第六章平面向量初步單元測試題同步練習(xí)人教B版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊

這是一份第六章平面向量初步單元測試題同步練習(xí)人教B版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊，共16頁。
? 平面向量初步單元測試題
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知向量a，b是兩個非零向量，，分別是與a，b同方向的單位向量，則以下各式正確的是(　　)
A．＝　　　 B．＝或＝
C．＝ D．||＝||
2．已知點A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，則以ABCD為頂點的四邊形是(　　)
A．梯形
B．鄰邊不相等的平行四邊形
C．菱形
D．兩組對邊均不平行的四邊形
3．設(shè)e1和e2是互相垂直的單位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，則|a＋b|等于(　　)
A．(0,6) B．6
C． D．(6，－2)
4．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，那么2a－b＝(　　)
A．(4,0) B．(0,4)
C．(4，－8) D．(－4,8)
5．在重600 N的物體上系兩根繩子，與鉛垂線的夾角分別為30°，60°，重物平衡時，兩根繩子拉力的大小分別為(　　)
A．300 N,300 N B．150 N,150 N
C．300 N,300 N D．300 N,300 N
6．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a∥b，則(　　)
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
7．如圖，已知AD，BE分別為△ABC的邊BC，AC上的中線，設(shè)＝a，＝b，則等于(　　)

A．a(chǎn)＋b
B．a(chǎn)＋b
C．a(chǎn)－b
D．－a＋b
8．設(shè)0≤θ＜2π，已知兩個向量＝(cos θ，sin θ)，＝(2＋sin θ，2－cos θ)，則向量長度的最大值是(　　)
A． B．
C．3 D．2
二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分．
9．如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中正確的是(　　)

A．＝ B．＋＝
C．－＝ D．＋＝0
10．已知點P為△ABC所在平面內(nèi)一點，且＋2＋3＝0，如果E為AC的中點，F(xiàn)為BC的中點，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A．向量與可能平行
B．向量與不可能垂直
C．點P在線段EF上
D．PE∶PF＝2∶1
11．下列命題正確的是(　　)
A．若|a|＝|b|，則a＝b
B．若A，B，C，D是不共線的四點，則“＝”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件
C．若a＝b，b＝c，則a＝c
D．若a∥b，b∥c，則a∥c
12．設(shè)點M是△ABC所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是(　　)
A．若＝＋，則點M是邊BC的中點
B．若＝2－，則點M在邊BC的延長線上
C．若＝－－，則點M是△ABC的重心
D．若＝x＋y，且x＋y＝，則△MBC的面積是△ABC面積的
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中的橫線上．
13．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，則m＝________.
14．下列命題中正確命題的個數(shù)為________個．
①在△ABC中，必有＋＋＝0；
②若＋＋＝0，則A，B，C為一個三角形的三個頂點；
③若a，b均為非零向量，則|a＋b|與|a|＋|b|一定相等．
15．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(3,3)，B(5,1)，P(2,1)，M是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點．
(1)若四邊形APBM是平行四邊形，則點M的坐標(biāo)為________；
(2)若＋＝2，則點M的坐標(biāo)為________．(本題第一空2分，第二空3分)
16．在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且＝3，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，則x的取值范圍是________．
四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．(本小題滿分10分)已知P是△ABC內(nèi)一點，且＋2＋3＝0，設(shè)Q為CP的延長線與AB的交點，令＝p，用p表示.




18．(本小題滿分12分)如圖，在△ABC中，點M是邊BC的中點，點N在邊AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點P，求AP∶PM的值．




19．(本小題滿分12分)設(shè)＝(2，－1)，＝(3,0)，＝(m,3)．
(1)當(dāng)m＝8時，將用和表示；
(2)若A，B，C三點能構(gòu)成三角形，求實數(shù)m應(yīng)滿足的條件．
20．(本小題滿分12分)設(shè)e1，e2是正交單位向量，如果＝2e1＋me2，＝ne1－e2，＝5e1－e2，若A，B，C三點在一條直線上，且m＝2n，求m，n的值．





21．(本小題滿分12分)已知e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三點共線．
(1)求實數(shù)λ的值；
(2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求的坐標(biāo)；
(3)已知點D(3,5)，在(2)的條件下，若A，B，C，D四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形，求點A的坐標(biāo)．





22．(本小題滿分12分)平面內(nèi)有四邊形ABCD，＝2，且AB＝CD＝DA＝2，＝a，＝b，M是CD的中點．
(1)試用a，b表示；
(2)AB上有點P，PC和BM的交點Q，PQ∶QC＝1∶2，求AP∶PB和BQ∶QM.
















