初中數(shù)學(xué)蘇科版九年級下冊第7章 銳角函數(shù)綜合與測試一課一練

這是一份初中數(shù)學(xué)蘇科版九年級下冊第7章 銳角函數(shù)綜合與測試一課一練，共33頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?銳角三角函數(shù)測試卷（1）
一、選擇題
1．計算：cos245°+sin245°=（　?。?br /> A． B．1 C． D．
　
2．在Rt△ABC中，各邊的長度都擴大兩倍，那么銳角A的各三角函數(shù)值（　?。?br /> A．都擴大兩倍 B．都縮小兩倍 C．不變 D．都擴大四倍
　
3．如圖，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，a、b、c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，下列結(jié)論正確的是（　?。?br />
A．csinA=a B．bcosB=c C．a(chǎn)tanA=b D．tanB=
　
4．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為邊AC的中點，DE⊥BC于點E，連接BD，則tan∠DBC的值為（　?。?br />
A． B．﹣1 C．2﹣ D．
　
5．如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則∠ABC的正切值是（　　）

A．2 B． C． D．
　
6．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，則tanB的值為（　?。?br /> A． B． C． D．
　
7．如圖，一個小球由地面沿著坡度i=1：2的坡面向上前進了10m，此時小球距離地面的高度為（　?。?br />
A．5 m B．2 m C．4 m D． m
　
8．如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，則tan∠DBE的值（　　）

A． B．2 C． D．
　
9．直角三角形兩直角邊和為7，面積為6，則斜邊長為（　?。?br /> A．5 B． C．7 D．
　
10．如圖，某飛機在空中A處探測到它的正下方地平面上目標C，此時飛行高度AC=1 200m，從飛機上看地平面指揮臺B的俯角α=30°，則飛機A與指揮臺B的距離為（　　）

A．1 200 m B．1 200 m C．1 200 m D．2 400 m
　
二、填空題
11．如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行　 　米.

　
12．如圖，有一滑梯AB，其水平寬度AC為5.3米，鉛直高度BC為2.8米，則∠A的度數(shù)約為　 ?。ㄓ每茖W(xué)計算器計算，結(jié)果精確到0.1°）.

　
13．小蘭想測量南塔的高度.她在A處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往塔的方向前進50m至B處，測得仰角為60°，那么塔高約為　 　m.（小蘭身高忽略不計，?。?br />
　
14．等腰三角形的腰長為2，腰上的高為1，則它的底角等于　 　.
　
15．如圖，已知Rt△ABC中，斜邊BC上的高AD=4，cosB=，則AC=　 　.

　
16．如圖，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，則sinA=　 .

　
17．如圖1是小志同學(xué)書桌上的一個電子相框，將其側(cè)面抽象為如圖2所示的幾何圖形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，則點B到CD的距離為_______　 　 cm（參考數(shù)據(jù)sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，結(jié)果精確到0.1cm，可用科學(xué)計算器）.

　
18．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=6，CD=9，則AB=　 .

　
三、解答題
19．計算下列各題：
(1)（2cos45°﹣sin60°）+；
(2)（﹣2）0﹣3tan30°+|﹣2|.
　
20．在數(shù)學(xué)活動課上，九年級（1）班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們測量校園內(nèi)一棵大樹（如圖）的高度，設(shè)計的方案及測量數(shù)據(jù)如下：
(1)在大樹前的平地上選擇一點A，測得由點A看大樹頂端C的仰角為35°；
(2)在點A和大樹之間選擇一點B（A，B，D在同一直線上），測得由點B看大樹頂端C的仰角恰好為45°；
(3)量出A，B兩點間的距離為4.5米.
請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出大樹CD的高度.（精確到0.1米）（可能用到的參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）

　
21．每年的5月15日是”世界助殘日”，我區(qū)時代超市門前的臺階共高出地面1.2米，為幫助殘疾人，便于輪椅行走，準備拆除臺階換成斜坡，又考慮安全，輪椅行走斜坡的坡角不得超過9°，已知此商場門前的人行道距門前垂直距離為8米(斜坡不能修在人行道上)，問此商場能否把臺階換成斜坡？（參考數(shù)據(jù)：sin9°=0.1564，cos9°=0.9877，tan9°=0.1584）

　
22．如圖，為了測量某建筑物CD的高度，先在地面上用測角儀自A處測得建筑物頂部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前進了100m，此時自B處測得建筑物頂部的仰角是45°.已知測角儀的高度是1.5m，請你計算出該建筑物的高度.（取=1.732，結(jié)果精確到1m）

　
23．已知：如圖，在山腳的A處測得山頂D的仰角為45°，沿著坡度為30°的斜角前進400米處到B處（即∠BAC=30°，AB=400米），測得D的仰角為60°，求山的高度CD.

