=2010時，2m=0，m=0，不符合題意； 當x=2011時，m=2，m=，不符合題意； 當x=2012時，m=4，m=，不符合題意； 當x=2013時，m=6，m=，不符合題意； 當x=2014時，2m=8，m=4； 當x=2015時，m=10，m=，不符合題意； 當x=2016時，m=12，m=6，不符合題意； 當x=2017時，m=14； 當x=2018時，0=16，不成立． ∴正整數m的所有取值的和為4+14=18． 故答案為18． 【點睛】本題考查了無理方程，由被開方數非負及m為正整數，找出x的取值范圍是解題的關鍵． 三、解答題 19．解方程組： 【答案】或 【分析】根據①得，即或，分別與②聯(lián)立解方程組即可求解． 【解析】解： 由①得， 則或， ∴或， 解得：或． 【點睛】本題考查了解二元二次方程組，正確的計算是解題的關鍵． 20．解方程：． 【答案】 【分析】先把移到方程的右邊，兩邊平方，化簡后再次平方，然后解一元二次方程，最后檢驗即可. 【解析】解： 兩邊平方化簡， 兩邊平方化簡． 解之得， 檢驗：將代入原方程，左邊右邊，舍去． 所以原方程的解為． 【點睛】本題考查了解無理方程，以及解一元二次方程，通過平方把無理方程化為有理方程是解答本題的關鍵. 21．解方程組：． 【答案】 【分析】設，，可解得，即得，可解得，再檢驗，即可得答案． 【解析】解：設，，則原方程組變形為： ， 解得， ，即， 解得， 經檢驗，是原方程組的解， 原方程組的解為：． 【點睛】本題考查解分式方程，解題的關鍵是用換元法把方程組變形． 22．解方程： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2)，； (3)，，，． 【分析】（1）移項后兩邊平方得出，求出，再方程兩邊平方得出，求出，再進行檢驗即可； （2）觀察可得最簡公分母是，方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉化為整式方程求解； （3）令，則，代入原方程，得，所以，，然后分兩種情況分別解方程即可． 【解析】（1） 解：移項得，， 兩邊平方得，， 合并同類項得，， ∴， 兩邊平方得，， 整理得，， ∴， 解得：，， 經檢驗，，不是原方程的解， ∴原方程的解為：． （2） 解：方程兩邊同時乘以得， 整理得，， 解得，， ∴，， 經檢驗，，時，， ∴原方程的根為：，． （3） 解： 令，代入原方程得，， ∴， 解得：，， 當時，，即： ， ∴，解得：，， 當時，，即： ， ∴，解得：，， 經檢驗都為原方程的解 ∴原方程的解為：，，，． 【點睛】本題考查了解無理方程，能把無理方程轉化成有理方程是解此題的關鍵；還考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要驗根． 23．關于x的方程有且只有一個實數解，求k. 【答案】4或或0 【分析】分k=0和k≠0求解，當k≠0時，再分方程是一元二次方程和不是一元二次方程兩種情況求解． 【解析】當k=0時，方程變形為，整理，得4x+1=0， 方程只有一個實數解，符合題意， 當k≠0時，方程兩邊用時乘以x(x-1)， 整理，得， 當k=4時，方程變形為3x+1=0， 方程只有一個實數解，符合題意， 當k≠4時，方程只有一個實數根， 所以， 解得k=， 綜上所述，當方程只有一個實數解，符合題意的k值為4或或0． 【點睛】本題考查了分式方程的解法，分式方程轉化為一元一次方程或一元二次方程，正確進行分類是解題的關鍵． 24．北京冬奧會期間，海內外掀起一股購買冬奧會吉祥物“冰墩墩”的熱潮．某玩具廠接到6000箱“冰墩墩”的訂單，需要在冬奧會閉幕之前全部交貨．為了盡快完成訂單，玩具廠改良了原有的生產線，每天可以多生產20箱“冰墩墩”，結果提前10天完成任務，求該玩具廠改良生產線前每天生產多少箱“冰墩墩”？ 