第14講 一元一次不等式（核心考點講與練)-七年級數(shù)學(xué)下學(xué)期考試滿分全攻略（蘇科版）

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?第14講一元一次不等式（核心考點講與練)

一．不等式的定義
（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”號表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式，用“≠”號表示不等關(guān)系的式子也是不等式．
（2）凡是用不等號連接的式子都叫做不等式．常用的不等號有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知數(shù)，也可不含未知數(shù)．
二．不等式的性質(zhì)
（1）不等式的基本性質(zhì)
①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變，即：
若a＞b，那么a±m(xù)＞b±m(xù)；
②不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；
③不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；
（2）不等式的變形：①兩邊都加、減同一個數(shù)，具體體現(xiàn)為“移項”，此時不等號方向不變，但移項要變號；②兩邊都乘、除同一個數(shù)，要注意只有乘、除負數(shù)時，不等號方向才改變．
【規(guī)律方法】
1．應(yīng)用不等式的性質(zhì)應(yīng)注意的問題：在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)時，一定要改變不等號的方向；當(dāng)不等式的兩邊要乘以（或除以）含有字母的數(shù)時，一定要對字母是否大于0進行分類討論．
2．不等式的傳遞性：若a＞b，b＞c，則a＞c．
三．不等式的解集
（1）不等式的解的定義：
使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集：
能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡稱解集．
（3）解不等式的定義：
求不等式的解集的過程叫做解不等式．
（4）不等式的解和解集的區(qū)別和聯(lián)系
不等式的解是一些具體的值，有無數(shù)個，用符號表示；不等式的解集是一個范圍，用不等號表示．不等式的每一個解都在它的解集的范圍內(nèi)．
四．在數(shù)軸上表示不等式的解集
用數(shù)軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：
一是定界點，一般在數(shù)軸上只標(biāo)出原點和界點即可．定邊界點時要注意，點是實心還是空心，若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；
二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．
【規(guī)律方法】不等式解集的驗證方法
　　某不等式求得的解集為x＞a，其驗證方法可以先將a代入原不等式，則兩邊相等，其次在x＞a的范圍內(nèi)取一個數(shù)代入原不等式，則原不等式成立．
五．一元一次不等式的定義
（1）一元一次不等式的定義：
含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它與一元一次方程相似，即都含一個未知數(shù)且未知項的次數(shù)都是一次，但也有不同，即它是用不等號連接，而一元一次方程是用等號連接．
另一方面：它與不等式有區(qū)別，不等式中可含、可不含未知數(shù)，而一元一次不等式必含未知數(shù)．但兩者也有聯(lián)系，即一元一次不等是屬于不等式．
六．解一元一次不等式
根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式
基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數(shù)為1．
以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數(shù)為1可能用到性質(zhì)3，即可能變不等號方向，其他都不會改變不等號方向．
注意：符號“≥”和“≤”分別比“＞”和“＜”各多了一層相等的含義，它們是不等號與等號合寫形式．
七．一元一次不等式的整數(shù)解
解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進而求得不等式的整數(shù)解．可以借助數(shù)軸進行數(shù)形結(jié)合，得到需要的值，進而非常容易的解決問題．
八．由實際問題抽象出一元一次不等式
用不等式表示不等關(guān)系時，要抓住題目中的關(guān)鍵詞，如“大于（小于）、不超過（不低于）、是正數(shù)（負數(shù)）”“至少”、“最多”等等，正確選擇不等號．
因此建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵，不同的詞里蘊含這不同的不等關(guān)系．
九．一元一次不等式的應(yīng)用
（1）由實際問題中的不等關(guān)系列出不等式，建立解決問題的數(shù)學(xué)模型，通過解不等式可以得到實際問題的答案．
（2）列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中的不等關(guān)系．因此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵．
（3）列一元一次不等式解決實際問題的方法和步驟：
①弄清題中數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù)．
②根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④寫出符合題意的解．
十．一元一次不等式組的定義
（1）一元一次不等式組的定義：
幾個含有同一個未知數(shù)的一元一次不等式組合在一起，就組成了一個一元一次不等式組．
（2）概念解析
形式上和方程組類似，就是用大括號將幾個不等式合起來，就組成一個一元一次不等式組．但與方程組也有區(qū)別，在方程組中有幾元一般就有幾個方程，而一元一次不等式組中不等式的個數(shù)可以是兩個及以上的任意幾個．
十一．解一元一次不等式組
（1）一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．
（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組．
（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．
方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分．
解集的規(guī)律：同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到．
十二．一元一次不等式組的整數(shù)解
（1）利用數(shù)軸確定不等式組的解（整數(shù)解）．
解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進而求得不等式組的整數(shù)解．
（2）已知解集（整數(shù)解）求字母的取值．
一般思路為：先把題目中除未知數(shù)外的字母當(dāng)做常數(shù)看待解不等式組或方程組等，然后再根據(jù)題目中對結(jié)果的限制的條件得到有關(guān)字母的代數(shù)式，最后解代數(shù)式即可得到答案．
十三．由實際問題抽象出一元一次不等式組
由實際問題列一元一次不等式組時，首先把題意弄明白，在此基礎(chǔ)上找準題干中體現(xiàn)不等關(guān)系的語句，根據(jù)語句列出不等關(guān)系．往往不等關(guān)系出現(xiàn)在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超過”等這些詞語出現(xiàn)的地方．所以重點理解這些地方有利于自己解決此類題目．
十四．一元一次不等式組的應(yīng)用
對具有多種不等關(guān)系的問題，考慮列一元一次不等式組，并求解．
一元一次不等式組的應(yīng)用主要是列一元一次不等式組解應(yīng)用題，其一般步驟：
（1）分析題意，找出不等關(guān)系；
（2）設(shè)未知數(shù)，列出不等式組；
（3）解不等式組；
（4）從不等式組解集中找出符合題意的答案；
（5）作答．

