初中數學人教版九年級下冊26.1.1 反比例函數優(yōu)質學案

這是一份初中數學人教版九年級下冊26.1.1 反比例函數優(yōu)質學案，共7頁。學案主要包含了學習目標，要點梳理，典型例題，思路點撥，答案與解析，總結升華等內容，歡迎下載使用。
【學習目標】


1. 理解反比例函數的概念和意義，能根據問題的反比例關系確定函數解析式．


2. 能根據解析式畫出反比例函數的圖象，初步掌握反比例函數的圖象和性質．


3. 會用待定系數法確定反比例函數解析式，進一步理解反比例函數的圖象和性質．


4. 會解決一次函數和反比例函數有關的問題．


【要點梳理】


要點一、反比例函數的定義


一般地，形如 (為常數，)的函數稱為反比例函數，其中是自變量，是函數，自變量的取值范圍是不等于0的一切實數.


要點詮釋：（1）在中，自變量是分式的分母，當時，分式無意義，所以自變量的取值范圍是，函數的取值范圍是.故函數圖象與軸、軸無交點.


（2） ()可以寫成()的形式，自變量的指數是－1，在解決有關自變量指數問題時應特別注意系數這一條件.


（3） ()也可以寫成的形式，用它可以迅速地求出反比例函數的比例系數，從而得到反比例函數的解析式.


要點二、確定反比例函數的關系式


確定反比例函數關系式的方法仍是待定系數法，由于反比例函數中，只有一個待定系數，因此只需要知道一對的對應值或圖象上的一個點的坐標，即可求出的值，從而確定其解析式.


用待定系數法求反比例函數關系式的一般步驟是：


（1）設所求的反比例函數為： ()；


（2）把已知條件（自變量與函數的對應值）代入關系式，得到關于待定系數的方程；


（3）解方程求出待定系數的值；


（4）把求得的值代回所設的函數關系式 中.


要點三、反比例函數的圖象和性質





1、 反比例函數的圖象特征：


反比例函數的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函數的圖象關于原點對稱，永遠不會與軸、軸相交，只是無限靠近兩坐標軸.


要點詮釋：（1）若點()在反比例函數的圖象上，則點()也在此圖象上，所以反比例函數的圖象關于原點對稱；


（2）在反比例函數(為常數，) 中，由于，所以兩個分支都無限接近但永遠不能達到軸和軸．


2、畫反比例函數的圖象的基本步驟：


（1）列表：自變量的取值應以0為中心，在0的兩側取三對（或三對以上）互為相反數的值，填寫值時，只需計算右側的函數值，相應左側的函數值是與之對應的相反數；


（2）描點：描出一側的點后，另一側可根據中心對稱去描點；


（3）連線：按照從左到右的順序連接各點并延伸，連線時要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線.注意雙曲線的兩個分支是斷開的，延伸部分有逐漸靠近坐標軸的趨勢，但永遠不與坐標軸相交；


（4）反比例函數圖象的分布是由的符號決定的：當時，兩支曲線分別位于第一、三象限內，當時，兩支曲線分別位于第二、四象限內．


3、反比例函數的性質


（1）如圖1，當時，雙曲線的兩個分支分別位于第一、三象限，在每個象限內，值隨值的增大而減??；


（2）如圖2，當時，雙曲線的兩個分支分別位于第二、四象限，在每個象限內，值隨值的增大而增大；


要點詮釋：反比例函數的增減性不是連續(xù)的，它的增減性都是在各自的象限內的增減情況，反比例函數的增減性都是由反比例系數的符號決定的；反過來，由雙曲線所在的位置和函數的增減性，也可以推斷出的符號.


要點四：反比例函數()中的比例系數的幾何意義





過雙曲線() 上任意一點作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.


過雙曲線() 上任意一點作一坐標軸的垂線，連接該點和原點，所得三角形的面積為.


要點詮釋：只要函數式已經確定，不論圖象上點的位置如何變化，這一點與兩坐標軸的垂線和兩坐標軸圍成的面積始終是不變的.


【典型例題】


類型一、反比例函數定義


1、當為何值時是反比例函數？


【思路點撥】根據反比例函數解析式，也可以寫成的形式，后一種表達方法中的次數為-1，由此可知函數是反比例函數，要具備的兩個條件為且，二者必須同時滿足，缺一不可．


【答案與解析】


解：令由①得，＝±1，由②得，≠1．


綜上，＝－1，即＝－1時，是反比例函數．


【總結升華】反比例函數解析式的三種形式：①；②；③．


類型二、確定反比例函數解析式


2、（2014春?裕民縣校級期中）正比例函數y=2x與雙曲線的一個交點坐標為A（2，m）．


（1）求出點A的坐標；


（2）求反比例函數關系式．





【答案與解析】


解：（1）將A點坐標是（2，m）代入正比例y=2x中，得：m=4，


則A（2，4）；


（2）將A（2，4）代入反比例解析式中，得：4=，即k=8，


則反比例函數解析式y(tǒng)=．


【總結升華】此題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，利用了待定系數法，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．