【答案】100箱 【分析】設該玩具廠改良生產線前每天生產x箱“冰墩墩”，則該玩具廠改良生產線后每天生產(x+20)箱“冰墩墩”，根據題意即可列出分式方程，解分式方程即可求得． 【解析】解：設該玩具廠改良生產線前每天生產x箱“冰墩墩”，則該玩具廠改良生產線后每天生產箱“冰墩墩”， 根據題意得 整理得： 解得，(舍去) 經檢驗：，都是原方程的解，但不符合題意舍去， 故該玩具廠改良生產線前每天生產100箱“冰墩墩”． 【點睛】本題考查了分式方程的實際應用，找準等量關系，列出分式方程是解決本題的關鍵，注意要檢驗． 25．甲，乙兩名摩托車選手在勻速狀態(tài)下進行賽道訓練，已知兩名選手先后從起點A地駛往相距60千米的終點B地．如果甲的速度比乙的速度慢1千米/分鐘．甲比乙早出發(fā)1分鐘，最后乙先到達終點B地．設甲的行駛時間為x（分鐘），甲、乙的行駛路程、（千米）與x之間的函數圖像如圖所示． （1）根據圖像，回答問題： 當乙到達終點B地時，________千米； （2）求甲、乙兩名摩托車選手的速度； （3）求關于x的函數解析式． 【答案】（1）52；（2）甲的速度是3千米/分鐘，乙的速度是4千米/分鐘；（3）（1≤x≤12） 【分析】（1）由圖象可直接得出答案； （2）設乙摩托車選手的速度為v千米/分鐘，根據路程、速度與時間的關系，即可解答； （3）利用待定系數法即可求解． 【解析】解：（1）觀察圖象知當乙到達終點B地時，y甲=52千米， 故答案為：52； （2）設乙的速度是x千米/分鐘， 由題意，， 解得：x1=-13，x2=4， 經檢驗，x1=-13，x2=4是原方程的解， x1=-13，不合題意，舍去， ∴乙的速度是4千米/分鐘，甲的速度是3千米/分鐘； （3）乙的行駛時間為60÷5=12（分鐘）， 設y乙關于x的函數解析式為y=kx+b，根據題意得， ， 解得：， ∴y乙關于x的函數解析式為（1≤x≤12）． 【點睛】本題考查了一次函數的應用，分式方程的應用，利用路程、速度與時間的關系得出方程是解題關鍵． 26．“程，課程也，二物者二程，三物者三程，皆如物數程之，并列為行，故謂之方程．”這是我國古代著名數學家劉徽在《九章算術》對方程一詞給出的注釋．對于一些特殊的方程，我們給出兩個定義：①若兩個方程有相同的一個解，則稱這兩個方程為“相似方程”：②若兩個方程有相同的整數解，則稱這兩個方程為“相伴方程”． (1)判斷分式方程與無理方程是否是“相似方程”，并說明理由； (2)已知關于x，y的方程：和，它們是“相似方程”嗎？如果是，請寫出它們的公共解；如果不是，請說明理由； (3)已知關于x，y的二元一次方程：和（其中k為常數）是“相伴方程”，求k的值. 【答案】(1)分式方程與無理方程是“相似方程”，理由見解析； (2)和，它們是“相似方程”，公共解為 (3)或或 【分析】（1）分別求出分式方程和無理方程的解，然后根據“相似方程”的定義進行判斷即可； （2）聯(lián)立兩個兩個方程，求出它們的公共解，如果只有唯一解，即說明兩個方程是“相似方程”，如果沒有唯一解則說明兩個方程不是“相似方程”； （3）聯(lián)立兩個方程得到，再分當時， 當時，兩種情況討論求解即可． 【解析】（1）解：分式方程與無理方程是“相似方程”，理由如下： 兩邊用時乘以得：， ∴， ∴， ∴或， 經檢驗和都是原方程的解； ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴分式方程與無理方程有一個相同的解， ∴分式方程與無理方程是“相似方程”； （2）解：聯(lián)立得：， ∴， ∴， ∴， ∴原方程組的解為， ∴方程和方程有一個公共解， ∴和，它們是“相似方程”，公共解為 （3）解：∵關于x，y的二元一次方程：和（其中k為常數）是“相伴方程”， ∴， ∴， 當時，即不符合題意； 當時，則， ∵x、y都是整數， ∴或或 【點睛】本題主要考查了解分式方程，解無理方程，解二元二次方程，解二元一次方程組等等，正確理解題意是解題的關鍵．