1．（2021春?靖江市月考）下列各式：①1﹣x：②4x+5＞0；③x＜3；④x2+x﹣1＝0，不等式有（　?。﹤€．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】主要依據(jù)不等式的定義：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等號表示不相等關(guān)系的式子是不等式來判斷．
【解答】解：根據(jù)不等式的定義，只要有不等符號的式子就是不等式，所以不等式有②4x+5＞0； ③x＜3，有2個．
故選：B．
【點評】本題考查不等式的識別，一般地，用不等號表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式．
二．不等式的性質(zhì)（共2小題）
2．（2022春?泰興市校級月考）若a＞b成立，則下列不等式成立的是（　?。?br /> A．﹣a＞﹣b B．﹣a+1＞﹣b+1 C．2a﹣1＞2b﹣1 D．m2a＞m2b
【分析】利用不等式的性質(zhì)對每個選項進行判斷即可．
【解答】解：∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b．
∴A選項不成立；
∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b．
∴﹣a+1＜﹣b+1．
∴B選項不成立；
∵a＞b，
∴2a＞2b．
∴2a﹣1＞2b﹣1．
∵a＞b，m2≥0，
∴當(dāng)m2＞0時，m2a＞m2b．當(dāng)m2＝0時，m2a＝m2b．
∴D選項不成立．
綜上，不等式成立的是：2a﹣1＞2b﹣1．
故選：C．
【點評】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，利用不等式的性質(zhì)對每個選項進行判斷是解題的關(guān)鍵．
3．（2022?黔東南州模擬）知識閱讀：我們知道，當(dāng)a＞2時，代數(shù)式a﹣2＞0；當(dāng)a＜2時，代數(shù)式a﹣2＜0；當(dāng)a＝2時，代數(shù)式a﹣2＝0．
基本應(yīng)用：當(dāng)a＞2時，用“＞，＜，＝”填空．
（1）a+5　＞　0；
（2）（a+7）（a﹣2）　＞　0；
理解應(yīng)用：
當(dāng)a＞1時，求代數(shù)式a2+2a﹣15的值的大??；
靈活應(yīng)用：
當(dāng)a＞2時，比較代數(shù)式a+2與a2+5a﹣19的大小關(guān)系．
【分析】本題主要考查不等式的基本邏輯計算．
【解答】解：（1）∵a＞2，
∴a+5＞0；
（2）∵a＞2，
∴a﹣2＞0，a+7＞0，
（a+7）（a﹣2）＞0．
理解應(yīng)用：
a2+2a﹣15＝（a+1）2﹣16，當(dāng)a＝1時，a2+2a﹣15＝﹣12，當(dāng)a＞1時，a2+2a﹣15＞﹣12．
靈活運用：
先對代數(shù)式作差，（a2+5a﹣19）﹣（a+2）＝a2+4a﹣21＝（a+2）2﹣25，
當(dāng)（a+2）2﹣25＞0時，a＜﹣7或a＞3．因此，當(dāng)a≥3時，a2+5a﹣19≥a+2；
當(dāng)2＜a＜3時，a2+5a﹣19＜a+2．
【點評】本題主要考查不等式的基本邏輯計算．在比較大小時，注意給定范圍內(nèi)進行不等式的相減運算．
三．不等式的解集（共2小題）
4．（2021春?江都區(qū)期末）若x＝3是關(guān)于x的不等式x＞2（x﹣a）的一個解，則a的取值范圍是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】正確解得不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件即可．
【解答】解：解不等式x＞2（x﹣a），得：x＜2a，
∵x＝3是不等式的一個解，
∴3＜2a，
解得：．
故選：B．
【點評】本題考查一元一次不等式的解集，解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式的解集．
5．（2022春?海安市月考）如果關(guān)于x的不等式組無解，則常數(shù)a的取值范圍是　a≤2?。?br /> 【分析】根據(jù)不等式組解集的表示方法，可得答案．
【解答】解：由關(guān)于x的不等式組無解，得
a+2≥3a﹣2，
解得a≤2，
則常數(shù)a的取值范圍是a≤2，
故答案為：a≤2．
【點評】本題考查了不等式的解集，利用不等式組無解得出關(guān)于a的不等式解題關(guān)鍵．
四．在數(shù)軸上表示不等式的解集（共2小題）
6．（2021春?新吳區(qū)月考）滿足﹣3＜x≤1的數(shù)在數(shù)軸上表示為（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】﹣3＜x≤1表示不等式x＞﹣3與不等式x≤1的公共部分．實心圓點包括該點，空心圓圈不包括該點，大于向右小于向左．兩個不等式的公共部分就是不等式組的解集．
【解答】解：由于x＞﹣3，所以表示﹣3的點應(yīng)該是空心點，折線的方向應(yīng)該是向右．
由于x≤1，所以表示1的點應(yīng)該是實心點，折線的方向應(yīng)該是向左．
所以數(shù)軸表示的解集為：

