高中數(shù)學人教B版 (2019)必修 第一冊1.2.3 充分條件、必要條件精品第2課時2課時學案設計

這是一份高中數(shù)學人教B版 (2019)必修 第一冊1.2.3 充分條件、必要條件精品第2課時2課時學案設計，共6頁。






知識點 充要條件


1.一般地，如果p?q且q?/_p，則稱p是q的充分不必要條件.


2.如果p?/_q且q?p，則稱p是q的必要不充分條件.


3.如果p?q且q?p，則稱p是q的充分必要條件(簡稱為充要條件)，記作p?q，此時，也讀作“p與q等價”“p當且僅當q”.


[微體驗]


1.“|x|＝|y|”是“x＝y(tǒng)”的( )


A.充分不必要條件 B.必要不充分條件


C.充要條件 D.既不充分也不必要條件


B [|x|＝|y|?x＝y(tǒng)或x＝－y，x＝y(tǒng)?|x|＝|y|.]


2.若p是q的充要條件，q是r的充要條件，則p是r的________.


充要條件 [因為p?q, q?r, 所以p?r, 所以p是r的充要條件.]


3.下列各題中，p是q的充要條件的是______(填序號).


(1)p：x>0，y>0，q：xy>0；


(2)p：a>b，q：a＋c>b＋c.


(2) [在(2)中，p?q，所以(2)中p是q的充要條件，在(1)中，p?q，qp，所以(1)中p不是q的充要條件.]








探究一 充要條件的判斷


(1)“m＞eq \f(1,4)”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0無實數(shù)解”的( )


A.充分不必要條件 B.充要條件


C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件


B [方程x2＋x＋m＝0無實根?Δ＝1－4m＜0?m＞eq \f(1,4).]


(2)a、b中至少有一個不為零的充要條件是( )


A.ab＝0 B.ab＞0


C.a2＋b2＝0 D.a2＋b2＞0


D [a2＋b2＞0，則a、b不同時為零；a、b中至少有一個不為零，則a2＋b2＞0.]


[方法總結]


判斷充要條件的解題思路以及注意事項


(1)思路：


充要條件的判斷思路同充分條件、必要條件的一樣.


(2)注意事項：


①在定義法中，既要判斷條件對結論的充分性，又要判斷條件對結論的必要性；


②在推出法中，使用的是雙向推出法，而不是單向推出法；


③在集合法中，判斷的是兩個集合互為子集，即判斷兩個集合相等.


[跟蹤訓練1] 下列所給的p，q中，p是q的充要條件的是______.(填序號)


①若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；


②p：|x|＞3，q：x2＞9.


①② [①若a2＋b2＝0，則a＝b＝0，即p?q；


若a＝b＝0，則a2＋b2＝0，即q?p，故p?q，


所以p是q的充要條件.


②由于p：|x|＞3?q：x2＞9，所以p是q的充要條件.]


探究二 充要條件的證明


已知ab≠0.求證：a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.


證明 先證必要性：因為a＋b＝1，


所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2＝a2－ab＋b2＋ab－a2－b2＝0.


所以必要性成立.


再證充分性：因為a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，


即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，


所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.


又因為ab≠0，所以a≠0且b≠0.


從而a2－ab＋b2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(b,2)))2＋eq \f(b2,4)≠0.


所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1.故充分性成立.


所以a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.


[方法總結]


充要條件的證明策略


(1)要證明p是q的充要條件，需要從充分性和必要性兩個方向進行，即證明兩個命題為真：“若p，則q”為真，且“若q，則p”為真.


(2)在證明的過程中也可以轉化為集合的思想來證明，證明p與q的解集是相同的，證明前必須分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些條件推證出哪些結論.


[跟蹤訓練2] 求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ac＜0.


證明 必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一個正根和一負根.


所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝eq \f(c,a)＜0(x1，x2為方程的兩根)，所以ac＜0.


充分性：由ac＜0，可推得b2－4ac＞0，及x1x2＝eq \f(c,a)＜0(x1，x2為方程的兩根).


