高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第二冊6.1.2 向量的加法學(xué)案

這是一份高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第二冊6.1.2 向量的加法學(xué)案，共9頁。學(xué)案主要包含了學(xué)習(xí)目標(biāo)，學(xué)習(xí)重難點，學(xué)習(xí)過程，新知初探，自我檢測，達(dá)標(biāo)反饋，參考答案等內(nèi)容，歡迎下載使用。
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的幾何意義及其運算律。
2．掌握向量加法運算法則，能熟練地進(jìn)行加法運算。
3．?dāng)?shù)的加法與向量的加法的聯(lián)系與區(qū)別。
【學(xué)習(xí)重難點】
1．向量加法的概念。
2．向量加法的運算法則。
3．?dāng)?shù)與向量的類比。
【學(xué)習(xí)過程】
問題導(dǎo)學(xué)
預(yù)習(xí)教材P137－P141的內(nèi)容，思考以下問題：
1．兩個向量相加就是兩個向量的模相加嗎？
2．向量的加法如何定義？
3．在求兩向量和的運算時，通常使用哪兩個法則？
【新知初探】
1．向量加法的三角形法則
一般地，平面上任意給定兩個向量a，b，在該平面內(nèi)任取一點A，作eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，作出向量eq \(AC,\s\up6(→))，則向量eq \(AC,\s\up6(→))稱為向量a與b的和（也稱eq \(AC,\s\up6(→))為向量a與b的和向量），向量a與b的和向量記作a＋b，因此eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))。
這種求兩向量和的作圖方法也常稱為向量加法的三角形法則。
對任意向量a，有a＋0eq \a\vs4\al(＝)0＋a＝A．
向量a，b的模與a＋b的模之間滿足不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|。
2．向量加法的平行四邊形法則
一般地，平面上任意給定兩個不共線的向量a，b，在該平面內(nèi)任取一點A，作eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，以AB，AC為鄰邊作一個平行四邊形ABDC，作出向量eq \(AD,\s\up6(→))，因為eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))，因此eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))。
這種求兩向量和的作圖方法也常稱為向量加法的平行四邊形法則。
由向量加法的平行四邊形法則不難看出，向量的加法運算滿足交換律，即對于任意的向量a，b，都有a＋b＝b＋A．
3．多個向量相加
結(jié)合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。
因為向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，所以有限個向量相加的結(jié)果是唯一的，我們可以任意調(diào)換其中向量的位置，也可以任意決定相加的順序。例如
（a＋b）＋（c＋d）＝a＋[（b＋c）＋d]＝[（d＋c）＋a]＋B．
【自我檢測】
1．判斷正誤（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1）a＋（b＋c）＝（a＋b）＋C．（ ）
（2）eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝0.（ ）
（3）求任意兩個非零向量的和都可以用平行四邊形法則。（ ）
2．eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))等于（ ）
A．eq \(DB,\s\up6(→))
B．eq \(CA,\s\up6(→))
C．eq \(CD,\s\up6(→))
D．eq \(DC,\s\up6(→))
3．邊長為1的正方形ABCD中，|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))|＝（ ）
A．2
B．eq \r(2)
C．1
D．2eq \r(2)
4．如圖，在平行四邊形ABCD中，eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝________。
解析：由平行四邊形法則可知eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))。
探究點一：向量加法運算法則的應(yīng)用
1．（1）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，F(xiàn)為線段DE延長線上一點，DE∥BC，AB∥CF，連接CD，那么（在橫線上只填上一個向量）：
①eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝________；
②eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝________；
③eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FC,\s\up6(→))＝________。
（2）①如圖甲所示，求作向量和a＋B．
②如圖乙所示，求作向量和a＋b＋C．
[互動探究]
1．[變問法]在例1（1）條件下，求eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))。
解：因為BC∥DF，BD∥CF，所以四邊形BCFD是平行四邊形，所以eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))。
2．[變問法]在例1（1）圖形中求作向量eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))。
解：過A作AG∥DF，且AG＝DF交CF的延長線于點G，
則eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(DG,\s\up6(→))。作eq \(GH,\s\up6(→))＝eq \(CF,\s\up6(→))，連接eq \(DH,\s\up6(→))，
則eq \(DH,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))，如圖所示。
[規(guī)律方法]eq \a\vs4\al()eq \a\vs4\al()
（1）三角形法則可以推廣到n個向量求和，作圖時要求“首尾相連”，即n個首尾相連的向量的和對應(yīng)的向量是第一個向量的起點指向第n個向量的終點的向量。
（2）平行四邊形法則只適用于不共線的向量求和，作圖時要求兩個向量的起點重合。
（3）求作三個或三個以上的向量的和時，用三角形法則更簡單。
1．如圖，在正六邊形ABCDEF中，O是其中心。
則（1）eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝________；
（2）eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝________；
（3）eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＝________。
探究點二：向量加法運算律的應(yīng)用
2．（1）設(shè)a＝（eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))）＋（eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))），b是一個非零向量，則下列結(jié)論正確的有________。（將正確結(jié)論的序號填在橫線上）
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|。
（2）如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是梯形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，化簡下列各式：
①eq \(DG,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))；
②eq \(EG,\s\up6(→))＋eq \(CG,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(EB,\s\up6(→))。
[規(guī)律方法]eq \a\vs4\al()eq \a\vs4\al()
向量加法運算律的意義和應(yīng)用原則
（1）意義
