滬教版 (五四制)七年級下冊第十四章 三角形第3節(jié) 等腰三角形14.6 等腰三角形的判定測試題

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?專題10 等腰三角形（難點）
一、單選題
1．下列命題：
①等腰三角形的角平分線、中線和高重合；②等腰三角形兩腰上的高相等；③等腰三角形的最短邊是底邊；④等邊三角形的高、中線、角平分線都相等；⑤等腰三角形都是銳角三角形．其中正確的有（????）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】根據等腰三角形的判定與性質、等邊三角形的性質分別對每一項進行分析即可．
【解析】解：①等腰三角形的頂角的角平分線、底邊上的中線和高重合，故本選項錯誤，
②等腰三角形兩腰上的高相等，正確；
③等腰三角形的最小邊不一定是底邊，故本選項錯誤；
④等邊三角形的高、中線、角平分線都相等，正確；
⑤等腰三角形不一定是銳角三角形，故本選項錯誤；
其中正確的有2個，
故選：B．
【點睛】此題考查了命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．
2．已知△ABC的三邊a、b、c滿足，那么△ABC是（????）
A．不等邊三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．不能判斷
【答案】B
【分析】先求出a、b、c的值，從而得出△ABC的形狀.
【解析】解：∵，
∴a-4=0，b-4=0，c2-16=0，
∴a=4，b=4，c=4，
∴△ABC是等邊三角形.
故選B.
【點睛】本題考查了絕對值、偶次方、算術平方根的非負性等知識點，能熟記性質是解此題的關鍵，如果一個三角形三邊相等，則為等邊三角形.
3．如圖，關于△ABC，給出下列四組條件：
①△ABC中，AB＝AC；
②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；
③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；
④△ABC中，AD⊥BC，AD平分邊BC．
其中，能判定△ABC是等腰三角形的條件共有（　?。?br />
A．1組 B．2組 C．3組 D．4組
【答案】D
【分析】根據等腰三角形的判定定理即可逐一判斷．
【解析】解：①∵△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，故①正確；
②∵△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣68°﹣56°＝56°，
∴∠B＝∠C，則AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，故②正確；
③∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC，
∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠C，則AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，故③正確；
④∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分邊BC，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，故④正確；
即正確的個數(shù)是4，
故選：D．
【點睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質，三角形的內角和定理，等腰三角形的判定等知識點，解題的關鍵是能靈活運用定理進行推理．
4．如圖，在中，，點為線段上一動點不與點，重合，連接，作，交線段于點下列結論：
；
若，則；
當時，則為中點；
當為等腰三角形時，．
其中正確的有個．(????)

A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】C
【分析】根據三角形外角的性質即可得到；
當時，；
根據等腰三角形的性質得到，根據三角形的內角和即可得到；
根據三角形外角的性質得到，求得，根據等腰三角形的性質和三角形的內角和得到．
【解析】，，
．
，
．
由三角形內角和定理知：．
故正確；
，
，
由知：．
．
．
，
故正確；
為中點，，
，
，
，
，
，
，
故正確；
，
，
，
為等腰三角形，
或，
當時，，
，
，
故不正確．
故選：．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的內角和，計算各角的度數(shù)是解題的關鍵．
5．如圖，已知等邊△ABC和等邊△PAF，過P作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點，連接PQ交AC邊于D，當PA=CQ，AB=1時，DE的長（ ）

A． B． C． D．不能確定
【答案】B
【解析】解：∵△ABC是等邊三角形，且PF∥BC，
又∵PE⊥AF，
∴AE=EF=AF；（等邊三角形三線合一）
∵PF∥CQ，
∴∠PFD=∠QCD，∠FPD=∠Q；
又∵PA=PF=CQ，
在△PFD和△QCD中，
∴△PFD≌△QCD（AAS）；
∴CD=DF=CF；
∴DE=DF+FE=（AF+FC）=AC=，
故選B．
6．如圖，在△ABC 中，AD 是 BC 邊上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE 平分∠CAD，交 BC于點 E，過點 E 作 EF∥AC，分別交 AB、AD 于點 F、G．則下列結論：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF； ③∠BAE＝∠BEA； ④∠B＝2∠AEF，其中正確的有（????）