故選：A．
【點評】此題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．
7．（2021春?興化市期末）如圖，數(shù)軸上表示關(guān)于x的不等式組的解集是 　﹣1＜x≤3?。?br />
【分析】從數(shù)軸可得不等式組的解集為﹣1＜x≤3．
【解答】解：從圖可知，不等式組的解集為﹣1＜x≤3，
故答案為﹣1＜x≤3．
【點評】本題考查數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握數(shù)軸上解集的特點，注意實心與空心點的區(qū)別是解題的關(guān)鍵．
五．一元一次不等式的定義（共1小題）
8．（2021春?諸城市期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（　?。?br /> A．x2+3x＞1 B．x﹣＜0 C． D．≤5
【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義：含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式，逐一判斷即可得．
【解答】解：A．x2+3x＞1中x2的次數(shù)為2，不是一元一次不等式；
B．x﹣＜0含有2個未知數(shù)x、y，不是一元一次不等式；
C．是一元一次不等式；
D．≤5中是分式，不是一元一次不等式；
故選：C．
【點評】本題主要考查一元一次不等式的定義，解題的關(guān)鍵是掌握含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式．
六．解一元一次不等式（共1小題）
9．（2021春?廣陵區(qū)校級月考）如圖，是關(guān)于x的不等式2x﹣m＜﹣1的解集，則m的值為（　?。?br />
A．m≤﹣2 B．m≤﹣1 C．m＝﹣2 D．m＝﹣1
【分析】根據(jù)不等式的解集，可得關(guān)于m的方程，解方程，可得答案．
【解答】解：解不等式，得x＜，
又不等式的解集是x＜﹣1，得＝﹣1，
解得m＝﹣1，
故選：D．
【點評】本題考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵．
七．一元一次不等式的整數(shù)解（共2小題）
10．（2021春?東臺市月考）不等式2x﹣1≤5的非負整數(shù)解有（　?。?br /> A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】首先利用不等式的基本性質(zhì)解不等式，再從不等式的解集中找出適合條件的非負整數(shù)即可．
【解答】解：2x﹣1≤5，
移項合并得：2x≤6，
系數(shù)化為1得：x≤3，
則非負整數(shù)解有：0，1，2，3，一共4個．
故選：D．
【點評】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，屬于基礎(chǔ)題，解答此題不僅要明確不等式的解法，還要知道非負整數(shù)的定義．
11．（2022春?市中區(qū)校級月考）已知不等式3（x﹣2）﹣5＞6（x+1）﹣7的最大整數(shù)解是方程2x﹣mx＝﹣10的解，求m的值．
【分析】解不等式求得它的解集，從而可以求得它的最大整數(shù)解，然后代入方程方程2x﹣mx＝﹣10，從而可以得到m的值．
【解答】解：3（x﹣2）﹣5＞6（x+1）﹣7，
3x﹣6﹣5＞6x+6﹣7，
﹣3x＞10，
∴x＜﹣，
∴最大整數(shù)解為﹣4，
把x＝﹣4代入2x﹣mx＝﹣10，得：﹣8+4m＝﹣10，
解得m＝﹣．
【點評】本題考查一元一次不等式的整數(shù)解、一元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是明確一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法．
八．由實際問題抽象出一元一次不等式（共1小題）
12．（2021春?牧野區(qū)校級期末）籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝1場得2分，負1場得1分．某隊預(yù)計在2016﹣2017賽季全部32場比賽中最少得到48分，才有希望進入季后賽．假設(shè)這個隊在將要舉行的比賽中勝x場，要達到目標(biāo)，x應(yīng)滿足的關(guān)系式是（　?。?br /> A．2x+（32﹣x）≥48 B．2x﹣（32﹣x）≥48
C．2x+（32﹣x）≤48 D．2x≥48
【分析】根據(jù)題意表示出勝與負所得總分數(shù)大于等于48，進而得出不等關(guān)系．
【解答】解：這個隊在將要舉行的比賽中勝x場，要達到目標(biāo)，x應(yīng)滿足的關(guān)系式是：
2x+（32﹣x）≥48．
故選：A．
【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，正確得出不等關(guān)系是解題關(guān)鍵．
九．一元一次不等式的應(yīng)用（共3小題）
13．（2021春?鎮(zhèn)江期末）小明一家6人去公園游玩，小明爸爸給了小明100元買午飯，有12元套餐和18元套餐可供選擇，若至少有2個人要吃18元套餐，請問小明購買的方案有（　?。?br /> A．2種 B．3種 C．4種 D．5種
【分析】設(shè)要吃18元套餐的有x人，由題意：小明爸爸給了小明100元買午飯，有12元套餐和18元套餐可供選擇，列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：設(shè)要吃18元套餐的有x人，
由題意得：18x+12（6﹣x）≤100，
解得：x≤，
又∵2≤x＜6，
∴2≤x≤，
∴x的取值為2，3，4，
∴小明購買的方案有3種．
故選：B．
【點評】此題考查一元一次不等式的應(yīng)用，找出不等關(guān)系，列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．
14．（2021秋?阜寧縣期末）某學(xué)校是乒乓球體育傳統(tǒng)項目校，為進一步推動該項目的發(fā)展．學(xué)校準備到體育用品店購買甲、乙兩種型號乒乓球若干個，已知3個甲種乒乓球和5個乙種乒乓球共需50元，2個甲種乒乓球和3個乙種乒乓球共需31元．
（1）求1個甲種乒乓球和1個乙種乒乓球的售價各是多少元？
（2）學(xué)校準備購買這兩種型號的乒乓球共200個，要求甲種乒乓球的數(shù)量不超過乙種乒乓球的數(shù)量的3倍，請設(shè)計出最省錢的購買方案，并說明理由．
【分析】（1）設(shè)1個甲種乒乓球的售價是x元，1個乙種乒乓球的售價是y元，根據(jù)“購買3個甲種乒乓球和5個乙種乒乓球共需50元，購買2個甲種乒乓球和3個乙種乒乓球共需31元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購買甲種乒乓球a個，費用為w元，則購買乙種乒乓球（200﹣a）個，根據(jù)總價＝單價×數(shù)量，即可得出w關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，由甲種乒乓球的數(shù)量不超過乙種乒乓球的數(shù)量的3倍，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范圍，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．
【解答】解：（1）設(shè)1個甲種乒乓球的售價是x元，1個乙種乒乓球的售價是y元，
依題意，得：，
解得：．
答：1個甲種乒乓球的售價是5元，1個乙種乒乓球的售價是7元．
（2）設(shè)購買甲種乒乓球a個，費用為w元，則購買乙種乒乓球（200﹣a）個，
依題意，得：w＝5a+7（200﹣a）＝﹣2a+1400．
∵a≤3（200﹣a），
∴a≤150．
∵﹣2＜0，
∴w值隨a值的增大而減小，
∴當(dāng)a＝150時，w取得最小值，此時w＝1100，200﹣a＝50．
答：當(dāng)購買甲種乒乓球150個，乙種乒乓球50個時最省錢．
【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）利用各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式．
15．（2021秋?惠山區(qū)期末）甲、乙兩家超市同價銷售同一款可拆分式驅(qū)蚊器，1套驅(qū)蚊器由1個加熱器和1瓶電熱蚊香液組成．電熱蚊香液作為易耗品可單獨購買，1瓶電熱蚊香液的售價是1套驅(qū)蚊器的．已知電熱蚊香液的利潤率為20%，整套驅(qū)蚊器的利潤率為25%．張阿姨從甲超市買了1套這樣的驅(qū)蚊器，并另外買了4瓶電熱蚊香液，超市從中共獲利10元．
（1）求1套驅(qū)蚊器和1瓶電熱蚊香液的售價；
（2）為了促進該款驅(qū)蚊器的銷售，甲超市打8.5折銷售，而乙超市采用的銷售方法是顧客每買1套驅(qū)蚊器送1瓶電熱蚊香液．在這段促銷期間，甲超市銷售2000套驅(qū)蚊器，而乙超市在驅(qū)蚊器銷售上獲得的利潤不低于甲超市的1.2倍．問乙超市至少銷售多少套驅(qū)蚊器？
【分析】（1）設(shè)1套驅(qū)蚊器售價5x元，1瓶電熱蚊香液的售價x元，根據(jù)題意列出方程解答即可；
（2）設(shè)乙超市銷售x套驅(qū)蚊器，根據(jù)乙超市在驅(qū)蚊器銷售上獲得的利潤不低于甲超市的1.2倍列出方程解答即可．
【解答】解：（1）設(shè)1套驅(qū)蚊器售價5x元，1瓶電熱蚊香液的售價x元；
，
解得x＝6，
所以設(shè)1套驅(qū)蚊器售價30元，1瓶電熱蚊香液的售價6元．
（2）設(shè)乙超市銷售x套驅(qū)蚊器．
W甲＝2000×（30×0.85﹣24）＝3000元；
W乙＝x×（30﹣24）﹣x×5＝x
由題意知W乙＝1.2W甲
解得x＝3000．
乙超市至少銷售3000套驅(qū)蚊器．
【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．
一十．一元一次不等式組的定義（共1小題）
16．下面給出的不等式組中①②③④⑤，其中是一元一次不等式組的個數(shù)是（　?。?br /> A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【分析】根據(jù)兩個不等式中含有同一個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是1次的，可得答案．
【解答】解：①是一元一次不等式組，故①正確；
②是一元一次不等式組，故②正確；
③是一元二次不等式組，故③錯誤；
④是一元一次不等式組，故④正確；
⑤是二元一次不等式組，故⑤錯誤；
故選：B．
【點評】本題考查了一元一次不等式組的定義，每個不等式中含有同一個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式組是一元一次不等式組．
一十一．解一元一次不等式組（共2小題）
17．（2021春?東臺市月考）關(guān)于x的一元一次不等式組無解，求m的取值范圍（　?。?br /> A．m＜0 B．m＞0 C．m≤0 D．m≥0
【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定關(guān)于m的不等式．
【解答】解：由2（x+1）＞3x+1，得：x＜1，
由x﹣m＞1，得：x＞m+1，
∵不等式組無解，
∴m+1≥1，
則m≥0，
故選：D．
【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
18．（2021春?簡陽市 月考）解下列不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來：
（1）＜﹣1
（2）．
【分析】（1）先去分母，再去括號得到4x+4＜5x﹣5﹣6，然后移項后合并，再把x的系數(shù)化為1得到x＞15，最后用數(shù)軸表示解集；
（2）先分別解兩個不等式得到x≥7和x＜2，再利用大大小小找不到確定不等式組的解集，然后利用數(shù)軸表示解集．
【解答】解：（1）去分母得4（x+1）＜5（x﹣1）﹣6，
去括號得4x+4＜5x﹣5﹣6，
移項得4x﹣5x＜﹣5﹣6﹣4，
合并得﹣x＜﹣15，
系數(shù)化為1得x＞15，
用數(shù)軸表示為：