　
24．一段路基的橫斷面是直角梯形，如圖1，已知原來坡面的坡角α的正弦值為0.6，現(xiàn)不改變土石方量，全部利用原有土石方進行坡面改造，使坡度變小，達到如右下圖2的技術(shù)要求.試求出改造后坡面的坡度是多少？

　
25．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，過點A作AE⊥CD，AE分別與CD、CB相交于點H、E，AH=2CH.
(1)求sinB的值；
(2)如果CD=，求BE的值.

　
26．如圖，在南北方向的海岸線MN上，有A、B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船c的求救信號.已知A、B兩船相距100（+3）海里，船C在船A的北偏東60°方向上，船C在船B的東南方向上，MN上有一觀測點D，測得船C正好在觀測點D的南偏東75°方向上.
(1)分別求出A與C，A與D之間的距離AC和AD（如果運算結(jié)果有根號，請保留根號）.
(2)已知距觀測點D處200海里范圍內(nèi)有暗礁．若巡邏船A沿直線AC去營救船C，在去營救的途中有無觸暗礁危險？（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）















答案
1．計算：cos245°+sin245°=（　?。?br /> A． B．1 C． D．
【考點】T5：特殊角的三角函數(shù)值．
【專題】選擇題
【難度】易
【分析】首先根據(jù)cos45°=sin45°=，分別求出cos245°、sin245°的值是多少；然后把它們求和，求出cos245°+sin245°的值是多少即可．
【解答】解：∵cos45°=sin45°=，
∴cos245°+sin245°
=
=
=1．
故選B．
【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，要熟練掌握，解答此類問題的關(guān)鍵是要明確：（1）30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值；（2）一個角正弦的平方加余弦的平方等于1．
　
2．在Rt△ABC中，各邊的長度都擴大兩倍，那么銳角A的各三角函數(shù)值（　?。?br /> A．都擴大兩倍 B．都縮小兩倍 C．不變 D．都擴大四倍
【考點】T1：銳角三角函數(shù)的定義．
【專題】選擇題
【難度】易
【分析】根據(jù)三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似，可知擴大后的三角形與原三角形相似，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等解答．
【解答】解：∵各邊的長度都擴大兩倍，
∴擴大后的三角形與Rt△ABC相似，
∴銳角A的各三角函數(shù)值都不變．
故選C．
【點評】本題考查了銳角三角形函數(shù)的定義，理清銳角的三角函數(shù)值與角度有關(guān)，與三角形中所對應(yīng)的邊的長度無關(guān)是解題的關(guān)鍵．
　
3．如圖，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，a、b、c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，下列結(jié)論正確的是（　?。?br />
A．csinA=a B．bcosB=c C．a(chǎn)tanA=b D．tanB=
【考點】T1：銳角三角函數(shù)的定義．
【專題】選擇題
【難度】易
【分析】本題可以利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可．
【解答】解：A、在Rt△ABC中，∠C=90°，
sinA=，csinA=a，正確；
B、在Rt△ABC中，∠C=90°，
cosB=，本項錯誤；
C、在Rt△ABC中，∠C=90°，
tanA=，btanA=a，本項錯誤；
D、在Rt△ABC中，∠C=90°，
tanB=，本項錯誤，
故選A．
【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義．解答此題關(guān)鍵是正確理解和運用銳角三角函數(shù)的定義．
　
4．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為邊AC的中點，DE⊥BC于點E，連接BD，則tan∠DBC的值為（　?。?br />
A． B．﹣1 C．2﹣ D．
【考點】T7：解直角三角形；KW：等腰直角三角形．
【專題】選擇題
【難度】易
【分析】利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)推知BC=AC，DE=EC=DC，然后通過解直角△DBE來求tan∠DBC的值．
【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，BC=AC．
又∵點D為邊AC的中點，
∴AD=DC=AC．
∵DE⊥BC于點E，
∴∠CDE=∠C=45°，
∴DE=EC=DC=AC．
∴tan∠DBC===．
故選A．

