高中數(shù)學人教B版 (2019)選擇性必修 第三冊等差數(shù)列的前n項和教案

這是一份高中數(shù)學人教B版 (2019)選擇性必修 第三冊等差數(shù)列的前n項和教案，共9頁。
板書設計
教學環(huán)節(jié)
教學設計
設計意圖
復習回顧
1.等差數(shù)列的定義:為常數(shù).
2.等差數(shù)列的通項公式:.
3.等差數(shù)列中,若,則,.
通過復習等差數(shù)列的定義、通項公式及等差數(shù)列的性質，以舊悟新為學習新知識埋下伏筆.
引入情境，分析展示課題
200多年前,德國著名數(shù)學家Gauss(高斯)10歲讀小學時,教師出了一道數(shù)學題:?據(jù)說,當其他同學忙于把100個數(shù)逐項相加時,高斯經(jīng)過思考后很快得出其結果是5050.
師:“小高斯快速算出的和,成為千古美談.同學們,我們也能成長為高斯.這節(jié)課我們研究等差數(shù)列的前項和,就是與高斯比一比,我們也能快速算出,并且把這種方法推廣到更一般的等差數(shù)列前項和的求法中去.”
這個問題實際上就是本節(jié)課要學習的內容(板書課題).
5.2.2等差數(shù)列的前項和
一般地,等差數(shù)列的前項和用表示,即
現(xiàn)在分小組討論探究下面的問題:
（1）從數(shù)列角度來看,這是什么數(shù)列?高斯是用什么方法快速算出這個數(shù)列的和的?
（2）高斯的算法妙處在哪里?這種方法能夠推廣到求一般數(shù)列的前項和嗎?
（3）這些方法用到了等差數(shù)列的哪一個性質?
（4）能否用高斯的速算法求下列等差數(shù)列的前項和?
= 1 \* GB3 ①計算?
= 2 \* GB3 ②計算?
學生閱讀、小組討論時,教師要眼觀六路,耳聽八方,對每個學生在小組討論中遇到的難題,要進行適當點撥,使他們的學習走上正軌,然后各小組匯報研究性學習成果,進行全班交流.
組小組長:是首項為1,末項為100,公差為1的等差數(shù)列,高斯的算法是:
.
B組小組長:也可以寫成算式的形式:
師:很好,這種方法就是把數(shù)列各項的順序倒過來再相加的方法,我們把這種方法稱為“倒序求和法”.這種倒序求和法運用了等差數(shù)列的哪一個性質?
B組小組長:運用了等差數(shù)列中與首末兩項等距離的兩項的和等于首末兩項和的性質.即在等差數(shù)列中,若,則.
以高斯的故事吸引學生的注意力，調動學生學習的積極性，使學生快速進入學習狀態(tài)中.
以問題激發(fā)興趣，以問題產(chǎn)生好奇.
學生小組合作探究等差數(shù)列前n項和的求法，充分發(fā)揮學生的主觀能動性，發(fā)展數(shù)學運算和邏輯推理核心素養(yǎng).
推導公式
教師因勢設問:“能把倒序求和法推廣到求一般的等差數(shù)列的前項和嗎?”
C組小組長:可以運用倒序求和法計算:
因為
,
所以,
所以.(I)
D組小組長:同理運用倒序求和法也可計算:
所以.（II）
E組小組長:由下列算法也可以得到公式（I）：
所以.()
以代入上式也可得到公式(II)的形式.
師:非常好.公式（I）（II）稱為等差數(shù)列的前項和公式,用這些公式可求得等差數(shù)列的前項和.
引導學生比較得出:若已知等差數(shù)列首項為,末項為,項數(shù)為,可直接運用公式()求和;若已知等差數(shù)列首項為,公差為,項數(shù)為,則直接運用公式(II)求和較為簡便.從公式的結構特點可知,兩個公式中共包含五個量,只要知道其中三個量，就可以求出其余兩個量.
