高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊1.4 充分條件與必要條件教案

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊1.4 充分條件與必要條件教案，共4頁。教案主要包含了教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重點，教學(xué)難點，課時安排，教材分析，教學(xué)過程，作業(yè)布置等內(nèi)容，歡迎下載使用。






【教學(xué)目標(biāo)】


1．使學(xué)生正確理解充分條件、必要條件和充要條件三個概念，并能在判斷、論證中正確運(yùn)用。


2．在師生、學(xué)生間的數(shù)學(xué)交流中增強(qiáng)邏輯思維活動，為用等價轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題打下基礎(chǔ)。


【教學(xué)重點】


正確理解三個概念，并在分析中正確判斷。


【教學(xué)難點】


充分性與必要性的推導(dǎo)順序。


【課時安排】


1課時


【教材分析】


這一大節(jié)通過若干實例，講述充分條件、必要條件和充要條件的有關(guān)知識。


這一大節(jié)的重點是充要條件。學(xué)習(xí)簡易邏輯知識，主要是為了培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行簡單推理的技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，在這方面，邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”與充要條件的有關(guān)內(nèi)容是十分必要的。


關(guān)于充分條件、必要條件與充要條件，本章對教學(xué)要求的尺度，還是控制在對初中代數(shù)、幾何的有關(guān)問題的理解上為宜。


【教學(xué)過程】


一、復(fù)習(xí)引入：


同學(xué)們，當(dāng)某一天你和你的媽媽在街上遇到老師的時候，你向老師介紹你的媽媽說：“這是我的媽媽”。那么，大家想一想這個時候你的媽媽還會不會補(bǔ)充說：“你是她的孩子”呢？不會了！為什么呢？因為前面你所介紹的她是你的媽媽就足于保證你是她的孩子。那么，這在數(shù)學(xué)中是一層什么樣的關(guān)系呢？今天我們就來學(xué)習(xí)這個有意義的課題——充分條件與必要條件。


二、講解新課：


1．符號“”的含義


前面我們討論了“若p則q”形式的命題，其中有的命題為真，有的命題為假?！叭魀則q”為真，是指由p經(jīng)過推理可以得出q，也就是說，如果p成立，那么q一定成立，記作pq，或者qp；如果由p推不出q，命題為假，記作pq。


簡單地說，“若p則q”為真，記作pq（或qp）；


“若p則q”為假，記作pq（或qp）。


符號“”叫做推斷符號。


例如，“若x>0，則x2>0”是一個真命題，可寫成：x>0 x2>0；


又如，“若兩三角形全等，則兩三角形的面積相等”是一個真命題，可寫成：兩三角形全等兩三角形面積相等。


說明：


（1） “pq”表示“若p則q”為真；也表示“p蘊(yùn)含q”。


（2）“pq”也可寫為“qp”，有時也用“p→q”。


2．什么是充分條件？什么是必要條件？


如果已知pq，那么我們就說，p是q的充分條件，q是p的必要條件。


在上面是兩個例子中，“x>0”是“x2>0”的充分條件，“x2>0”是“x>0”的必要條件；“兩三角形全等”是“兩三角形面積相等”的充分條件，“兩三角形面積相等”是“兩三角形全等”的必要條件。


3．充分條件與必要條件的判斷


直接利用定義判斷：即“若pq成立，則p是q的充分條件，q是p的必要條件”。（條件與結(jié)論是相對的）


三、范例


【例1】指出下列各組命題中，p是q的什么條件，q是p的什么條件：


（1） p：x=y；q：x2=y2。


（2） p：三角形的三條邊相等；q：三角形的三個角相等。


分析：可根據(jù)“若p則q”與“若q則p”的真假進(jìn)行判斷。


解：（1）由pq，即x=yx2=y2，知p是q的充分條件，q是p的必要條件。


（2）由pq，即三角形的三條邊相等三角形的三個角相等，知p是q的充分條件，q是p的必要條件；


又由qp，即三角形的三個角相等三角形的三條邊相等，知q也是p的充分條件，p也是q的必要條件。


【例2】如圖1，有一個圓A，在其內(nèi)又含有一個圓B． 請回答：


（1）命題：若“A為綠色”，則“B為綠色”中，“A為綠色”是“B為綠色”的什么條件；“B為綠色”又是“A為綠色”的什么條件。


（2）命題：若“紅點在B內(nèi)”，則“紅點一定在A內(nèi)”中，“紅點在B內(nèi)”是“紅點在A內(nèi)”的什么條件；“紅點在A內(nèi)”又是“紅點在B內(nèi)”的什么條件。