向量加法的運算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實現(xiàn)恰當(dāng)利用向量加法法則運算的目的。實際上，由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，故多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進(jìn)行。
（2）應(yīng)用原則
利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序。
1．已知正方形ABCD的邊長等于1，則|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))|＝________。
解析：|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))|＝|（eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))）＋（eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))）|＝|eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝2|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(2)。
答案：2eq \r(2)
探究點三：向量加法的實際應(yīng)用
3．如圖，用兩根繩子把重10N的物體W吊在水平桿子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B處所受力的大?。ɡK子的重量忽略不計）。
[規(guī)律方法]eq \a\vs4\al()eq \a\vs4\al()
利用向量的加法解決實際應(yīng)用題的三個步驟
4．如圖所示，一架飛機(jī)從A地按北偏東35°的方向飛行800km到達(dá)B地接到受傷人員，然后又從B地按南偏東55°的方向飛行800km送往C地醫(yī)院，求這架飛機(jī)飛行的路程及兩次位移的和。
【達(dá)標(biāo)反饋】
1．化簡eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))等于（ ）
A．eq \(AB,\s\up6(→))
B．eq \(CE,\s\up6(→))
C．eq \(AC,\s\up6(→))
D．eq \(BE,\s\up6(→))
2．對于任意一個四邊形ABCD，下列式子不能化簡為eq \(BC,\s\up6(→))的是（ ）
A．eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))
B．eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))
C．eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))
D．eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))
3．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝1，則|eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))|＝________。
答案：1
4．若a表示“向東走8km”，b表示“向北走8km”，則|a＋b|＝________，a＋b的方向是________。
【參考答案】
【自我檢測】
1．答案：（1）√
（2）√
（3）×
2．解析：選C．。
3．答案：B
4．解析：由平行四邊形法則可知＋＝。
答案：
探究點一：向量加法運算法則的應(yīng)用
1．解析：（1）eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))；
（2）eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))；
（3）eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))。
答案：（1）eq \(AO,\s\up6(→))（2）eq \(AD,\s\up6(→))（3）eq \(OC,\s\up6(→))
2．【解】（1）由條件得，（eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))）＋（eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))）＝0＝a，故①③正確。
（2）①eq \(DG,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(GC,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(GC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(GE,\s\up6(→))；
②eq \(EG,\s\up6(→))＋eq \(CG,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \(EG,\s\up6(→))＋eq \(GD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝0.
3．【解】如圖所示，設(shè)eq \(CE,\s\up6(→))，eq \(CF,\s\up6(→))分別表示A，B所受的力，10N的重力用eq \(CG,\s\up6(→))表示，則eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(CG,\s\up6(→))。
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°。
所以|eq \(CE,\s\up6(→))|＝|eq \(CG,\s\up6(→))|·cs30°
＝10×eq \f(\r(3),2)＝5eq \r(3)，
|eq \(CF,\s\up6(→))|＝|eq \(CG,\s\up6(→))|cs60°＝10×eq \f(1,2)＝5．
所以A處所受的力為5eq \r(3)N，B處所受的力為5N。
4．解：設(shè)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))分別表示飛機(jī)從A地按北偏東35°的方向飛行800km，從B地按南偏東55°的方向飛行800km，則飛機(jī)飛行的路程指的是|eq \(AB,\s\up6(→))|＋|eq \(BC,\s\up6(→))|；
兩次飛行的位移的和指的是eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))。
依題意，有|eq \(AB,\s\up6(→))|＋|eq \(BC,\s\up6(→))|＝800＋800＝1600（km），
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以
＝800eq \r(2)（km）。
其中∠BAC＝45°，所以方向為北偏東35°＋45°＝80°。
所以飛機(jī)飛行的路程是1600km，兩次飛行的位移和的大小為800eq \r(2)km，方向為北偏東80°。
【達(dá)標(biāo)反饋】
1．解析：選C．eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))。
2．解析：選C．在A中eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))；在B中eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))；在C中eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))；在D中eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))。
3．解析：在菱形ABCD中，連接BD（圖略），
因為∠DAB＝60°，所以△BAD為等邊三角形，
又因為|eq \(AB,\s\up6(→))|＝1，所以|eq \(BD,\s\up6(→))|＝1，
|eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))|＝|eq \(BD,\s\up6(→))|＝1．
4．解析：如圖所示，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，
則a＋b＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))。
所以|a＋b|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|
＝eq \r(82＋82)＝8eq \r(2)（km），
因為∠AOB＝45°，
所以a＋b的方向是東北方向。
答案：8eq \r(2)km東北方向