專題03 二次函數y=ax2+bx+c的圖像和性質壓軸題五種模型全攻略-【?？級狠S題】2022-2023學年九年級數學下冊壓軸題攻略（蘇科版）

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?專題03 二次函數y=ax2+bx+c的圖像和性質壓軸題五種模型全攻略

考點一 把y=ax2+bx+c化成頂點式 考點二 畫二次函數y=ax2+bx+c的圖像
考點三 二次函數y=ax2+bx+c的性質 考點四 已知二次函數上對稱的兩點求對稱軸
考點五 二次函數的平移
典型例題


考點一 把y=ax2+bx+c化成頂點式
例題：（2021·黑龍江·塔河縣第一中學校九年級期中）已知二次函數y=x2+2x-3配成頂點式________．
【答案】
【解析】
【分析】
由于二次項系數為1，所以直接加上一次項系數的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉化為頂點式．
【詳解】
解：，
故答案為：．
【點睛】
本題考查了二次函數的解析式，能夠正確運用配方法把二次函數的一般式化為頂點式是解題的關鍵．
【變式訓練】
1．（2021·遼寧沈陽·一模）拋物線y＝3x2﹣6x+5的頂點坐標為_______．
【答案】(1，2)
【解析】
【分析】
將拋物線的解析式化為頂點式，然后即可寫出拋物線的頂點坐標．
【詳解】
解：∵拋物線y＝3x2﹣6x+5＝3（x﹣1）2+2，
∴該拋物線的頂點坐標為（1，2），
故答案為：（1，2）．
【點睛】
本題考查二次函數的性質，解答本題的關鍵是會將拋物線解析式化為頂點式．
2．（2022·寧夏吳忠·二模）已知二次函數，用配方法化為的形式是______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用配方法先提出二次項系數，再加上一次項系數的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉化為頂點式．
【詳解】
解：y=-x2+2x-5=-（x2-2x+1）+1-5=-（x-1）2-4，
故答案為：．
【點睛】
本題考查了二次函數解析式的三種形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數）；（2）頂點式：y=a（x-h）2+k；（3）交點式（與x軸）：y=a（x-x1）（x-x2）．

考點二 畫二次函數y=ax2+bx+c的圖像
例題：（2022·全國·九年級專題練習）已知拋物線
(1)用配方法求拋物線的頂點坐標和對稱軸．
(2)直接畫出函數的圖像．

【答案】(1)頂點坐標是，對稱軸是
(2)圖像見解析
【解析】
【分析】
（1）利用配方法將拋物線的解析式變形為，由此即可得出拋物線的頂點坐標及拋物線的對稱軸；
（2）畫圖是要把握拋物線與坐標軸的交點，頂點坐標，開口方向等，利用列表、描點、連線即可畫出這條拋物線．
(1)
解：∵，
∴頂點坐標是，對稱軸是；
(2)
列表：

0
1
2
3
4

3
0
﹣1
0
3
作圖如下：

【點睛】
本題考查了二次函數圖像的畫法，二次函數的兩種形式．利用配方法將二次函數解析式的一般式換算成頂點式是解題的關鍵．
【變式訓練】
1．（2021·福建·廈門外國語學校瑞景分校一模）（1）已知二次函數
①求出函數圖象頂點坐標、對稱軸，并寫出圖象的開口方向
②列表，并在所給網格中建立平面直角坐標系井直接畫出此函數的圖象

（2）物線過，兩點，與軸的交點為，求拋物線的解析式．
【答案】（1）①函數圖象頂點坐標、對稱軸直線，開口向上；②見解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）①把函數表示為頂點式即可解答；②列表、描點、連線即可；
（2）把函數與軸交點代入交點式表達式，再將與軸的交點為代入即可求解．
【詳解】
解：，
函數圖象頂點坐標、對稱軸直線，開口向上；



















過，兩點，與軸的交點為，
用交點式，則表達式為：，
把代入得：，
解得，
故函數解析式為：．
【點睛】
本題考查的是二次函數圖象問題，解題的關鍵是靈活運用函數的種表達式，交點式和頂點式用得比較多．
2．（2022·天津北辰·九年級期末）已知二次函數
(1)填寫表中空格處的數值
x
…