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、等腰直角三角形的性質(zhì)．通過解直角三角形，可求出相關(guān)的邊長或角的度數(shù)或三角函數(shù)值．
　
5．如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則∠ABC的正切值是（　　）

A．2 B． C． D．
【考點】T1：銳角三角函數(shù)的定義；KQ：勾股定理；KS：勾股定理的逆定理．
【專題】選擇題
【難度】易
【分析】根據(jù)勾股定理，可得AC、AB的長，根據(jù)正切函數(shù)的定義，可得答案．
【解答】解：如圖：，
由勾股定理，得
AC=，AB=2，BC=，
∴△ABC為直角三角形，
∴tan∠B==，
故選D．
【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，先求出AC、AB的長，再求正切函數(shù)．
　
6．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，則tanB的值為（　?。?br /> A． B． C． D．
【考點】T1：銳角三角函數(shù)的定義；T4：互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系．
【專題】選擇題
【難度】易
【分析】本題可以利用銳角三角函數(shù)的定義求解，也可以利用互為余角的三角函數(shù)關(guān)系式求解．
【解答】解：解法1：利用三角函數(shù)的定義及勾股定理求解．
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴sinA=，tanB=和a2+b2=c2．
∵sinA=，設(shè)a=3x，則c=5x，結(jié)合a2+b2=c2得b=4x．
∴tanB=．
解法2：利用同角、互為余角的三角函數(shù)關(guān)系式求解．
∵A、B互為余角，
∴cosB=sin（90°﹣B）=sinA=．
又∵sin2B+cos2B=1，
∴sinB==，
∴tanB===．
故選A．
【點評】求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過設(shè)參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，或者利用同角（或余角）的三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值．
　
7．如圖，一個小球由地面沿著坡度i=1：2的坡面向上前進了10m，此時小球距離地面的高度為（　　）

A．5 m B．2 m C．4 m D． m
【考點】T9：解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．
【專題】選擇題
【難度】易
【分析】可利用勾股定理及所給的比值得到所求的線段長．
【解答】解：∵AB=10米，tanA==．
∴設(shè)BC=x，AC=2x，
由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=2，
∴AC=4，BC=2米．
故選B．

【點評】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，能從實際問題中整理出直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．
　
8．如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，則tan∠DBE的值（　?。?br />
A． B．2 C． D．
【考點】T7：解直角三角形；L8：菱形的性質(zhì)．
【專題】選擇題
【難度】易
【分析】在直角三角形ADE中，cosA=，求得AD，AE．再求得DE，即可得到tan∠DBE=．
【解答】解：設(shè)菱形ABCD邊長為t．
∵BE=2，
∴AE=t﹣2．
∵cosA=，
∴．
∴=．
∴t=5．
∴AE=5﹣2=3．
∴DE==4．
∴tan∠DBE===2．
故選B．
【點評】本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，要熟練掌握好邊角之間的關(guān)系．
　
9．直角三角形兩直角邊和為7，面積為6，則斜邊長為（　?。?br /> A．5 B． C．7 D．
【考點】AD：一元二次方程的應(yīng)用；KQ：勾股定理．
【專題】選擇題
【難度】易
【分析】可設(shè)直角三角形一直角邊為x，則另一直角邊為7﹣x，由面積為6作為相等關(guān)系列方程求得x的值，進而求得斜邊的長．
【解答】解：設(shè)直角三角形一直角邊為x，則另一直角邊為7﹣x，
根據(jù)題意得x（7﹣x）=6，
解得x=3或x=4，
所以斜邊長為．
故選A．
【點評】可根據(jù)直角三角形的面積公式列出關(guān)于直角邊的方程，解得直角邊的長再根據(jù)勾股定理求斜邊的長．熟練運用勾股定理和一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
　
10．如圖，某飛機在空中A處探測到它的正下方地平面上目標C，此時飛行高度AC=1 200m，從飛機上看地平面指揮臺B的俯角α=30°，則飛機A與指揮臺B的距離為（　　）

A．1 200 m B．1 200 m C．1 200 m D．2 400 m
【考點】TA：解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．
【專題】選擇題
【難度】中
【分析】首先根據(jù)圖示，可得∠ABC=∠α=30°，然后在Rt△ABC中，用AC的長度除以sin30°，求出飛機A與指揮臺B的距離為多少即可．
【解答】解：∵∠ABC=∠α=30°，
∴AB===2400（m），
即飛機A與指揮臺B的距離為2400m．
故選D．
【點評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要善于讀懂題意，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決．
　
11．如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行　 　米.

