九年級(jí)下冊(cè)人教版第二十七章第二節(jié)相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用--知識(shí)講解（提高）學(xué)案

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相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用--知識(shí)講解（提高）                              【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、探索相似三角形的性質(zhì)，能運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；2、通過(guò)典型實(shí)例認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中物體的相似，能運(yùn)用圖形相似的知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題（如何把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題）.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相似三角形的性質(zhì)1．相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.2. 相似三角形中的重要線段的比等于相似比.     相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.要點(diǎn)詮釋：要特別注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段.3. 相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比 ∽，則由比例性質(zhì)可得： 4. 相似三角形面積的比等于相似比的平方∽，則分別作出與的高和，則      要點(diǎn)詮釋：相似三角形的性質(zhì)是通過(guò)比例線段的性質(zhì)推證出來(lái)的.要點(diǎn)二、相似三角形的應(yīng)用1.測(cè)量高度測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常使用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比例相等”的原理解決. 要點(diǎn)詮釋：測(cè)量旗桿的高度的幾種方法：      平面鏡測(cè)量法      影子測(cè)量法      手臂測(cè)量法       標(biāo)桿測(cè)量法2.測(cè)量距離測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常構(gòu)造如下兩種相似三角形求解。
　1．如甲圖所示，通?？上葴y(cè)量圖中的線段DC、BD、CE的距離（長(zhǎng)度），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出AB的長(zhǎng). 2．如乙圖所示，可先測(cè)AC、DC及DE的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算AB的長(zhǎng).
　　 要點(diǎn)詮釋：　1．比例尺：表示圖上距離比實(shí)地距離縮小的程度，比例尺= 圖上距離/ 實(shí)際距離;
　　2．太陽(yáng)離我們非常遙遠(yuǎn)，因此可以把太陽(yáng)光近似看成平行光線．在同一時(shí)刻，兩物體影子之比等于其對(duì)應(yīng)高的比;
　　3．視點(diǎn)：觀察事物的著眼點(diǎn)（一般指觀察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：觀察者向上（下）看時(shí)，視線與水平方向的夾角．
【典型例題】類型一、相似三角形的性質(zhì)
1.如圖，直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別為6、8，按如圖那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為DE，則S△BCE：S△BDE等于（   ）
　　A. 2：5　　　 B．14:25　　　 C．16:25　　　 D. 4:21
　　　　　　　
【思路點(diǎn)撥】相似三角形的面積比等于相似比的平方，但是一定要注意兩個(gè)三角形是否相似.【答案】B.【解析】由已知可得AB=10，AD=BD=5，設(shè)AE=BE=x, 則CE=8-x,
　　　　在Rt△BCE中，x2-(8-x)2=62,x=,
　　　　由△ADE∽△ACB得，
　　　　S△BCE：S△BDE=（64-25-25）：25=14:25，所以選B.【總結(jié)升華】關(guān)鍵是要確定哪兩個(gè)是相似三角形.舉一反三【變式】在銳角△ABC中，AD,CE分別為BC,AB邊上的高，△ABC和△BDE的面積分別等于18和2，DE=2,求AC邊上的高.【答案】過(guò)點(diǎn)B做BF⊥AC,垂足為點(diǎn)F， ∵AD,CE分別為BC,AB邊上的高，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴Rt△ADB∽Rt△CEB,∴,且∠B=∠B，∴△EBD∽△CBA,∴,∴,又∵DE=2，∴AC=6，∴2.已知：如圖，在△ABC與△CAD中，DA∥BC，CD與AB相交于E點(diǎn)，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F點(diǎn)，△ADE的面積為1，求△BCE和△AEF的面積．
　　　　　　　　【答案與解析】∵DA∥BC，
　　　　     ∴△ADE∽△BCE．
　　　　     ∴S△ADE:S△BCE=AE2:BE2．
　　　　     ∵AE︰BE=1:2，
　　　    　 ∴S△ADE:S△BCE=1:4．
　　　    　 ∵S△ADE=1，
　　　    　 ∴S△BCE=4．
　　　　     ∵S△ABC:S△BCE=AB:BE=3:2，
　　　　     ∴S△ABC=6．
　　　　     ∵EF∥BC，
　　　　     ∴△AEF∽△ABC．
　　　　     ∵AE:AB=1:3，
　　　　     ∴S△AEF:S△ABC=AE2:AB2=1:9．
　　　　     ∴S△AEF==．
　【總結(jié)升華】注意，同底(或等底)三角形的面積比等于該底上的高的比；同高(或等高)三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)底邊的比．當(dāng)兩個(gè)三角形相似時(shí)，它們的面積比等于對(duì)應(yīng)線段比的平方，即相似比的平方．舉一反三：【高清課程名稱：相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用     高清ID號(hào)：  394500關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例題分析2】
【變式】如圖，已知中，，，，，點(diǎn)在上，        (與點(diǎn)不重合)，點(diǎn)在上.(1)當(dāng)的面積與四邊形的面積相等時(shí)，求的長(zhǎng).
