專題2.21 《軸對稱圖形》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識講解）-八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)講練（蘇科版）

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專題2.21  《軸對稱圖形》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 認(rèn)識軸對稱、軸對稱圖形，理解軸對稱的基本性質(zhì)及它們的簡單應(yīng)用；2. 了解垂直平分線的概念，并掌握其性質(zhì)；3. 了解等腰三角形、等邊三角形的有關(guān)概念，并掌握它們的性質(zhì)以及判定方法.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、軸對稱1.軸對稱圖形和軸對稱　　（1）軸對稱圖形如果一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.（2）軸對稱
　　定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸.成軸對稱的兩個圖形的性質(zhì)：①關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形形狀相同，大小相等，是全等形；②如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，則對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；③兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么它們的交點(diǎn)在對稱軸上.（3）軸對稱圖形與軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別: 軸對稱是指兩個圖形的位置關(guān)系，軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形；軸對稱涉及兩個圖形，而軸對稱圖形是對一個圖形來說的.聯(lián)系：如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形關(guān)于這條軸對稱；如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形．2.線段的垂直平分線線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等.反過來，與一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.要點(diǎn)二、作軸對稱圖形 1.作軸對稱圖形（1）幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成，我們只要分別作出這些點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對應(yīng)點(diǎn)，再連接這些點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對稱圖形；（2）對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點(diǎn)（如線段端點(diǎn)）的對稱點(diǎn)，連接這些對稱點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.2.用坐標(biāo)表示軸對稱點(diǎn)（,）關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（,－）；點(diǎn)（,）關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（－,）；點(diǎn)（,）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（－,－）.要點(diǎn)三、等腰三角形 1.等腰三角形　　（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質(zhì)   ?、俚妊切蔚膬蓚€底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等　 　　邊”）.2.等邊三角形
　　（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.　　（3）等邊三角形的判定： ①三條邊都相等的三角形是等邊三角形； ②三個角都相等的三角形是等邊三角形； ③有一個角為 60°的等腰三角形是等邊三角形.3.直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.【典型例題】類型一、軸對稱的性質(zhì)與應(yīng)用1．如圖，E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別是C、D．求證：(1)OC＝OD，(2)OE是線段CD的垂直平分線．【答案】見解析【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)證明Rt△OED≌Rt△OEC，所以OC=OD.(2)利用（1）的結(jié)論，可得OE是CD的垂直平分線.證明：（1）因?yàn)辄c(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，ED⊥OB，EC⊥OA，所以ED=EC,在Rt△OED和Rt△OEC中,OE=OE，DE=EC，∴Rt△OED≌Rt△OEC.∴OC=OD；（2）∵OC=OD，∴點(diǎn)O在線段CD的垂直平分線上，∵DE=CE，∴點(diǎn)E在線段CD的垂直平分線上，∴OE是線段CD的垂直平分線．