人教B版 (2019)必修 第四冊第十一章 立體幾何初步本章綜合與測試課時練習(xí)

這是一份人教B版 (2019)必修 第四冊第十一章 立體幾何初步本章綜合與測試課時練習(xí)，共18頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
第Ⅰ卷(選擇題，共60分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．已知a，b是兩條異面直線，c∥a，那么c與b的位置關(guān)系( )
A．一定是異面B．一定是相交
C．不可能相交D．不可能平行
2．已知直線m，n，平面α，β，給出下列命題：
①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，則α⊥β
②若m∥α，n∥β，且m∥n，則α∥β
③若m⊥α，n∥β，且m⊥n，則α⊥β
④若m⊥α，n∥β，且m∥n，則α⊥β
其中正確的命題是( )
A．②③B．①③
C．①④D．③④
3．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點M為A1D1中點，則異面直線AM與CD1所成角的余弦值為( )
A.eq \f(\r(10),5) B.eq \f(\r(5),5)
C.eq \f(\r(10),10)D.eq \f(\r(5),2)
4．如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1的體積為V1，E為棱CC1上的點，且CE＝eq \f(1,3)CC1，三棱錐E－BCD的體積為V2，則eq \f(V2,V1)＝( )
A.eq \f(1,3)B.eq \f(1,6)
C.eq \f(1,9)D.eq \f(1,18)
5.一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，這個圓柱全面積與側(cè)面積的比為( )
A.eq \f(1＋2π,2π)B.eq \f(1＋4π,4π)
C.eq \f(1＋2π,π)D.eq \f(1＋4π,2π)
6．若l、m、n是互不重合的直線，α、β是不重合的平面，則下列命題中為真命題的是( )
A．若α⊥β，l?α，n?β，則l⊥n
B．若l⊥α，l∥β，則α⊥β
C．若l⊥n，m⊥n，則l∥m
D．若α⊥β，l?α，則l⊥β
7．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有( )
A．14斛B．22斛
C．36斛D．66斛
8．已知長方體的長、寬、高分別是3,4,5，且它的8個頂點都在同一球面上，則這個球的表面積是( )
A．25πB．50π
C．125πD．都不對
9．如圖所示，在三棱錐S－MNP中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱SN，SP，MN，MP的中點，則EF與HG的位置關(guān)系是( )
A．平行 B．相交
C．異面D．平行或異面
10．如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC與BD的中點，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，則EF與CD所成的角為( )
A．30°B．45°
C．60°D．90°
11．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為AD1，B1C上的動點，且滿足AP＝B1Q，則下列4個命題中，所有正確命題的序號是( )
①存在P，Q的某一位置，使AB∥PQ
②△BPQ的面積為定值
③當(dāng)PA>0時，直線PB1與直線AQ一定異面
④無論P，Q運動到何位置，均有BC⊥PQ
A．①②④B．①③
C．②④D．①③④
12．用長度分別是2,3,5,6,9(單位：cm)的五根木棒連接(只允許連接，不允許折斷)，組成共頂點的長方體的三條棱，則能夠得到的長方體的最大表面積為( )
A．258cm2B．414cm2
C．416cm2D．418cm2
第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中橫線上)
13．一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與某一個球的直徑相等，這時圓柱、圓錐、球的體積之比為________．
14．如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)．我們來重溫這個偉大發(fā)現(xiàn)，圓柱的體積與球的體積之比為________，圓柱的表面積與球的表面積之比為________．
15．一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論
①AB⊥EF;
②AB與CM所成的角為60°；
③EF與MN是異面直線；
④MN∥CD.
以上四個命題中，正確命題的序號是________.
16．已知球O是三棱錐P－ABC的外接球，△ABC是邊長為2eq \r(3)的正三角形，PA⊥平面ABC，若三棱錐P－ABC的體積為2eq \r(3)，則球O的表面積為________．
三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分10分)如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥面ABCD，E是PC的中點．
求證：(1)PA∥平面BDE；
(2)平面PAC⊥平面BDE.
18．(本小題滿分12分)如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點．
(1)證明：平面AMD⊥平面BMC；
(2)在線段AM上是否存在點P，使得MC∥平面PBD？說明理由．
19．(本小題滿分12分)如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.
(1)證明：AC⊥BD；
(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD.若E為棱BD上與D不重合的點，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比．
20．(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，D，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1，B1C1的中點．求證：
(1)直線A1F∥平面ADE；
(2)平面ADE⊥平面BCC1B1.
21．(本小題滿分12分)如圖，已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1.
(1)證明：D1A∥平面C1BD；
(2)求異面直線BC1與AA1所成的角的大??；
(3)求三棱錐B1－A1C1B的體積．
22．(本小題滿分12分)如圖，在三棱錐V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝eq \r(2)，O，M分別為AB，VA的中點．
(1)求證：VB∥平面MOC；
(2)求證：平面MOC⊥平面VAB;
(3)求三棱錐V－ABC的體積．
第十一章 章末質(zhì)量檢測(三) 立體幾何初步
1．解析：空間直線存在的位置關(guān)系為異面、平行、相交．c∥a, a，b是兩條異面直線那么一定不會平行，故選D.
