數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)（2024）1.4 線段垂直平分線與角平分線優(yōu)秀當(dāng)堂檢測(cè)題

這是一份數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)（2024）1.4 線段垂直平分線與角平分線優(yōu)秀當(dāng)堂檢測(cè)題，文件包含專題14線段垂直平分線與角平分線高效培優(yōu)講義數(shù)學(xué)蘇科版2024八年級(jí)上冊(cè)原卷版docx、專題14線段垂直平分線與角平分線高效培優(yōu)講義數(shù)學(xué)蘇科版2024八年級(jí)上冊(cè)解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共76頁(yè)， 歡迎下載使用。

知識(shí)點(diǎn)01 線段垂直平分線的性質(zhì)
1.線段的垂直平分線性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端的 ．
2.線段的垂直平分線的逆定理（判定定理）：到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的 上。
3、線段垂直平分線的尺規(guī)作圖（步驟）：（1）分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點(diǎn)；（2）作直線CD，CD即為所求直線。

拓展：三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，這點(diǎn)是三角形外接圓的圓心（外心）。
注意：線段的垂直平分線性質(zhì)是證明兩線段相等的常用方法之一；同時(shí)也給出了引輔助線的方法，那就是遇見(jiàn)線段的垂直平分線，畫出到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件。
【即學(xué)即練】
1．（24-25八年級(jí)下·遼寧錦州·期中）在元旦聯(lián)歡會(huì)上，3名小朋友分別站在三角形三個(gè)頂點(diǎn)的位置上，他們?cè)谕鎿尩首佑螒?，誰(shuí)先坐到凳子上誰(shuí)獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放在三角形的（ ）
A．三條角平分線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn) C．三條高的交點(diǎn) D．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)
2．（2025·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于，兩點(diǎn)；②作直線交于點(diǎn)，連接．若，，則的周長(zhǎng)為 ．
3．（24-25七年級(jí)下·上?！て谀┤鐖D，在Rt中，
(1)請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作線段的垂直平分線，分別交線段于點(diǎn)
(2)連接，請(qǐng)找出圖中和相等的線段（直接寫出答案，無(wú)需說(shuō)明理由）．
4．（24-25八年級(jí)下·陜西渭南·期中）如圖，在中，D是上的一點(diǎn)，連接，作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，且平分，連接．證明：垂直平分．
5．（24-25八年級(jí)下·廣東茂名·階段練習(xí)）如圖，在中，邊的垂直平分線分別交，于點(diǎn)M，D，邊的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)O．
(1)試判斷點(diǎn)O是否在的垂直平分線上，并說(shuō)明理由；(2)若，求的度數(shù)．
知識(shí)點(diǎn)02 角平分線的性質(zhì)
1、角的平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的 。
如圖1，若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＝PF。

圖1 圖2 圖3
2、角平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在 上。
如圖2，若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE＝PF，則PD平分∠ADB。
拓展：三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三邊的距離相等，這點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心（內(nèi)心）。
3、角的平分線的尺規(guī)作圖（步驟）：（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E；（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C；（3）畫射線OC，即射線OC即為所求（如圖3所示）。
【即學(xué)即練】
1．（24-25八年級(jí)下·陜西渭南·期中）如圖，已知點(diǎn)是的內(nèi)部一點(diǎn)，且點(diǎn)到的三條邊的距離均相等（），連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法一定正確的是（ ）
A．是的高 B．是的中線 C．是的角平分線 D．是的中垂線
2．（24-25八年級(jí)下·廣東梅州·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，是它的對(duì)角線，，若平分，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25八年級(jí)下·四川成都·階段練習(xí)）如圖，，分別為的兩個(gè)外角的角平分線，于點(diǎn)P，于點(diǎn)Q，于點(diǎn)D，求證：點(diǎn)E在的角平分線上．

4．（24-25八年級(jí)下·安徽宿州·期中）如圖，中，，點(diǎn)D在邊延長(zhǎng)線上，的平分線交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作，垂足為H，且.(1)求的度數(shù)；(2)求證：平分；(3)若，，且，求的面積.
題型01 線段垂直平分線的性質(zhì)定理的運(yùn)用（長(zhǎng)度、角度）
【典例1】（2025·江蘇連云港·中考真題）如圖，在中，，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)D、E，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)F、G，則的周長(zhǎng)為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【變式1】（24-25·山西臨汾·八年級(jí)期末）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn)若，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（24-25七年級(jí)下·山東青島·階段練習(xí)）如圖，中，，垂直平分，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，且．若周長(zhǎng)為13，， ．
【變式3】（2025·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)D，連接，若，，則的周長(zhǎng)為（ ）
A．17B．16C．18D．20
題型02 線段垂直平分線的判定定理及運(yùn)用
【典例1】（24-25七年級(jí)下·上海閔行·階段練習(xí)）如圖，已知：，，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上．(1)求證：垂直平分；(2)求證：
【變式1】（2025·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，，E為的中點(diǎn)，且，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．11B．12C．13D．14
【變式2】（24-25八年級(jí)上·江蘇·期中）定義：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形，如圖，正五邊形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)O．(1)求五邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；(2)求證：；(3)連接，求證：垂直平分．