【點(diǎn)撥】本題考查了線段垂直平分線的判定，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】 如圖，AD為△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF交AD于點(diǎn)O．（1）求證：∠DEF＝∠DFE；（2）求證：AD垂直平分EF．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)證明即可得解；（2）根據(jù)已知條件證明Rt△AED≌Rt△AFD（HL）和即可得解；解：（1）∵AD為△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE；（2）根據(jù)已知條件可得∠AED＝∠AFD＝90°，在Rt△AED和Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴∠ADE＝∠ADF；在△DEO和△DFO中，，∴，∴，，∵∠EOD+∠FOD＝180°，∴∠EOD=∠FOD＝90°，∴AD垂直平分EF．【點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線的垂直平分線的判定與性質(zhì)，結(jié)合等三角形證明是解題的關(guān)鍵．【變式2】 如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠CAB，N點(diǎn)是AB上的一定點(diǎn)，M是AD上一動點(diǎn)，要使MB＋MN最小，請找點(diǎn)M的位置．【答案】作圖見解析.【解析】因?yàn)?/span>AD垂直平分BC，所以點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)，連接CN交AD于點(diǎn)M.試題解析：如圖，連接NC與AD的交點(diǎn)為M點(diǎn)．點(diǎn)M即為所求．【變式3】 如圖，在△ABC的一邊AB上有一點(diǎn)P.(1)能否在另外兩邊AC和BC上各找一點(diǎn)M、N，使得△PMN的周長最短？若能，請畫出點(diǎn)M、N的位置，若不能，請說明理由；(2)若∠ACB＝52°，在(1)的條件下，求出∠MPN的度數(shù)．【答案】(1) 作圖見解析. (2) 76°.【解析】（1）分別作點(diǎn)P關(guān)于AC，BC的對稱點(diǎn)D，G，連接DG交AC、BC于點(diǎn)M、N.（2）由四邊形的內(nèi)角和求∠D+∠G=∠C，由軸對稱的性質(zhì)可得，∠D=∠DPM，∠G=∠GPN，即可求解.試題解析：(1)①作出點(diǎn)P關(guān)于AC、BC的對稱點(diǎn)D、G.②連接DG交AC、BC于點(diǎn)M、N.點(diǎn)M、N即為所求．(2)設(shè)PD交AC于E，PG交BC于F，∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C＋∠EPF＝180°.∵∠C＝52°，∴∠EPF＝128°.∵∠D＋∠G＋∠EPF＝180°，∴∠D＋∠G＝52°.由對稱可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，∴∠GPN＋∠DPM＝52°，∴∠MPN＝128°－52°＝76°.類型二、等腰三角形的綜合應(yīng)用 2．在等邊三角形ABC中,點(diǎn)E在AB上,點(diǎn)D在CB的延長線上,且AE=BD,（1）當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時,如圖1,求證:EC=ED;（2）當(dāng)點(diǎn)E不是AB的中點(diǎn)時,如圖2,過點(diǎn)E作EF//BC,求證:△AEF是等邊三角形;（3）在第(2)小題的條件下,EC與ED還相等嗎,請說明理由.【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3），見解析.【分析】（1）根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得∠ECB=30°，∠ABC=60°，根據(jù)AE=EB=BD，可得∠ECB=∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB=∠ACB=30°，根據(jù)等角對等邊即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)證得∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°，即可證得結(jié)論；（3）先求得BE=FC，然后證得△DBE≌△EFC即可.解：（1）如圖1，在等邊△ABC中，AB=BC=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，∵AE=EB=BD，∴∠ECB=∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB=∠ACB=30°，∴∠EDB=∠ECB，∴EC=ED；（2）如圖2，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°，∴△AEF為等邊三角形；（3）EC=ED；理由：∵∠AEF=∠ABC=60°，∴∠EFC=∠DBE=120°，∵AB=AC，AE=AF，∴AB-AE=AC-AF，即BE=FC，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴ED=EC．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】 如圖所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，M是AC邊的中點(diǎn)，求證△DEM是等腰三角形．【分析】根據(jù)AB=BC，AM=MC，得出BM⊥AC，且∠ABM=∠CBM=∠ABC=45°，進(jìn)而得出△ADM≌△BEM，即可得出DM=EM．