高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A選修2-21.5定積分的概念教學(xué)設(shè)計

這是一份高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A選修2-21.5定積分的概念教學(xué)設(shè)計，共4頁。
教學(xué)目標(biāo)：
1.通過求曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程，了解定積分的背景；
2.借助于幾何直觀定積分的基本思想，了解定積分的概念，能用定積分定義求簡單的定積分；
3.理解掌握定積分的幾何意義．
教學(xué)重點：定積分的概念、用定義求簡單的定積分、定積分的幾何意義．
教學(xué)難點：定積分的概念、定積分的幾何意義．
教學(xué)過程：
一．創(chuàng)設(shè)情景
復(fù)習(xí)：
1． 回憶前面曲邊梯形的面積，汽車行駛的路程等問題的解決方法，解決步驟：
分割→近似代替(以直代曲)→求和→取極限（逼近）
2．對這四個步驟再以分析、理解、歸納，找出共同點．
二．新課講授
1．定積分的概念
一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點
將區(qū)間等分成個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為（），在每個小區(qū)間上任取一點，作和式：
如果無限接近于（亦即）時，上述和式無限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分。記為：，
其中積分號，－積分上限，－積分下限，－被積函數(shù)，－積分變量，－積分區(qū)間，－被積式。
說明：（1）定積分是一個常數(shù)，即無限趨近的常數(shù)（時）記為，而不是．
（2）用定義求定積分的一般方法是：①分割：等分區(qū)間；②近似代替：取點；③求和：；④取極限：
（3）曲邊圖形面積：；變速運動路程；變力做功
2．定積分的幾何意義
從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形(如圖中的陰影部分)的面積，這就是定積分的幾何意義。
說明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖形以及直線之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號，在軸下方的面積去負(fù)號。
分析：一般的，設(shè)被積函數(shù)，若在上可取負(fù)值。
考察和式
不妨設(shè)
于是和式即為
陰影的面積—陰影的面積（即軸上方面積減軸下方的面積）
思考：根據(jù)定積分的幾何意義，你能用定積分表示圖中陰影部分的面積S嗎？
3．定積分的性質(zhì)
根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)：
性質(zhì)1；
性質(zhì)2（定積分的線性性質(zhì)）；
性質(zhì)3（定積分的線性性質(zhì)）；
性質(zhì)4（定積分對積分區(qū)間的可加性）
(1) ； (2) ；
說明：①推廣：
②推廣:
③性質(zhì)解釋：
性質(zhì)4
性質(zhì)1
三．典例分析
例1．利用定積分的定義，計算的值。
分析：令；
（１）分割
把區(qū)間n等分，則第i個區(qū)間為：，每個小區(qū)間長度為：；
（２）近似代替、求和
取，則（３）取極限
.
例2．計算定積分
1
2
y
x
O
分析：所求定積分是所圍成的梯形面積，即為如圖陰影部分面積，面積為。
即：
思考：若改為計算定積分呢？
改變了積分上、下限，被積函數(shù)在上
出現(xiàn)了負(fù)值如何解決呢？（后面解決的問題）
例３．計算定積分
分析：利用定積分性質(zhì)有，
利用定積分的定義分別求出，，就能得到的值。
四．課堂練習(xí)
計算下列定積分
1．
2．
3．課本練習(xí)：計算的值，并從幾何上解釋這個值表示什么？
五．回顧總結(jié)
1．定積分的概念、用定義法求簡單的定積分、定積分的幾何意義．
六．布置作業(yè)
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