【考點】KU：勾股定理的應(yīng)用．
【專題】填空題
【難度】中
【分析】根據(jù)“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出．
【解答】解：如圖，設(shè)大樹高為AB=12m，
小樹高為CD=6m，
過C點作CE⊥AB于E，則四邊形EBDC是矩形，
連接AC，
∴EB=6m，EC=8m，AE=AB﹣EB=12﹣6=6（m），
在Rt△AEC中，
AC==10（m）．
故小鳥至少飛行10m．
故答案為：10．

【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)實際得出直角三角形，培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力．
　
12．如圖，有一滑梯AB，其水平寬度AC為5.3米，鉛直高度BC為2.8米，則∠A的度數(shù)約為　 ?。ㄓ每茖W(xué)計算器計算，結(jié)果精確到0.1°）.

【考點】T9：解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．
【專題】填空題
【難度】中
【分析】直接利用坡度的定義求得坡角的度數(shù)即可．
【解答】解：∵tan∠A==≈0.5283，
∴∠A=27.8°，
故答案為：27.8°．
【點評】本題考查了坡度坡角的知識，解題時注意坡角的正切值等于鉛直高度與水平寬度的比值，難度不大．
　
13．小蘭想測量南塔的高度.她在A處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往塔的方向前進50m至B處，測得仰角為60°，那么塔高約為　 　m.（小蘭身高忽略不計，?。?br />
【考點】TA：解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．
【專題】填空題
【難度】中
【分析】從題意可知AB=BD=50m，至B處，測得仰角為60°，sin60°=．可求出塔高．
【解答】解：∵∠DAB=30°，∠DBC=60°，
∴BD=AB=50m．
∴DC=BD?sin60°=50×=43.3．
故答案為：43.3．
【點評】本題考查仰角的定義，要求學(xué)生能借助仰角找到直角三角形各邊之間的聯(lián)系，從而求解．
　
14．等腰三角形的腰長為2，腰上的高為1，則它的底角等于　 　.
【考點】KH：等腰三角形的性質(zhì)；KQ：勾股定理．
【專題】填空題
【難度】中
【分析】此題分兩種情況，當頂角為銳角時，利用勾股定理，AD的長，然后即可得出∠ABD=60°，可得頂角度數(shù)．同理即可求出頂角為鈍角時，底角的度數(shù)．
【解答】解；如圖1，△ABC中，AB=AC=2，BD為腰上的高，且BD=1，
頂角為銳角，
∵AD2=AB2﹣BD2，
∴AD2=4﹣1=3，
∴AD=，
∴∠ABD=60°，
∴頂角為30°，底角為75°；
如圖2，△ABC中，AB=AC=2，BD為腰上的高，且BD=1，
頂角為鈍角
同理可得，底角為15°．
故答案為：15°或75°．


【點評】此題主要考查學(xué)生對等腰三角形性質(zhì)的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想進行分析，對頂角為銳角和頂角為鈍角時分別進行分析．
　
15．如圖，已知Rt△ABC中，斜邊BC上的高AD=4，cosB=，則AC=　 　.

【考點】T7：解直角三角形．
【專題】填空題
【難度】中
【分析】根據(jù)題中所給的條件，在直角三角形中解題．根據(jù)角的正弦值與三角形邊的關(guān)系，可求出AC．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，cosB=，
∴sinB=，tanB==．
∵在Rt△ABD中AD=4，
∴AB=．
在Rt△ABC中，
∵tanB=，
∴AC=×=5．
【點評】本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，要熟練掌握好邊角之間的關(guān)系．
　
16．如圖，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，則sinA=　 .

【考點】T1：銳角三角函數(shù)的定義．
【專題】填空題
【難度】中
【分析】在直角△ABD中利用勾股定理求得AD的長，然后利用正弦的定義求解．
【解答】解：在直角△ABD中，BD=1，AB=2，
則AD===，
則sinA===．
故答案是：．

【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．
　
17．如圖1是小志同學(xué)書桌上的一個電子相框，將其側(cè)面抽象為如圖2所示的幾何圖形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，則點B到CD的距離為_______　 　 cm（參考數(shù)據(jù)sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，結(jié)果精確到0.1cm，可用科學(xué)計算器）.

