北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊雙曲線的簡單幾何性質(zhì)學(xué)案含解析

? 專題05 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

要點(diǎn)一　雙曲線的幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
性質(zhì)
圖形


焦點(diǎn)
F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
性質(zhì)
范圍
或，y∈R
或，x∈R
對稱性
對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：遠(yuǎn)點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
軸
實(shí)軸：線段，長：；虛軸：線段，
長：2b；半實(shí)軸長：，半虛軸長：b
離心率
e＝∈
漸近線
y＝±x
y＝±x
【方法技巧】
(1)雙曲線的范圍說明雙曲線是非封閉曲線，而橢圓則是封閉曲線．
(2)當(dāng)|x|無限增大時(shí)，|y|也無限增大，即雙曲線的各支是向外無限延展的．
(3)雙曲線的漸近線決定了雙曲線的形狀．由雙曲線的對稱性可知，當(dāng)雙曲線的兩支向外無限延伸時(shí)，雙曲線與兩條漸近線無限接近，但永遠(yuǎn)不會(huì)相交．
(4)雙曲線形狀與e的關(guān)系．
由于＝＝ ＝，因此e越大，漸近線的斜率的絕對值就越大，雙曲線的開口就越大．
要點(diǎn)二　等軸雙曲線
實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線，它的漸近線是，離心率為.
【答疑解惑】
教材P126思考
通過比較例5與橢圓一節(jié)中的例6可以發(fā)現(xiàn)．動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比是常數(shù)，若這個(gè)常數(shù)大于0小于1，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓；若這個(gè)常數(shù)大于1，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線．
看大小，焦點(diǎn)隨著大的跑”．
【基礎(chǔ)自測】
1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)雙曲線的離心率越大，雙曲線的開口越開闊．(　　)
(2)以y＝±2x為漸近線的雙曲線有2條．(　　)
(3)方程－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x.(　　)
(4)離心率e越大，雙曲線－＝1的漸近線的斜率絕對值越大．(　　)
【答案】（1）√（2）×（3）×（4）×
2．實(shí)軸長為2，虛軸長為4的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)
A．x2－＝1
B．y2－＝1
C.－＝1或－＝1
D．x2－＝1或y2－＝1
【答案】D
【解析】由題意知2a＝2,2b＝4∴a＝1，b＝2，∴a2＝1，b2＝4又雙曲線的焦點(diǎn)位置不確定，故選D.
3．雙曲線－y2＝1的漸近線方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x
【答案】B
【解析】由雙曲線方程得：a＝，b＝1，∴漸近線方程為：y＝±x＝±x.故選B.
4．若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線互相垂直，則該雙曲線的離心率是________．
【答案】
【解析】由題意知漸近線與x軸的夾角θ＝∴＝tan＝1∴e＝＝


題型一　由雙曲線的幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程
1．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點(diǎn))，則雙曲線的方程為(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1
【答案】D
【解析】不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，由題意可知c＝2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，)，所以＝，又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3，故所求雙曲線的方程為x2－＝1，故選D.
2．焦點(diǎn)為(0,6)，且與雙曲線－y2＝1有相同的漸近線的雙曲線方程是________．
【答案】－＝1
【解析】由－y2＝1，得雙曲線的漸近線為y＝±x.設(shè)雙曲線方程為：－y2＝λ(λ0)，將點(diǎn)(2,0)的坐標(biāo)代入方程得λ＝，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1；
當(dāng)所求雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可設(shè)其方程為－＝λ(λ>0)，將點(diǎn)(2,0)的坐標(biāo)代入方程得λ＝－0，b>0)．
因?yàn)閑＝＝，所以a＝2，則b2＝c2－a2＝5，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.
方法二　因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)在x軸上，所以可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(160，n>0)；如果兩條漸近線的方程為Ax±By＝0，那么雙曲線的方程可設(shè)為A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0)．
(2)與雙曲線－＝1或－＝1(a>0，b>0)共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為－＝λ或－＝λ(λ≠0)．
(3)與雙曲線－＝1(a>0，b>0)離心率相等的雙曲線系方程可設(shè)為－＝λ(λ>0)或－＝λ(λ>0)，這是因?yàn)橛呻x心率不能確定焦點(diǎn)位置．
(4)與橢圓＋＝1(a>b>0)共焦點(diǎn)的雙曲線系方程可設(shè)為－＝1(b20)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，則能使雙曲線C的方程為－＝1的是(　　)
A．離心率為 B．雙曲線過點(diǎn)(5，)
C．漸近線方程為3x±4y＝0 D．實(shí)軸長為4