思考:（1）比較兩個公式（I）（II），說說它們分別從哪些角度反映了等差數(shù)列的性質?
（2）等差數(shù)列中,與的關系與以前學過的什么函數(shù)有關?
提示:二次函數(shù).
（3）如果數(shù)列的前項和的公式是,其中,都是常數(shù),那么一定是等差數(shù)列嗎?為什么?
提示::不一定.時是等差數(shù)列.
將等差數(shù)列的前n項和的公式的推導過程變成學生研究性思維學習成果的展示過程.在這個“過程”中，鍛煉學生的學習、思考和語言表達能力，在連續(xù)的變式推理過程中，使學生的創(chuàng)造性思維品質在不斷地追問、假設、探究和想象中培養(yǎng)起來.
對求和的兩個公式進行比較，得出它們分別適用的情景.
培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性，為用函數(shù)觀點解決數(shù)列問題做鋪墊.
熟悉公式，初步應用
請同學們解下列一組題.
計算下列各題:
（1）;
（2）;
（3）;
（4）.
生:直接利用等差數(shù)列的前項的公式(I)求得:
（1）原式(這是正整數(shù)列之和).
（2）原式(這是正奇數(shù)列之和).
（3）原式(這是正偶數(shù)列之和).
師:第（4）題中的數(shù)列不是等差數(shù)列,但在解題時我們應仔細觀察,由此及彼,由表及里,去偽存真,尋找規(guī)律,可能某局部成等差數(shù)列(學生在教師引導下悟到).
生甲:把正數(shù)項與負數(shù)項分開,正好組成正奇數(shù)列與正偶數(shù)列之差.
所以原式
.
生乙:原數(shù)列雖然不是等差數(shù)列,但還有一個規(guī)律,相鄰兩個正整數(shù)之差為,即依次相鄰兩項結合都為,可得另一解法:
原式
.
師:從以上解題過程反思,可以看到一些題目表面上好像沒有什么規(guī)律,在解題時只要我們仔細觀察,尋找規(guī)律,是能找到好的解題方法的.
推導出求和公式之后，通過常用的正整數(shù)列、正奇數(shù)列、正偶數(shù)列的求和，使學生初步熟悉等差數(shù)列的前n項和的公式的應用.
通過練習（4），使學生明白一些題目表面看來沒有等差數(shù)列的規(guī)律，只要認真觀察，深入分析，進行適當分組，局部是符合等差數(shù)列規(guī)律的.
從而培養(yǎng)學生的觀察分析能力，提高拓展能力和創(chuàng)新能力，也培養(yǎng)“聯(lián)系與轉化”的理性思維，為進一步運用等差數(shù)列的前n項和的公式解應用題打下知識基礎和思想方法基礎.
建立數(shù)學模
型解應用題
例1 求集合且的元素個數(shù),并求這些元素的和.
引導學生清楚地認識到,要找到解這類題的方法,必須抽象出數(shù)量關系,建立相應的數(shù)學模型,這是尋找解題方法的關鍵.求等差數(shù)列的和,要特別注意數(shù)列的項數(shù)是多少.
師:元素的個數(shù)應根據(jù)什么條件確定?
生:應根據(jù)的范圍條件確定,由,得,
所以,又因為,
所以滿足上面不等式的正整數(shù)共有14個,
所以集合的元素共有14個.
師:請把這14個元素從小到大列出來.
生:.
師:這是一個什么數(shù)列?
生:這個數(shù)列是等差數(shù)列,記為,其中首項,末項,項數(shù),公差,根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式得:
答:集合共有14個元素,它們的和等于735.
師:可以用公式(II)解答嗎?
生:可以,有:.
師:比較一下,這兩種方法有什么不同之處?
生:用公式(I)要先求出,再運用公式.用公式(II)不需求就可以直接運用公式,顯然用公式(II)方法簡單.