證明：連接BM，∵AB＝BC，AM＝MC，∴BM⊥AC，且∠ABM＝∠CBM＝∠ABC＝45°，∵AB＝BC，所以∠A＝∠C＝＝45°，∴∠A＝∠ABM，所以AM＝BM，∵BD＝CE，AB＝BC，∴AB－BD＝BC－CE，即AD＝BE，在△ADM和△BEM中，∴△ADM≌△BEM（SAS），∴DM＝EM，∴△DEM是等腰三角形．【點(diǎn)撥】此題考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于得出BM⊥AC.【變式2】 （1）如圖1，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，AD，CE相交于點(diǎn)F，①請你猜想寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系，不用說明理由；②判斷∠AFC與∠B的數(shù)量關(guān)系，請說明理由.（2）如圖2，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中其他條件不變，請問你在（1）中所得FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系是否依然成立？請說明理由.【答案】（1）①FE=FD；②∠AFC=2∠B；（2）FE=FD仍然成立，理由見解析．【分析】（1）①首先過點(diǎn)F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，連接BF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得FM=FN，又由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，求得∠NEF=75°=∠MDF，又由∠DMF=∠ENF=90°，利用AAS，即可證得△DMF≌△ENF，由全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可證得FE=FD；②由①知∠BCE=45°，∠CDF=75°，利用三角形的外角等于與它不相鄰兩個內(nèi)角的和，可求出.（2）過點(diǎn)F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，連接BF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得FN=FM，由∠ABC=60°，即可求得∠MFN=120°，∠EFD=∠AFC=120°，繼而求得∠DFM=∠NFE，利用ASA，即可證得△DMF≌△ENF，由全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可證得FE=FD．解：（1）①如圖1，過點(diǎn)F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，連接BF，∵F是角平分線交點(diǎn)，∴BF也是角平分線，∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠BAC=30°，∴∠DAC= ∠BAC=15°，∴∠CDA=75°，∵∠MFC=45°，∠MFN=120°，∴∠NFE=15°，∴∠NEF=75°=∠MDF，在△DMF和△ENF中，∠DMF＝∠ENF，∠MDF＝∠NEF，MF=NF，∴△DMF≌△ENF(AAS)，∴FE=FD；②由①知∠BCE=45°，∠CDF=75°，所以∠AFC=120°，因?yàn)?/span>∠B=60°，所以∠AFC=2∠B.（2）如圖2，過點(diǎn)F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，連接BF，∵F是角平分線交點(diǎn)，∴BF也是角平分線，∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，∴四邊形BNFM是圓內(nèi)接四邊形，∵∠ABC=60°，∴∠MFN=180°-∠ABC=120°，∵∠CFA=180°-(∠FAC+∠FCA)=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-∠ABC)=180°- (180°-60°)=120°，∴∠DFE=∠CFA=∠MFN=120°．又∵∠MFN=∠MFD+∠DFN，∠DFE=∠DFN+∠NFE，∴∠DFM=∠NFE，在△DMF和△ENF中，∴△DMF≌△ENF(ASA)，∴FE=FD．【點(diǎn)撥】此題考查了角平分線的性質(zhì)、三角形的外角和定理、全等三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．【變式3】 已知為等邊三角形，在線段、上，且，直線與相交于．求證：①≌．②．【答案】見解析【解析】分析：①根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AB=BC，∠ABD=∠C=60°，再根據(jù)SAS可得△ABD≌△BCE；
②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出∠BAD=∠CBE，再通過三角形外角性質(zhì)即可求出∠AME的度數(shù)．詳證明：①∵為等邊三角形，∴，，在和中，，∴≌，∴．②∵≌，∴，∴，，．點(diǎn)撥：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定及性質(zhì)問題，能求出△ABD≌△BCE是解此題的關(guān)鍵．類型三、等邊三角形的綜合應(yīng)用 3．已知:在中, ,為的中點(diǎn), , ,垂足分別為點(diǎn),且.求證:是等邊三角形.【答案】證明見解析.解：分析：由等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C．再用HL證明Rt△ADE≌Rt△CDF，得到∠A=∠C，從而得到∠A=∠B=∠C，即可得到結(jié)論．詳解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C．∵DE⊥AB， DF⊥BC，∴∠DEA=∠DFC=90°．∵D為的AC中點(diǎn)，∴DA=DC．又∵DE=DF，∴RtΔAED≌RtΔCDF(HL)，∴∠A=∠C，∴∠A=∠B=∠C，∴ΔABC是等邊三角形．