數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)（2024）第1章 三角形1.3 全等三角形的判定精品復(fù)習(xí)練習(xí)題

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知識(shí)點(diǎn)01 全等三角形的判定-邊角邊
1. 全等三角形判定1——“邊角邊”公理
兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“ ”或“ ”）.
如下圖，若AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△（SAS）.

2. 有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形 全等。
如上圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等。
【即學(xué)即練】
1．（24-25八年級(jí)上·重慶南川·期末）如圖，，，則的判定依據(jù)是（ ）
A．B．C． D．
2．（24-25七年級(jí)下·重慶·期中）如圖，已知在中，，，在中，，，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F．試說(shuō)明：．
3．（2025七年級(jí)下·成都·專題練習(xí)）
請(qǐng)你根據(jù)以上材料解決下列問(wèn)題：(1)根據(jù)作圖痕跡補(bǔ)全作法．
由作圖可知，在和中，，所以_______；
(2)這種作一個(gè)三角形與已知三角形全等的方法的依據(jù)是_______（填序號(hào)）．
①；②；③；④
4．（24-25八年級(jí)上·北京·期中）如圖，點(diǎn)在一條直線上，，，．
(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．
知識(shí)點(diǎn)02 全等三角形的判定-角邊角
1、全等三角形判定2——“角邊角”公理
兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“ ”或“ ”）.
如下圖，若∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC ≌△（ASA）.

【即學(xué)即練】
1．（24-25八年級(jí)上·浙江湖州·期末）如圖所示，某同學(xué)不小心把一塊三角形玻璃打碎成三部分，現(xiàn)要去配制一塊與原來(lái)相同的三角形玻璃，那么應(yīng)帶哪一片碎玻璃（ ）
A．B．C．D．無(wú)法確定
2．（24-25八年級(jí)上·云南昭通·期中）如圖，在如圖1中已知，，線段m，求作．
作法：如圖2，①作線段；②在的同旁作，與的另一邊交于點(diǎn)C．則就是所作三角形，這樣作圖的依據(jù)是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江蘇無(wú)錫·二模）如圖，點(diǎn)在線段上，，，，．
(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．
4．（2025·江蘇南京·一模）如圖，在四邊形中，是邊上一點(diǎn)，連接，，平分，．求證：．
5．（2025·江蘇無(wú)錫·三模）已知：如圖，，，垂足分別為，，，相交于點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)已知，，求的長(zhǎng)度．

知識(shí)點(diǎn)03 全等三角形的判定-角角邊
1、全等三角形判定3——“角角邊”公理
兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“ ”或“ ”）。
如下圖，若∠A＝∠，BC＝，∠B＝∠，則△ABC ≌△（AAS）。

由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，這樣就可由“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說(shuō)，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論。
2.三個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等.
如上圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等。這說(shuō)明，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等。
【即學(xué)即練】
1．（24-25八年級(jí)上·浙江金華·期中）教材呈現(xiàn)：如圖為華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第65頁(yè)的部分內(nèi)容．做一做，如圖，已知兩條線段和一個(gè)角， 以長(zhǎng)的線段為已知角的鄰邊，畫一個(gè)三角形．

把你畫的三角形與其他同學(xué)畫的三角形進(jìn)行比較，所畫的三角形都全等嗎？此時(shí)符合條件的角形有幾種？
(1)[操作發(fā)現(xiàn)]如圖（1），通過(guò)作圖我們可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)（即“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等）的兩個(gè)三角形______全等（填“一定”或“不一定”）．
(2)[探究證明]閱讀并補(bǔ)全證明
已知：如圖（2），在和中，，，．求證：．
證明：在上取一點(diǎn)G，使，∵，∴______，
又∵，而，∴______，
∵，∴______，
又∵_(dá)_____，∴（______），∴（______）．
2．（24-25八年級(jí)下·福建廈門·期中）如圖，在中，將沿射線的方向平移至，連接，設(shè)與的交點(diǎn)為O．若為的中點(diǎn)，求證：．
3．（24-25七年級(jí)下·遼寧丹東·期中）如圖，點(diǎn)A，D，B，E在同一條直線上，，，．
(1)試說(shuō)明；(2)若，，求的度數(shù)．
4．（2025·江蘇鎮(zhèn)江·二模）如圖，，點(diǎn)在邊上，和相交于點(diǎn)．
(1)若，則_____°；(2)若，求證：．
5．（24-25八年級(jí)上·北京·期中）如圖，，，是上一點(diǎn)，，，連接交于點(diǎn)，求證：是的中點(diǎn)．
知識(shí)點(diǎn)04 全等三角形的判定-邊邊邊
1、全等三角形判定4——“邊邊邊”公理
三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。（簡(jiǎn)寫成“ ”或“ ”）.
如下圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△（SSS）