【考點】T8：解直角三角形的應(yīng)用．
【專題】填空題
【難度】中
【分析】作BE⊥CD于E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和∠CBD=40°，求出∠CBE的度數(shù)，根據(jù)余弦的定義求出BE的長．
【解答】解：如圖2，作BE⊥CD于E，
∵BC=BD，∠CBD=40°，
∴∠CBE=20°，
在Rt△CBE中，cos∠CBE=，
∴BE=BC?cos∠CBE
=15×0.940
=14.1cm．
故答案為：14.1．

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵，作出合適的輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的重要環(huán)節(jié)．
　
18．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=6，CD=9，則AB=　 .

【考點】KQ：勾股定理；KO：含30度角的直角三角形．
【專題】填空題
【難度】中
【分析】過點D作DE⊥AB于點E，CF⊥DE于F，可得四邊形BCFE為矩形，根據(jù)∠A=60°，可得出∠ADE=30°，根據(jù)∠D=90°，可求得∠CDE=60°，∠DCF=30°，在△CDF中，根據(jù)CD=9，分別求出CF，DF的長度，然后在△ADE中，求出AE的長度，繼而可求出AB的長度．
【解答】解：過點D作DE⊥AB于點E，CF⊥DE于F，
則有四邊形BCFE為矩形，BC=EF，BE=CF，
∵∠A=60°，
∴∠ADE=30°，
∵∠D=90°，
∴∠CDE=60°，∠DCF=30°，
在△CDF中，
∵CD=9，
∴CF=CD=，CF=CD=，
∵EF=BC=6，
∴DE=EF+DF=6+=，
則AE==，
∴AB=AE+BE=+=8．
故答案為：8．

【點評】本題考查了勾股定理的知識以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，注意掌握在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，難度一般．
　
19．計算下列各題：
(1)（2cos45°﹣sin60°）+；
(2)（﹣2）0﹣3tan30°+|﹣2|.
【考點】2C：實數(shù)的運算；6E：零指數(shù)冪；T5：特殊角的三角函數(shù)值．
【專題】解答題
【難度】難
【分析】(1)原式利用特殊角的三角函數(shù)值化簡，合并同類二次根式化簡得到結(jié)果；
(2)原式第一項利用零指數(shù)冪法則計算，第二項利用特殊角的三角函數(shù)值化簡，最后一項利用絕對值的代數(shù)意義化簡，計算即可得到結(jié)果．
【解答】解：(1)原式=×（2×﹣）+=2﹣+=2；
(2)原式=1﹣3×+2﹣=3﹣2．
【點評】此題考查了實數(shù)的運算，涉及的知識有：零指數(shù)、負指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，以及絕對值的代數(shù)意義，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
　
20．在數(shù)學(xué)活動課上，九年級（1）班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們測量校園內(nèi)一棵大樹（如圖）的高度，設(shè)計的方案及測量數(shù)據(jù)如下：
(1)在大樹前的平地上選擇一點A，測得由點A看大樹頂端C的仰角為35°；
(2)在點A和大樹之間選擇一點B（A，B，D在同一直線上），測得由點B看大樹頂端C的仰角恰好為45°；
(3)量出A，B兩點間的距離為4.5米.
請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出大樹CD的高度.（精確到0.1米）（可能用到的參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）

【考點】TA：解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．
【專題】解答題
【難度】難
【分析】首先分析圖形：本題涉及到兩個直角三角形△DBC、△ADC，應(yīng)利用其公共邊CD構(gòu)造等量關(guān)系，借助AB=AD﹣DB=4.5構(gòu)造方程關(guān)系式，進而可求出答案．
【解答】解：設(shè)CD=x米；
∵∠DBC=45°，
∴DB=CD=x，AD=x+4.5；
在Rt△ACD中，tan∠A=，
∴tan35°=；
解得：x=10.5；
所以大樹的高為10.5米．
解法2：在Rt△ACD中，tan∠A=，∴AD=；
在Rt△BCD中，tan∠CBD=，∴BD=；
而AD﹣BD=4.5，
即﹣=4.5，
解得：CD=10.5；
所以大樹的高為10.5米．
【點評】本題考查俯角、仰角的定義，要求學(xué)生能借助俯角、仰角構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形．
　
21．每年的5月15日是”世界助殘日”，我區(qū)時代超市門前的臺階共高出地面1.2米，為幫助殘疾人，便于輪椅行走，準備拆除臺階換成斜坡，又考慮安全，輪椅行走斜坡的坡角不得超過9°，已知此商場門前的人行道距門前垂直距離為8米(斜坡不能修在人行道上)，問此商場能否把臺階換成斜坡？（參考數(shù)據(jù)：sin9°=0.1564，cos9°=0.9877，tan9°=0.1584）