舉一反三：


【變式】已知，與成正比例，與成反比例，且當＝1時，＝7；當＝2時，＝8．


(1) 與之間的函數關系式；


(2)自變量的取值范圍；


(3)當＝4時，的值．


【答案】


解：(1)∵ 與成正比例，


∴ 設．


∵ 與成反比例，


∴ 設．


∴ ．


把與分別代入上式，得


∴


所以與的函數解析式為．


(2)自變量的取值范圍是≠0．


(3)當＝4時，．


類型三、反比例函數的圖象和性質


3、（2016?寧夏）正比例函數y1=k1x的圖象與反比例函數y2=的圖象相交于A，B兩點，其中點B的橫坐標為﹣2，當y1＜y2時，x的取值范圍是（ ）





A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2


C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2


【思路點撥】由正、反比例函數的對稱性結合點B的橫坐標，即可得出點A的橫坐標，再根據兩函數圖象的上下關系結合交點的橫坐標，即可得出結論．


【答案】B．


【解析】解：∵正比例和反比例均關于原點O對稱，且點B的橫坐標為﹣2，


∴點A的橫坐標為2．


觀察函數圖象，發(fā)現：


當x＜﹣2或0＜x＜2時，一次函數圖象在反比例函數圖象的下方，


∴當y1＜y2時，x的取值范圍是x＜﹣2或0＜x＜2．


【總結升華】本題考查了反比例函數與一次函數交點的問題、反比例函數的性質以及正比例函數的性質，解題的關鍵是求出點A的橫坐標．本題屬于基礎題，難度不大，根據正、反比例的對稱性求出點A的橫坐標，再根據兩函數的上下位置關系結合交點坐標即可求出不等式的解集．


舉一反三：


【變式】（2014春?鄧州市校級期中）已知四個函數y=﹣x+1，y=2x﹣1，y=﹣，y=，其中y隨x的增大而減小的有（ ）個．


A.4 B. 3 C. 2 D. 1





【答案】D；


提示：解：y=﹣x+1中k=﹣1＜0，所以y隨x的增大而減小，正確；


y=2x﹣1中k=2＞0，所以y隨x的增大而增大，故本選項，錯誤；


y=﹣是反比例函數，其增減性必須強調在雙曲線的每一支上，故錯誤；


y=是反比例函數，其增減性必須強調在雙曲線的每一支上，故錯誤．


故選D．


類型四、反比例函數綜合


4、如圖所示，反比例函數的圖象與一次函數的圖象交于M(2，)，N(－1，－4)兩點.


(1)求反比例函數和一次函數的關系式；


(2)根據圖象寫出使反比例函數的值大于一次函數值的的取值范圍．





【思路點撥】(1)由點N的坐標為(－1，－4)，根據待定系數法可求反比例函數的關系式．從而求出點M的坐標．再根據M、N的坐標，用待定系數法可求出一次函數的關系式；(2)結合圖象位置和兩交點的坐標，可得到使反比例函數大于一次函數的值的的取值范圍．


【答案與解析】


解：(1)設反比例函數的關系式為．


由N(－1，－4)，得，


∴ ＝4．


∴ 反比例函數的關系式為．


∵ 點M(2，)在雙曲線上，


∴ ．


∴ 點M(2，2)．


設一次函數的關系式為，由M(2，2)、N(－1，－4)，得


解得


∴ 一次函數的關系式為．


(2)由圖象可知，當＜－1或0＜＜2時，反比例函數的值大于一次函數的值．


【總結升華】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：反比例函數與一次函數的交點坐標同時滿足兩個函數的解析式．也考查了待定系數法確定函數解析式以及觀察函數圖象的能力．


舉一反三：


【變式】如圖所示，已知正比例函數的圖象與反比例函數的圖象交于點A(3，2)．





（1）試確定上述正比例函數和反比例函數的表達式．


（2）根據圖象回答，在第一象限內，當取何值時，反比例函數的值大于正比例函數的值？


（3）M()是反比例函數圖象上的一動點，其中0＜＜3，過點M作直線MB ∥軸，交軸于點B；過點A作直線AC∥軸交軸于點C，交直線MB于點D．當四邊形OADM的面積為6時，請判斷線段BM與DM的大小關系，并說明理由．


【答案】


解：（1）將A(3，2)分別代入，中，得，3＝2．


∴ ＝6，．


∴ 反比例函數的表達式為，正比例函數的表達式為．


（2）觀察圖象，在第一象限內，當0＜＜3時，反比例函數的值大于正比例函數的值．


（3）BM＝DM．


理由：∵ ，


∴ ，


即OC·OB＝12．


∵ OC＝3，∴ OB＝4，即＝4．


∴ ．∴ ，．


∴ MB＝MD．