參考答案
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知向量a，b是兩個非零向量，，分別是與a，b同方向的單位向量，則以下各式正確的是(　　)
A．＝　　　 B．＝或＝
C．＝ D．||＝||
D　[因為a與b方向關(guān)系不確定且a≠0，b≠0，又與a同方向，與b同方向，所以與方向關(guān)系不確定，所以A，B，C項均不對．
又與均為單位向量，所以||＝||＝1．]
2．已知點A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，則以ABCD為頂點的四邊形是(　　)
A．梯形
B．鄰邊不相等的平行四邊形
C．菱形
D．兩組對邊均不平行的四邊形
B　[因為＝(8,0)，＝(8,0)，所以＝，因為＝(4，－3)，所以||＝5，而||＝8，故為鄰邊不相等的平行四邊形．]
3．設(shè)e1和e2是互相垂直的單位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，則|a＋b|等于(　　)
A．(0,6) B．6
C． D．(6，－2)
B　[因為|e1|＝|e2|＝1，e1與e2垂直，設(shè)e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，則a＝(3,2)，b＝(－3,4)．所以|a＋b|＝＝6.]
4．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，那么2a－b＝(　　)
A．(4,0) B．(0,4)
C．(4，－8) D．(－4,8)
C　[由a∥b知4＋2m＝0，∴m＝－2,2a－b＝(2，－4)－(－2,4)＝(4，－8)．故選C．]
5．在重600 N的物體上系兩根繩子，與鉛垂線的夾角分別為30°，60°，重物平衡時，兩根繩子拉力的大小分別為(　　)
A．300 N,300 N B．150 N,150 N
C．300 N,300 N D．300 N,300 N
C　[如圖，作矩形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.
在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，所以||＝||cos 30°＝300 N，||＝||sin 30°＝300 N，||＝||＝300 N．故選C．]
6．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a∥b，則(　　)
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
D　[∵a∥b，∴存在實數(shù)k，使得a＝kb成立，∴e1＋λe2＝k·2e1，∵e1≠0，∴e1∥e2，或λ＝0，故選D．]
7．如圖，已知AD，BE分別為△ABC的邊BC，AC上的中線，設(shè)＝a，＝b，則等于(　　)

A．a(chǎn)＋b
B．a(chǎn)＋b
C．a(chǎn)－b
D．－a＋b
B　[＝2＝2
＝＋＝a＋b.]
8．設(shè)0≤θ＜2π，已知兩個向量＝(cos θ，sin θ)，＝(2＋sin θ，2－cos θ)，則向量長度的最大值是(　　)
A． B．
C．3 D．2
C　[∵＝－
＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)，
∴||＝
＝≤3.]
二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分．
9．如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中正確的是(　　)

A．＝ B．＋＝
C．－＝ D．＋＝0
ABD　[在平行四邊形ABCD中，根據(jù)向量的減法法則知－＝，所以結(jié)論中錯誤的是C．A、B、D均正確．]
10．已知點P為△ABC所在平面內(nèi)一點，且＋2＋3＝0，如果E為AC的中點，F(xiàn)為BC的中點，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A．向量與可能平行
B．向量與不可能垂直
C．點P在線段EF上
D．PE∶PF＝2∶1
CD　[由E為AC的中點，F(xiàn)為BC的中點，可得＝(＋)，＝(＋)，＋2＋3＝0，即(＋)＋2(＋)＝0，可得＋2＝0，可得P在線段EF上，且PE∶PF＝2∶1，向量與不可能平行，可能垂直，則CD正確．AB錯誤．]
11．下列命題正確的是(　　)
A．若|a|＝|b|，則a＝b
B．若A，B，C，D是不共線的四點，則“＝”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件
C．若a＝b，b＝c，則a＝c
D．若a∥b，b∥c，則a∥c
BC　[A不正確，兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同．
B正確，由＝得||＝||且∥，又A，B，C，D是不共線的四點，所以四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則∥且方向相同，且||＝||.因此，＝.故“＝”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件．
C正確，因為a＝b，所以a，b的長度相等且方向相同；又b＝c，則b，c的長度相等且方向相同，所以a，c的長度相等且方向相同，故a＝c.
D不正確，當(dāng)b＝0時不成立．]
12．設(shè)點M是△ABC所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是(　　)
A．若＝＋，則點M是邊BC的中點
B．若＝2－，則點M在邊BC的延長線上
C．若＝－－，則點M是△ABC的重心
D．若＝x＋y，且x＋y＝，則△MBC的面積是△ABC面積的
ACD　[若＝＋，則點M是邊BC的中點，故A正確；
若＝2－，即有－＝－，即＝，
則點M在邊CB的延長線上，故B錯誤；
若＝－－，即＋＋＝0，則點M是△ABC的重心，故C正確；
若＝x＋y，且x＋y＝，可得2＝2x＋2y，設(shè)＝2，