【變式3】（24-25·江蘇蘇州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，，與交于O，．求證：(1)；(2)點(diǎn)O在線段的垂直平分線上．
題型03 角平分線性質(zhì)定理的運(yùn)用（長(zhǎng)度、面積、角度）
【典例1】（24-25八年級(jí)下·廣東揭陽(yáng)·期中）如圖，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，平分，于點(diǎn)，連接，若，，則的面積是（ ）
A．B．C．D．
【變式1】（24-25八年級(jí)下·陜西西安·期中）如圖，平分，于點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（24-25八年級(jí)下·河南焦作·期中）如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．2B．C．D．2.5
【變式3】（24-25八年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·期中）如圖，在中，，是內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
題型04 角平分線的判定定理的運(yùn)用
【典例1】（24-25八年級(jí)下·陜西寶雞·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)E、F分別在上，是的垂直平分線，，，交于點(diǎn)G．
(1)求證：平分；(2)若，求證：．
【變式1】（2025·江蘇泰州·二模）如圖，在中，D是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與的角平分線交于點(diǎn)E，連接．若要求的度數(shù)，只需要知道下列哪個(gè)角的度數(shù)（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（24-25八年級(jí)上·四川廣元·期中）如圖，中，點(diǎn)、分別是、延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，、的角平分線、交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作、，垂足分別是點(diǎn)、，則、、之間的數(shù)量關(guān)系是 ．
【變式3】（24-25八年級(jí)上·廣東·期中）如圖，與都是等邊三角形，若與相交于點(diǎn)．
(1)求的度數(shù)；(2)連接，求證：平分．
題型05 角平分線的第二定理（拓展）
【典例1】（24-25八年級(jí)上·上?！るA段練習(xí)）已知，是一條角平分線．
(1)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1所示，若是的角平分線．可得到結(jié)論：．
小紅的解法如下：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵是的角平分線，且，，∴________．（________）
∴________，又∵，∴．
(2)【類比探究】如圖2所示，若是的外角平分線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．求證：．
(3)【拓展應(yīng)用】如圖3所示，在中，，、分別是、的角平分線且相交于點(diǎn)，若，直接寫出的值是________．
【變式1】（23-24八年級(jí)上·遼寧鐵嶺·階段練習(xí)）如圖，的三邊、、長(zhǎng)分別是、、，其三條角平分線交于點(diǎn)，并將分為三個(gè)三角形，則的比值為（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（24-25八年級(jí)上·廣東珠?！て谀┠硵?shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行如下探究：如圖1，在中，是它的中線，則中線平分三角形的面積，即．繼續(xù)探究，如圖2，在中，是它的角平分線，此時(shí)角平分線不一定平分三角形的面積，但發(fā)現(xiàn)和的面積比等于圖中兩組不同的線段比，即①________，②________．
(1)【證明結(jié)論】①根據(jù)“發(fā)現(xiàn)”，完成填空：________=________；
②請(qǐng)選擇“發(fā)現(xiàn)”中的一組線段比進(jìn)行證明．
(2)【應(yīng)用結(jié)論】如圖3，在中，是它的角平分線，，是的中點(diǎn)，連接．①求證：垂直平分；②在圖中畫出邊上的高（只需體現(xiàn)的位置），并求．
【變式3】（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知，是一條角平分線．
【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，若是的角平分線．可得到結(jié)論：．
小艷的解法如下：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵是的角平分線，且，，∴______
∴______又∵，∴______
【類比探究】如圖2，若是的外角平分線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．求證：．
【拓展應(yīng)用】如圖3，在中，，、分別是、的角平分線且相交于點(diǎn)，若，直接寫出的值是______