A．4 個 B．3 個 C．2 個 D．1 個
【答案】B
【分析】利用高線和同角的余角相等,三角形內角和定理即可證明①,再利用等量代換即可得到③
④均是正確的,②缺少條件無法證明.
【解析】解：由已知可知∠ADC=∠ADB=90°,
∵∠ACB＝∠BAD
∴90°-∠ACB=90°-∠BAD,即∠CAD=∠B,
∵三角形ABC的內角和=∠ACB+∠B+∠BAD+∠CAD=180°,
∴∠CAB=90°,①正確,
∵AE平分∠CAD,EF∥AC，
∴∠CAE=∠EAD=∠AEF,∠C=∠FEB=∠BAD,②錯誤,
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE,∠BEA=∠BEF+∠AEF,
∴∠BAE＝∠BEA,③正確,
∵∠B=∠DAC=2∠CAE=2∠AEF,④正確,
綜上正確的一共有3個,故選B.
【點睛】本題考查了三角形的綜合性質,高線的性質,平行線的性質,綜合性強,難度較大,利用角平分線和平行線的性質得到相等的角,再利用等量代換推導角之間的關系是解題的關鍵.
7．如圖，已知AD為△ABC的高線，AD=BC，以AB為底邊作等腰Rt△ABE，連接ED，EC，延長CE交AD于F點，下列結論：①△ADE≌△BCE；②CE⊥DE；③BD=AF；④S△BDE=S△ACE，其中正確的有（　?。?br />
A．①③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④
【答案】C
【分析】①易證∠CBE=∠DAE，即可求證：△ADE≌△BCE；
②根據①結論可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，即可解題；
③證明△AEF≌△BED即可；
④易證△FDC是等腰直角三角形，則CE=EF，S△AEF=S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE=S△ACE，所以S△BDE=S△ACE．
【解析】①∵AD為△ABC的高線，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°．
∵Rt△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE，∴∠CBE+∠BAD=45°，∴∠DAE=∠CBE．在△DAE和△CBE中，∵，∴△ADE≌△BCE（SAS）；故①正確；
②∵△ADE≌△BCE，∴∠EDA=∠ECB．
∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠ECB=90°，∴∠DEC=90°，∴CE⊥DE；故②正確；
③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠AFE=∠ADC+∠ECD，∴∠BDE=∠AFE．
∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，∴∠BED=∠AEF．
在△AEF和△BED中，∵，∴△AEF≌△BED（AAS），∴BD=AF；故③正確；
④∵AD=BC，BD=AF，∴CD=DF．
∵AD⊥BC，∴△FDC是等腰直角三角形．
∵DE⊥CE，∴EF=CE，∴S△AEF=S△ACE．
∵△AEF≌△BED，∴S△AEF=S△BED，∴S△BDE=S△ACE．故④正確．
故選C．

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，本題中求證△BFE≌△CDE是解題的關鍵．
8．已知和是等邊三角形，，且B、C、D三點共線，連接BE，AD，交AC于點M，交CE于點N，以下結論正確的個數(shù)是（????）
①；②；③；④連接CG，GC是的角平分線．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】由等邊三角形的性質可得出，，，從而推出，即可利用證明，可判斷①；由全等的性質可得出，再利用三角形外角的性質即可推出，即可判斷②；由和B、C、D三點共線，可求出，即可證明，得出，即可判斷③；過點作于點P，于點Q，易證，得出，即又易證，得出，即GC是的角平分線，可判斷④．
【解析】∵和是等邊三角形，
∴，，，
∴，即，
∴，故①正確；
∵，
∴．
∵，
∴，故②正確；
∵，B、C、D三點共線，
∴．
∴在和中，，
∴，
∴，故③正確；
如圖，過點作于點P，于點Q，

在和中，，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，即GC是的角平分線，故④正確．
綜上可知正確的個數(shù)是4個．
故選D．
【點睛】本題考查等邊三角形的性質，三角形全等的判定和性質，三角形外角的性質，角平分線的定義．熟練掌握等邊三角形的性質和三角形全等的判定定理是解題關鍵．
9．如圖，在等腰三角形中，，，于點，點是的延長線上一點，點在的延長線上，，下面的結論：①；②是正三角形；③；④其中正確的是（????）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】如圖，設交于點．由，推出，推出，可證①②正確，延長到，使得，證明，推出，可得③正確，推出四邊形的面積是定值，可得④錯誤．
【解析】解：設交于點，如圖所示：