（2），
解①得x≥7，
解②得x＜2，
所以不等式組無解，
用數(shù)軸表示為：

【點評】本題考查了解元一次不等式組：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到．也考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集．
一十二．一元一次不等式組的整數(shù)解（共1小題）
19．（2021春?天寧區(qū)校級月考）若關(guān)于x的不等式組的所有整數(shù)解的和是15，則m的取值范圍是（　　）
A．5＜m＜6 B．5≤m＜6 C．5＜m≤6 D．5≤m≤6
【分析】解不等式組得出解集，根據(jù)整數(shù)解的和為15，可以確定整數(shù)解為1、2、3、4、5，再根據(jù)解集確定m的取值范圍．
【解答】解：解不等式組得：1≤x＜m，
∵所有整數(shù)解的和是15，15＝1+2+3+4+5，
∴不等式組的整數(shù)解為1、2、3、4、5，
∴5＜m≤6；
故選：C．
【點評】考查一元一次不等式組的解集、整數(shù)解，根據(jù)整數(shù)解和解集確定待定字母的取值范圍，在確定的過程中，不等號的選擇應(yīng)認真細心，切實選擇正確．
一十三．由實際問題抽象出一元一次不等式組（共1小題）
20．（2016春?戚墅堰區(qū)校級期末）小明要制作一個長方形的相片框架，這個框架的長為25cm，面積不小于500cm2，則寬的長度xcm應(yīng)滿足的不等式組為（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由于長方形的相片框架的長為25cm，而長總大于寬，由此得到x＜25，又面積不小于500，根據(jù)面積公式可以得到25x≥500，聯(lián)立兩個不等式組成不等式組，解不等式組即可求解．
【解答】解：根據(jù)題意，得．
故選：A．
【點評】此題中要注意隱含的不等關(guān)系：長總大于寬．熟悉長方形的面積公式．
一十四．一元一次不等式組的應(yīng)用（共3小題）
21．（2021春?崇川區(qū)期末）農(nóng)場利用一面墻（墻的長度不限），用50m的護欄圍成一塊如圖所示的長方形花園，設(shè)花園的長為am，寬為bm．
（1）若a比b大5，求a的值；
（2）若受場地條件的限制，b的取值范圍為12≤b≤16，求a的取值范圍．

【分析】（1）根據(jù)護欄的總長度為50，a比b大5，列出方程組，解方程組即可；
（2）根據(jù)a+2b＝50，得到b的表達式，根據(jù)12≤b≤16，列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：，
解得：，
∴a的值為20；
（2）∵a+2b＝50，
∴b＝，
∵12≤b≤16，
∴12≤≤16，
∴a的取值范圍為：18≤a≤26．
【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，注意第（1）問只是一種假設(shè)，與第（2）問無關(guān)．
22．（2021春?鎮(zhèn)江期末）又是一年瑞陽至，綠楊帶雨垂垂重，五色新絲纏角粽．今年端午節(jié)前，某校開展“學(xué)黨史、感黨恩、悟思想”活動，購買了一批粽子送給鎮(zhèn)上養(yǎng)老院老人品嘗．結(jié)算時發(fā)現(xiàn)：購買4盒A種品牌粽子的費用與購買3盒B種品牌的粽子的費用相同；此次購買A種品牌的粽子30盒，B種品牌的粽子20盒共花費3400元．
（1）求A、B兩種品牌粽子的單價各多少元？
（2）根據(jù)活動需要，該校決定再次購買A、B兩種品牌的粽子50盒，正逢某超市“優(yōu)惠促銷”活動，A種品牌的粽子每盒單價優(yōu)惠4元，B種品牌的粽子每盒單價打8折．如果此次購買A、B兩種品牌粽子50盒的總費用不超過3000元，且購買B種品牌的粽子不少于23盒，則有幾種購買方案？
【分析】（1）設(shè)A種品牌粽子的單價是x元，B種品牌粽子的單價是y元，由題意：購買4盒A種品牌粽子的費用與購買3盒B種品牌的粽子的費用相同；購買A種品牌的粽子30盒，B種品牌的粽子20盒共花費3400元．列出方程組，解方程組即可；
（2）設(shè)購買B品牌粽子n個，則購買B品牌粽子（50﹣n）個，由題意：A種品牌的粽子每盒單價優(yōu)惠4元，B種品牌的粽子每盒單價打8折．購買A、B兩種品牌粽子50盒的總費用不超過3000元，且購買B種品牌的粽子不少于23盒，列出不等式組，求出不等式組的正整數(shù)解即可．
【解答】解：（1）設(shè)A種品牌粽子的單價是x元，B種品牌粽子的單價是y元，
由題意得：，
解得：，
答：A種品牌粽子的單價是60元，B種品牌粽子的單價是80元；
（2）設(shè)此次購買A品牌粽子n個，則購買B品牌粽子（50﹣n）個，
由題意得：，
解得：23≤n≤25，
∵n是正整數(shù)，
∴n可取23或24或25，
則50﹣n＝27或26或25，
答：共有三種購買方案：方案一、A種品牌的粽子 23個，B種品牌的粽子27個；
方案二、A種品牌的粽子 24個，B種品牌的粽子26個；
方案三、A種品牌的粽子 25個，B種品牌的粽子25個．
【點評】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，列出二元一次方程組；（2）找出不等關(guān)系，列出一元一次不等式組．
23．（2022春?臨川區(qū)校級月考）某工廠計劃生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共10件，其生產(chǎn)成本和利潤如表：

A種產(chǎn)品
B種產(chǎn)品
成本（萬元/件）
2
5
利潤（萬元/件）
1
3
（1）若工廠計劃獲利14萬元，問A、B兩種產(chǎn)品應(yīng)分別生產(chǎn)多少件？
（2）若工廠計劃投入資金不多于44萬元，且獲利多于20萬元，問工廠有哪幾種生產(chǎn)方案？
（3）在（2）的條件下，哪種生產(chǎn)方案獲利最大？并求出最大利潤．
【分析】（1）設(shè)A種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)x件，則B種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)（10﹣x）件，列出方程即可解決．
（2）設(shè)A種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)m件，則B種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)（10﹣m）件，列出不等式組解決問題．
（3）得出利潤y與A產(chǎn)品數(shù)量x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)增減性可得，B產(chǎn)品生產(chǎn)越多，獲利越大，因而B取最大值時，獲利最大，據(jù)此即可求解．
【解答】解：（1）設(shè)A種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)x件，則B種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)（10﹣x）件，
由題意，x+3（10﹣x）＝14，
解得x＝8，
∴10﹣x＝2，
∴A種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)8件，B種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)2件．

（2）設(shè)A種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)m件，則B種產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)（10﹣m）件，
由題意得，
解這個不等式組，得2≤m＜5，
∵m為正整數(shù)，m可以取2或3或4；
∴生產(chǎn)方案有3種：
①生產(chǎn)A種產(chǎn)品2件，B種產(chǎn)品8件；
②生產(chǎn)A種產(chǎn)品3件，B種產(chǎn)品7件．
③生產(chǎn)A種產(chǎn)品4件，B種產(chǎn)品6件．

（3）設(shè)總利潤為y萬元，生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品（10﹣x）件，
則利潤y＝x+3（10﹣x）＝﹣2x+30，
則y隨x的增大而減小，即可得，A產(chǎn)品生產(chǎn)越少，獲利越大，
所以當(dāng)生產(chǎn)A種產(chǎn)品2件，B種產(chǎn)品8件時可獲得最大利潤，其最大利潤為2×1+8×3＝26（萬元）．
【點評】本題考查一元一次不等式組的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建方程或不等式解決問題，屬于中考?？碱}型．