1
2

…

…

3


0
…
(2)根據上表，畫出這個二次函數的圖象；

(3)根據表格、圖象，當時，y的取值范圍__________．
【答案】(1)表格中的數值從左到右依次為：0，0，4，3，3；
(2)圖象見解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）將表格中的x值和y值分別代入二次函數中，求值即可填表；
（2）根據表格，利用描點法即可畫出圖象；
（3）計算出時，y的值，再結合圖象即可解答．
(1)
將代入，得：；
將代入，得：，
解得：，；
將代入，得：；
將代入，得：；
將代入，得：，
解得：，；
故表格中的數值從左到右依次為：0，0，4，3，3；
(2)
根據表格可畫出圖象如下：


(3)
當時，
結合圖象可知y的取值范圍是．
故答案為．
【點睛】
本題考查二次函數的圖象和性質．利用數形結合的思想是解題關鍵．

考點三 二次函數y=ax2+bx+c的性質
例題：（2022·全國·九年級）二次函數的圖象和性質描述正確的是(????????)
A．函數圖象開口朝下 B．當時，y隨x的增大而增大
C．函數的最小值大于零 D．函數圖象與y軸的交點位于軸負半軸
【答案】C
【解析】
【分析】
根據二次函數的解析式結合二次函數的性質逐一分析即可作答．
【詳解】
解：二次函數y=x2+2x+3=（x+2）2+1，對稱軸為直線x=-2．
A、a=＞0，開口向上，本選項不符合題意；
B、當時，y隨x的增大而減小，本選項不符合題意；
C、該函數的最小值為1，大于零，本選項符合題意；
D、該函數圖象與y軸的交點為（0，3），位于y軸的正半軸，本選項不符合題意；
故選：C．
【點睛】
本題考查了二次函數的性質，主要利用了拋物線的開口方向、對稱軸以及二次函數的增減性．
【變式訓練】
1．（2021·山東·威海市實驗中學九年級期末）二次函數的與的部分對應值如下表，則下列判斷中正確的是（???????）
x
…
0
1
3
4
…
y
…
2
4
2
-2
…
A．拋物線開口向上 B．當時，隨的增大而減小
C．當時， D．的最大值為
【答案】C
【解析】
【分析】
先根據表格中的數據確定拋物線的解析式，再由二次函數的性質即可判斷．
【詳解】
解：將點，，代入二次函數的解析式，
得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為，
∵，
∴拋物線開口向下，
∴A選項不符合題意；
∵由拋物線解析式可知，拋物線的對稱軸為，這時拋物線取得最大值，
∴當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小，
∴當時，隨的增大先增大，到達最大值后，隨的增大而減小，
∴B選項不符合題意；
∵當時，；當時，，
又∵拋物線的對稱軸為，
當時，，
又∵，
∴當時，，
∴C選項符合題意；
∵拋物線的解析式為，
∴當時，拋物線取得最大值，
∴D選項不符合題意．
故選：C．
【點睛】
本題考查二次函數的性質．關鍵是能根據表中的數據確定拋物線的解析式．
2．（江西省景德鎮(zhèn)市2020-2021學年下學期九年級期中（質檢）數學試題）關于拋物線，下列說法錯誤的是（???????）
A．當時，對稱軸是軸 B．當時，經過坐標原點
C．不論為何值，都過定點 D．時，對稱軸在軸的左側
【答案】D
【解析】
【分析】
根據函數解析式和二次函數的性質可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．
【詳解】
解：A、拋物線，
當時，對稱軸是直線，即軸，故選項A正確，不符合題意，
B、當時，過點，故選項B正確，不符合題意，
C、當時，，此時解析式中的正好可以消掉，故選項C正確，不符合題意，
D、拋物線的對稱軸是直線，當時，對稱軸在軸右側，故選項D錯誤，符合題意，
故選：D．
【點睛】
本題考查二次函數的性質，解題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．