，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，故①正確；
，
，
，
是正三角形，故②正確；
延長到，使得，連接，如圖所示：

，，
是等邊三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，故③正確；
，
，
，且為定值，
是變化的，
是錯誤（與上面定值矛盾），故④錯誤；
綜上所述：正確的是①②③，
故選：A．
【點睛】本題考查等腰三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質，根據不同說法，正確作出輔助線求證是解決問題的關鍵．
10．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG，連接FG，交DA的延長線于點E，連接BG，CF， 則下列結論：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正確的有（??????）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】證得△CAF≌△GAB（SAS），從而推得①正確；利用△CAF≌△GAB及三角形內角和與對頂角，可判斷②正確；證明△AFM≌△BAD（AAS），得出FM=AD，∠FAM=∠ABD，則③正確，同理△ANG≌△CDA，得出NG=AD，則FM=NG，證明△FME≌△GNE（AAS）．可得出結論④正確．
【解析】解：∵∠BAF=∠CAG=90°，
∴∠BAF+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAF=∠GAB，
又∵AB=AF=AC=AG，
∴△CAF≌△GAB（SAS），
∴BG=CF，故①正確；
∵△FAC≌△BAG，
∴∠FCA=∠BGA，
又∵BC與AG所交的對頂角相等，
∴BG與FC所交角等于∠GAC，即等于90°，
∴BG⊥CF，故②正確；
過點F作FM⊥AE于點M，過點G作GN⊥AE交AE的延長線于點N，

∵∠FMA=∠FAB=∠ADB=90°，
∴∠FAM+∠BAD=90°，∠FAM+∠AFM=90°，
∴∠BAD=∠AFM，
又∵AF=AB，
∴△AFM≌△BAD（AAS），
∴FM=AD，∠FAM=∠ABD，
故③正確，
同理△ANG≌△CDA，
∴NG=AD，
∴FM=NG，
∵FM⊥AE，NG⊥AE，
∴∠FME=∠ENG=90°，
∵∠AEF=∠NEG，
∴△FME≌△GNE（AAS）．
∴EF=EG．
故④正確．
故選：D．
【點睛】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質及等腰三角形的三線合一性質與互余、對頂角，三角形內角和等幾何基礎知識．熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．

二、填空題
11．已知O為等邊△ABD的邊BD的中點，AB=6，E，F(xiàn)分別為射線AB、射線DA上一動點，且∠EOF=120°，若AF=2，則BE的長為______．
【答案】5或1/1或5
【分析】分兩種情況討論：當F在線段DA的延長線上；當F點在線段AB上，作交AD于M，利用等邊三角形性質可證出△OMF≌△OBE，則BE=MF，然后分別計算FM即可．
【解析】解：當F在線段DA的延長線上，如圖1，作交AD于M，
∴，

∵O為等邊△ABD的邊BD的中點，
∴OB=OD=3，∠D=∠ABD=60°，
∴△ODM為等邊三角形，
∴OM=MD=3，∠OMD=60°，
∴FM=FA+AM=5，∠FMO=∠BOM=120°，
∵∠EOF=120°，
∴∠BOE=∠FOM， 而∠EBO=180°-∠ABD=120°，
∴△OMF≌△OBE（AAS），
∴BE=MF=5；
當F點在線段AD上，如圖2，
同理可證明△OMF≌△OBE， 則BE=MF=AM-AF=3-2=1．
故答案為：5或1．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質與判定，全等三角形的判定與性質，證明△OMF≌△OBE是解本題的關鍵．
12．如圖，點是的內角和外角的兩條角平分線的交點，過點作，交于點，交于點，若，則線段的長度為____．

【答案】6
【分析】根據角平分線的定義得到，根據平行線的性質得到，等量代換得到，求得，同理，，于是得到結論．
【解析】平分，
，
∵，
，
，
，
同理，，
，
，
故答案為：6．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，平行線的性質，角平分線的定義，正確的識別圖形是解題的關鍵．
13．在等邊三角形中，，與相交于點，，垂足為，則______．