分層提分

題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
一．選擇題（共4小題）
1．（2021春?金壇區(qū)期末）若a＞b，則下列不等式一定成立的是（　　）
A．a(chǎn)+1＜b+1 B．a(chǎn)﹣1＜b﹣1 C．2a＞2b D．﹣2a＞﹣2b
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)進行分析判斷．
【解答】解：A、在不等式a＞b的兩邊同時加上1，不等號的方向不變，即a+1＞b+1，原變形錯誤，故此選項不符合題意；
B、在不等式a＞b的兩邊同時減去1，不等號的方向不變，即a﹣1＞b﹣1，原變形錯誤，故此選項不符合題意；
C、在不等式a＞b的兩邊同時乘2，不等號的方向改變，即2a＞2b，原變形正確，故此選項符合題意；
D、在不等式a＞b的兩邊同時乘﹣2，不等號的方向不變，即﹣2a＜﹣2b，原變形錯誤，故此選項不符合題意．
故選：C．
【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握不等式的性質(zhì)：
①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；
②不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；
③不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．
2．（2021春?廣陵區(qū)校級月考）如圖，是關(guān)于x的不等式2x﹣m＜﹣1的解集，則m的值為（　?。?br />
A．m≤﹣2 B．m≤﹣1 C．m＝﹣2 D．m＝﹣1
【分析】根據(jù)不等式的解集，可得關(guān)于m的方程，解方程，可得答案．
【解答】解：解不等式，得x＜，
又不等式的解集是x＜﹣1，得＝﹣1，
解得m＝﹣1，
故選：D．
【點評】本題考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵．
3．（2021春?廣陵區(qū)校級月考）對于一個數(shù)x，我們用（x]表示小于x的最大整數(shù)，例如：（2.6]＝2，（﹣3]＝﹣4，（10]＝9，如果（x]＝﹣3，則x的取值范圍為（　?。?br /> A．﹣3＜﹣x＜﹣2 B．﹣3≤x＜﹣2 C．﹣3＜x≤﹣2 D．﹣3≤x≤﹣2
【分析】（x]表示小于x的最大整數(shù)，依此即可求解．
【解答】解：∵（x]＝﹣3，
∴﹣3＜x≤﹣2，
故選：C．
【點評】本題考查了解一元一次不等式組，根據(jù)（x]的定義得到關(guān)于x的不等式是解題的關(guān)鍵．
4．（2021?武進區(qū)校級自主招生）已知關(guān)于x的不等式組恰有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】首先確定不等式組的解集，先利用含a的式子表示，根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)就可以確定有哪些整數(shù)解，根據(jù)解的情況可以得到關(guān)于a的不等式，從而求出a的范圍．
【解答】解：由于不等式組有解，則，必定有整數(shù)解0，
∵，
∴三個整數(shù)解不可能是﹣2，﹣1，0．
若三個整數(shù)解為﹣1，0，1，則不等式組無解；
若三個整數(shù)解為0，1，2，則；
解得．
故選：B．
【點評】考查不等式組的解法及整數(shù)解的確定．求不等式組的解集，應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．本題要根據(jù)整數(shù)解的取值情況分情況討論結(jié)果，取出合理的答案．
二．填空題（共6小題）
5．（2021春?東臺市月考）如圖，是一個運算流程，若需要經(jīng)過兩次運算，才能運算出結(jié)果，則輸入的整數(shù)x有 　3　種情況．

【分析】根據(jù)經(jīng)過兩次運算才能運算出結(jié)果，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍，再結(jié)合x為整數(shù)，即可得出結(jié)論．
【解答】解：依題意得：，
解得：＜x≤．
又∵x為整數(shù)，
∴x可以為2，3，4，
∴輸入的整數(shù)x有3種情況．
故答案為：3．
【點評】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．
6．（2021春?金壇區(qū)期末）若代數(shù)式x+1的值小于代數(shù)式2x的值，則x的取值范圍是 　x＞1　．
【分析】由題意列出不等式，求出不等式的解集即可得到x的范圍．
【解答】解：根據(jù)題意，得x+1＜2x，
移項、合并同類項，得﹣x＜﹣1，
系數(shù)化為1，得x＞1，
故答案為x＞1．
【點評】此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握不等式的解法是解本題的關(guān)鍵．
7．（2021春?金壇區(qū)期末）若關(guān)于x，y的方程組的解滿足x+y≤2，則2m+5的最大值是 　6?。?br /> 【分析】由x+y≤2得出關(guān)于m的不等式，解之可得m的取值，得出m的最大值，即可求得結(jié)論．
【解答】解：解方程組，
①+②得，2x+2y＝2+4m，
∵x+y≤2，
∴1+2m≤2，
解得：m≤，
∴2m+5的最大值為2×+5＝6，
故答案為6．
【點評】本題主要考查解二元一次方程組和一元一次不等式的能力，熟練掌握加減消元法是解題的關(guān)鍵．
8．（2021春?邗江區(qū)校級期末）如果m不是不等式的解，則m的取值范圍是 　m＜1?。?br /> 【分析】求得不等式的解集，根據(jù)題意即可求得m＜1．
【解答】解：，
4x﹣2≥3x﹣1，
x≥1，
∵m不是不等式的解，
∴m＜1，
故答案為m＜1．
【點評】本題考查了解一元一次不等式，解此題的關(guān)鍵是能得出不等式的解集．
9．（2021春?亭湖區(qū)校級期末）若不等式組的解集是x＞m，則m的取值范圍是 　m≥3?。?br /> 【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大并結(jié)合不等式組的解集可得答案．
【解答】解：解不等式x+8＜4x﹣1，得：x＞3，
由﹣x＜﹣m，得：x＞m，
∵不等式組的解集為x＞m，
∴m≥3，
故答案為：m≥3．
【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
10．（2021春?東臺市月考）若關(guān)于x的不等式組的所有整數(shù)解之和等于9，則a的取值范圍是 　﹣2≤a＜3或﹣17≤a＜﹣12?。?br /> 【分析】解不等式組得出解集，根據(jù)整數(shù)解的和為5，可以確定不等式組的整數(shù)解為2，3，4或﹣1，0，1，2，3，4，再根據(jù)解集確定a的取值范圍．
【解答】解：，
解不等式①得x＞，
解不等式②得x＜5，
∵所有整數(shù)解的和是9，
∴不等式組的整數(shù)解為2，3，4或﹣1，0，1，2，3，4，
∴1≤＜2或﹣2≤＜﹣1，
∴﹣2≤a＜3或﹣17≤a＜﹣12
故答案為：﹣2≤a＜3或﹣17≤a＜﹣12．
【點評】本題考查一元一次不等式組的解集、整數(shù)解，根據(jù)整數(shù)解和解集確定待定字母的取值范圍，在確定的過程中，不等號的選擇應(yīng)認真細心，切實選擇正確．
三．解答題（共12小題）
11．（2020?晉江市模擬）某校舉行“講文明、愛衛(wèi)生”知識競賽，共有20道題，答對一道題得10分，答錯或不答扣5分，若小明同學(xué)得分要超過100分，那么他至少要答對幾道題？
【分析】設(shè)小明答對了x道題，則答錯或不答（20﹣x）道題，根據(jù)得分＝10×答對題目數(shù)﹣5×答錯或不答題目數(shù)結(jié)合得分超過100分，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍，再取其中的最小整數(shù)值即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)小明答對了x道題，則答錯或不答（20﹣x）道題，
依題意，得：10x﹣5（20﹣x）＞100，
解得：x＞，
又∵x為正整數(shù)，
∴x的最小值為14．
答：他至少要答對14道題．
【點評】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．
12．（2020春?鼓樓區(qū)校級期中）油電混動汽車是一種節(jié)油、環(huán)保的新技術(shù)汽車．它將行駛過程中部分原本被浪費的能量回收儲存于內(nèi)置的蓄電池中，汽車在低速行駛時，使用蓄電池帶動電動機驅(qū)動汽車，節(jié)約燃油．某品牌油電混動汽車與普通汽車的相關(guān)成本數(shù)據(jù)估算如下：