【答案】ABC
【解析】雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)．
可得c＝5，如果離心率為：.可得a＝4，則b＝3，所以，雙曲線C的方程為－＝1，所以A正確；
c＝5，雙曲線過點(diǎn)，可得解得a＝4，b＝3，所以雙曲線C的方程為－＝1，所以B正確；
c＝5，漸近線方程為3x±4y＝0，可得＝，a2＋b2＝25，
解得a＝4，b＝3，所以雙曲線C的方程為－＝1，所以C正確；
c＝5，實(shí)軸長為4，可得a＝2，b＝，所以雙曲線C的方程為－＝1，所以D不正確；故選ABC.
【方法技巧】
已知雙曲線的方程討論其幾何性質(zhì)時(shí)，需先看所給方程是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，若不是，需先把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，找準(zhǔn)a和b，才能正確地寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)等．注意與橢圓的相關(guān)幾何性質(zhì)進(jìn)行比較．
探究2 求雙曲線的離心率
【例2】(1)設(shè)a>1，則雙曲線－＝1的離心率e的取值范圍是(　　)
A．(，2) B．(，) C．(2,5) D．(2，)
(2)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(4，－2)，則它的離心率為(　　)
A. B. C. D.
(3)設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為________.
【答案】(1)B?。?）D
【解析】(1)由題意得，雙曲線的離心率e2＝2＝＝1＋2，因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以當(dāng)a>1時(shí)，00，b>0)中等號右邊的“1”改成“0”，然后分解因式即可得到漸近線的方程±＝0或±＝0.
【變式訓(xùn)練】
1. (多選)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線－＝1，則(　　)
A．實(shí)軸長為2
B．漸近線方程為y＝±x
C．離心率為2
D．一條漸近線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)到另一條漸近線的距離為3
【答案】BC
【解析】(1)由雙曲線的方程可得，a2＝4，b2＝12，c2＝a2＋b2＝16，所以a＝2，b＝2，c＝4；
所以實(shí)軸長2a＝4，離心率＝2，漸近線方程為y＝±x＝±x，所以A不正確；B，C正確；
因?yàn)闇?zhǔn)線方程為x＝＝1，設(shè)漸近線y＝x與漸近線的交點(diǎn)為A，兩個(gè)方程聯(lián)立可得A(1，)，另一條漸近線的方程為：x＋y＝0，所以A到它的距離為d＝＝，所以D不正確．
(2)已知F為雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F向雙曲線E的一條漸近線引垂線，垂足為A，且交另一條漸近線于點(diǎn)B，若|OF|＝|FB|，則雙曲線E的離心率是________．
【答案】
【解析】雙曲線E：－＝1的漸近方程為y＝±x，若|OF|＝|FB|，可得在直角三角形OAB中，由∠AOF＝∠BOF＝∠ABO＝30°，
可得＝tan30°＝，∴＝＝1＋＝1＋＝，∴e＝.
題型三　直線與雙曲線的位置關(guān)系
【例4】(1)直線l：y＝kx＋1與雙曲線C：2x2－y2＝1的右支交于不同的兩點(diǎn)A，B，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________．
(2)雙曲線的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(，0)，直線y＝x－1與雙曲線相交于M，N兩點(diǎn)，線段MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－，則雙曲線的方程為________．
【答案】(1)(－2，－)　(2)－＝1
【解析】(1)聯(lián)立方程組得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0
則解得－20)與直線l：x＋y＝1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則雙曲線C的離心率e的取值范圍為(　　)
A. (， ) B．(，＋∞) C. (，＋∞) D. (，)∪(，＋∞)
(2)已知雙曲線－y2＝1，則過點(diǎn)A(3，－1)，且被點(diǎn)A平分的雙曲線的弦MN所在直線方程是________．
【答案】(1)D?。?）3x＋4y－5＝0.
【解析】(1)由得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0
則解得a2∈(0,1)∪(1,2)
又e＝，∴a2＝
從而e∈∪(，＋∞)，故選D.
(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則兩式相減得＝y(tǒng)－y
所以＝.
因?yàn)辄c(diǎn)A平分弦MN，所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2.
所以kMN＝＝＝－.
所以雙曲線的弦MN所在直線的方程為y＋1＝－(x－3)，即3x＋4y－5＝0.
易錯(cuò)辨析　忽略對焦點(diǎn)所在軸的討論致誤
【例5】已知雙曲線的漸近線方程是y＝±x，焦距為2，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【解析】當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由
解得所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.
當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由
解得所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.
故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1或－＝1.
【易錯(cuò)警示】
易錯(cuò)原因
糾錯(cuò)心得
誤認(rèn)為焦點(diǎn)一定在x軸上，得到答案：－＝1，而漏掉焦點(diǎn)在y軸上的情況.
當(dāng)題目條件沒有明確雙曲線的焦點(diǎn)所在軸時(shí)，應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．同時(shí)注意兩種情況下，漸近線方程是有區(qū)別的：焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，漸近線方程為y＝±x；焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，漸近線方程為y＝±x.