【答案】/120度
【分析】由“”可證≌，可得，即可求解．
【解析】解：是等邊三角形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．
14．如圖，邊長為的等邊和等邊互相重合，現(xiàn)將沿直線向左平移個單位，將沿直線向右平移個單位．

（1）若，則______；
（2）當、是線段的三等分點時，的值為______．
【答案】 2 1.5或6
【分析】（1）根據點平移的性質可得出，代入的值即可得出結論；
（2）分點、的位置不同，兩種情況來考慮，根據線段間的關系結合即可得出關于的一元一次方程，解方程即可得出結論．
【解析】解：（1）點向左平移個單位，點向右平移個單位，
，
，
．
故答案為：2．
（2）、是線段的三等分點分兩種情況：
①點在點的左邊時，如圖1所示．

、是線段的三等分點，
，
，，
，解得：；
②點在點的右邊時，如圖2所示．

、是線段的三等分點，
，
，，
，解得：．
綜上可知：當、是線段的三等分點時，的值為1.5或6．
故答案為：1.5或6．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質以及平移的性質，解題的關鍵是：（1）找出；（2）分兩種情況考慮．
15．如圖，AD是ABC的中線，CE⊥AD 于E，BF⊥AD的延長線于F，CE=AE，其中BF=4，DF=2．下列說法：①CE=BF；②；③AF=BF+2DF；④．其中正確的有____________（填序號）．

【答案】①②③④
【分析】根據全等三角形得判定和性質、中線和等腰直角三角形的判定和性質逐一證明即可．
【解析】解：∵AD是ABC的中線，
∴BD=DC，
∵CE⊥AD 于E， BF⊥AD的延長線于F，
∴，
在CED和BFD中，

∴CEDBFD(AAS)，
∴CE=BF，故①正確；
如圖，過點A作AGBC于點G，
∴，
又∵BD=CD，
∴，故②正確；
∵，
由①得CEDBFD，
∴DE=DF，CE=BF
又∵CE=AE，
∴AE=BF，
∴，故③正確；
由①得CEDBFD，
∴CE=BF=4，，
又∵CE⊥AD 于E，CE=AE，
∴AEC為等腰直角三角形，
∴，
∴，故④正確．
故答案為：①②③④．

【點睛】本題考查了全等三角形得判定和性質、中線和等腰直角三角形的判定和性質，解決本題的關鍵是掌握以上的性質并熟練的運用．
16．如圖，在等邊△ABC中，BD＝CE，將線段AE沿AC翻折得到線段AF，連結EF，CF．以下說法：①DE＝EF；②∠ADB＝∠AEC＝∠AFC；③∠ACE=∠ACF=∠ADF④AE＝DF．正確的是 ___（填序號）．

【答案】②③④
【分析】先證明△ABD≌ACE，得到AD=AE，∠ADB=∠AEC，∠BAD=∠CAE，再證明△AEC≌△AFC，推出∠ACF=∠ACE，∠AEC=∠AFC，∠EAC=∠FAC，由此即可證明△ADF為等邊三角形，可得AF=DF=AD=AE，∠ACE=∠ACF=∠ADF=60°，再由∠DAE不一定是30°，則∠DAE不一定等于∠FAE，△ADE與△AFE不一定全等，則DE與EF不一定相等．
【解析】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD=CE，
∴△ABD≌ACE（SAS），
∴AD=AE，∠ADB=∠AEC，∠BAD=∠CAE，
由翻折的性質可知：AE=AF=AD，CE=CF，
又∵AC=AC，
∴△AEC≌△AFC（SSS），
∴∠ACF=∠ACE，∠AEC=∠AFC，∠EAC=∠FAC，
∴∠ADB=∠AEC=∠AFC，∠BAD=∠CAE=∠FAC，故②正確；
∵∠DAF=∠DAC+∠FAC=∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°，
∴△ADF為等邊三角形，
∴AF=DF=AD=AE，∠ACE=∠ACF=∠ADF=60°故④正確；
∴③正確
∵∠DAE不一定是30°，
∴∠DAE不一定等于∠FAE，
∴△ADE與△AFE不一定全等，
∴DE與EF不一定相等，故①錯誤；
故答案為：②③④．