解法1(直接判斷)：（1）∵“A為綠色B為綠色”是真的，∴由定義知，“A為綠色”是“B為綠色”的充分條件；“B為綠色”是“A為綠色”的必要條件。


（2）如圖2（1），∵“紅點在B內(nèi)紅點在A內(nèi)”是真的，∴由定義知，“紅點在B內(nèi)”是“紅點在A內(nèi)”的充分條件；“紅點在A內(nèi)”是“紅點在B內(nèi)”的必要條件。


解法2(利用逆否命題判斷)：（1）它的逆否命題是：若“B不為綠色”則“A不為綠色”。 ∵“B不為綠色 A不為綠色”為真，∴“A為綠色”是“B為綠色”的充分條件；“B為綠色”是“A為綠色”的必要條件。


（2）它的逆否命題是：若“紅點不在A內(nèi)”，則“紅點一定不在B內(nèi)”。 如圖2（2），∵“紅點不在A內(nèi)紅點一定不在B內(nèi)”為真，∴“紅點在B內(nèi)”是“紅點在A內(nèi)”的充分條件；“紅點在A內(nèi)”是“紅點在B內(nèi)”的必要條件。


如何理解充分條件與必要條件中的“充分”和“必要”呢？下面我們以例2為例來說明。


先說充分性：說條件是充分的，也就是說條件是充足的，條件是足夠的，條件是足以保證的。例如，說“A為綠色”是“B為綠色”的一個充分條件，就是說“A為綠色”，它足以保證“B為綠色”。它符合上述的“若p則q”為真（即pq）的形式。


再說必要性：必要就是必須，必不可少。從例2的圖可以看出，如果“B為綠色”，A可能為綠色，A也可能不為綠色。但如果“B不為綠色”，那么“A不可能為綠色”。因此，必要條件簡單說就是：有它不一定，沒它可不行。它滿足上述的“若非q則非p”為真（即┐q┐p）的形式。


總之，數(shù)學(xué)上的充分條件、必要條件的“充分”、“必要”兩詞，與日常生活中的“充分”、“必要”意義相近，不過，要準(zhǔn)確理解它們，還是應(yīng)該以數(shù)學(xué)定義為依據(jù)。


例2的問題，若用集合觀點又怎樣解釋呢？請同學(xué)們想一想。


四、練習(xí)：


用“充分”或“必要”填空，并說明理由：


1．“a和b都是偶數(shù)”是“a+b也是偶數(shù)”的 充分 條件；


2．“四邊相等”是“四邊形是正方形”的 必要 條件；


3．“x3”是“|x|3”的 充分 條件；


4．“x-1=0”是“x2-1=0”的 充分 條件；


5．“兩個角是對頂角”是“這兩個角相等”的 充分 條件；


6．“至少有一組對應(yīng)邊相等”是“兩個三角形全等”的必要條件；


7．對于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a，b，c都不為0）來說，“b2-4ac0”是“這個方程有兩個正根”的 必要 條件；


8．“a=2，b=3”是“a + b=5”的 充分 條件；


9．“a + b是偶數(shù)”是“a和b都是偶數(shù)”的 必要 條件；


10．“個位數(shù)字是5的自然數(shù)”是“這個自然數(shù)能被5整除”的 充分 條件。


五、小結(jié)：


本節(jié)主要學(xué)習(xí)了推斷符號“”的意義，充分條件與必要條件的概念，以及判斷充分條件與必要條件的方法。


判斷充分條件與必要條件的依據(jù)是：


若pq（或若┐q┐p），則p是q的充分條件；


若qp（或若┐p┐q），則p是q的必要條件。


【作業(yè)布置】


設(shè)A是C的充分條件，B是C的充分條件，D是C的必要條件，D是B的充分條件，那么，D是A的什么條件？A是B的什么條件？


解：由題意作出邏輯圖（右圖），便知，D是A的必要條件；A是B的充分條件。