油電混動汽車
普通汽車
購買價格（萬元）
16.88
15.08
每百公里燃油成本（元）
30
45
某人計劃購入一輛上述品牌的汽車．他估算了用車成本，在只考慮車價和燃油成本的情況下，發(fā)現(xiàn)選擇油電混動汽車的成本不高于選擇普通汽車的成本，則他在估算時，預(yù)計行駛的公里數(shù)至少為多少公里？
【分析】設(shè)行駛的公里數(shù)為x公里，根據(jù)選擇油電混動汽車的成本不高于選擇普通汽車的成本，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)行駛的公里數(shù)為x公里，
依題意，得：168800+x≤150800+x，
解得：x≥120000．
答：行駛的公里數(shù)至少為120000公里．
【點評】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．
13．（2021春?平川區(qū)校級期末）解不等式組并求出它的所有整數(shù)解的和．
【分析】先求出兩個不等式的解集，再求其公共解，然后求出整數(shù)解的和即可．
【解答】解：解不等式3x+6≥5（x﹣1），得：x≤5.5，
解不等式﹣＜1，得：x＞﹣3，
則不等式組的解集為﹣3＜x≤5.5，
所以不等式組所有整數(shù)解的和為﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝12．
【點評】本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解．求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）．
14．（2020春?玄武區(qū)期末）解不等式組，并寫出該不等式組的整數(shù)解．
【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集，從而得出答案．
【解答】解：解不等式①，得：x＜2，
解不等式②，得：x≥﹣1，
則不等式組的解集為﹣1≤x＜2，
∴不等式組的整數(shù)解為﹣1、0、1．
【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
15．（2020春?崇川區(qū)校級期中）啟秀中學(xué)初一年級組計劃將m本書獎勵給本次期中考試取得優(yōu)異成績的n名同學(xué)，如果每人分4本，那么還剩下78本；如果每人分8本，那么最后一人分得的書不足8本，但不少于4本，最終，年級組經(jīng)討論后決定，給這n名同學(xué)每人發(fā)6本書，那么將剩余多少本書？
【分析】由“如果每人分4本，那么還剩下78本”可得出m＝4n+78，結(jié)合“如果每人分8本，那么最后一人分得的書不足8本”，即可得出關(guān)于n的一元一次不等式組，解之即可得出n的取值范圍，再結(jié)合n為正整數(shù)即可得出m，n的值，將其代入（m﹣6n）中即可求出結(jié)論．
【解答】解：依題意，得：，
解得：＜n≤．
又∵n為正整數(shù)，
∴n＝20，
∴m＝4n+78＝158，
∴m﹣6n＝158﹣6×20＝38．
答：將剩余38本書．
【點評】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．
16．（2020?蘇州）如圖，“開心”農(nóng)場準備用50m的護欄圍成一塊靠墻的矩形花園，設(shè)矩形花園的長為a（m），寬為b（m）．
（1）當(dāng)a＝20時，求b的值；
（2）受場地條件的限制，a的取值范圍為18≤a≤26，求b的取值范圍．

【分析】（1）由護欄的總長度為50m，可得出關(guān)于b的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；
（2）由a的取值范圍結(jié)合a＝50﹣2b，即可得出關(guān)于b的一元一次不等式組，解之即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）依題意，得：20+2b＝50，
解得：b＝15．
（2）∵18≤a≤26，a＝50﹣2b，
∴，
解得：12≤b≤16．
答：b的取值范圍為12≤b≤16．
【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．
17．（2021春?濱海縣月考）已知2x﹣y＝4．若﹣2＜y≤3，求x的取值范圍．
【分析】題意題意得到﹣2＜2x﹣4≤3，然后解關(guān)于x的不等式組即可．
【解答】解：根據(jù)題意得﹣2＜2x﹣4≤3，
2＜2x≤7，
所以1＜x≤．
故答案為：1＜x≤．
【點評】本題考查了解不等式組：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到．
18．（2021秋?阜寧縣期末）某學(xué)校是乒乓球體育傳統(tǒng)項目校，為進一步推動該項目的發(fā)展．學(xué)校準備到體育用品店購買甲、乙兩種型號乒乓球若干個，已知3個甲種乒乓球和5個乙種乒乓球共需50元，2個甲種乒乓球和3個乙種乒乓球共需31元．
（1）求1個甲種乒乓球和1個乙種乒乓球的售價各是多少元？
（2）學(xué)校準備購買這兩種型號的乒乓球共200個，要求甲種乒乓球的數(shù)量不超過乙種乒乓球的數(shù)量的3倍，請設(shè)計出最省錢的購買方案，并說明理由．
【分析】（1）設(shè)1個甲種乒乓球的售價是x元，1個乙種乒乓球的售價是y元，根據(jù)“購買3個甲種乒乓球和5個乙種乒乓球共需50元，購買2個甲種乒乓球和3個乙種乒乓球共需31元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購買甲種乒乓球a個，費用為w元，則購買乙種乒乓球（200﹣a）個，根據(jù)總價＝單價×數(shù)量，即可得出w關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，由甲種乒乓球的數(shù)量不超過乙種乒乓球的數(shù)量的3倍，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范圍，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．
【解答】解：（1）設(shè)1個甲種乒乓球的售價是x元，1個乙種乒乓球的售價是y元，
依題意，得：，
解得：．
答：1個甲種乒乓球的售價是5元，1個乙種乒乓球的售價是7元．
（2）設(shè)購買甲種乒乓球a個，費用為w元，則購買乙種乒乓球（200﹣a）個，
依題意，得：w＝5a+7（200﹣a）＝﹣2a+1400．
∵a≤3（200﹣a），
∴a≤150．
∵﹣2＜0，
∴w值隨a值的增大而減小，
∴當(dāng)a＝150時，w取得最小值，此時w＝1100，200﹣a＝50．
答：當(dāng)購買甲種乒乓球150個，乙種乒乓球50個時最省錢．
【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）利用各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式．
19．（2021春?濱?？h月考）由于疫情影響，某校購買了50個A類紅外線體溫計和25個B類紅外線體溫計，共花費7500元，已知購買一個B類紅外線體溫計比購買一個A類紅外線體溫計多花30元．
（1）求購買一個A類紅外線體溫計和B類紅外線體溫計各需多少元？
（2）由于疫情影響，學(xué)校計劃用不超過4650元的經(jīng)費再次購買兩類紅外線體溫計共50個，若單價不變，則本次至少可以購買A類紅外線體溫計多少個？
【分析】（1）設(shè)購買一個A類紅外線體溫計需x元，購買一個B類紅外線體溫計需y元，根據(jù)“購買50個A類紅外線體溫計和25個B類紅外線體溫計，共花費7500元，購買一個B類紅外線體溫計比購買一個A類紅外線體溫計多花30元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購買A類紅外線體溫計m個（ m為正整數(shù)），則購買B類紅外線體溫計（ 50﹣m）個，利用總價＝單價×數(shù)量，結(jié)合總價不超過4650元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)購買一個A類紅外線體溫計需x元，購買一個B類紅外線體溫計需y元，
依題意得：，
解得：．
答：購買一個A類紅外線體溫計需90元，購買一個B類紅外線體溫計需120元．
（2）設(shè)購買A類紅外線體溫計m個（ m為正整數(shù)），則購買B類紅外線體溫計（ 50﹣m）個，
依題意得：90m+120（50﹣m）≤4650，
解得：m≥45．
又∵m為正整數(shù)，
∴m的最小值為45．
答：本次至少可以購買A類紅外線體溫計45個．
【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
20．（2021?淮陰區(qū)校級模擬）利用數(shù)軸求不等式組：的解集．