2、三角形的穩(wěn)定性
（1）三角形具有 （三邊長(zhǎng)度確定，形狀不會(huì)改變）。
（2）多邊形不穩(wěn)定。要想穩(wěn)定，中間加入邊，構(gòu)造成多個(gè)三角形。
【即學(xué)即練】
1．（2025·江蘇揚(yáng)州·二模）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，如圖，能得出的依據(jù)是全等三角形判定定理中的（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25八年級(jí)上·江蘇·課后作業(yè)）如圖，在中，，、、是的四等分點(diǎn)，，則圖中的全等三角形共有 對(duì)．
3．（2025·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）七年級(jí)2班數(shù)學(xué)興趣小組制作了如圖所示的“角平分線儀”，小明將角平分線儀的各點(diǎn)表上字母，如圖所示，并提出了一個(gè)問(wèn)題：如何證明是的平分線呢？
小麗想，先證明，即可得出結(jié)論，于是她寫出了如下證明過(guò)程：
回答下列問(wèn)題：(1)小麗的證明過(guò)程從第 步開始出錯(cuò)，第三步的依據(jù)是 ；
(2)請(qǐng)你幫助小明寫出正確的證明過(guò)程．
4．（24-25八年級(jí)上·吉林四平·階段練習(xí)）如圖，在中，，，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)度；(3)若，，求的度數(shù)．
5．（24-25·河北·平泉八年級(jí)期末）下列圖形具有穩(wěn)定性的是（ ）
A．①②B．③④C．②③D．①②③
知識(shí)點(diǎn)05 直角三角形全等的判定-HL
1、直角三角形全等的判定——HL定理
斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)寫成“ ”）。
如下圖，如果＝AB，＝AC，∠C＝∠＝90°，則△ABC≌△（HL）
這個(gè)判定方法是直角三角形所獨(dú)有的，一般三角形不具備。
【即學(xué)即練】
1．（24-25八年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，，垂足為，且，點(diǎn)在上，若用“”證明，則需添加的條件是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年級(jí)上·福建廈門·期末）如圖，點(diǎn)D，A，E在直線l上，，于D點(diǎn)，于E點(diǎn)，且若，，則 ．
3．（24-25八年級(jí)上·河南安陽(yáng)·期末）如圖，分別是、上的點(diǎn)，M、N分別是上的點(diǎn)，若、，求證：．
4．（24-25八年級(jí)下·貴州畢節(jié)·期中）已知，如圖，點(diǎn)A、E、F、B在同一條直線上，，，，，(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．
5．（24-25八年級(jí)上·浙江寧波·期中）如圖，四邊形中，度，E是上一點(diǎn)，且，。(1)與全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)求證：．
題型01 利用“SAS”證明三角形全等
【典例1】（24-25七年級(jí)下·吉林·階段練習(xí)）如圖，是等腰直角三角形，，點(diǎn)是上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)A、D重合），延長(zhǎng)至點(diǎn)，使．(1)求證：；(2)求證：．
【變式1】（24-25八年級(jí)上·河南鄭州·期末）如圖①是，畫，使得．如圖②是小明的畫圖過(guò)程，已知，則判定的依據(jù)是（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（24-25八年級(jí)上·浙江溫州·期中）如圖，是線段的中點(diǎn)，在的同側(cè)有兩點(diǎn)E，D，使得．求證：．
【變式3】（24-25八年級(jí)上·廣西防城港·期末）如圖，射線在外，．
(1)在射線上截取，連接；（要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
(2)在（1）的條件下，求證：；
【變式4】（2025·黑龍江哈爾濱·三模）（1）如圖1，在四邊形中，，分別是邊上的點(diǎn)，且，則與的數(shù)量關(guān)系為_______________．
（2）如圖2，在四邊形中，，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫出三條線段間的數(shù)量關(guān)系_________________．
（3）如圖3，在四邊形中，，分別是直線上的點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫出三條線段間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