所以方程ax2＋bx＋c＝0有兩個相異實根，且兩根異號.


即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根.


綜上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ac＜0.








1.充要條件的概念


既有p?q，又有q?p，就記作p?q.則p是q的充分必要條件，簡稱充要條件.


2.形如“若p，則q”的命題中存在以下四種關系


(1)p是q的充分不必要條件


(2)p是q的必要不充分條件


(3)p是q的充分必要條件


(4)p是q的既不充分又不必要條件


3.證明充要條件時，既要證明充分性，又要證明必要性，即證明原命題和逆命題都成立，但要分清證明必要性、充分性時是證明怎樣的一個式子成立.“A的充要條件為B”的命題的證明：A?B證明了必要性，B?A證明了充分性；“A是B的充要條件”的命題的證明：A?B證明了充分性，B?A證明了必要性.








課時作業(yè)(八) 充分條件、必要條件(二)





1.在△ABC中，“A＞B”是“a＞b”的( )


A.充分不必要條件 B.必要不充分條件


C.充要條件 D.既不充分也不必要條件


C [在△ABC中，A＞B?a＞b.]


2.設A、B是兩個集合，則“A∩B＝A”是“A?B”的( )


A.充分不必要條件 B.必要不充分條件


C.充要條件 D.既不充分也不必要條件


C [由題意得，A∩B＝A?A?B，反之，A?B?A∩B＝A，故為充要條件.][來源:Z#xx#k.Cm]


3.“x，y均為奇數(shù)”是“x＋y為偶數(shù)”的( )


A.充分不必要條件 B.必要不充分條件


C.充要條件 D.既不充分也不必要條件


A [當x，y均為奇數(shù)時，一定可以得到x＋y為偶數(shù)；但當x＋y為偶數(shù)時，不一定必有x，y均為奇數(shù)，也可能x，y均為偶數(shù).]


4.已知命題p：x＋y＝－2；命題q：x、y都等于－1，則p是q的( )


A.充分不必要條件 B.必要不充分條件


C.充要條件 D.既不充分也不必要條件


B [x＋y＝－2?/x＝－1，y＝－1；x＝－1，y＝－1?x＋y＝－2，故p是q的必要不充分條件.]


5.已知A，B是非空集合，命題甲：A∪B＝B，命題乙：AB，那么( )


A.甲是乙的充分不必要條件


B.甲是乙的必要不充分條件[來源:Z,xx,k.Cm][來源:]


C.甲是乙的充要條件


D.甲是乙的既不充分也不必要條件


B [因為命題甲：A∪B＝B，命題乙：AB.A∪B＝B?A?B，AB?A∪B＝B.所以甲是乙的必要不充分條件.]


6.“m＝9”是“m＞8”的______________條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)


充分不必要 [當m＝9時，m＞8成立，但m＞8推不出m＝9，


所以m＝9是m＞8的充分不必要條件.]


7.對于集合A，B及元素x，若A?B，則x∈B是x∈(A∪B)的________條件.


充要 [由x∈B，顯然可得x∈(A∪B)；反之，由于A?B，則A∪B＝B，所以由x∈(A∪B)可得x∈B，故x∈B是x∈(A∪B)的充要條件.]


8.設n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根的充要條件是n＝________.


3或4 [由判別式Δ＝16－4n≥0，n∈N*，得1≤n≤4.逐個分析，當n＝1,2時，方程沒有整數(shù)解；而當n＝3時，方程有正整數(shù)解1,3；當n＝4時，方程有正整數(shù)解2.]


9.已知x，y都是非零實數(shù)，且x＞y，求證：eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)的充要條件是xy＞0.


證明 ①必要性：由eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)，得eq \f(1,x)－eq \f(1,y)＜0，即eq \f(y－x,xy)＜0，又由x＞y，得y－x＜0，所以xy＞0.[來源:學+科+網(wǎng)Z+X+X+K]


②充分性：由xy＞0及x＞y，得eq \f(x,xy)＞eq \f(y,xy)，即eq \f(1,x)＜eq \f(1,y).