【考點】T9：解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．
【專題】解答題
【難度】難
【分析】先求得拆除臺階換成斜坡后的坡角，與9°比較，再判斷是否能把樓梯換成斜坡．
【解答】解：由于臺階共高出地面1.2米，商場門前的人行道距門前垂直距離為8米，
則拆除臺階換成斜坡后的坡角的正切值為tanα==0.15＜tan9°，
因此，此商場能把臺階換成斜坡．
【點評】此題主要考查學(xué)生對坡度坡角的掌握及三角函數(shù)的運用能力．
　
22．如圖，為了測量某建筑物CD的高度，先在地面上用測角儀自A處測得建筑物頂部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前進了100m，此時自B處測得建筑物頂部的仰角是45°.已知測角儀的高度是1.5m，請你計算出該建筑物的高度.（取=1.732，結(jié)果精確到1m）

【考點】TA：解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．
【專題】解答題
【難度】難
【分析】根據(jù)CE=xm，則由題意可知BE=xm，AE=（x+100）m，再利用解直角得出x的值，即可得出CD的長．
【解答】解：設(shè)CE=xm，則由題意可知BE=xm，AE=（x+100）m．
在Rt△AEC中，tan∠CAE=，
即tan30°=，
∴，
3x=（x+100），
解得x=50+50=136.6，
∴CD=CE+ED=136.6+1.5=138.1≈138（m）．
答：該建筑物的高度約為138m．
【點評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)tan∠CAE=得出x的值是解決問題的關(guān)鍵．
　
23．已知：如圖，在山腳的A處測得山頂D的仰角為45°，沿著坡度為30°的斜角前進400米處到B處（即∠BAC=30°，AB=400米），測得D的仰角為60°，求山的高度CD.

【考點】TA：解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．
【專題】解答題
【難度】難
【分析】在Rt△AFB中，根據(jù)AB=400米，∠BAF=30°，求出BF、AF的長度，然后證明四邊形BFCE是矩形，設(shè)BE=x米，在Rt△BDE中，用x表示出DE的長度，然后根據(jù)AC=DC，代入求出x的值，繼而可求得山高．
【解答】解：過B作BF⊥AC于F，
在Rt△AFB中，
∵AB=400米，∠BAF=30°，
∴BF=AB=×400=200（米），
AF=AB?cos30°=200（米），
∵BF⊥AC，BE⊥DC，
∴四邊形BFCE是矩形，
∴EC=BF=200米，
設(shè)BE=x米，則FC=x米，
在Rt△DBE中，
∵∠DBE=60°，
∴DE=tan60°?BE=x（米），
∵∠DAC=45°，∠C=90°，
∴∠ADC=45°，
∴AC=DC，
∵AC=AF+FC=（200+x）米，
DC=DE+EC=（x+200）米，
解得：x=200，
∴DC=DE+EC=200+200（米）．
答：山的高度BC約為（200+200）米．

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識解直角三角形，難度一般．
　
24．一段路基的橫斷面是直角梯形，如圖1，已知原來坡面的坡角α的正弦值為0.6，現(xiàn)不改變土石方量，全部利用原有土石方進行坡面改造，使坡度變小，達到如右下圖2的技術(shù)要求.試求出改造后坡面的坡度是多少？