題型02 利用“ASA”證明三角形全等
【典例1】 （24-25八年級(jí)上·浙江·期末）如圖，四邊形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，，求證：．
【變式1】（24-25七年級(jí)下·河南鄭州·期中）如圖，在和中，點(diǎn)，，，在同一直線上，，，，則的依據(jù)是（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（24-25九年級(jí)上·四川南充·期中）如圖，四邊形中，，，，，則四邊形的面積是
【變式3】（2025·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)D是的邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，過(guò)D作，且，連接交于點(diǎn)F，若，求證：．
【變式4】（24-25七年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)C在線段上，．與全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
題型03 利用“AAS”證明三角形全等
【典例1】（24-25九年級(jí)下·江蘇淮安·階段練習(xí)）如圖，．求證：．
【變式1】（24-25七年級(jí)下·上海松江·階段練習(xí)）如圖．已知是邊的中線．，、與直線的交點(diǎn)分別為點(diǎn)、，請(qǐng)說(shuō)明與全等的理由．
【變式2】（2025·云南臨滄·三模）如圖，在中，是斜邊上的高線，為上一點(diǎn)，于點(diǎn)，．求證：．
【變式3】（24-25八年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）如圖，，，．
(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．
【變式4】（24-25七年級(jí)下·廣東揭陽(yáng)·階段練習(xí)）（1）如圖1，在中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，分別從點(diǎn)，向直線作垂線，垂足分別為，，求證：；
【變式探究】（2）如圖2，在中，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，分別在直線上，如果，猜想，，有何數(shù)量關(guān)系，并給予證明；
【拓展應(yīng)用】（3）小明和科技興趣小組的同學(xué)制作了一幅機(jī)器人圖案，大致圖形如圖3所示，以的邊，為一邊向外作和，其中，，，是邊上的高，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．設(shè)的面積為，的面積為，請(qǐng)猜想，大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．
題型04 利用“SSS”證明三角形全等
【典例1】（24-25八年級(jí)上·河北·期中）下面是小明同學(xué)設(shè)計(jì)的“作一個(gè)角等于已知角”的尺規(guī)作圖的過(guò)程．
已知：如圖1，．求作：一個(gè)角，使它等于．

作法：如圖2．①在的兩邊上分別任取點(diǎn)，；②以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫?。灰渣c(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫?。粌苫〗挥邳c(diǎn)；③連接，，即為所求作的角．
(1)用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖2中的圖形（保留作圖痕跡）；
(2)完成下面證明的過(guò)程，并在括號(hào)內(nèi)補(bǔ)全推理依據(jù)．
證明：連接．在和中，（_____________），
（____________________）．
【變式1】（2025·貴州銅仁·二模）如圖，在與中，若，則，這個(gè)結(jié)論的理由是（ ）
A．B．C． D．
【變式2】（24-25八年級(jí)上·河北廊坊·期末）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，嘉嘉與淇淇?jī)擅瑢W(xué)各用長(zhǎng)為的3根木棒首尾相接拼成三角形．
嘉嘉說(shuō)：“我不用測(cè)量，就知道這兩個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別相等．”
淇淇說(shuō)：“我不用畫圖，就知道兩個(gè)三角形中長(zhǎng)為的邊上的中線相等．”
關(guān)于二人的說(shuō)法，判斷正確的是（ ）
A．嘉嘉的說(shuō)法正確，淇淇的說(shuō)法錯(cuò)誤B．嘉嘉的說(shuō)法錯(cuò)誤，淇淇的說(shuō)法正確
C．兩人的說(shuō)法都正確D．兩人的說(shuō)法都錯(cuò)誤
【變式3】（24-25八年級(jí)上·廣東惠州·期中）如圖，，，．求證：．