點(diǎn)撥：本題考查了等邊三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是證明∠A=∠C．舉一反三：【變式1】 如圖，點(diǎn)P，M，N分別在等邊△ABC的各邊上，且MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC．(1)求證：△PMN是等邊三角形；(2)若AB＝9 cm，求CM的長度．【答案】(1)見解析；（2）CM＝3cm【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠A=∠B=∠C，進(jìn)而得出∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，再根據(jù)平角的意義即可得出∠NPM=∠PMN=∠MNP，即可證得△PMN是等邊三角形；
（2）易證得△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA=BM=CN，PB=MC=AN，從而求得BM+PB=AB=9cm，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得出2PB=BM，即可求得PB的長，進(jìn)而得出CM的長．解：（1）∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠B=∠C，
∵M(jìn)P⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，
∴∠PMB=∠MNC=∠APN，
∴∠NPM=∠PMN=∠MNP，
∴△PMN是等邊三角形；
（2）根據(jù)題意△PBM≌△MCN≌△NAP，
∴PA=BM=CN，PB=MC=AN，
∴BM+PB=AB=9cm，
∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴2PB=BM，
∴2PB+PB=9cm，
∴PB=3cm，
∴CM=3cm．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，平角的意義，三角形全等的性質(zhì)等，得出∠NPM=∠PMN=∠MNP是本題的關(guān)鍵．【變式2】 如圖1，△ABD，△ACE都是等邊三角形，（1）求證：△ABE≌△ADC；（2）若∠ACD=15°，求∠AEB的度數(shù)；（3）如圖2，當(dāng)△ABD與△ACE的位置發(fā)生變化，使C、E、D三點(diǎn)在一條直線上，求證：AC∥BE．【答案】(1)見解析(2) ∠AEB=15°(3) 見解析【解析】試題分析：（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，即可得∠DAC=∠BAE，利用SAS即可判定△ABE≌△ADC；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解；（3）由（1）的方法可證得△ABE≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得∠AEB=∠ACD =60°，即可得∠AEB=∠EAC，從而得AC∥BE．試題解析：（1）證明：∵△ABD，△ACE都是等邊三角形∴AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAC=∠BAE，在△ABE和△ADC中，∴，∴△ABE≌△ADC；（2）由（1）知△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∵∠ACD=15°，∴∠AEB=15°；（3）同上可證：△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，又∵∠ACD=60°，∴∠AEB=60°，∵∠EAC=60°，∴∠AEB=∠EAC，∴AC∥BE．點(diǎn)撥：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)，證得△ABE≌△ADC是解決本題的關(guān)鍵.【變式3】 已知，M是等邊△ABC邊BC上的點(diǎn)，如圖，連接AM，過點(diǎn)M作∠AMH=60°，MH與∠ACB的鄰補(bǔ)角的平分線交于點(diǎn)H，過H作HD⊥BC于點(diǎn)D（1）求證：MA=MH（2）猜想寫出CB、CM、CD之間的數(shù)量關(guān)系式，并加以證明．【答案】（1）見解析；（2）CB=CM+2CD.分析：（1）過M點(diǎn)作MN∥AC交AB于N，然后根據(jù)全等三角形的判定“ASA”證明△AMN≌△MHC，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得MA=MH；（2）過M點(diǎn)作MG⊥AB于G，再根據(jù)全等三角形的判定“AAS”證明△BMG≌△CHD可得CD=BG，因?yàn)?/span>BM=2CD可得BC=MC+2CD．詳解：（1）如圖，過M點(diǎn)作MN∥AC交AB于N，則BM=BN，∠ANM=120°，∵AB=BC，∴AN=MC，∵CH是∠ACD的平分線，∴∠ACH=60°=∠HCD，∴∠MCH=∠ACB+∠ACH=120°，又∵∠NMC=120°，∠AMH=60°，∴∠HMC+∠AMN=60°又∵∠NAM+∠AMN=∠BNM=60°，∴∠HMC=∠MAN，在△ANM和△MCH中，，∴△AMN≌△MHC（ASA），∴MA=MH；（2）CB=CM+2CD；證明：如圖，過M作MG⊥AB于G，∵HD⊥BC，∴∠HDC=∠MGB=90°，∵△AMN≌△MHC，∴MN=HC，∵M(jìn)N=MB，∴HC=BM，在△BMG和△CHD中，，∴△BMG≌△CHD（AAS），∴CD=BG，∵△BMN為等邊三角形，∴BM=2BG，∴BM=2CD，∴BC=MC+2CD．點(diǎn)撥：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形和等邊三角形，解題時注意：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°．