考點四 已知二次函數上對稱的兩點求對稱軸
例題：（2022·全國·九年級課時練習）若函數圖像與x軸的兩個交點坐標為和，則__________．
【答案】-2
【解析】
【分析】
根據二次函數圖象對稱軸所在的直線與x軸的交點的坐標，即為它的圖象與x軸兩交點之間線段中點的橫坐標，即可求得．
【詳解】
解：函數圖像與x軸的兩個交點坐標為和
由對稱軸所在的直線為：
解得
故答案為：-2．
【點睛】
本題考查了二次函數的性質及中點坐標的求法，熟練掌握和運用二次函數的性質及中點坐標的求法是解決本題的關鍵．
【變式訓練】
1．（2022·全國·九年級）已知拋物線經過和兩點，則的值為（???????）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
根據（﹣1，n）和（2，n）可以確定函數的對稱軸x＝1，再由對稱軸的x＝﹣＝，即可求解．
【詳解】
解：拋物線y＝x2+mx﹣1經過（﹣1，n）和（2，n）兩點，
可知函數的對稱軸x＝＝，
∴﹣＝，
∴m＝﹣1；
∴y＝x2﹣x﹣1，
將點（﹣1，n）代入函數解析式，可得n＝1；
∴m＋n＝﹣1＋1＝0．
故選：B．
【點睛】
本題考查二次函數圖象上點的坐標；熟練掌握二次函數圖象上點的對稱性是解題的關鍵．
2．（2022·山東菏澤·九年級期末）拋物線經過點，，，則該拋物線上縱坐標為5的另一個點的坐標是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據坐標求二次函數對稱軸，然后求出關于對稱軸對稱的點坐標即可．
【詳解】
解：由，得拋物線的對稱軸為直線
∴
設
由題意知關于對稱軸對稱
則
解得
∴
故答案為：．
【點睛】
本題考查了二次函數的對稱性．解題的關鍵在于求出二次函數的對稱軸．

考點五 二次函數的平移
例題：（2022·浙江寧波·八年級期末）將拋物線先向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到的拋物線的函數表達式為(?????)
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由平移可知，拋物線的開口方向和大小不變，頂點改變，將拋物線化為頂點式，求出頂點，再由平移求出新的頂點，然后根據頂點式寫出平移后的拋物線解析式．
【詳解】
解：y=x2?6x+5=(x?3)2?4，即拋物線的頂點坐標為(3，?4)，
把點(3，?4)向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度，
得到點的坐標為(4，?2)，
所以平移后得到的拋物線解析式為y=(x?4)2?2．
故選D．
【點睛】
本題考查了二次函數圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．
【變式訓練】
1．（2021·西藏·柳梧初級中學九年級期中）把拋物線y＝5x2向上平移3個單位，再向左平移2個單位，得到的拋物線是（???????）
A．y＝5（x＋2）2＋3 B．y＝5（x＋2）2－3
C．y＝5（x－2）2＋3 D．y＝5（x＋－2）2－3
【答案】A
【解析】
【分析】
按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律進行解題．
【詳解】
解：將拋物線y=5x2向上平移3個單位，再向左平移2個單位得到函數解析式是：
y=5（x+2）2+3．
故選：A．
【點睛】
此題考查了拋物線的平移規(guī)律：左加右減，上加下減．
2．（2021·寧夏·吳忠市利通區(qū)扁擔溝中心學校九年級期中）將拋物線向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到的拋物線是（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據二次函數圖象的平移可進行求解．
【詳解】
解：由拋物線向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，可知平移后的拋物線解析式為；
故選C．
【點睛】
本題主要考查二次函數圖象的平移，熟練掌握圖象平移的方法“左加右減，上加下減”是解題的關鍵．









