高中數學人教B版 (2019)必修 第二冊4.1.1 實數指數冪及其運算學案

這是一份高中數學人教B版 (2019)必修 第二冊4.1.1 實數指數冪及其運算學案，共8頁。學案主要包含了學習目標，學習重難點，學習過程，名師點撥，自我檢測，規(guī)律方法，達標檢測，參考答案等內容，歡迎下載使用。
【學習目標】
1．理解次方根及根式的概念．正確運用根式的運算性質進行根式運算
2．學會根式與分數指數冪之間的相互轉化，掌握用有理指數冪的運算性質化簡求值
【學習重難點】
1．根式的概念及運算性質
2．實數指數冪
【學習過程】
預習教材P3-P8的內容，思考以下問題：
1．n次方根是怎樣定義的？
2．根式的定義是什么？它有哪些性質？
3．有理指數冪的含義是什么？怎樣理解分數指數冪？
4．根式與分數指數冪的互化遵循哪些規(guī)律？
5．如何利用分數指數冪的運算性質進行化簡？
一、新知初探
1．有理指數冪
（1）一般地，中的稱為底數，稱為指數．
（2）一般地，給定大于1的正整數和實數，如果存在實數，使得，則稱為的次方根．
①0的任意正整數次方根均為0，記為．
②正數的偶數次方根有兩個，它們互為相反數，其中正的方根稱為的次算術根，記為，負的方根記為；負數的偶數次方根在實數范圍內不存在．
③任意實數的奇數次方根都有且只有一個，記為．而且正數的奇數次方根是一個正數，負數的奇數次方根是一個負數．
（3）當有意義的時候，稱為根式，稱為根指數，稱為被開方數．
一般地，根式具有以下性質：．
②
（4）一般地，如果是正整數，那么：當有意義時，規(guī)定；當沒有意義時，稱沒有意義．
對于一般的正分數，也可作類似規(guī)定，即．但值得注意的是，這個式子在不是既約分數（即，有大于1的公因數）時可能會有歧義．
負分數指數冪：若是正分數，有意義且時，規(guī)定．
（5）有理指數冪的運算法則：,,．
【名師點撥】
（1）中當為奇數時，；當為偶數時，，但中．
（2）分數指數冪不可以理解為個相乘．
實數指數冪
一般地，當且是無理數時，都是一個確定的實數．因此，當時，為任意實數時，可以認為實數指數冪都有意義．
【自我檢測】
1．判斷正誤（正確的打“√”，錯誤的打“×”）
（1）當時，都有意義．（ ）
（2）任意實數都有兩個偶次方根，它們互為相反數．（ ）
（3）（ ）
（4）0的任何指數冪都等于0．（ ）
2．下列運算中，正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．化簡：________．
探究一、根式與分數指數冪的互化
（1）若有意義，則實數x的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）化簡得（ ）
A．6
B．
C．6或
D．6或或
（3）用分數指數冪表示下列各式（，）．
①；②；
③；④．
【規(guī)律方法】
根式與分數指數冪互化的規(guī)律
（1）根指數eq \(←―→,\s\up7(化為))分數指數的分母，被開方數（式）的指數eq \(←―→,\s\up7(化為))分數指數的分子．
（2）在具體計算時，通常會把根式轉化成分數指數冪的形式，然后利用有理指數冪的運算性質解題．
1．將下列根式與分數指數冪進行互化．
（1）；（2）；（3）．
探究二、根式、分數指數冪的化簡與求值
2．計算下列各式：
（1）；
（2）；
（3）．
【規(guī)律方法】
（1）化簡結果的一個要求和兩個不能
（2）冪的運算的常規(guī)方法
①化負指數冪為正指數冪．
②化根式為分數指數冪．
③化小數為分數進行運算．
3．化簡下列各式（其中字母均表示正數）．
（1）；
（2）．
探究三、指數式的條件求值問題
4．已知，求下列各式的值：
【規(guī)律方法】eq \a\vs4\al()
（1）在利用條件等式求值時，往往先將所求式子進行有目的的變形，或先對條件式加以變形，溝通所求式子與條件等式的聯(lián)系，以便用整體代入法求值．
（2）在利用整體代入的方法求值時，要注意完全平方公式的應用．
5．已知，則________．
【達標檢測】eq \a\vs4\al()
1．化簡等于（ ）
A．
B．
C．
D．0
2．下列各式中成立的一項是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．的值是（ ）
A．1
B．
C．
D．
4．計算：________．
【參考答案】
【自我檢測】
1．答案：（1）×
（2）×
（3）√
（4）×
2．解析：選D．；；
當時，無意義；
當時，．
3．解析：原式
．
答案：4
探究一、根式與分數指數冪的互化
【解】（1）選C．由負分數指數冪的意義可知，，所以，即，所以的取值范圍是．
（2）選C．原式，
（3）①原式
②原式．
③原式．
④原式
．
1．解：（1）．
（2）．
（3）．
探究二、根式、分數指數冪的化簡與求值
2．【解】（1）原式．
（2）原式．
（3）原式
．
3．解：（1）原式．
（2）原式．
探究三、指數式的條件求值問題
4．【解】（1）將兩邊平方，得，所以．
（2）將兩邊平方，得，故．
5．解析：因為，又因為，
所以．
答案：3
【達標檢測】eq \a\vs4\al()
1．解析：選A．
2．解析：選D．A中應為；B中等式左側為正數，右側為負數；C中當時不成立；D正確．
3．解析：選D．原式．
4．解析：原式
．
答案：