【分析】分別求出每一個不等式的解集，將不等式的解集表示在數(shù)軸上，繼而可確定不等式組的解集．
【解答】解：解不等式2x+1＞x，得：x＞﹣1，
解不等式﹣x≥1，得：x≤3，
將不等式的解集表示在數(shù)軸上如下：

則不等式組的解集為﹣1＜x≤3．
【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
21．（2021春?建湖縣月考）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組的解滿足x﹣y＞﹣5，求m的取值范圍．
【分析】把方程組的兩式相加，用含m的代數(shù)式表示出x+y，再代入不等式，求解不等式即可．
【解答】解：，
①+②得3x﹣3y＝3m+3，
∴x﹣y＝m+1．
∵x﹣y＞﹣5，
∴m+1＞﹣5．
∴m＞﹣6．
【點評】本題主要考查了解一元一次不等式，掌握二元一次方程組、一元一次不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵．
22．（2022春?市中區(qū)校級月考）已知不等式3（x﹣2）﹣5＞6（x+1）﹣7的最大整數(shù)解是方程2x﹣mx＝﹣10的解，求m的值．
【分析】解不等式求得它的解集，從而可以求得它的最大整數(shù)解，然后代入方程方程2x﹣mx＝﹣10，從而可以得到m的值．
【解答】解：3（x﹣2）﹣5＞6（x+1）﹣7，
3x﹣6﹣5＞6x+6﹣7，
﹣3x＞10，
∴x＜﹣，
∴最大整數(shù)解為﹣4，
把x＝﹣4代入2x﹣mx＝﹣10，得：﹣8+4m＝﹣10，
解得m＝﹣．
【點評】本題考查一元一次不等式的整數(shù)解、一元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是明確一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法．
題組B 能力提升練
一．選擇題（共5小題）
1．（2021春?海州區(qū)期末）一次智力測驗，有20道選擇題．評分標(biāo)準是：對1題給5分，錯1題扣2分，不答題不給分也不扣分．小明有兩道題未答，要使總分不低于60分，那么小明至少答對的題數(shù)是（　　）
A．15道 B．14道 C．13道 D．12道
【分析】設(shè)小明答對的題數(shù)是x道，答錯的為（20﹣2﹣x）道，根據(jù)總分才不會低于60分，這個不等量關(guān)系可列出不等式求解．
【解答】解：設(shè)小明答對的題數(shù)是x道，根據(jù)題意可得：
5x﹣2（20﹣2﹣x）≥60，
解得：x≥13，
故x應(yīng)為14．
故選：B．
【點評】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是設(shè)出相應(yīng)的題目數(shù)，以得分作為不等量關(guān)系列不等式求解．
2．（2021?望城區(qū)模擬）一元一次不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．
【解答】解：解不等式2x＞x﹣1，得：x＞﹣1，
解不等式≤2，得：x≤3，
則不等式組的解集為﹣1＜x≤3，
故選：B．
【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
3．（2021春?利州區(qū)期末）已知非負數(shù)a，b，c滿足條件a+b＝7，c﹣a＝5，設(shè)S＝a+b+c的最大值為m，最小值為n，則m﹣n的值（　?。?br /> A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】由于已知a，b，c為非負數(shù)，所以m、n一定≥0；根據(jù)a+b＝7和c﹣a＝5推出c的最小值與a的最大值；然后再根據(jù)a+b＝7和c﹣a＝5把S＝a+b+c轉(zhuǎn)化為只含a或c的代數(shù)式，從而確定其最大值與最小值．
【解答】解：∵a，b，c為非負數(shù)；
∴S＝a+b+c≥0；
又∵c﹣a＝5；
∴c＝a+5；
∴c≥5；
∵a+b＝7；
∴S＝a+b+c＝7+c；
又∵c≥5；
∴c＝5時S最小，即S最?。?2，即n＝12；
∵a+b＝7；
∴a≤7；
∴S＝a+b+c＝7+c＝7+a+5＝12+a；
∴a＝7時S最大，即S最大＝19，即m＝19；
∴m﹣n＝19﹣12＝7．
故選：C．
【點評】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握不等式的性質(zhì)，求出S的最大值及最小值，難度較大．
4．（2021春?西平縣期末）小明網(wǎng)購了一本《好玩的數(shù)學(xué)》，同學(xué)們想知道書的價格，小明讓他們猜．甲說：“至少12元．”乙說“至多10元．”丙說“至多8元．”小明說：“你們?nèi)齻€人都說錯了．”則這本書的價格x（元）所在的范圍為（　?。?br /> A．8＜x＜10 B．9＜x＜11 C．8＜x＜12 D．10＜x＜12
【分析】根據(jù)題意得出不等式組解答即可．
【解答】解：根據(jù)題意可得：，
∵三個人都說錯了，
∴這本書的價格x（元）所在的范圍為10＜x＜12．
故選：D．
【點評】此題考查一元一次不等式組的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意得出不等式組解答．
5．（2020春?潤州區(qū)期末）已知關(guān)于x、y的方程組，其中﹣3≤a≤1，給出下列說法：①當(dāng)a＝1時，方程組的解也是方程x+y＝2﹣a的解；②當(dāng)a＝﹣2時，x、y的值互為相反數(shù)；③若x≤1，則1≤y≤4；④是方程組的解．其中說法錯誤的是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．②③
【分析】根據(jù)題目中的方程組可以判斷各個小題的結(jié)論是否成立，從而可以解答本題．
【解答】解：當(dāng)a＝1時，，解得，，∴x+y＝0≠2﹣1，故①錯誤，
當(dāng)a＝﹣2時，，解得，，則x+y＝6，此時x與y不是互為相反數(shù)，故②錯誤，
∵，解得，，
∵x≤1，則≤1，得a≥0，
∴0≤a≤1，則1≤≤，即1≤y≤，故③錯誤，
∵，解得，，當(dāng)x＝＝4時，得a＝，y＝，故④錯誤，
故選：A．
【點評】本題考查解一元一次不等式組、二元一次方程（組）的解，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用方程和不等式的性質(zhì)解答．
二．解答題（共5小題）
6．（2021春?沭陽縣期末）已知關(guān)于x、y的方程組的解x、y滿足3x+y≥0，求m的取值范圍．
【分析】先把x、y的值用m表示出來，再代入3x+y≥0即可求出m的取值范圍．
【解答】解：，
①+②得，3y＝2m，解得y＝m；
代入①得，m﹣x＝m﹣1，解得x＝﹣m+1，
把x、y的值代入3x+y≥0得，3×（﹣m+1）+m≥0，
解得m≤9．
故m的取值范圍為：m≤9．
【點評】本題考查的是解二元一次方程組及解一元一次不等式，解答此題的關(guān)鍵是先把m當(dāng)作已知表示出x、y的值，即可得到關(guān)于m的一元一次不等式，再根據(jù)解一元一次不等式的方法求解．
7．（2020春?句容市期末）2020年2月初，由于新型冠狀病毒（COVID﹣19）的傳播，消毒劑市場出現(xiàn)熱賣，某旗艦網(wǎng)店用60000元購進一批甲種品牌的免洗手消毒液和乙種品牌的75%酒精消毒紙巾，銷售完后共獲利9000元，進價和售價如下表：