題型06 多定理疊加運(yùn)用（垂直平分線+角平分線）
【典例1】（24-25八年級(jí)上·湖北襄陽(yáng)·期末）如圖，在中，為的中點(diǎn)，交的平分線于，于，交延長(zhǎng)線于.(1)求證：.(2)猜想、、的數(shù)量有什么關(guān)系？并證明你的猜想；(3)若，，則________.
【變式1】（24-25八年級(jí)下·江西撫州·階段練習(xí)）如圖，已知是線段的垂直平分線，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足是，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，連接，，平分，則線段之間的等量關(guān)系是 ．
【變式2】（24-25八年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期中）如圖， 中，的角平分線和邊的垂直平分線交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ， 于點(diǎn)． 若，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【變式3】（24-25八年級(jí)上·江蘇·期末）如圖，已知中邊上的垂直平分線與的平分線交于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G．(1)求證：．(2)求證：．
題型07 線段垂直平分線與角平分線的實(shí)際應(yīng)用
【典例1】（24-25八年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·期中）如圖，某小區(qū)的三棟單元樓分別位于的三個(gè)頂點(diǎn)處，要在內(nèi)建一個(gè)快遞站，并使快遞站到每一棟單元樓的距離相等，則快遞站應(yīng)建在的（ ）
A．三條角平分線的交點(diǎn) B．三邊垂直平分線的交點(diǎn) C．三條高所在直線的交點(diǎn) D．三條中線的交點(diǎn)
【變式1】（24-25·黑龍江佳木斯·八年級(jí)期末）如圖，是三條直線表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路交叉點(diǎn)的距離都相等，則可供選擇的地址有（ ）．
A．一處B．兩處C．三處D．四處
【變式2】（24-25七年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，直線 表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（ ）
A．1處B．2處C．3處D．4處
【變式3】（24-25八年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）某鎮(zhèn)準(zhǔn)備在兩兩相交的三條公路圍成的三角形空地上建一個(gè)物流園，使其到三條公路的距離相等，請(qǐng)問(wèn)物流園所建位置應(yīng)是（ ）
A．三角形三條角平分線的交點(diǎn)B．三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)
C．三角形三條中線的交點(diǎn)D．三角形三條高的交點(diǎn)
題型08 線段垂直平分線與角平分線的尺規(guī)作圖
【典例1】（24-25上海七年級(jí)下期末）如圖，A、B兩鎮(zhèn)位于國(guó)道l的同側(cè)，兩鎮(zhèn)距離國(guó)道分別有數(shù)公里．隨著經(jīng)濟(jì)發(fā)展，過(guò)往車輛增多，政府規(guī)劃在國(guó)道l上新建一座多功能加油站，既為車輛提供便利，又促進(jìn)兩鎮(zhèn)資源互通．如果你是工程師，請(qǐng)解決以下規(guī)劃問(wèn)題：
(1)公平選址：確定加油站位置P，使得加油站到A、B兩鎮(zhèn)的距離相等；
(2)路徑優(yōu)化：從A鎮(zhèn)前往B鎮(zhèn)，需途徑加油站加油．確定加油站位置Q，使得總路程最短：請(qǐng)分別作出上述兩種情況下的加油站P、Q的位置．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡并寫出結(jié)論，不用證明）
【變式1】（2025·北京海淀·三模）如圖，已知，以下是小聰通過(guò)尺規(guī)作圖解決問(wèn)題的部分過(guò)程：
①以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)；②以點(diǎn)E為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M；③作射線，與延長(zhǎng)線父于點(diǎn)P，點(diǎn)D為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．
根據(jù)以上作法，下列結(jié)論不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（24-25七年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）尺規(guī)作圖：求作點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)M，N的距離相等，同時(shí)到的兩邊的距離也相等．
【變式3】（24-25八年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·期中）如圖，兩條筆直的小路與相交于點(diǎn)，點(diǎn)、處分別為楓葉林景區(qū)和花卉景區(qū)，現(xiàn)打算在內(nèi)部修建一處觀景臺(tái)，使得觀景臺(tái)到的距離與觀景臺(tái)到的距離相等．且，請(qǐng)你找出觀景臺(tái)的位置．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