由圖可得M為AN的中點，
則△MBC的面積是△ABC面積的，故D正確，故選ACD．]
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中的橫線上．
13．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，則m＝________.
－1　[∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)．
∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m－1)＝0.
∴m＝－1．]
14．下列命題中正確命題的個數(shù)為________個．
①在△ABC中，必有＋＋＝0；
②若＋＋＝0，則A，B，C為一個三角形的三個頂點；
③若a，b均為非零向量，則|a＋b|與|a|＋|b|一定相等．
1　[①真命題；
②假命題，當(dāng)A，B，C三點共線時，也可以有＋＋＝0；
③假命題，只有當(dāng)a與b同向時才相等．]
15．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(3,3)，B(5,1)，P(2,1)，M是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點．
(1)若四邊形APBM是平行四邊形，則點M的坐標(biāo)為________；
(2)若＋＝2，則點M的坐標(biāo)為________．(本題第一空2分，第二空3分)
(1)(6,3)　(2)(4,2)　[(1)設(shè)M(x，y)，則＝(－1，－2)，＝(5－x,1－y)．
因為四邊形APBM是平行四邊形，所以＝，
所以(－1，－2)＝(5－x,1－y)，所以解得所以點M的坐標(biāo)為(6,3)．
(2)＝(1,2)，＝(3,0)，
＝(x－2，y－1)，
因為＋＝2，
所以(1,2)＋(3,0)＝2(x－2，y－1)，
所以(4,2)＝(2(x－2)，2(y－1))，
所以解得
所以點M的坐標(biāo)為(4,2)．]
16．在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且＝3，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，則x的取值范圍是________．
　[設(shè)＝y(tǒng)，
∵＝＋＝＋y
＝＋y(－)
＝－y＋(1＋y).
∵＝3，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，
∴y∈，
∵＝x＋(1－x)，
∴x＝－y，∴x∈.]
四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．(本小題滿分10分)已知P是△ABC內(nèi)一點，且＋2＋3＝0，設(shè)Q為CP的延長線與AB的交點，令＝p，用p表示.
[解]　∵＝＋，＝＋，
∴(＋)＋2(＋)＋3＝0，
即＋3＋2＋3＝0.
又∵A，Q，B三點共線，C，P，Q三點共線，
∴設(shè)＝λ，＝μ.
∴λ＋3＋2＋3μ＝0，
∴(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0，
又∵，為不共線的向量，
∴
解得λ＝－2，μ＝－1，
∴＝－＝，故＝＋＝2＝2p.
18．(本小題滿分12分)如圖，在△ABC中，點M是邊BC的中點，點N在邊AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點P，求AP∶PM的值．

[解]　設(shè)＝e1，＝e2，則＝＋＝－3e2－e1，
＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分別共線，
∴存在實數(shù)λ，μ，使得＝λ＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
而＝＋＝2e1＋3e2，
由平面向量基本定理，得解得
∴＝，∴AP∶PM＝4∶1．
19．(本小題滿分12分)設(shè)＝(2，－1)，＝(3,0)，＝(m,3)．
(1)當(dāng)m＝8時，將用和表示；
(2)若A，B，C三點能構(gòu)成三角形，求實數(shù)m應(yīng)滿足的條件．
[解]　(1)當(dāng)m＝8時，＝(8,3)，設(shè)＝λ1＋λ2，
∴(8,3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3,0)＝(2λ1＋3λ2，－λ1)，
∴解得
∴＝－3＋.
(2)若A，B，C三點能構(gòu)成三角形，則有與不共線，
又＝－＝(3,0)－(2，－1)＝(1,1)，
＝－＝(m,3)－(2，－1)＝(m－2,4)，
則有1×4－(m－2)×1≠0，∴m≠6.
20．(本小題滿分12分)設(shè)e1，e2是正交單位向量，如果＝2e1＋me2，＝ne1－e2，＝5e1－e2，若A，B，C三點在一條直線上，且m＝2n，求m，n的值．
[解]　以O(shè)為原點，e1，e2的方向分別為x軸，y軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系xOy(圖略)，
則＝(2，m)，＝(n，－1)，＝(5，－1)，
所以＝(3，－1－m)，＝(5－n,0)，
又因為A，B，C三點在一條直線上，所以∥，
所以3×0－(－1－m)(5－n)＝0，與m＝2n構(gòu)成方程組解得或
21．(本小題滿分12分)已知e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三點共線．
(1)求實數(shù)λ的值；
(2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求的坐標(biāo)；
(3)已知點D(3,5)，在(2)的條件下，若A，B，C，D四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形，求點A的坐標(biāo)．
[解]　(1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.因為A，E，C三點共線，
所以存在實數(shù)k，使得＝k，
即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，
得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.
因為e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，
所以解得k＝－，λ＝－.
(2)＝＋＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．
(3)因為A，B，C，D四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形，所以＝.設(shè)A(x，y)，則＝(3－x,5－y)，因為＝(－7，－2)，所以
解得即點A的坐標(biāo)為(10,7)．
22．(本小題滿分12分)平面內(nèi)有四邊形ABCD，＝2，且AB＝CD＝DA＝2，＝a，＝b，M是CD的中點．
(1)試用a，b表示；
(2)AB上有點P，PC和BM的交點Q，PQ∶QC＝1∶2，求AP∶PB和BQ∶QM.
[解]　(1)＝(＋)
＝(＋＋2)＝a＋b.
(2)設(shè)＝t，則＝＋＝＋＝2＋(＋)＝t＋＝(a＋tb)．
設(shè)＝λ＝a＋b，
由于，不共線，則有
解方程組，得λ＝，t＝.
故AP∶PB＝2∶1，BQ∶QM＝4∶5.