【點睛】本題主要考查了折疊的性質，全等三角形的性質與判定，等邊三角形的性質與判定，靈活運用這些性質進行推理是解題的關鍵．
17．和是兩個全等的等邊三角形，將它們按如圖的方式放置，頂點D，E，F(xiàn)，G，H均在等邊三角形的邊上．若等邊三角形邊長為5，則五邊形的周長為___________．

【答案】10
【分析】根據題意可得∠FGH=60°，GF=GH，DE=BD=BE，F(xiàn)H=BE，易證△BGF≌△CHG(ASA)，可得BG=CH，BF=CG，進一步即可求出五邊形DECHF的周長．
【解析】解：∵△BDE和△FGH是兩個全等的等邊三角形，
∴∠FGH=60°，GF=GH，DE=BD=BE，F(xiàn)H=BE，
∴∠BGF+∠CGH=120°，
在等邊△ABC中，∠B=∠C=60°，
∴∠BGF+∠BFG=120°，
∴∠CGH=∠BFG，
在△BGF和△CHG中，
，
∴△BGF≌△CHG(ASA)，
∴BG=CH，BF=CG，
∴五邊形DECHF的周長=DE+CE+CH+HF+DF
=BD+DF+CE+BG+BE
=CG+CE+BG+BE
=2CB，
∵等邊三角形ABC邊長為5，
∴CB=5，
∴五邊形DECHF的周長為10，
故答案為：10．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握這些性質并靈活運用是解題的關鍵．
18．如圖，△ABC和△BDE均為等邊三角形，AC與BE交于點F，點C、A、D在同一直線上，延長CB至點H，連接DH，使DH＝DB，分別連接HF、CE，若∠DHF＝60°，則下列結論：①AD＝CE；②∠HFD＝80°；③∠HDF＝∠FBC；④DH＝HF+BF；⑤若＝，則＝．正確的有______．（請?zhí)顚懶蛱枺?br />
【答案】①③④
【分析】證明△DBA≌△EBC（SAS），可得AD＝CE，∠DAB＝∠BCE＝120°，∠BEC＝∠BDA，故①正確；設∠BDH＝x，求解∠ABD＝，∠HDF＝30°+x，可得∠HDF＝∠FBC，故③正確，求解∠HFD＝180°﹣∠DHF﹣∠HDF＝90°﹣x，故②錯誤；證明△DFE≌△DFH（SAS），可得HF+BF＝BE＝DH，故④正確；設CA＝3y，則AD＝5y，證明△DCH≌△DCE（SAS），可得CE＝CH＝5y，BH＝2y，證明S△BDH＝S△BDC，S△BCE＝S△ADB＝S△BDC，可得故⑤錯誤，從而可得答案．
【解析】解：∵△ABC和△BDE均為等邊三角形，
∴DB＝BE，AB＝BC，∠DBE＝∠ABC＝60°＝∠BAC，
∴∠DBA＝∠EBC，∠DAB＝120°，
∴△DBA≌△EBC（SAS），
∴AD＝CE，∠DAB＝∠BCE＝120°，∠BEC＝∠BDA，故①正確；
設∠BDH＝x，
∵DH＝DB，
∴∠DHB＝∠DBH＝，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝，
∴∠ADB＝180°﹣120°﹣（30°+x）＝30°﹣x，
∴∠HDF＝30°+x，
∴∠HDF＝∠FBC，故③正確，
∵
∴∠HFD＝180°﹣∠DHF﹣∠HDF＝90°﹣x，故②錯誤；
∵∠CDE＝60°﹣∠ADB＝30°+x，
∴∠HDF＝∠CDE，
又∵DH＝DB＝DE，DF＝DF，
∴△DFE≌△DFH（SAS），
∴HF＝EF，
∴HF+BF＝BE＝DH，故④正確；
∵，
∴設CA＝3y，則AD＝5y，
∴AB＝BC＝3x，AD＝CE＝5y，
∵DH＝DE，∠HDC＝∠CDE，DC＝DC，
∴△DCH≌△DCE（SAS），
∴CE＝CH＝5y，
∴BH＝2y，
∴，
∴S△BDH＝S△BDC，
∵AD＝5y，AC＝3y，
∴S△BCE＝S△ADB＝S△BDC，
故⑤錯誤
故答案為：①③④．
【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，三角形的面積的計算，熟練的利用全等三角形的性質與等邊三角形的性質得到邊與角之間的數(shù)量關系是解本題的關鍵．