【變式4】（23-24八年級(jí)下·陜西·期末）尺規(guī)作圖：如圖，中，為上一點(diǎn)，連接 ，請(qǐng)?jiān)趦?nèi)部找一點(diǎn) ． 使點(diǎn)到邊的距離相等，且滿足（保留作圖痕跡，不寫作法）
題型09 角平分線的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用
【典例1】（24-25八年級(jí)上·江蘇·期中）如圖，在中，和的平分線，相交于點(diǎn)，交于，交于，過(guò)點(diǎn)作于，下列三個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，；③若，，則．其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)
【變式1】（24-25八年級(jí)上·山東臨沂·期末）如圖，為的角平分線，，過(guò)作于，交的延長(zhǎng)線于，則下列結(jié)論：①；②；③；④；其中正確結(jié)論的序號(hào)有（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【變式2】（24-25八年級(jí)上·重慶云陽(yáng)·期中）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（ ）
①；②；③若，則；④；⑤
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【變式3】（24-25八年級(jí)上·廣東廣州·期末）如圖，在中，，，，，角平分線、交于點(diǎn)，于點(diǎn)，．下列結(jié)論：①點(diǎn)在的平分線上；②；③；④，其中正確的結(jié)論是 （填序號(hào)）
【變式4】（24-25八年級(jí)上·四川南充·期末）如圖，在中，，角平分線、交于點(diǎn)O，于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①；②；③；④若，則，其中正確結(jié)論有 ．
題型10 線段垂直平分線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用
【典例1】（24-25八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在中，是邊上的高，是的角平分線，垂直平分，垂足為點(diǎn)H，分別交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連結(jié)；下列結(jié)論：①；②；③；④．
其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【變式1】（24-25八年級(jí)上·福建龍巖·期末）如圖，中，，點(diǎn)M，N分別在，上，將沿直線翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊上（不含端點(diǎn)B，C），下列結(jié)論：①直線垂直平分；②；③；④若M是中點(diǎn)，則．其中一定正確的是（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．①③④
【變式2】（24-24八年級(jí)上·山西臨汾·階段練習(xí)）情景一：小明在數(shù)學(xué)興趣小組探究活動(dòng)課上發(fā)現(xiàn)：對(duì)于一個(gè)△ABC，分別作邊AB，AC的垂直平分線DM，EN相交于點(diǎn)O，如圖1所示，此時(shí)經(jīng)過(guò)測(cè)量后，得到∠MAN＝30°，根據(jù)上述條件，能不能得到∠BAC的度數(shù)呢？小明結(jié)合所學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行了以下論證．
證明：∵DM是邊AB的垂直平分線，
∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠B．同理可得∠NAC＝∠C，
則 解得∠BAC＝105°．
情景二：小明繼續(xù)對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行探究發(fā)現(xiàn)：若邊AB，AC的垂直平分線DM，EN相交于點(diǎn)O，如圖2所示，試判斷∠MAN與∠BAC之間的數(shù)量關(guān)系．
(1)情景一中得到∠MAB＝∠B的理由是______．
(2)在圖1的情況下，若∠MAN的度數(shù)為α，則∠BAC的大小為______（用含α的代數(shù)式表示）．
(3)請(qǐng)寫出情景二中∠MAN與∠BAC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【變式3】（24-25·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)期末）如圖，在中，邊的垂直平分線交于點(diǎn)D，邊的垂直平分線交于點(diǎn)E，與相交于點(diǎn)O．
(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，直接寫出的度數(shù)_________；
(2)如圖1，當(dāng)，且．
①若，則________°；②當(dāng)_________°時(shí)，；
(3)如圖2，連接，，．若的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為．則線段________；線段__________．(4)如圖3，若，則__________°．

