人教版新課標(biāo)B選修2-32.1.1離散型隨機(jī)變量教案

這是一份人教版新課標(biāo)B選修2-32.1.1離散型隨機(jī)變量教案，共10頁。教案主要包含了復(fù)習(xí)引入，講解新課，講解范例，課堂練習(xí)，小結(jié) ，課后作業(yè)，板書設(shè)計，教學(xué)反思等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2．3．1離散型隨機(jī)變量的期望教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：了解離散型隨機(jī)變量的均值或期望的意義，會根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值或期望．過程與方法：理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξB（n,p），則Eξ=np”.能熟練地應(yīng)用它們求相應(yīng)的離散型隨機(jī)變量的均值或期望。情感、態(tài)度與價值觀：承前啟后，感悟數(shù)學(xué)與生活的和諧之美 ,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化功能與人文價值。 教學(xué)重點：離散型隨機(jī)變量的均值或期望的概念教學(xué)難點：根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值或期望授課類型：新授課 課時安排：2課時 教    具：多媒體、實物投影儀 教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1.隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示2. 離散型隨機(jī)變量:對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量   3．連續(xù)型隨機(jī)變量: 對于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量   4.離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系: 離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出   若是隨機(jī)變量，是常數(shù)，則也是隨機(jī)變量并且不改變其屬性（離散型、連續(xù)型）     5. 分布列:設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取得值為x1，x2，…，x3，…，ξ取每一個值xi（i=1，2，…）的概率為，則稱表ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…為隨機(jī)變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列 6. 分布列的兩個性質(zhì)： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1．7.離散型隨機(jī)變量的二項分布:在一次隨機(jī)試驗中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)ξ是一個隨機(jī)變量．如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是，（k＝0,1,2,…，n，）．于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布如下：ξ01…k…nP……稱這樣的隨機(jī)變量ξ服從二項分布，記作ξ～B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并記＝b(k；n，p)．8. 離散型隨機(jī)變量的幾何分布：在獨立重復(fù)試驗中，某事件第一次發(fā)生時，所作試驗的次數(shù)ξ也是一個正整數(shù)的離散型隨機(jī)變量．“”表示在第k次獨立重復(fù)試驗時事件第一次發(fā)生.如果把k次試驗時事件A發(fā)生記為、事件A不發(fā)生記為，P()=p，P()=q(q=1-p)，那么（k＝0,1,2,…， ）．于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布如下：ξ123…k…P……稱這樣的隨機(jī)變量ξ服從幾何分布記作g(k，p)= ，其中k＝0,1,2,…， ．二、講解新課：根據(jù)已知隨機(jī)變量的分布列，我們可以方便的得出隨機(jī)變量的某些制定的概率，但分布列的用途遠(yuǎn)不止于此，例如：已知某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下ξ45678910P0.020.040.060.090.280.290.22在n次射擊之前，可以根據(jù)這個分布列估計n次射擊的平均環(huán)數(shù)．這就是我們今天要學(xué)習(xí)的離散型隨機(jī)變量的均值或期望 根據(jù)射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列，我們可以估計，在n次射擊中，預(yù)計大約有　　　　次得4環(huán)；　　　　次得5環(huán)；…………　　次得10環(huán)．故在n次射擊的總環(huán)數(shù)大約為，從而，預(yù)計n次射擊的平均環(huán)數(shù)約為．這是一個由射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列得到的，只與射擊環(huán)數(shù)的可能取值及其相應(yīng)的概率有關(guān)的常數(shù)，它反映了射手射擊的平均水平．對于任一射手，若已知其射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列，即已知各個（i=0，1，2，…，10），我們可以同樣預(yù)計他任意n次射擊的平均環(huán)數(shù):…．1. 均值或數(shù)學(xué)期望:  一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱 ……  為ξ的均值或數(shù)學(xué)期望，簡稱期望．　　