例2 2000年11月14日教育部下發(fā)了《關于在中小學實施“校校通”工程的通知》.某市據(jù)此提出了實施“校校通”工程的總目標:從2001年起用10年時間,在全市中小學建成不同標準的校園網(wǎng).據(jù)測算,2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費為500萬元,為了保證工程的順利實施,計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元,那么從2001年起的未來10年內,該市在“校校通”工程中的總投入是多少?
對此例題,教師先啟發(fā)引導,然后讓學生練習,如有不懂再點撥.實施“校校通”工程的經(jīng)費,每年是多少?總投入經(jīng)費是多少?想一想這個問題的數(shù)量關系與我們所學過的哪些數(shù)學規(guī)律類似?500萬,50萬,未來10年的“10年”,工程總投入等相當于數(shù)學理論中什么量?從中建立求解的數(shù)學模型.
生甲:根據(jù)題意,從2001年起到2010年該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費都比上一年增加50萬,可以建立一個等差數(shù)列,表示從2001年起每年投入的資金.其中.由公式（II）可知,投入金額為:
(萬元).
生乙:也可以用公式()求解:
，
（萬元）.
答:從2001年起到2010年,該市在“校校通”工程中總投入資金為7250萬元.
在應用等差數(shù)列的前n項和的公式解題時使學生學會抽象出數(shù)量關系，建立相應的數(shù)學模型，即等差數(shù)列模型，從而獲得解題方法，培養(yǎng)學生學數(shù)學、用數(shù)學的意識和能力.
分別用公式（I）、公式（Ⅱ）解答，使學生認識到掌握題目的數(shù)量關系后，可以從多角度去解題，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維.
鞏固學生的解題程序和強化應用意識，加深學生對解應用題必須要建立數(shù)學模型的重要性的認識，進一步掌握建立數(shù)學模型的方法，發(fā)展數(shù)學建模核心素養(yǎng).
鞏固練習
1.求集合且的元素個數(shù),并求這些元素的和.
2.一位技術人員計劃用下面的辦法測試一種賽車:從時速開始,每隔速度提高.如果測試時間為,測試距離有多長?
3.請同學們參考例和課堂練習題自己編寫一道求等差數(shù)列前項和的練習題并解答.
再次強化數(shù)學建模等解題程序.
通過學生自己編題來練習，進一步鞏固對等差數(shù)列的前項和的公式的理解，培養(yǎng)學生求異、發(fā)散等思維能力.
歸納總結
師:誰來總結一下,本節(jié)課學習了什么內容和方法?
生:（1）本節(jié)課學習了等差數(shù)列的前項和公式
（II）
.(II)
（2）學習了一種嶄新的數(shù)學方法一一倒序求和法.
師:總結得很好,我們還應注意以下幾點：
（1）公式（I）（II）共有五個量,只要知道其中三個量,就可以求出其他兩個量.
（2）求等差數(shù)列的前項和,要特別注意公式中的項數(shù)是多少.
（3）解應用題時,必須運用理論聯(lián)系實際的方法,抽象出數(shù)量關系,建立相應的數(shù)學模型,才能找到適當?shù)慕忸}方法.
啟發(fā)、引導學生歸納總結，一方面可以了解學生課堂接受能力的情況，另一方面可以培養(yǎng)學生歸納總結的能力，使學生系統(tǒng)記憶本節(jié)課所學習的知識.
布置作業(yè)
1.教材第26頁練習B第1~5題.
2.自己編寫一道求等差數(shù)列的前n項和的練習題.
3.寫一篇學習“等差數(shù)列的前n項和”的心得.
4.預習：教材5.3.1等比數(shù)列.
復習鞏固課堂學習的知識.
通過學生自己編題和寫小論文，讓學生深層理解課堂所學習的知識，提高應用知識的能力，這是當前教改的新措施.
預習可以培養(yǎng)學生的自覺能力，使學生成為學習的主人.
等差數(shù)列的前項和
1.等差數(shù)列的前項和公式
推導過程:
公式:
2.例題
例1
例2
3鞏固練習
4歸納總結
5布置作業(yè)