綜上所述，eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)的充要條件是xy＞0.


10.已知條件p：x＞a＋1或x＜1－a和條件q：x＜eq \f(1,2)或x＞1，求使p是q的充分不必要條件的最小正整數(shù)a.


解 依題意a＞0.[來源:ZXXK]


要使p是q的充分不必要條件，即“若p，則q”為真命題，逆命題為假命題，應有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a≤\f(1,2)，,1＋a≥1，))解得a≥eq \f(1,2).


令a＝1，則p：x＜0，或x＞2，


此時必有x＜eq \f(1,2)，或x＞1.


即p?q，反之不成立.





1.函數(shù)y＝x2＋mx＋1的圖像關于直線x＝1對稱的充要條件是( )


A.m＝－2 B.m＝2


C.m＝－1 D.m＝1


A [因為y＝x2＋mx＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(m,2)))2＋1－eq \f(m2,4)，


所以函數(shù)的圖像的對稱軸為x＝－eq \f(m,2)，由題意得－eq \f(m,2)＝1，所以m＝－2.]


2.設集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x，y)|x＋y－n＞0}，那么點P(2,3)∈(A∩B)的充要條件是( )


A.m＞－1，n＜5 B.m＜－1，n＜5


C.m＞－1，n＞5 D.m＜－1，n＞5


A [因為P(2,3)∈(A∩B)，所以滿足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2×2－3＋m＞0，,2＋3－n＞0，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＞－1，,n＜5.))]


3.已知命題p：4－x≤6，q：x≥a－1，若p是q的充要條件，則實數(shù)a＝________.


－1 [由題意得p：x≥－2，q：x≥a－1，因為p是q的充要條件，所以a－1＝－2，即a＝－1.]


4.“k＞4，b＜5”是“一次函數(shù)y＝(k－4)x＋b－5的圖像交y軸于負半軸，交x軸于正半軸”的______________條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)


充要 [當k＞4，b＜5時，函數(shù)y＝(k－4)x＋b－5的圖像如圖所示.





由一次函數(shù)y＝(k－4)x＋b－5的圖像交y軸于負半軸，交x軸于正半軸時，即當x＝0，y＝b－5＜0，所以b＜5.當y＝0時，x＝eq \f(5－b,k－4)＞0，因為b＜5，所以k＞4.故填“充要”.]


5.求關于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負實根的充要條件.


解 ①a＝0時適合.


②a≠0時顯然方程沒有零根.若方程有兩異號的實根，則a＜0；若方程有兩個負的實根，則必須有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0,－\f(2,a)＜0，,Δ＝4－4a≥0))


解得0＜a≤1.


綜上知，若方程至少有一個負的實根，則a≤1；反之，若a≤1，則方程至少有一個負的實根.


因此，關于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負的實根的充要條件是a≤1.


6.(拓廣探索)已知命題p：實數(shù)x滿足－2≤x≤4；命題q：實數(shù)x滿足－m≤x－2≤m(m＞0).


(1)當m＝3時，若命題p與命題q同時為假，求實數(shù)x的取值范圍；


(2)若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍.


解 (1)若p假：x＜－2或x＞4；


當m＝3時，若q假，則x＜－1或x＞5，


因為若命題p與命題q同時為假，所以x＜－2或x＞5.


所以實數(shù)x的取值范圍為x＜－2或x＞5.


(2)因為p是q的充分不必要條件.


q：2－m≤x≤2＋m，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－m≤－2,4≤2＋m))，且等號不同時取得，


所以m≥4.


所以實數(shù)m的取值范圍為{m|m≥4}.





課程標準
學科素養(yǎng)
通過對典型數(shù)學命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數(shù)學定義與充要條件的關系.
通過對充要條件的學習，提升“邏輯推理”“數(shù)學抽象”的核心素養(yǎng).