1．（2021·福建省武平縣第一中學(xué)高二月考）雙曲線2x2－y2＝8的實(shí)軸長是(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．2
C．4 D．4
【答案】C
【解析】雙曲線方程可變形為－＝1，所以a2＝4，a＝2，從而2a＝4，故選C.
2．（2021·江蘇省響水中學(xué)高二期中）如果橢圓＋＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，那么雙曲線－＝1的離心率為(　　)
A. B.
C. D．2
【答案】A
【解析】由已知橢圓的離心率為，得＝，∴a2＝4b2.∴e2＝＝＝.∴雙曲線的離心率e＝.
3．（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）若雙曲線與橢圓＋＝1有相同的焦點(diǎn)，它的一條漸近線方程為y＝－x，則雙曲線的方程為(　　)
A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160
C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24
【答案】D
【解析】設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，因?yàn)殡p曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且焦點(diǎn)為(0，±4)，所以λ0，b>0)上，C的焦距為4，則它的離心率為________．
【答案】2
【解析】由題意知－＝1，c2＝a2＋b2＝4，解得a＝1,所以e＝＝2.
7．（2021·江蘇馬壩高中高二月考）設(shè)雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)(2,2)，且與－x2＝1具有相同的漸近線，則C的方程為________，漸近線方程為________．
【答案】－＝1　y＝±2x
【解析】設(shè)雙曲線C的方程為－x2＝λ.將點(diǎn)(2,2)的坐標(biāo)代入，得λ＝－3，∴雙曲線C的方程為－＝1.令－x2＝0，得y＝±2x，即漸近線方程為y＝±2x.
8．（2021·江蘇啟東中學(xué)高二期中）已知定點(diǎn)A，B且|AB|＝4，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|－|PB|＝3，則|PA|的最小值為________．
【答案】
【解析】如圖所示，點(diǎn)P是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上的點(diǎn)，當(dāng)P在M處時(shí)，|PA|最小，最小值為a＋c＝＋2＝.