【變式4】（2025·云南楚雄·一模）如圖，C，D是上的兩點(diǎn)，且，，．求證：．
題型05 利用“HL”證明三角形全等
（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等，由于其中含有直角這個(gè)特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了；（2）判定兩個(gè)直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL。證明兩個(gè)直角三角形全等，首先考慮用“HL”定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法；（3）應(yīng)用“HL”判定兩個(gè)直角三角形全等的過(guò)程中要突出直角三角形這個(gè)條件，書寫時(shí)必須在兩個(gè)三角形前加上“Rt”。
【典例1】（2025七年級(jí)下·成都·專題練習(xí)）如圖，四邊形中，，，，，與相交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)判斷線段與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【變式1】（24-25八年級(jí)下·陜西西安·期中）如圖，，垂足為，是上一點(diǎn)，且，連接、，．若，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．5.5B．2.5C．3D．2
【變式2】（24-25八年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)實(shí)踐課上，小浩在旗桿與某棟樓之間選定一點(diǎn)（點(diǎn)、、在同一水平線上，于點(diǎn)于點(diǎn)），他在點(diǎn)處用智能測(cè)量?jī)x測(cè)得，，，求樓的高度．
【變式3】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在和中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，．求證：．
【變式4】（24-25八年級(jí)上·貴州遵義·期末）已知：如圖，是的高，是上一點(diǎn)，，，求證：(1)．(2)．
題型06 添加條件使三角形全等
1.選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表：
2.如何選擇三角形證全等
（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，可以證這兩個(gè)三角形全等；
（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個(gè)三角形全等；
（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個(gè)三角形全等，然后證它們?nèi)龋?br>（4）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。
【典例1】（24-25七年級(jí)下·四川成都·階段練習(xí)）如圖，已知，添加下列條件還不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（2025·四川成都·二模）如圖，已知，，添加下列條件不能使的是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24八年級(jí)上·四川樂山·期末）如圖，已知，要得到，還需從下列條件中補(bǔ)選一個(gè)，則錯(cuò)誤的選法是（ ）
A．B．C．D．
【變式3】（23-24八年級(jí)上·廣東廣州·期中）如圖，已知，，垂足分別為點(diǎn)E、F，則在下列各組條件中選擇一組，其中不能判定的是 （ ）
A．， B．， C．， D．，
【變式4】（24-25八年級(jí)上·江蘇·期末）根據(jù)相應(yīng)的條件，不能判斷分別給出的兩個(gè)三角形全等的是（ ）．
A．如圖1，線段與相交于點(diǎn)O，，與
B．如圖2，，與
C．如圖3，線段相交于點(diǎn)E，已知，與
D．如圖4，已知，與
【變式5】（2023·四川成都·二模）如圖，是內(nèi)的一條射線，D、E、F分別是射線、射線、射線上的點(diǎn)，D、E、F都不與O點(diǎn)重合，連接，添加下列條件，能判定的是（ ）
A．，B．，，
C．，D．，
題型07 全等三角形中的尺規(guī)作圖
【典例1】（24-25七年級(jí)下·上海·階段練習(xí)）嘉嘉先畫出了，再利用尺規(guī)作圖畫出了，使．圖1~圖3是其作圖過(guò)程．
在嘉嘉的作法中，可直接判定的依據(jù)是（ ）
A．B．C．D．
【變式1】（24-25八年級(jí)上·河北廊坊·期中）如圖，在中，，甲、乙兩位同學(xué)都以點(diǎn) B，C 為圓心畫出了兩段弧，作出 的角平分線，那么下列結(jié)論正確的是（ ）

A．甲、乙都對(duì) B．甲對(duì)、乙錯(cuò) C．甲錯(cuò)、乙對(duì) D．甲、乙都錯(cuò)
【變式2】（24-25八年級(jí)上·山東聊城·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在直線上，分別以線段的端點(diǎn)為圓心，以（小于線段）長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交直線、線段于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫弧交前面的弧于點(diǎn)，畫射線．若的平分線交直線于點(diǎn)，，則的度數(shù)為 ．