答案：D
2．解析：①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，則α⊥β，正確．
∵n⊥β，且m⊥n，可得出m∥β或m?β，
又m⊥α，故可得到α⊥β.
②若m∥α，n∥β，且m∥n，則α∥β，不正確．
兩個面平行與同一條直線平行，兩平面有可能相交．
③若m⊥α，n∥β，且m⊥n，則α⊥β，不正確．
m⊥α且m⊥n，可得出n∥α或n?α，又n∥β，故不能得出α⊥β.
④若m⊥α，n∥β，且m∥n，則α⊥β，正確．
m⊥α且m∥n，可得出n⊥α，又n∥β，故得出α⊥β.
故選C.
答案：C
3.
解析：取AD的中點N，連結(jié)CN，D1N，易知AM∥ND1，故∠ND1C(或其補角)即為異面直線AM與CD1所成的角．不妨設(shè)AB＝1，則CN＝D1N＝eq \f(\r(5),2)，CD1＝eq \r(2)，故cs∠ND1C＝eq \f(\f(5,4)＋2－\f(5,4),2×\r(2)×\f(\r(5),2))＝eq \f(\r(10),5).故選A.
答案：A
4．解析：由題意，V1＝SABCD·CC1，
V2＝eq \f(1,3)S△BCD·CE＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)SABCD))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)CC1))＝eq \f(1,18)SABCD·CC1，
則eq \f(V2,V1)＝eq \f(1,18).故選D.
答案：D
5．解析：設(shè)圓柱底面積半徑為r，則高為2πr，全面積:側(cè)面積＝[(2πr)2＋2πr2]:(2πr)2
這個圓柱全面積與側(cè)面積的比為eq \f(1＋2π,2π)，故選A.
答案：A
6．解析：若α⊥β，l?α，n?β，設(shè)α∩β＝m，只要l，n與m都不垂直，則l，n不垂直，A項錯誤；l∥β，過l的平面與β的交線為m，則l∥m，又l⊥α，則m⊥α，∴β⊥α，B項正確；l⊥n，m⊥n，l與m可能相交，可能異面，也可能平行，C項錯誤；α⊥β，l?α?xí)r，l與β可能垂直，也可能不垂直，甚至可能平行，D項錯誤．故選B.
答案：B
7．解析：設(shè)圓錐底面半徑為r，則eq \f(1,4)×2×3r＝8，所以r＝eq \f(16,3)，所以米堆的體積為eq \f(1,4)×eq \f(1,3)×3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,3)))2×5＝eq \f(320,9)，故堆放的米約為eq \f(320,9)÷1.62≈22，故選B.
答案：B
8．解析：設(shè)球的半徑為R，根據(jù)長方體的對角線長等于其外接球的直徑，可得2R＝eq \r(32＋42＋52)，解得R2＝eq \f(25,2)，所以球的表面積為S球＝4πR2＝4π×eq \f(25,2)＝50π.
故選B.
答案：B
9．解析：∵E、F分別是SN和SP的中點，
∴EF∥PN.同理可證HG∥PN，
∴EF∥HG.故選A.
答案：A
10.
解析：如圖，取CB中點G，連接EG，F(xiàn)G.則EG∥AB，F(xiàn)G∥CD，∴EF與CD所成的角為∠EFG(或其補角)，又∵EF⊥AB，∴EF⊥EG.
在Rt△EFG中，EG＝eq \f(1,2)AB＝1，F(xiàn)G＝eq \f(1,2)CD＝2，
∴sin∠EFG＝eq \f(1,2)，∴∠EFG＝30°，
∴EF與CD所成的角為30°.
故選A.
答案：A
11．解析：①當(dāng)P，Q分別為棱AD1，B1C的中點時滿足，正確；
②當(dāng)P與A重合時：S△BPQ＝eq \f(1,2)a2；當(dāng)P與D1重合時：S△BPQ＝eq \f(\r(2),2)a2(a為正方體邊長)，錯誤；
③當(dāng)PA>0時，假設(shè)直線PB1與直線AQ是共面直線，則AP與B1Q共面，矛盾，正確；
④如圖所示：F，G分別為P，Q在平面內(nèi)的投影，易證BC⊥平面PFGQ，正確．
故選D.
答案：D
12．解析：設(shè)長方體的三條棱的長度為a，b，c，
所以長方體表面積S＝2(ab＋bc＋ac)≤(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a＋c)2，
取等號時有a＝b＝c，又由題意可知a＝b＝c不可能成立，
所以考慮當(dāng)a，b，c的長度最接近時，此時對應(yīng)的表面積最大，此時三邊長：8,8,9，
用2和6連接在一起形成8，用3和5連接在一起形成8，剩余一條棱長為9，
所以最大表面積為：2(8×8＋8×9＋8×9)＝416cm2.
故選C.
答案：C
13．解析：設(shè)球的半徑為r，
則V圓柱＝πr2×2r＝2πr3，V圓錐＝eq \f(1,3)πr2×2r＝eq \f(2πr3,3)，
V球＝eq \f(4,3)πr3，
所以V圓柱:V圓錐:V球＝2πr3:eq \f(2πr3,3):eq \f(4,3)πr3＝3:1:2，
故答案為3:1:2.