9．（2021·甘肅省武威第一中學(xué)高二期中）已知雙曲線E與雙曲線－＝1共漸近線，且過點(diǎn)A(2，－3)．若雙曲線M以雙曲線E的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸，試求雙曲線M的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【解析】由題意，設(shè)雙曲線E的方程為－＝t(t≠0)．
∵點(diǎn)A(2，－3)在雙曲線E上，∴－＝t，
∴t＝－，∴雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.
又雙曲線M與雙曲線E互為共軛雙曲線，
∴雙曲線M的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.
10（（2021·江西南昌市·南昌十中高二期中（文））已知雙曲線.
（1）求與雙曲線有共同的漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，且A、B的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），求直線的斜率.
【解析】（1）因?yàn)樗箅p曲線與雙曲線有共同的漸近線，
所以設(shè)所求雙曲線方程為，代入，得，
所以所求雙曲線方程為；
（2）設(shè)，因?yàn)?、在雙曲線上，
所以，（1）-（2）得，
因?yàn)锳、B的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），即，
所以.


11．（2021·河北承德第一中學(xué)高二月考）已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)(3,0)是E的焦點(diǎn)，過F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N(－12，－15)，則E的方程為(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】B
【解析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0，b>0)，由題意知c＝3，a2＋b2＝9，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)則有
兩式作差得＝＝＝，
又AB的斜率是＝1，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是－＝1.
12.（多選）（2021·東湖區(qū)·江西師大附中高二期中（理））定義：以雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸的雙曲線與原雙曲線互為共軛雙曲線，以下關(guān)于共軛雙曲線的結(jié)論正確的有（ ）
A.與共軛的雙曲線是；
B.互為共軛的雙曲線漸近線不相同；
C.互為共軛的雙曲線的離心率為，則；
D.互為共軛的雙曲線的4個(gè)焦點(diǎn)在同一圓上．
【答案】ABCD
【解析】根據(jù)共軛雙曲線的定義可知，與共軛的雙曲線是，故A正確；
由雙曲線的方程可得，的漸近線方程均為，B正確
由雙曲線方程可得，，所以，
上式整理得，根據(jù)、都是大于1的正數(shù)，得，
兩邊約去，得，時(shí)等號成立，故C正確；
的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，的焦點(diǎn)為，
4個(gè)焦點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓上，D正確.，故選ABCD。
13．（2021·懷仁市第一中學(xué)校云東校區(qū)高二月考）已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是_____________________．
【答案】 [2，＋∞)
【解析】由題意，知≥，則≥3，所以c2－a2≥3a2，
即c2≥4a2，所以e2＝≥4，所以e≥2.
14．（2021·四川省綿陽南山中學(xué)高二期中）若雙曲線E：－y2＝1(a＞0)的離心率等于，直線y＝kx－1與雙曲線E的右支交于A，B兩點(diǎn)．
(1)求k的取值范圍；
(2)若|AB|＝6，求k的值．
【解析】(1)由得故雙曲線E的方程為x2－y2＝1.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①
∵直線與雙曲線右支交于A，B兩點(diǎn)，故

即
∴1＜k＜.
(2)由①得x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝·
＝2＝6，
整理得28k4－55k2＋25＝0，
∴k2＝或k2＝.
又1＜k＜，∴k＝.

15．（2021·邯鄲市永年區(qū)第一中學(xué)高二期末）雙曲線C的中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F，漸近線方程為y＝±x.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)設(shè)直線l：y＝kx＋1與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，問：當(dāng)k為何值時(shí)，以AB為直徑的圓過原點(diǎn)？
【解析】(1)設(shè)雙曲線的方程是－＝1(a＞0，b＞0)，則c＝，＝.又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝1，a2＝.
∴雙曲線的方程是3x2－y2＝1.
(2)由得(3－k2)x2－2kx－2＝0.
由Δ＞0，且3－k2≠0，得－＜k＜，且k≠±.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，∴OA⊥OB.
∴x1x2＋y1y2＝0.
又∵x1＋x2＝，x1x2＝，
∴y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝1，
∴＋1＝0，解得k＝±1.
故當(dāng)k＝±1時(shí)，以AB為直徑的圓過原點(diǎn)．