甲種免洗手消毒液（元/瓶）
乙種75%酒精消毒紙巾（元/袋）
進價
30
42
售價
35
48
（1）求該網(wǎng)店購進甲種消毒液和乙種消毒紙巾分別是多少？
（2）該網(wǎng)店第二次以原價購進上述甲、乙兩種物品，購進乙種物品袋數(shù)不變，而購進甲種物品的數(shù)量是第一次的2倍．甲種物品按原售價出售，而乙種物品讓利銷售．若兩種物品銷售完畢，要使第二次銷售活動獲利不少于7600元，乙種物品每袋最低售價為每袋多少元？
【分析】（1）分別根據(jù)旗艦網(wǎng)店用60000元購進進一批甲種品牌的免洗手消毒液和乙種品牌的75%酒精消毒紙巾，銷售完后共獲利9000元，得出等式組成方程求出即可；
（2）根據(jù)購進甲種物品的數(shù)量是第一次的2倍，要使第二次銷售活動獲利不少于7600元，得出不等式求出即可．
【解答】解；（1）設(shè)網(wǎng)店購進甲種消毒液x瓶，乙種消毒紙巾y袋，
根據(jù)題意，得，
解得：，
答：網(wǎng)店購進甲種消毒液600瓶，乙種消毒紙巾1000袋；

（2）設(shè)乙種物品每袋售價為每袋a元，根據(jù)題意得出：
600×2×（35﹣30）+1000×（a﹣42）≥7600，
解得：a≥43.6，
答：乙種物品每袋最低售價為每袋43.6元．
【點評】本題考查了列二元一次方程組解實際問題的運用，列一元一次不等式解實際問題的運用及解法，在解答過程中尋找能夠反映整個題意的等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．
8．（2020春?錫山區(qū)期末）新冠肺炎疫情期間，某口罩廠為生產(chǎn)更多的口罩滿足疫情防控需求，決定撥款560萬元購進A，B兩種型號的口罩機共30臺．兩種型號口罩機的單價和工作效率分別如表：

單價/萬元
工作效率/（只/h）
A種型號
16
2500
B種型號
20
3000
（1）求購進A，B兩種型號的口罩機各多少臺；
（2）現(xiàn)有200萬只口罩的生產(chǎn)任務(wù)，計劃安排新購進的口罩機共15臺進行生產(chǎn)．若工廠的工人每天工作10h，則至少購進B種型號的口罩機多少臺才能在5天內(nèi)完成任務(wù)？
【分析】（1）設(shè)購進A種型號的口罩生產(chǎn)線x臺，B種型號的口罩生產(chǎn)線y臺，根據(jù)財政撥款560萬元購進A，B兩種型號的口罩機共30臺，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)工作總量＝工作效率×?xí)r間結(jié)合在5天內(nèi)完成200萬只口罩的生產(chǎn)任務(wù)，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．
【解答】（1）設(shè)購進A型號口罩機x臺，B型號口罩機y臺，
．
解之得．
答：購進A型號口罩機10臺，B型號口罩機20臺；

（2）設(shè)購進B型口罩機m臺，則5×10×[2500（15﹣m）+3000m]≥2000000．
解之得m≥5．
答：至少購進B型號口罩機5臺．
【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
9．（2020春?姜堰區(qū)期末）某物流公司安排A、B兩種型號的卡車向災(zāi)區(qū)運送抗災(zāi)物資，裝運情況如下：
裝運批次
卡車數(shù)量
裝運物資重量
A種型號
B種型號
第一批
2輛
4輛
56噸
第二批
4輛
6輛
96噸
（1）求A、B兩種型號的卡車平均每輛裝運物資多少噸；
（2）該公司計劃安排A、B兩種型號的卡車共15輛裝運150噸抗災(zāi)物資，那么至少要安排多少輛A種型號的卡車？
【分析】（1）設(shè)A種型號的卡車平均每輛裝運物資x噸，B種型號的卡車平均每輛裝運物資y噸，根據(jù)前兩批具體運輸情況數(shù)據(jù)表，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)要安排m輛A種型號的卡車，根據(jù)“該公司計劃安排A、B兩種型號的卡車共15輛裝運150噸抗災(zāi)物資”即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中最小的整數(shù)值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)A種型號的卡車平均每輛裝運物資x噸，B種型號的卡車平均每輛裝運物資y噸，
根據(jù)題意，得．
解得．
答：A種型號的卡車平均每輛裝運物資12噸，B種型號的卡車平均每輛裝運物資8噸；

（2）設(shè)要安排m輛A種型號的卡車，則需要安排（15﹣m）輛B種型號的卡車，
根據(jù)題意，得12m+8（15﹣m）≥150
解得m≥7.5．
由于m是正整數(shù)，
所以m最小值是8．
答：至少要安排8輛A種型號的卡車．
【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
10．（2020春?沭陽縣期末）為了更好地保護環(huán)境，治理水質(zhì)，我區(qū)某治污公司決定購買12臺污水處理設(shè)備，現(xiàn)有A、B兩種型號設(shè)備，A型每臺m萬元； B型每臺n萬元，經(jīng)調(diào)查買一臺A型設(shè)備比買一臺B型設(shè)備多3萬元，購買2臺A型設(shè)備比購買3臺B型設(shè)備少5萬元．
（1）求m、n的值．
（2）經(jīng)預(yù)算，該治污公司購買污水處理器的資金不超過158萬元．該公司A型設(shè)備最多能買臺？
【分析】（1）根據(jù)：“買一臺A型設(shè)備比買一臺B型設(shè)備多3萬元，購買2臺A型設(shè)備比購買3臺B型設(shè)備少5萬元”列方程組求解可得；
（2）根據(jù)：“購買污水處理器的資金不超過158萬元”列不等式求解可得．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，得：，
解得：，
答：m的值為14，n的值為11；

（2）設(shè)A型設(shè)備買x臺，
根據(jù)題意，得：14x+11（12﹣x）≤158，
解得：x≤8，
答：A型設(shè)備最多買8臺．
【點評】本題主要考查二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意，將相等關(guān)系或不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程或不等式是關(guān)鍵．