　　(2)當(dāng)的周長(zhǎng)與四邊形的周長(zhǎng)相等時(shí)，求的長(zhǎng).
    【答案】  (1)∵，
　　　　　    ∽
　　　　　   .
　　　  　 (2)∵的周長(zhǎng)與四邊形的周長(zhǎng)相等.
　　　　　  =6，
　　　　　  ∽
　　　　　  .
　　　　      類型二、相似三角形的應(yīng)用3.（2015春?江津區(qū)校級(jí)月考）如圖，直立在B處的標(biāo)桿AB=2.4m，直立在F處的觀測(cè)者從E處看到標(biāo)桿頂A、樹(shù)頂C在同一條直線上（點(diǎn)F，B，D也在同一條直線上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求樹(shù)高CD．【答案與解析】解：過(guò)E作EH⊥CD交CD于H點(diǎn)，交AB于點(diǎn)G，如下圖所示：由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴四邊形EFDH為矩形，∴EF=GB=DH=1.5米，EG=FB=2.5米，GH=BD=8米，∴AG=AB﹣GB=2.4﹣1.5=0.9米，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴AG∥CH，∴△AEG∽△CEH，∴=，∴=，解得：CH=3.78米，∴DC=CH+DH=3.78+1.5=5.28米．答：故樹(shù)高DC為5.2米．【總結(jié)升華】本題考查了相似三角形在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用，關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形．舉一反三：
【變式】已知：如圖，陽(yáng)光通過(guò)窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下1.5m寬的亮區(qū)DE.亮區(qū)一邊到窗下的墻腳距離CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底邊離地面的高度BC.
　　　　　　　【答案】作EF⊥DC交AD于F.∵AD∥BE，∴又∵，
　　　  ∴，∴.
　　　  ∵AB∥EF， AD∥BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∴EF=AB=1.8m.
　　　  ∴m.　4.（2015?齊齊哈爾）如圖，正方形ABCB1中，AB=1．AB與直線l的夾角為30°，延長(zhǎng)CB1交直線l于點(diǎn)A1，作正方形A1B1C1B2，延長(zhǎng)C1B2交直線l于點(diǎn)A2，作正方形A2B2C2B3，延長(zhǎng)C2B3交直線l于點(diǎn)A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此規(guī)律，則A2014A2015=　      　．【思路點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，根據(jù)已知條件得到A1B1=，AA1=2，同理：A2A3=2（）2，A3A4=2（）3，從而找出規(guī)律答案即可求出．菁優(yōu)【答案與解析】2（）2014 解：∵四邊形ABCB1是正方形，∴AB=AB1，AB∥CB1，∴AB∥A1C，∴∠CA1A=30°，∴A1B1=，AA1=2，∴A1B2=A1B1=，∴A1A2=2，同理：A2A3=2（）2，A3A4=2（）3，…∴AnAn+1=2（）n，∴A2014A2015=2（）2014，故答案為：2（）2014．【總結(jié)升華】本題是相似性質(zhì)的運(yùn)用與找規(guī)律相結(jié)合的一道題，要注意從特殊到一般形式的變換規(guī)律.