三、解答題
19．如圖1，在中，，點D在上，點E在的延長線上，連接交于F，．

(1)求證：；
(2)如圖2，連接，若，求的面積．
【答案】(1)見解析
(2)

【分析】（1）過點D作，交于點G，可證明，可得，再由等腰三角形的性質可得，從而得到，進而得到，即可；
（2）過點D作，交于點G，過點D作于點H，可得，由（1）得：，可得，從而得到，再由是等腰直角三角形，可得，然后根據三角形的面積公式計算，即可求解．
【解析】（1）證明：如圖1，過點D作，交于點G，

∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如圖2，過點D作，交于點G，過點D作于點H，

由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，證明是解題的關鍵．
20．已知中，，中，，，點A，D，E在同一直線上，與相交于點F，連接．如圖，當時，

(1)請直接寫出和的形狀；
(2)求證：；
(3)請求出的度數(shù)．
【答案】(1)都是等邊三角形
(2)見解析
(3)

【分析】（1）根據有一個角是的等腰三角形是等邊三角形，即可得出結論；
（2）證明，即可得證；
（3）根據，得到，根據等邊三角形的性質，得到，得到，利用，即可得出結論．
【解析】（1）解：和都是等邊三角形．
∵，，
∴為等邊三角形．
∵，，
∴為等邊三角形．
（2）證明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（3）∵，
∴，
∵為等邊三角形，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質．熟練掌握有一個角是的等腰三角形是等邊三角形，證明三角形全等，是解題的關鍵．
21．在四邊形中，點C是邊的中點．

(1)如圖①，平分，，寫出線段，，間的數(shù)量關系及理由；
(2)如圖②，平分，平分，，寫出線段，，，間的數(shù)量關系及理由．
【答案】(1)，見解析
(2)，理由見解析

【分析】（1）在上取一點F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出結論；
（2）在上取點F，使，連接，在上取點G，使，連接．可以求得，是等邊三角形，就有，進而得出結論；
【解析】（1），理由如下：
在上取一點F，使，連接．
∵平分，
∴，
在和中
∴．
∴ ，，
∵C是邊的中點．
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中
∴．
∴ ．
∵，
∴．

（2），理由如下：
在上取，，連接，．
與（1）同理，可得，．
∴，，，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴為等邊三角形．
∴．
∵，
∴．
??
【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定及性質的運用，等邊三角形的性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．
22．小明將兩個大小不同的含角的直角三角板如圖1所示放置在同一平面內．從圖1中抽象出一個幾何圖形（如圖2），，，，且B、C、E三點在同一條直線上，連接．

(1)求證：；
(2)線段與的關系為____________．
【答案】(1)見解析
(2)，

【分析】（1）求出，利用即可證明；
（2）根據全等三角形的性質可得，，求出即可得出答案．
【解析】（1）證明：∵，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案為：，．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．
23．閱讀材料：若，求m、n的值．
解：∵，
∴
∴ ，而，，
∴ 且，
∴，．
根據你的觀察，探究下面的問題：
(1)，則______； _________．
(2)已知的三邊a，b，c滿足，
關于此三角形的形狀的以下命題：①它是等邊三角形；②它屬于等腰三角形：③它屬于銳角三角形；④它不是直角三角形．其中所有正確命題的序號為________________．
(3)已知的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且，求的周長．
【答案】(1)2；0
(2)①②③④
(3)7