2. 均值或數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平 3. 平均數(shù)、均值:一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令…，則有…，…，所以ξ的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值 4. 均值或期望的一個性質(zhì):若(a、b是常數(shù))，ξ是隨機(jī)變量，則η也是隨機(jī)變量，它們的分布列為ξx1x2…xn…η……Pp1p2…pn…于是……       ＝……)……)       ＝，由此，我們得到了期望的一個性質(zhì):5.若ξB（n,p），則Eξ=np 證明如下：∵　，∴　0×＋1×＋2×＋…＋k×＋…＋n×．又∵  ，  ∴  ＋＋…＋＋…＋．故　　若ξ～B(n，p)，則np．三、講解范例：例1. 籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知他命中的概率為0.7，求他罰球一次得分的期望解：因為，所以例2. 一次單元測驗由20個選擇題構(gòu)成，每個選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分學(xué)生甲選對任一題的概率為0.9，學(xué)生乙則在測驗中對每題都從4個選擇中隨機(jī)地選擇一個，求學(xué)生甲和乙在這次英語單元測驗中的成績的期望 解：設(shè)學(xué)生甲和乙在這次英語測驗中正確答案的選擇題個數(shù)分別是，則~ B（20,0.9）,, 由于答對每題得5分，學(xué)生甲和乙在這次英語測驗中的成績分別是5和5所以，他們在測驗中的成績的期望分別是： 例3. 根據(jù)氣象預(yù)報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25,有大洪水的概率為0. 01．該地區(qū)某工地上有一臺大型設(shè)備，遇到大洪水時要損失60 000元，遇到小洪水時要損失10000元．為保護(hù)設(shè)備，有以下3 種方案：方案1：運走設(shè)備，搬運費為3 800 元． 方案2：建保護(hù)圍墻，建設(shè)費為2 000 元．但圍墻只能防小洪水．方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水．試比較哪一種方案好．解：用X1 、X2和X3分別表示三種方案的損失．采用第1種方案，無論有無洪水，都損失3 800 元，即X1 = 3 800 . 采用第2 種方案，遇到大洪水時，損失2 000 + 60 000=62 000 元；沒有大洪水時，損失2 000 元，即同樣，采用第 3 種方案，有于是， EX1＝3 800 , EX2＝62 000×P (X2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X2 = 2 000 ) = 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 , EX3 = 60000×P (X3 = 60000) + 10 000×P(X3 =10 000 ) + 0×P (X3 =0) = 60 000×0.01 + 10000×0.25=3100 . 采取方案2的平均損失最小，所以可以選擇方案2 . 值得注意的是，上述結(jié)論是通過比較“平均損失”而得出的．一般地，我們可以這樣來理解“平均損失”：假設(shè)問題中的氣象情況多次發(fā)生，那么采用方案 2 將會使損失減到最?。捎诤樗欠癜l(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機(jī)的，所以對于個別的一次決策，采用方案 2 也不一定是最好的．例4.隨機(jī)拋擲一枚骰子，求所得骰子點數(shù)的期望解：∵，=3.5例5.有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品，其次品率是15%，對這批產(chǎn)品進(jìn)行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查，直到抽出次品為止，但抽查次數(shù)不超過10次求抽查次數(shù)的期望（結(jié)果保留三個有效數(shù)字）解：抽查次數(shù)取110的整數(shù)，從這批數(shù)量很大的產(chǎn)品中抽出1件檢查的試驗可以認(rèn)為是彼此獨立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前次取出正品而第次（=1，2，…，10）取出次品的概率：（=1，2，…，10）需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：由此可得的概率分布如下：123456789100.150.12750.10840.0920.07830.06660.05660.04810.04090.2316根據(jù)以上的概率分布，可得的期望例6.隨機(jī)的拋擲一個骰子，求所得骰子的點數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望．解：拋擲骰子所得點數(shù)ξ的概率分布為ξ123456P所以    1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5．拋擲骰子所得點數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．例7.某城市出租汽車的起步價為10元，行駛路程不超出4km時租車費為10元，若行駛路程超出4km，則按每超出lkm加收2元計費(超出不足lkm的部分按lkm計)．從這個城市的民航機(jī)場到某賓館的路程為15km．某司機(jī)經(jīng)常駕車在機(jī)場與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同以及途中停車時間要轉(zhuǎn)換成行車路程(這個城市規(guī)定，每停車5分鐘按lkm路程計費)，這個司機(jī)一次接送旅客的行車路程ξ是一個隨機(jī)變量．設(shè)他所收租車費為η(Ⅰ)求租車費η關(guān)于行車路程ξ的關(guān)系式；(Ⅱ)若隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ15161718P0.10.50.30.1求所收租車費η的數(shù)學(xué)期望．