專題4.1 平方根（知識(shí)講解）-八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練（蘇科版）

這是一份專題4.1 平方根（知識(shí)講解）-八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練（蘇科版），共31頁(yè)。
?專題4.1 平方根（知識(shí)講解）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．了解平方根、算術(shù)平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根．
2．了解開(kāi)方與乘方互為逆運(yùn)算，會(huì)用開(kāi)方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會(huì)用計(jì)算器求平方根．
【要點(diǎn)梳理】
1.算術(shù)平方根的定義
如果一個(gè)正數(shù)的平方等于，即,那么這個(gè)正數(shù)叫做的算術(shù)平方根（規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0）；的算術(shù)平方根記作，讀作“的算術(shù)平方根”，叫做被開(kāi)方數(shù).
特別說(shuō)明：當(dāng)式子有意義時(shí)，一定表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，即≥0，≥0.
2.平方根的定義
　 如果，那么叫做的平方根.求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方.平方與開(kāi)平方互為逆運(yùn)算. (≥0)的平方根的符號(hào)表達(dá)為，其中是的算術(shù)平方根.
知識(shí)點(diǎn)二、平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系
1．區(qū)別：（1）定義不同；（2）結(jié)果不同：和
2．聯(lián)系：（1）平方根包含算術(shù)平方根；
（2）被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)；
（3）0的平方根和算術(shù)平方根均為0．
特別說(shuō)明：（1）正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，其中正的那個(gè)叫它的算術(shù)平方根；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．
（2）正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫(xiě)出它的另一個(gè)平方根.因此，我們可以利用算術(shù)平方根來(lái)研究平方根.
知識(shí)點(diǎn)三、平方根的性質(zhì)


知識(shí)點(diǎn)四、平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律
被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動(dòng)1位.例如：，，，.

【典型例題】
類型一、求一個(gè)數(shù)的平方根
1．求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：
(1)144；　　　　　　(2)1； (3) ； (4)0.
【答案】(1)12；(2)1；(3)；（4）0.
解：（1）∵，
∴144的算術(shù)平方根是12；
（2）∵，
∴ 1的算術(shù)平方根是1；
（3）∵，
∴的算術(shù)平方根是；
（4）∵，
∴0的算術(shù)平方根是0.
【變式1】求下列各數(shù)的算術(shù)平方根.
（1）169；（2）(-1)2；（3）179；（4）-232；（5）6.
【答案】（1）169=13；（2）(-1)2=1；（3）179=43；（4）-232=23；（5）6的算術(shù)平方根是6.
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義計(jì)算即可．
解：（1）因?yàn)?32=169，所以169的算術(shù)平方根是13，即169=13.
（2）因?yàn)?2=(-1)2，所以(-1)2的算術(shù)平方根是1．即(-1)2=1．
（3）179=169，因?yàn)?32=169，所以179的算術(shù)平方根是43，即179=43.
（4）因?yàn)?32=-232，所以-232的算術(shù)平方根是23，即-232=23.
（5）因?yàn)?6)2=6，所以6的算術(shù)平方極是6.
【點(diǎn)撥】此題主要考查了算術(shù)平方根的定義，解題時(shí)注意：若一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a,則這個(gè)正數(shù)x為a的算術(shù)平方根．
【變式2】（1）若，求的算術(shù)平方根．
（2）已知一個(gè)數(shù)的兩個(gè)平方根分別是和，求這個(gè)數(shù)的立方根．
（3）若x、y都是實(shí)數(shù)，且，求的平方根．
【答案】（1）1或3；（2）4；（3）
【分析】
（1）先求出x值，得到5-x，再計(jì)算算術(shù)平方根；
（2）根據(jù)正數(shù)的平方根互為相反數(shù)可知：2a+4+a+14=0，求出a的值，代入a+14或2a+4中得出這個(gè)數(shù)，求其立方根；
（3）利用二次根式有意義的條件可得x、y的值，然后再計(jì)算出xy的值，再利用平方根可得答案．
解：（1）∵，
∴x=±4，
當(dāng)x=4時(shí)，=1，則的算術(shù)平方根為1；
當(dāng)x=-4時(shí)，=9，則的算術(shù)平方根為3；
（2）由題意可得：
，
解得：a=-6，
，
∴這個(gè)數(shù)是64，則這個(gè)數(shù)的立方根是4；
（3）由題意得：，
解得：x=，
則y=4，
∴xy=4×=2，2的平方根為：．
【點(diǎn)撥】本題考查了算術(shù)平方根，平方根和立方根，解題的關(guān)鍵是掌握各自的性質(zhì)和求法．
【變式2】已知，且為正數(shù)，求的算數(shù)平方根．
【答案】3
【分析】先求出a的平方根，根據(jù)題意求得a值，再代入求出代數(shù)式的值，即可求解．
解：由得：，
解得：，
∵為正數(shù)，
∴，
∴，
∴的算數(shù)平方根是3．
【點(diǎn)撥】本題考查平方根、算術(shù)平方根、代數(shù)式的求值，正確求出平方根和算術(shù)平方根是解答的關(guān)鍵．
類型二、利用算術(shù)平方根非負(fù)性求解
2．已知a，b，c滿足，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（1）直接寫(xiě)出a，b，c的值．_______，_______，_______．并在數(shù)軸上表示．
（2）a，b，c所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，若點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度向左運(yùn)動(dòng)；
①運(yùn)動(dòng)1.5秒后，A，C兩點(diǎn)相距幾個(gè)單位長(zhǎng)度．
②幾秒后，A，C兩點(diǎn)之間的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度．
【答案】（1）-3，1，5，數(shù)軸見(jiàn)解析；（2）①2；②1秒或3秒
【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得a，b，c，再在數(shù)軸上表示；
（2）①分別求出1.5秒后點(diǎn)A和點(diǎn)C所表示的數(shù)，再計(jì)算距離；
②分點(diǎn)A在點(diǎn)C左側(cè)，點(diǎn)A在點(diǎn)C右側(cè)兩種情況，列方程求解．
解：（1）∵，
∴a+3=0，b-1=0，c-5=0，
∴a=-3，b=1，c=5，
數(shù)軸表示如下：

