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初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)下冊(cè)18.2.2 菱形精品課件ppt
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這是一份初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)下冊(cè)18.2.2 菱形精品課件ppt,共37頁。PPT課件主要包含了素養(yǎng)目標(biāo),有一個(gè)角是直角,有一組鄰邊相等,菱形就在我們身邊,菱形的性質(zhì),菱形的四條邊都相等,連接中考等內(nèi)容,歡迎下載使用。
下面的圖形中有你熟悉的嗎?
越王勾踐劍,一把在地下埋藏了2000多年的古劍,出土?xí)r依然寒氣逼人,毫無銹蝕,鋒利無比,稍一用力,便可將多層白紙劃破,劍身上整齊排列的黑色菱形暗花紋.
1. 理解菱形的概念,會(huì)用菱形的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的問題.
2. 探索并證明菱形的性質(zhì)定理.
3. 經(jīng)歷類比矩形探究菱形性質(zhì)的過程,通過觀察、類比、猜想、證明等活動(dòng),體會(huì)幾何圖形研究的一般步驟和方法.
前面我們學(xué)習(xí)了平行四邊形和矩形,知道了如果平行四邊形有一個(gè)角是直角時(shí),成為什么圖形?
(矩形,由角變化得到)
如果從邊的角度,將平行四邊形特殊化,讓它有一組鄰邊相等,這個(gè)特殊的四邊形叫什么呢?
在平行四邊形中,如果內(nèi)角大小保持不變僅改變邊的長(zhǎng)度,能否得到一個(gè)特殊的平行四邊形?``x``xk
有一組 的
∵四邊形ABCD是平行四邊形, AB=BC,∴四邊形ABCD是菱形.
可以這樣做:將一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折、再對(duì)折,然后沿圖中的虛線剪下,打開即可.你知道其中的道理嗎?
如何利用折紙、剪切的方法,既快又準(zhǔn)確地剪出一個(gè)菱形的紙片?
畫出菱形的兩條折痕,并通過折疊手中的圖形回答以下問題:
問題:菱形的四條邊在數(shù)量上有什么關(guān)系?
猜想:菱形的四條邊都相等.
已知:如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=AD,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O. 求證:AB = BC = CD =AD.
證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AB = CD,AD = BC(平行四邊形的對(duì)邊相等). 又∵AB=AD, ∴AB = BC = CD =AD.
符號(hào)語言:∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD.
已知菱形的周長(zhǎng)是36cm,那么它的邊長(zhǎng)是______.
已知一個(gè)正方形花壇的周長(zhǎng)是48m,菱形花壇的邊長(zhǎng)是正方形花壇邊長(zhǎng)的2倍,則菱形花壇的周長(zhǎng)是( )A.24m B.12m C.96m D.48m
觀察:將一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折、再對(duì)折,然后沿圖中的虛線剪下,打開即得一個(gè)菱形.
操作:在自己剪出的菱形上畫出兩條折痕,折疊手中的圖形(如圖),并回答以下問題:
問題1 菱形是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是,指出它的對(duì)稱軸. 是,兩條對(duì)角線所在直線都是它的對(duì)稱軸.
問題2 根據(jù)上面折疊過程,菱形的兩條對(duì)角線有什么關(guān)系?
猜想:菱形的兩條對(duì)角線互相垂直,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.
已知:如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=AD,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O. 求證:AC⊥BD;∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA, ∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD.
證明:∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴OB = OD (平行四邊形的對(duì)角線互相平分).在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD,∴AO⊥BD,AO平分∠BAD,即AC⊥BD,∠DAC=∠BAC.同理可證∠DCA=∠BCA, ∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD.
菱形的兩條對(duì)角線互相垂直,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.
符號(hào)語言:∵四邊形ABCD是菱形,∴ AC⊥BD ;AC平分∠BAD和∠BCD ;BD平分∠ABC和∠ADC.
兩條對(duì)角線互相垂直平分,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角
比一比,猜一猜,填寫下表:
例1 如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,BD=12cm,AC=6cm,求菱形的周長(zhǎng).
解:∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AO= AC,BO= BD.∵AC=6cm,BD=12cm,∴AO=3cm,BO=6cm.在Rt△ABO中,由勾股定理,得∴菱形的周長(zhǎng)=4AB=4× = (cm).
利用菱形的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)
菱形ABCD中,O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn),已知AB=5cm,AO=4cm,求兩對(duì)角線AC , BD的長(zhǎng).
解:∵四邊形ABCD是菱形, ∴OA=OC,OB=OD, AC⊥BD. ∵Rt△AOB中,OB2+OA2=AB2, AB= 5,AO= 4,
∴OB= 3.∴BD= 2OB = 6 cm, AC= 2OA = 8 cm.
例2 如圖,E為菱形ABCD邊BC上一點(diǎn),且AB=AE,AE交BD于O,且∠DAE=2∠BAE,求證:OA=EB.