(Ⅲ)已知某旅客實付租車費38元，而出租汽車實際行駛了15km，問出租車在途中因故停車?yán)塾嬜疃鄮追昼?/span>?解：(Ⅰ)依題意得　η=2(ξ-4)十10，即　η=2ξ+2；(Ⅱ)∵  η=2ξ+2∴  2Eξ+2=34.8  （元）故所收租車費η的數(shù)學(xué)期望為34.8元．　　(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5(18-15)=15　　所以出租車在途中因故停車?yán)塾嬜疃?/span>15分鐘 四、課堂練習(xí)：1. 口袋中有5只球，編號為1，2，3，4，5，從中任取3球，以表示取出球的最大號碼，則（      ）A．4；　　B．5；　　C．4.5；　　D．4.75答案：C  2. 籃球運動員在比賽中每次罰球命中的1分，罰不中得0分．已知某運動員罰球命中的概率為0.7，求⑴他罰球1次的得分ξ的數(shù)學(xué)期望；⑵他罰球2次的得分η的數(shù)學(xué)期望；⑶他罰球3次的得分ξ的數(shù)學(xué)期望．解：⑴因為，，所以1×＋0×⑵η的概率分布為η012P所以    0×＋1×＋2×＝1.4．    ⑶ξ的概率分布為ξ０１23P　　　所以  0×＋1×＋2×＝2.1.3．設(shè)有m升水，其中含有大腸桿菌n個．今取水1升進(jìn)行化驗，設(shè)其中含有大腸桿菌的個數(shù)為ξ，求ξ的數(shù)學(xué)期望．分析：任取1升水，此升水中含一個大腸桿菌的概率是，事件“ξ=k”發(fā)生，即n個大腸桿菌中恰有k個在此升水中，由n次獨立重復(fù)實驗中事件A（在此升水中含一個大腸桿菌）恰好發(fā)生k次的概率計算方法可求出P(ξ=k),進(jìn)而可求Eξ.　　解：記事件A：“在所取的1升水中含一個大腸桿菌”，則P(A)=．　　　　∴　P(ξ=k)=Pn(k)=C)k(1－)n－k（k=0,1,2,….,n）．　　∴　ξ～B(n,)，故　Eξ =n×=   五、小結(jié) ：(1)離散型隨機(jī)變量的期望，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平；(2)求離散型隨機(jī)變量ξ的期望的基本步驟：①理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；②求ξ取各個值的概率，寫出分布列；③根據(jù)分布列，由期望的定義求出Eξ  公式E（aξ+b）= aEξ+b，以及服從二項分布的隨機(jī)變量的期望Eξ=np 六、課后作業(yè)：P64-65練習(xí)1,2,3,4  P69 A組1,2,31.一袋子里裝有大小相同的3個紅球和兩個黃球，從中同時取出2個，則其中含紅球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望是          （用數(shù)字作答）解：令取取黃球個數(shù) (=0、1、2)則的要布列為 012p于是 E（）=0×+1×+2×=0.8故知紅球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為1.22.袋中有4個黑球、3個白球、2個紅球，從中任取2個球，每取到一個黑球記0分，每取到一個白球記1分，每取到一個紅球記2分，用表示得分?jǐn)?shù)①求的概率分布列②求的數(shù)學(xué)期望解：①依題意的取值為0、1、2、3、4=0時，取2黑          p(=0)==1時，取1黑1白      p(=1)==2時，取2白或1紅1黑p(=2)= +=3時，取1白1紅，概率p(=3)= =4時，取2紅，概率p(=4)=  01234p  ∴分布列為  （2）期望E=0×+1×+2×+3×+4×=3.學(xué)校新進(jìn)了三臺投影儀用于多媒體教學(xué)，為保證設(shè)備正常工作，事先進(jìn)行獨立試驗，已知各設(shè)備產(chǎn)生故障的概率分別為p1、p2、p3，求試驗中三臺投影儀產(chǎn)生故障的數(shù)學(xué)期望解：設(shè)表示產(chǎn)生故障的儀器數(shù)，Ai表示第i臺儀器出現(xiàn)故障（i=1、2、3）表示第i臺儀器不出現(xiàn)故障，則：p(=1)=p(A1··)+ p(·A2·)+ p(··A3)=p1(1－p2) (1－p3)+ p2(1－p1) (1－p3)+ p3(1－p1) (1－p2)= p1+ p2+p3－2p1p2－2p2p3－2p3p1+3p1p2p3p(=2)=p(A1· A2·)+ p(A1··)+ p(·A2·A3)  = p1p2 (1－p3)+ p1p3(1－p2)+ p2p3(1－p1)= p1p2+ p1p3+ p2p3－3p1p2p3p(=3)=p(A1· A2·A3)= p1p2p3       ∴=1×p(=1)+2×p(=2)+3×p(=3)= p1+p2+p3 注：要充分運用分類討論的思想，分別求出三臺儀器中有一、二、三臺發(fā)生故障的概率后再求期望4.一個袋子里裝有大小相同的3個紅球和2個黃球，從中同時取出2個，含紅球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望是   1.2   解：從5個球中同時取出2個球，出現(xiàn)紅球的分布列為012P5.  、兩個代表隊進(jìn)行乒乓球?qū)官?，每隊三名隊員，隊隊員是，隊隊員是，按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負(fù)概率如下：對陣隊員A隊隊員勝的概率B隊隊員勝的概率A­1­對B1A­2­對B2A­3­對B3現(xiàn)按表中對陣方式出場，每場勝隊得1分，負(fù)隊得0分，設(shè)隊，隊最后所得分分別為，（1）求，的概率分布；     （2）求，解：（Ⅰ），的可能取值分別為3，2，1，0根據(jù)題意知，所以（Ⅱ）；因為,所以 七、板書設(shè)計（略） 八、教學(xué)反思：    (1)離散型隨機(jī)變量的期望，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平；(2)求離散型隨機(jī)變量ξ的期望的基本步驟：①理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；②求ξ取各個值的概率，寫出分布列；③根據(jù)分布列，由期望的定義求出Eξ  公式E（aξ+b）= aEξ+b，以及服從二項分布的隨機(jī)變量的期望Eξ=np 。