【考點】T9：解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．
【專題】解答題
【難度】難
【分析】由已知可求EC=40m．在不改變土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下進行坡面改造，使坡度變小，則梯形ABCD面積=梯形A1B1C1D面積，可再求出EC1=80（m），即可求出改建后的坡度i=B1E：EC1=20：80=1：4．
【解答】解：由圖可知：BE⊥DC，BE=30m，sinα=0.6，
在Rt△BEC中，
∵sinα=，
∴BC==50（m），
在RT△BEC中EC2=BC2﹣BE2，BE=30m，
由勾股定理得，EC=40m．
在不改變土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下進行坡面改造，使坡度變小，
則梯形ABCD面積=梯形A1B1C1D面積，
∴×（20+60）×30=×20（20+20+EC1）
解得EC1=80（m），
∴改建后的坡度i=B1E：EC1=20：80=1：4．
【點評】此題主要是運用所學(xué)的解直角三角形的知識解決實際生活中的問題．分析梯形ABCD面積=梯形A1B1C1D面積，是解題的關(guān)鍵；還要熟悉坡度公式．
　
25．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，過點A作AE⊥CD，AE分別與CD、CB相交于點H、E，AH=2CH.
(1)求sinB的值；
(2)如果CD=，求BE的值.

【考點】T7：解直角三角形；KP：直角三角形斜邊上的中線．
【專題】解答題
【難度】難
【分析】(1)根據(jù)∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，可得出CD=BD，則∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可證明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，即可得出sinB的值；
(2)根據(jù)sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=2，得AC=2，則CE=1，從而得出BE．
【解答】解：(1)∵∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，
∴CD=BD，
∴∠B=∠BCD，
∵AE⊥CD，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
又∠ACB=90°
∴∠BCD+∠ACH=90°
∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，
∵AH=2CH，
∴由勾股定理得AC=CH，
∴CH：AC=1：，
∴sinB=；
(2)∵sinB=，
∴AC：AB=1：，
∴AC=2．
∵∠CAH=∠B，
∴sin∠CAH=sinB==，
設(shè)CE=x（x＞0），則AE=x，則x2+22=（x）2，
∴CE=x=1，AC=2，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∵AB=2CD=2，
∴BC=4，
∴BE=BC﹣CE=3．

【點評】本題考查了解直角三角形，以及直角三角形斜邊上的中線，注意性質(zhì)的應(yīng)用，難度不大．
　
26．如圖，在南北方向的海岸線MN上，有A、B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船c的求救信號.已知A、B兩船相距100（+3）海里，船C在船A的北偏東60°方向上，船C在船B的東南方向上，MN上有一觀測點D，測得船C正好在觀測點D的南偏東75°方向上.
(1)分別求出A與C，A與D之間的距離AC和AD（如果運算結(jié)果有根號，請保留根號）.
(2)已知距觀測點D處200海里范圍內(nèi)有暗礁．若巡邏船A沿直線AC去營救船C，在去營救的途中有無觸暗礁危險？（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）

【考點】TB：解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題．
【專題】解答題
【難度】難
【分析】(1)作CE⊥AB于點E，則∠ABC=45°，∠BAC=60°，設(shè)AE=x海里，在Rt△AEC中，CE=AE?tan60°，在Rt△BCE中，BE=CE=x，由AE+BE=x+x=100（3+）求出x的值，再根據(jù)AC=2x得出AC的值，在△ACD中，由∠DAC=60°，∠ADC=75°得出∠ACD=45°．過點D作DF⊥AC于點F，設(shè)AF=y，則DF=CF=y，根據(jù)AC=y+y=200求出y的值，故可得出AD的長，進而得出結(jié)論；
(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論得出DF的長，再與200相比較即可．
【解答】解：(1)作CE⊥AB于點E，則∠ABC=45°，∠BAC=60°，設(shè)AE=x海里，
∵在Rt△AEC中，CE=AE?tan60°=x，
在Rt△BCE中，BE=CE=x，
∴AE+BE=x+x=100（3+），解得x=100，
∴AC=2x=200．
在△ACD中，
∵∠DAC=60°，∠ADC=75°，
∴∠ACD=45°．
過點D作DF⊥AC于點F，設(shè)AF=y，則DF=CF=y，
∴AC=y+y=200，解得y=100（3﹣），
∴AD=2y=200（3﹣）．
答：A與C之間的距離AC為200海里，A與D之間的距離AD為200（3﹣）海里；
(2)∵由(1)可知，DF=AF=×100（3﹣）≈219．
∵219＞200，
∴巡邏船A沿直線AC去營救船C，在去營救的途中無觸暗礁危險．

【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．