高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)直線與圓的位置關(guān)系公開(kāi)課ppt課件

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相交或相切.
知識(shí)辨析 判斷正誤，正確的畫(huà)“ √” ，錯(cuò)誤的畫(huà)“ ?” .
1.若直線與圓的方程組成的方程組有解,則直線與圓相交.?(　????)
2.過(guò)點(diǎn)P和圓相切的直線有兩條.?(　????)
當(dāng)點(diǎn)P在圓的外部時(shí),有兩條切線;當(dāng)點(diǎn)P在圓上時(shí),有一條切線;當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí),沒(méi)有切線.
3.經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)(非圓心)的最長(zhǎng)弦所在直線與最短弦所在直線互相垂直.?(　????)
4.若兩條直線被同一個(gè)圓截得的弦長(zhǎng)相等,則這兩條直線平行.?(　????)
　　判斷直線與圓的位置關(guān)系主要有兩種方法:幾何法和代數(shù)法.幾何法側(cè)重圖形的幾何性 質(zhì),較代數(shù)法步驟簡(jiǎn)捷,所以一般選用幾何法.
典例 已知圓x2+y2=1與直線y=kx-3k,當(dāng)k分別為何值時(shí),直線與圓:(1)相交?(2)相切?(3)相離?
由題意知,圓的半徑r=1.(1)當(dāng)直線與圓相交時(shí),d0)上,則過(guò)點(diǎn)P的切線方程為x0x+y0y=r2;(2)若點(diǎn)P(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,則過(guò)點(diǎn)P的切線方程為(x-a)·(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2;(3)若點(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,則過(guò)點(diǎn)P的切線方程為x0x+y0y+D·?+E·?+F=0.
典例 (1)已知圓的方程為x2+y2=13,它與斜率為-?的直線相切,則該切線方程為　　　　　????　 ????;(2)過(guò)點(diǎn)A(4,-3)作圓C:(x-3)2+(y-1)2=1的切線,則其切線長(zhǎng)為　　　????.
2x+3y-13=0或2x+3y+13=0?
所以所求切線方程為2x+3y-13=0或2x+3y+13=0.(2)由題意得圓心C的坐標(biāo)為(3,1),半徑為1.設(shè)切點(diǎn)為B,則△ABC為直角三角形,易得|AC|=?=?,|BC|=1,所以|AB|=?=?=4,所以切線長(zhǎng)為4.
1.直線與圓相交時(shí)弦長(zhǎng)的求法
2.解決與中點(diǎn)弦有關(guān)問(wèn)題的方法(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系求出中點(diǎn)坐標(biāo);(2)設(shè)出弦的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo),代入圓的方程,利用作差法求出斜率,此法即為點(diǎn)差法;(3)利用圓本身的幾何性質(zhì),即圓心與非直徑的弦中點(diǎn)的連線與弦垂直解決問(wèn)題.
典例1 直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5,5),且和圓C:x2+y2=25相交于A,B兩點(diǎn),直線被圓截得的弦長(zhǎng)為4?,求直線l的方程.
=4?,整理得2k2-5k+2=0,解得k=?或k=2,均符合題意.故直線l的方程為x-2y+5=0或2x-y-5=0.解法二:直線l:y-5=k(x-5),即kx-y+5(1-k)=0.設(shè)圓心(0,0)到直線l的距離為d,圓C的半徑為r,則d= ?,r=5,又d=?=?=?,所以?=?,解得k=?或k=2,所以直線l的方程為x-2y+5=0或2x-y-5=0.
易錯(cuò)警示????求直線方程時(shí),要注意斜率不存在的情況,若斜率不存在的直線符合題意,則要注 意補(bǔ)充.
典例2 已知圓x2+y2-4x+6y-12=0內(nèi)一點(diǎn)A(4,-2),求以A為中點(diǎn)的弦所在直線的方程.
解法二:設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為B(x1,y1),C(x2,y2),則x1+x2=8,y1+y2=-4.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線方程為x=4,不滿足題意.當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)其為k,則k=?.把B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程,得?①-②并整理,得(x1+x2)+(y1+y2)·?-4+6·?=0,即8-4k-4+6k=0,解得k=-2.故所求直線方程為2x+y-6=0.綜上,所求直線方程為2x+y-6=0.解法三:當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線方程為x=4,不滿足題意.設(shè)圓心為M,所求直線的斜率為k.
易知M(2,-3),所以kMA=?,所以k=-2.所以所求直線的方程為2x+y-6=0.
利用圓的方程解決最值問(wèn)題的方法(1)由某些代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想其幾何意義,然后利用直線與圓的方程及解析幾何的有關(guān) 知識(shí)并結(jié)合圖形的直觀性來(lái)分析解決問(wèn)題,常涉及的幾何量有直線的斜率、截距以及兩點(diǎn)間 的距離.(2)轉(zhuǎn)化成函數(shù)解析式,利用函數(shù)的性質(zhì)解決.(3)利用三角代換,若點(diǎn)P(x,y)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,則設(shè)?(θ為參數(shù)),代入目標(biāo)函數(shù),利用三角函數(shù)知識(shí)求最值.
典例 已知點(diǎn)P(x,y)是圓x2+y2=4上的一點(diǎn).(1)求4x-3y的最大值和最小值;(2)求?的最大值和最小值;(3)求(x-4)2+(y+3)2的最大值和最小值.
?(2)令?=k,則k表示圓x2+y2=4上一點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(-2?,-2)的連線的斜率.由圖2知,當(dāng)直線y+2=k(x+2?)與圓x2+y2=4相切時(shí),k分別取得最大值和最小值.由?=2,得|2?k-2|=2?,即3k2-2?k+1=k2+1,解得k=0或k=?,故kmax=?,kmin=0,即?的最大值為?,最小值為0.(3)令(x-4)2+(y+3)2=d,則?表示圓上一點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(4,-3)的距離.如圖3,由點(diǎn)(4,-3)到圓心(0,0)的距離為5可知,(?)max=5+2=7,(?)min=5-2=3,故dmax=49,dmin=9,即