【分析】（1）已知等式利用完全平方公式化簡后，再利用非負數(shù)的性質求出a與b的值即可；
（2）已知等式變形并利用完全平方公式化簡，再利用非負數(shù)的性質求出，進行判斷即可；
（3）已知等式變形并利用完全平方公式化簡，再利用非負數(shù)的性質求出a，b的值，進而確定出三角形周長．
【解析】（1）解：將等式整理得：
∴，，
解得：，；
故答案為2；0．
（2）解：∵，
，
，
，，
，
①它是等邊三角形；②它屬于等腰三角形：③它屬于銳角三角形；④它不是直角三角形，都正確；
故答案為：①②③④；
（3）解：∵
∴
∴
則，，解得：，，
三角形的三邊為正整數(shù)，且由三角形三邊關系可知，三角形三邊分別為1、3、3，
則的周長為．
【點睛】本題考查了配方法的運用，非負數(shù)的性質，等邊三角形的判斷，關鍵是將已知等式利用配方法變形，利用非負數(shù)的性質解題．
24．如圖①，和中，，，且，，的延長線交交于點．

(1)求證：；
(2)當是等邊三角形時，求的度數(shù)；
(3)如圖②，當是直角三角形時，請直接寫出的度數(shù)為________；如圖③，當是任意等腰三角形時，請直接寫出與某個內角之間的數(shù)量關系為________．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)；

【分析】（1）先證明，再根據即可證明；
（2）由，推出，再根據三角形的外角性質即可求解；
（3）同理證明，推出，再根據三角形的外角性質即可求解．
【解析】（1）證明：∵，
∴，
即，
在和中，
，，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，
設，交于點，

則，
∴；
（3）解：當是直角三角形時，
同理，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
設，交于點，

則，
∴；
當是任意等腰三角形時，
同理，
∴，
設，交于點，

則，
∴；
故答案為：；．
【點睛】此題重點考查等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形的外角性質等知識與方法，根據等腰三角形的性質得出三角形的兩條邊相等，據此根據判定證三角形的全等是解題的關鍵．
25．【感知】如圖①，是等邊三角形，點D、E分別在邊上，且，證明：．
【探究】如圖②，是等邊三角形，點D、E分別在邊的延長線上，且，則圖②中全等的三角形是______________________；若此時，，則___________．
【拓展】如圖③，在中，，，點D、E分別在的延長線上，且，若，，則的大小為___________．

【答案】感知：見解析；探究：，，6；拓展：20
【分析】感知：根據證明三角形全等即可；
探究：證明，求出的面積即可；
拓展：先判斷出，進而得出，再利用同高的兩三角形的面積的比等于底的比求出，的面積，即可得出結論．
【解析】解：感知：如圖①中，∵是等邊三角形，
∴，，
在和中，，
∴；
探究：與全等，
理由：如圖②中，

在等邊中，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
故答案為：，，6；
拓展：如圖③中，

∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴（同高的兩三角形的面積比是底的比），
∴，
∵，
∴（同高的兩三角形的面積比是底的比），
∴，
故答案為：20．
【點睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，同高的三角形面積的比等于底的比，解探究的關鍵是得出，解拓展的關鍵是求出．
26．如圖1，等邊三角形和等邊三角形，連接，，其中．

(1)求證：；
(2)如圖2，當點在一條直線上時，交于點，交于點，求證：；
(3)利用備用圖補全圖形，直線，交于點，連接，若，，直接寫出的長．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)

【分析】（1）由“”可證，可得；
（2）由“”可證，可得；
（3）如圖3，過點作于，于，由面積法可求，可證，由直角三角形的性質可求，由“”可證，可得，即可求解．
【解析】（1）證明：和是等邊三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）證明：，
，
點在線段上，，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：如圖3，過點作于，于，

，，
，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
，，
，
，，，
，
，
．
【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
27．已知：為等邊三角形，點、點是兩個動點，點從點出發(fā)，同時點從點出發(fā)，且兩個動點的速度相同．

(1)如圖（1）若動點在線段上，動點在線段上，連接交于點．求證：
(2)如圖（2）若動點在射線上，動點在射線上，連交延長線于點．求證：．
(3)如圖（3）若動點在的延長線上，動點在線段上，連接交于．求證：．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析

【分析】（1）根據等邊三角形的性質得到，證明，即可證明結論；
（2）證明，可得，然后由，，求得；
（3）首先過點D作交于點G，則可證得為等邊三角形，繼而證得，則可證得結論．
【解析】（1）證明：∵是等邊三角形，
∴，
根據題意得：，
在和中，
，
∴
∴；
（2）根據題意，，
∴，
即，
在和中

∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）過點作交于點，

∵是等邊三角形，
∴，，
∴為等邊三角形 ，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質以及等邊三角形的性質．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，
28．在等邊ABC中，點D、E分別是AB、AC上的點，BD＝AE，BE與CD交于點O．

(1)如圖1，填空：∠BOD＝ °；
(2)如圖2，以CO為邊作等邊OCF，連接AO、BF，那么BF與AO相等嗎？并說明理由；
(3)如圖3，在（2）的條件下，若點G是BC的中點，連接GO，判斷BF與GO有什么數(shù)量關系？并說明理由．
【答案】(1)60
(2)，理由見解析
(3)BF＝2GO，理由見解析

【分析】（1）先利用等邊三角形的性質和已知條件證明，推出，進而利用三角形外角的性質、等量代換得出；
（2）利用等邊三角形的性質證明，，，進而證明，再證明，即可得出；
（3）延長OG交CF于點M，先結合（1）中結論證明，推出，，再證明，推出，可得．
（1）
解：∵ABC是等邊三角形，
∴，，
在與中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案為：60；
（2）
解：，理由如下：
∵FCO和ABC是等邊三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在與中，
，
∴，
∴；
（3）
解：，理由如下：
如圖，延長OG交CF于點M，

由（1）知，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵點G是BC的中點，
∴，
又∵，
∴，
∴，．
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【點睛】本題考查等邊三角形的性質，三角形外角的性質，平行線的判定與性質，全等三角形的判定與性質等，熟練掌握全等三角形的判定定理與性質定理，從圖中找出全等三角形是解題的關鍵．
29．如圖，在中，，（），為射線上一動點（不與點、重合），在的右側作，使得，，連接．

(1)若，則______；
(2)當點在線段上時，求證：；
(3)若點運動到線段上某一點時，恰好有，問：線段與線段有什么位置關系并說明理由；
(4)在點的運動過程中，當垂直于的某邊時，則______（用含的代數(shù)式表示）．
【答案】(1)45°
(2)證明見解析
(3)，理由見解析
(4)或

【分析】（1）根據等腰三角形的性質以及三角形的內角和定理即可求解；
（2）由得，利用SAS即可得出結論；
（3）由（2）知，根據全等三角形的性質得，，則，易得為等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到，最后由平行線的判定求解；
（4）分兩種情形：當時，當時，利用三角形內角和定理以及等腰三角形的性質求解即可．
（1）
解：∵，，
∴．
∵，，
∴ ，
∴．
∵，
∴．
故答案為：45°；
（2）
證明：如圖，

∵，
∴，
∴．
在和中
，
∴；
（3）
解： ．
理由如下：
由（2）知，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（4）
解：如圖，當時．

∵，，
∴．
∵，
∴，，
∴，又AB=AC，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
如圖，當時．

∵，
∴．
由（1）知，，
∴，
∴．
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，又AB=AC，AD=AE，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴．
綜上所述，當DE垂直于的某邊時，則或．
故答案為：或．
【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是準確尋找全等三角形解決問題，學會用分類討論的思想解決問題．
30．如圖，在中，，，是等邊三角形，點在邊上．

（1）如圖1，當點在邊上時，與有什么數(shù)量關系，請說明你的理由；
（2）如圖2，當點在內部時，猜想和數(shù)量關系，并加以證明；
（3）如圖3，當點在外部時，于點，過點作，交線段的延長線于點，，．求的長．
（溫馨提示：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，即在中，，若點為斜邊中點，則）
【答案】（1），理由見解析；（2）.證明見解析；（3）.
【分析】（1）根據等邊三角形的性質、三角形的外角的性質得到，根據等腰三角形的判定定理證明；
（2）取的中點，連接、，分別證明和，根據全等三角形的性質證明；
（3）取的中點，連接、、，根據（2）的結論得到，根據全等三角形的性質解答．
【解析】解：（1）證明：是等邊三角形，
，
，
，
；
（2）解：，
理由如下：取的中點，連接、，
，，
，，
為等邊三角形，
，
是等邊三角形，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；

（3）取的中點，連接、、，
由（2）得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
設，則，，
，
，
，
解得，，
即．

【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質以及直角三角形的性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．