（2）①由題意可得：1.5秒后，
點(diǎn)A表示的數(shù)為：-3+1.5×1=-1.5，
點(diǎn)C表示的數(shù)為：5-3×1.5=0.5，
0.5-（-1.5）=2，
∴A，C兩點(diǎn)相距2個(gè)單位長(zhǎng)度；
②設(shè)t秒后，A，C兩點(diǎn)之間的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度，
若點(diǎn)A在點(diǎn)C左側(cè)，
則-3+t+4=5-3t，
解得：t=1；
若點(diǎn)A在點(diǎn)C右側(cè)，
則-3+t=5-3t+4，
解得：t=3，
綜上：1秒或3秒后，A，C兩點(diǎn)之間的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度．
【點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)軸，一元一次方程，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解運(yùn)動(dòng)過(guò)程，掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離的表示方法．
舉一反三：
【變式1】 解答下列各題．
（1）已知，ab＜0，求（b﹣a）a的值．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）依據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可得到a，b的值，進(jìn)而得出 的值．
（2）依據(jù)二次根式有意義的條件，即可得到x和y的值，進(jìn)而得到的值．
解：（1）∵，
∴，
解得 ，
又∵ab＜0，
∴ ，
∴＝[3﹣(﹣2)]-2＝5-2＝．
（2）∵，
∴，
解得x＝5，
∴y＝1，
∴==5．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次根式有意義的條件以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，任意一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的絕對(duì)值相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．
【變式2】先化簡(jiǎn)，再求值：，其中與互為相反數(shù)．
【答案】ab；-6．
【分析】原式去括號(hào)合并得到最簡(jiǎn)結(jié)果，利用相反數(shù)及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值，代入計(jì)算即可求出值．
解：原式=2a2-2ab-（2a2-3ab）
=2a2-2ab-2a2+3ab
= ab，
∵與互為相反數(shù)，
∴|a+2|+=0，
∴a+2=0，，
解得：a=-2，，
當(dāng)a=-2，b=3時(shí)，
原式=-6．
【點(diǎn)撥】此題考查了整式的加減-化簡(jiǎn)求值，以及算術(shù)平方根的非負(fù)性，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
類型三、求算術(shù)平方根的整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分
3．已知a為的整數(shù)部分，b－1是400的算術(shù)平方根，求的值．
【答案】6
試題分析：首先得出的范圍進(jìn)而得出a的值，進(jìn)而利用算術(shù)平方根的定義得出b的值，即可得出答案．
試題解析：
解：∵a為的整數(shù)部分，＜＜，
∴a＝15，
∵b－1是400的算術(shù)平方根，
∴b－1＝20，
解得：b＝21，
∴＝＝6．
【點(diǎn)撥】：此題主要考查了估計(jì)無(wú)理數(shù)大小以及算術(shù)平方根，得出a的值是解題關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】 設(shè)2+的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別是x、y，試求x、y的值與x-1的算術(shù)平方根．
【答案】．
試題分析：先找到介于哪兩個(gè)整數(shù)之間，從而找到整數(shù)部分，小數(shù)部分讓原數(shù)減去整數(shù)部分，然后代入求值即可．
解：因?yàn)?＜6＜9，所以2＜＜3，
即的整數(shù)部分是2，
所以2+的整數(shù)部分是4，小數(shù)部分是2+-4=-2，
即x=4，y=-2，所以=．
考點(diǎn)：1．估算無(wú)理數(shù)的大??；2．算術(shù)平方根．
【變式2】已知＝3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整數(shù)部分，求a+b+3c的平方根．
【答案】a =5、 b =2、c =6；a+b+3c的平方根是±5
解：分析：根據(jù)求出a的值，根據(jù)3a+b-1的平方根是±4求出b的值，根據(jù)c是的整數(shù)部分求出c的值，把求得的值代入a+b+3c，然后求出入a+b+3c的平方根即可.
詳解：∵，
∴，
a=5；
∵3a+b-1的平方根是±4，
∴3a+b-1=16，
b=2;
∵c是的整數(shù)部分,6