1．（2025·山東威?！ぶ锌颊骖}）我們把兩組鄰邊分別相等的四邊形稱之為“箏形”．在四邊形中，對(duì)角線交于點(diǎn)O．下列條件中，不能判斷四邊形是箏形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．（2025·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)D，連接，若，，則的周長(zhǎng)為（ ）
A．17B．16C．18D．20
3.（24-25八年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·期中）如圖，點(diǎn)P是內(nèi)的一點(diǎn)，若，則（ ）

A．點(diǎn)P在的平分線上B．點(diǎn)P在的平分線上
C．點(diǎn)P在邊的垂直平分線上D．點(diǎn)P在邊的垂直平分線上
4．（24-25八年級(jí)下·河南鄭州·期中）如圖，在中，，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年級(jí)上·廣東東莞·期中）小明將兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺如圖放置在上，兩把直尺的接觸點(diǎn)為P，邊與其中一把直尺邊緣的交點(diǎn)為C，點(diǎn)在這把直尺上的刻度讀數(shù)分別是2和5，則的長(zhǎng)度是（ ）

A．B．C．D．
6．（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，平分，于點(diǎn)．若，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·天津南開·三模）如圖1，在中，，．按照如下尺規(guī)作圖的步驟進(jìn)行操作（如圖2所示）：
①以點(diǎn)為圓心，以為半徑畫弧，與相交于點(diǎn)；
②分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)；
③連接，與相交于點(diǎn)．則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．垂直平分 B．C．平分D．
8．（24-25八年級(jí)上·重慶云陽(yáng)·期中）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（ ）
①；②；③若，則；④；⑤
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
9．（24-25八年級(jí)上·北京·期中）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)分別為邊上的點(diǎn)，且，則下列結(jié)論：①點(diǎn)在的平分線上；②點(diǎn)在的平分線上；③；④的周長(zhǎng)為的2倍．其中正確的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
9．（24-25八年級(jí)上·河南周口·期中）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在 ．
10．（2025·云南臨滄·三模）如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，，為線段的垂直平分線，若的周長(zhǎng)為，，則的長(zhǎng)為 ．
11.（24-25八年級(jí)下·遼寧錦州·期中）如圖，在中，邊的垂直平分線與的外角平分線交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E．若，．則的長(zhǎng)度是 ．
12.（24-25·浙江八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點(diǎn)D、E，AC的垂直平分線分別交AC，BC于點(diǎn)F、G，則△AEG的周長(zhǎng)為__．
13．（24-25八年級(jí)上·遼寧鐵嶺·期中）如圖，的三邊的長(zhǎng)分別是30，40，50，其三條角平分線將分為三個(gè)三角形，則等于 ．
14．（24-25八年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，中，，角平分線、相交于，，，，則 （用含、的式子表示）
15．（24-25八年級(jí)下·陜西延安·期中）如圖，是內(nèi)部的一條射線，點(diǎn)在上，連接、，，過(guò)點(diǎn)作，，，分別是垂足，且，求證：平分．
16．（2025·陜西咸陽(yáng)·三模）如圖，在中，是的角平分線．請(qǐng)利用尺規(guī)作圖法求作一點(diǎn)，使得點(diǎn)到的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）
17．（23-24八年級(jí)上·廣東惠州·期中）如圖，為的角平分線，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)G．(1)求證：垂直平分．(2)若，，，求的長(zhǎng)．

18．（24-25七年級(jí)下·浙江·課后作業(yè)）在中，小明利用尺規(guī)作了如圖①所示的痕跡，已知．
(1)觀察圖①中的尺規(guī)作圖的痕跡，可以發(fā)現(xiàn)直線是線段的______，射線是的______；
(2)在圖②中，若，求的面積；(3)若P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求最小值．
19．（24-25八年級(jí)上·湖北襄陽(yáng)·期末）如圖，在中，為的中點(diǎn)，交的平分線于，于，交延長(zhǎng)線于.
(1)求證：.(2)猜想、、的數(shù)量有什么關(guān)系？并證明你的猜想；
(3)若，，則________.
20．（24-25八年級(jí)上·江西贛州·期末）綜合與實(shí)踐
【問(wèn)題提出】如圖，在中，是它的角平分線．對(duì)于這一圖形，某數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了如下探究：分別過(guò)點(diǎn)作于，于，運(yùn)用角平分線的性質(zhì)可證
得．完成這一證明后，提出一個(gè)新的問(wèn)題：與有什么數(shù)量關(guān)系呢？
【特例感知】（）如圖，若時(shí)，______（填“”“”或“”）；
【深入探究】（）如圖，當(dāng)時(shí)，（）中的結(jié)論還成立嗎，寫出你的猜想并給予證明；
【結(jié)論應(yīng)用】（）如圖，是上的點(diǎn)，連接，若，，，求證：是等腰三角形；（）如圖，是的角平分線，且與相交于，若，，直接寫出的值是______．
21．（24-25八年級(jí)下·廣東深圳·期中）如圖，中，點(diǎn)在邊延長(zhǎng)線上，的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，且．(1)的度數(shù)是 ；(2)求證：平分；(3)若，且，求的面積．
教學(xué)目標(biāo)
1.理解和掌握角平分線性質(zhì)和判定定理，能應(yīng)用性質(zhì)和判定解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；
2.理解線段垂直平分線的概念；掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理及判定定理；
3.能運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及判定定理解決有關(guān)知識(shí)的證明或計(jì)算；
4.能夠利用尺規(guī)作出三角形的角平分線和垂直平分線。
教學(xué)重難點(diǎn)
1.重點(diǎn)
（1）已知垂直平分線或角平分線，輔助線的添加；
（2）多定理疊加推理：垂直平分線+角平分線的綜合推理。
2.難點(diǎn)
（1）垂直平分線中的距離是“點(diǎn)到點(diǎn)”，角平分線中的距離是“點(diǎn)到線”，切記不要混淆；
（2）垂直平分線與角平分線的尺規(guī)作圖。