證明:∵四邊形ABCD為菱形,∴AD∥BC,AD=BA,∠ABC=∠ADC=2∠ADB .∴∠DAE=∠AEB.∵AB=AE,∴∠ABC=∠AEB.∴∠ABC=∠DAE.∵∠DAE=2∠BAE,?又∵AD=BA ,∴△AOD≌△BEA .
利用菱形的性質(zhì)求證線段相等
∴∠BAE=∠ADB.?
如圖,在菱形ABCD中,CE⊥AB于點(diǎn)E,CF⊥AD于點(diǎn)F,求證:AE=AF.
證明:連接AC. ∵四邊形ABCD是菱形, ∴AC平分∠BAD, 即∠BAC=∠DAC. ∵CE⊥AB,CF⊥AD, ∴∠AEC=∠AFC=90°. 又∵AC=AC, ∴△ACE≌△ACF. ∴AE=AF.
菱形是特殊的平行四邊形,那么能否利用平行四邊形面積公式計(jì)算菱形的面積呢?
【思考】計(jì)算菱形的面積除了上式方法外,利用對(duì)角線能計(jì)算菱形的面積嗎?
S菱形=BC× AE.
如圖,四邊形ABCD是菱形,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,試用對(duì)角線表示出菱形ABCD的面積.
解:∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.∴S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC= AC·BO+ AC·DO= AC(BO+DO)= AC·BD.
菱形的面積 = 底×高 = 對(duì)角線乘積的一半
例 如圖,菱形花壇ABCD的邊長(zhǎng)為20m,∠ABC=60°,沿著菱形的對(duì)角線修建了兩條小路AC和BD,求兩條小路的長(zhǎng)和花壇的面積(結(jié)果分別精確到0.01m和0.1m2).
解:∵花壇ABCD是菱形,
利用菱形的面積公式解答問題
菱形ABCD的兩條對(duì)角線BD,AC長(zhǎng)分別是6cm和8cm,求菱形面積.
1. 如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC , BD的長(zhǎng)分別為6和8,則這個(gè)菱形的周長(zhǎng)是( ?。〢.20 B.24C.40 D.48
證明:∵四邊形ABCD是菱形, ∴AD=CD. 在△ADF和△CDE中, ∴△ADF≌△CDE(SAS). ∴∠1=∠2.
2. 如圖,在菱形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為AD,CD邊上的點(diǎn),DE=DF,求證:∠1=∠2.
1.如圖,已知菱形的兩條對(duì)角線分別為6cm和8cm,則這個(gè)菱形的高DE為( ) C.5cm
2.如圖,在菱形ABCD中,AC=8,BD=6,則△ABD的周長(zhǎng)等于( ?。?A.18 B.16 C.15 D.14
3.如圖,在菱形ABCD中,已知∠A=60°,AB=5,則△ABD的周長(zhǎng)是 ( ) A.10 B.12 C.15 D.20
4.如圖,菱形ABCD的周長(zhǎng)為48cm,對(duì)角線AC , BD相交于O點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),連接OE,則線段OE的長(zhǎng)為_______.
5.如圖,在菱形ABCD中,點(diǎn)O為對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn),且在△AOB中,OA=5,OB=12.求菱形ABCD兩對(duì)邊的距離h.
解:在Rt△AOB中,OA=5,OB=12,∴S△AOB= OA·OB= ×5×12=30.∴S菱形ABCD=4S△AOB=4×30=120.∵又∵菱形兩組對(duì)邊的距離相等,∴S菱形ABCD=AB·h=13h,∴13h=120,得h= .
如圖,在菱形ABCD中,∠ABC與∠BAD的度數(shù)比為1:2,周長(zhǎng)是8cm.求:(1)兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度;(2)菱形的面積.
解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC,AC⊥BD,AD∥BC.∴∠ABC+∠BAD=180°.∵∠ABC與∠BAD的度數(shù)比為1:2,∴∠ABC= ×180°=60°,∴∠ABO= ×∠ABC=30°.∴△ABC是等邊三角形.
∴OA= AB=1cm,AC=AB=2cm. ∴ . ∴BD=2OB= cm;(2)S菱形ABCD = AC?BD = ×2× = (cm2).
∵菱形ABCD的周長(zhǎng)是8cm.∴AB=2cm.
如圖,四邊形ABCD是菱形,F(xiàn)是AB上一點(diǎn),DF交AC于E. 求證:∠AFD=∠CBE. 證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴CB=CD, CA平分∠BCD.∴∠BCE=∠DCE.又 CE=CE,∴△BCE≌△DCE(SAS).∴∠CBE=∠CDE.∵在菱形ABCD中,AB∥CD, ∴∠AFD=∠EDC.∴∠AFD=∠CBE.
1.周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)的四倍;2.面積=底×高=兩條對(duì)角線乘積的一半
1.兩組對(duì)邊平行且相等;2.四條邊相等
兩組對(duì)角分別相等,鄰角互補(bǔ)
1.兩條對(duì)角線互相垂直平分;2.每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角
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