答案：3:1:2
14．解析：由題意，圓柱底面半徑r＝球的半徑R，
圓柱的高h＝2R，則V球＝eq \f(4,3)πR3，
V柱＝πr2h＝π·R2·2R＝2πR3.
∴eq \f(V柱,V球)＝eq \f(2πR3,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3,2).
S球＝4πR2，S柱＝2πr2＋2πrh＝2πR2＋2πR?2R＝6πR2.
∴eq \f(S柱,S球)＝eq \f(6πR2,4πR2)＝eq \f(3,2).
故答案為eq \f(3,2)，eq \f(3,2).
答案：eq \f(3,2) eq \f(3,2)
15.
解析：把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體，如圖：
則AB⊥EF，EF與MN異面，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正確．
故答案為①③.
答案：①③
16．解析：∵三棱錐P－ABC的體積為2eq \r(3)，
∴eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×(2eq \r(3))2×PA＝2eq \r(3)，∴PA＝2，
將三棱錐補成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，
球心到底面的距離d等于三棱柱的高PA的一半，
∵△ABC是邊長為2eq \r(3)的正三角形，
∴△ABC外接圓的半徑r＝2，
∴球的半徑為eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，
∴球O的表面積為4π×5＝20π.
故答案為20π
答案：20π
17.
解析：(1)連接OE
∵O是正方形ABCD的中心
∴O為AC中點，又E為PC中點
∴OE∥PA
∵OE?平面BDE，PA?平面BDE
∴PA∥平面BDE.
(2)∵O是正方形ABCD的中心，∴AC⊥BD
∵PO⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PO⊥BD
∵AC，PO?平面PAC，AC∩PO＝O，∴BD⊥平面PAC
∵BD?平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE.
18．解析：(1)由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD.
因為BC⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.
因為M為上異于C，D的點，且DC為直徑，所以DM⊥CM.
又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.
而DM?平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.
(2)當(dāng)P為AM的中點時，MC∥平面PBD.
證明如下：連結(jié)AC交BD于O.因為ABCD為矩形，所以O(shè)為AC中點．
連結(jié)OP，因為P為AM中點，所以MC∥OP.
MC?平面PBD，OP?平面PBD，所以MC∥平面PBD.
19．解析：(1)取AC的中點O，連結(jié)DO，BO.
因為AD＝CD，所以AC⊥DO.
又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.又DO∩BO＝O.
從而AC⊥平面DOB，又BD?平面DOB，故AC⊥BD.
(2)連結(jié)EO.
由(1)及題設(shè)知∠ADC＝90°，所以DO＝AO.
在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.
又AB＝BD，所以
BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.
由題設(shè)知△AEC為直角三角形，所以EO＝eq \f(1,2)AC.
又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝eq \f(1,2)BD.
故E為BD的中點，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的eq \f(1,2)，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的eq \f(1,2)，即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為11.
20.
解析：證明：(1)連結(jié)DF，∵D，F(xiàn)分別是棱BC，B1C1的中點，∴DF綊BB1綊AA1，
∴四邊形ADFA1為平行四邊形，
∴A1F∥AD，
∵AD?平面ADE，A1F?平面ADE，
∴A1F∥平面ADE.
(2)∵BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AD，
∵AB＝AC，D為BC中點，
∴BC⊥AD，又BB1∩BC＝B，
∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面BCC1B1.
21.
解析：證明：(1)∵在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB∥C1D1，且AB＝C1D1，
∴四邊形ABC1D1為平行四邊形，
∴AD1∥BC1.
又BC1?平面C1BD，AD1?平面C1BD，
∴D1A∥平面C1BD；
(2)∵AA1∥BB1，
∴異面直線BC1與AA1所成的角即為BC1與BB1所成的角，
∵∠B1BC1＝45°，
∴異面直線BC1與AA1所成的角的大小為45°.
(3)三棱錐B1－A1C1B的體積：
VB1－A1C1B＝VB－A1B1C1＝eq \f(1,3)S△A1B1C1×BB1＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×1×1＝eq \f(1,6).
22．解析：(1)證明：∵O，M分別為AB，VA的中點，
∴OM∥VB，
∵VB?平面MOC，OM?平面MOC，
∴VB∥平面MOC；
(2)證明：∵AC＝BC，O為AB的中點，
∴OC⊥AB，
又∵平面VAB⊥平面ABC，平面ABC∩平面VAB＝AB，且OC?平面ABC，
∴OC⊥平面VAB，
∵OC?平面MOC，
∴平面MOC⊥平面VAB；
(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝eq \r(2)，
所以AB＝2，OC＝1.
所以等邊三角形VAB的面積S△VAB＝eq \r(3).
又因為OC⊥平面VAB，
所以三棱錐C－VAB的體積等于eq \f(1,3)×OC×S△VAB＝eq \f(\r(3),3).
又因為三棱錐V－ABC的體積與三棱錐C－VAB的體積相等，
所以三棱錐V－ABC的體積為eq \f(\r(3),3).