課后訓練


一、選擇題
1．（2021·河北·承德市第七中學九年級階段練習）下列各點不在二次函數的圖象上的是（　?。?br /> A．(0，-1) B．(1，0) C．(2，-1) D．(3，0)
【答案】D
【分析】將各選項點的橫坐標代入解析式，算出縱坐標，即可判斷點是否在二次函數的圖象上．
【詳解】解：在中，
令x＝0得y＝-1，
∴（0，-1）在二次函數的圖象上，A不符合題意；
令x＝1得，
∴（1，0）在二次函數的圖象上，B不符合題意；
令x＝2得，
∴（2，-1）在二次函數的圖象上，C不符合題意；
令x＝3得，
∴（3，0）不在二次函數的圖象上，D符合題意；
故選：D．
【點睛】本題主要考查的是二次函數基本性質，重點在于準確計算．
2．（2022·福建·福州立志中學九年級開學考試）把二次函數的解析式配成頂點式為（　　?。?br /> A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】加上一次項系數一半的平方，根據完全平方公式變形即可得到答案．
【詳解】解：，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了二次函數的頂點式，掌握配方法是解題的關鍵．
3．（2022·廣東·測試·編輯教研五一模）將二次函數的圖象向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到的二次函數解析式是（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律進而求出即可．
【詳解】解：將二次函數的圖象向右平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到的二次函數解析式是，即．
故選：A．
【點睛】此題考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減．
4．（2022·遼寧阜新·中考真題）下列關于二次函數的圖像和性質的敘述中，正確的是（????）
A．點在函數圖像上 B．開口方向向上
C．對稱軸是直線 D．與直線有兩個交點
【答案】D
【分析】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函數值再與點的縱坐標進行比較；B、化簡二次函數：y＝﹣3x2+3x+6，根據a的取值判斷開口方向；C、根據對稱軸公式計算；D、把函數的問題轉化為一元二次方程的問題，根據判別式的取值來判斷．
【詳解】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），
得y＝6≠2，
∴A錯誤；
B、化簡二次函數：y＝﹣3x2+3x+6，
∵a＝﹣3＜0，
∴二次函數的圖象開口方向向下，
∴B錯誤；
C、∵二次函數對稱軸是直線x
∴C錯誤；
D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，
∴﹣3x2+3x+6＝3x，
∴﹣3x2+6＝0，
∵b2﹣4ac＝72＞0，
∴二次函數y＝3（x+1）（2﹣x）的圖象與直線y＝3x有兩個交點，
∴D正確；
故選：D．
【點睛】此題考查了二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的性質、一次函數圖象上點的坐標特征、正比例函數的性質，掌握這幾個知識點的應用，其中函數的問題轉化為一元二次方程的問題是解題關鍵．
5．（2022·河北· 滄州渤海新區(qū)京師學校九年級階段練習）已知二次函數，則下列說法正確的是（????）
A．函數圖象經過點
B．當時，函數有最大值，最大值是
C．當時，隨的增大而減小
D．對稱軸是直線
【答案】D
【分析】將二次函數解析式化為頂點式，即可得出函數的頂點坐標，對稱軸，然后分別判斷即可．
【詳解】解：A.把代入得：，
∴函數圖象經過點，不經過點，故A錯誤；
B. ，
∴當時，函數有最大值，最大值是，故B錯誤；
C.∵，對稱軸為直線，
∴當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減小，故C錯誤；
D.拋物線的對稱軸為直線，故D正確．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了拋物線的性質，將拋物線的一般形式化為頂點式，得出拋物線的頂點坐標和對稱軸，是解題的關鍵．
二、填空題
6．（2022·云南·會澤縣以禮中學校九年級階段練習）將二次函數化成的形式，y=________．
【答案】
【分析】利用配方法先提出二次項系數，在加上一次項系數的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉化為頂點式．
【詳解】解：

．
故答案為：．
【點睛】本題考查的是二次函數的三種形式，正確運用配方法把一般式化為頂點式是解題的關鍵．
7．（2022·湖南·長沙市長郡雙語實驗中學九年級開學考試）將二次函數的圖象向右平移3個單位，再向上平移5個單位后，所得拋物線的表達式是________．
【答案】
【分析】根據“左加右減，上加下減”的原則進行解答即可．
【詳解】解：將二次函數的圖象向右平移3個單位，再向上平移5個單位后，所得拋物線的表達式是，即，
【點睛】本題主要考查二次函數的圖像平移，熟練掌握“左加右減，上加下減”是解題的關鍵．
8．（2022·江蘇·通州灣三余初級中學九年級階段練習）若拋物線y＝﹣2x+m與x軸的一個交點是（﹣2，0），則另一交點坐標是___．
【答案】（4，0）
【分析】先求得對稱軸為直線，設另一交點為，根據對稱性，求出的值即可．
【詳解】解：∵拋物線y＝﹣2x+m與x軸的一個交點是（﹣2，0），對稱軸為直線，
設另一交點為，
∴，
解得，
∴另一交點坐標是（4，0）．
故答案為：（4，0）．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，求得對稱軸是解題的關鍵．
9．（2022·浙江·寧波市鄞州區(qū)咸祥鎮(zhèn)中心初級中學九年級階段練習）對于已知二次函數，當x____時，函數值y隨x的增大而減??；當x____時，函數值y隨x的增大而增大．且此函數的最大值為____．
【答案】???? >1???? 1時，y隨x的增大而減?。划攛1，