【變式3】（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)是的邊上任意一點(diǎn)．下面是“過(guò)點(diǎn)作”的尺規(guī)作圖過(guò)程：①以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，；②以點(diǎn)為圓心，線段的長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)；③以點(diǎn)為圓心，線段的長(zhǎng)為半徑畫弧，交前弧于點(diǎn)，作直線，則即為所求．
上述方法通過(guò)判定得到，進(jìn)而得到，其中判定的依據(jù)是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【變式4】（24-25七年級(jí)下·廣東·課后作業(yè)）
請(qǐng)你根據(jù)以上材料解決下列問(wèn)題：(1)根據(jù)作圖痕跡補(bǔ)全作法．
由作圖可知，在和中，，所以_______；
(2)這種作一個(gè)三角形與已知三角形全等的方法的依據(jù)是_______（填序號(hào)）．
①②③④
題型08 全等三角形的實(shí)際應(yīng)用
【典例1】（23-24七年級(jí)下·河南鄭州·期末）某校七年級(jí)學(xué)生到野外活動(dòng)，為測(cè)量一池塘兩端A，B的距離，甲、乙、丙三位同學(xué)分別設(shè)計(jì)出如圖所示的三種方案．
甲：如圖①，先在平地取一個(gè)可直接到達(dá)A，B的點(diǎn)C，再連接，，并分別延長(zhǎng)至D，至E，使，，最后測(cè)出的長(zhǎng)即為A，B的距離．
乙：如圖②，先過(guò)點(diǎn)B作的垂線，再在上取C，D兩點(diǎn)，使_____，接著過(guò)點(diǎn)D作的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則測(cè)出的長(zhǎng)即為A，B的距離．
丙：如圖③，過(guò)點(diǎn)B作，再由點(diǎn)D觀測(cè)，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)C，使_____，這時(shí)只要測(cè)出的長(zhǎng)即為A，B的距離．
(1)請(qǐng)你分別補(bǔ)全乙、丙兩位同學(xué)所設(shè)計(jì)的方案中空缺的部分．乙： ；丙： ．
(2)請(qǐng)你選擇其中一種方案進(jìn)行說(shuō)明理由．
【變式1】（24-25八年級(jí)上·江蘇南通·期末）雨傘在開合過(guò)程中某一時(shí)刻截面圖如圖所示，傘骨，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，是支架，且，在將傘打開的過(guò)程中，總有，這里得到兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是（ ）
A．B．C． D．
【變式2】（24-25七年級(jí)下·廣東深圳·期中）小麗與爸爸、媽媽在公園里蕩秋千，如圖，小麗坐在秋千的起始位置處，與地面垂直，小麗兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在處接住她后用力一堆，爸爸在處接住她．若點(diǎn)距離地面的高度為，點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)距離地面的高度是，，則點(diǎn)到的距離為 米．
【變式3】（24-25七年級(jí)下·上?！るA段練習(xí)）據(jù)史書記載，最早的風(fēng)箏是由古代匠人墨子用木頭制成的木鳥，稱為“木鳶”．后來(lái)隨著造紙術(shù)的發(fā)明，人們開始用紙張和竹條制作風(fēng)箏，使其更加輕便、易于放飛．在如圖所示的“風(fēng)箏”圖案中，、、．則不一定能得到以下哪個(gè)結(jié)論（ ）
A． B． C．D．
【變式4】（24-25八年級(jí)上·河南許昌·階段練習(xí)）如圖，沛沛沿一段筆直的人行道行走，邊走邊欣賞風(fēng)景，在由C走到D的過(guò)程中，通過(guò)隔離帶的空隙P，剛好瀏覽完對(duì)面人行道宣傳墻上的一條標(biāo)語(yǔ)，具體信息如下：如圖，，相鄰兩平行線間的距離相等，相交于P，垂足為D．已知米．沛沛根據(jù)上述信息借助三角形的全等求出標(biāo)語(yǔ)的長(zhǎng)度為16米，全等的理由是（ ）
A．B．C．D．
題型09 網(wǎng)格中點(diǎn)的三角形全等
【典例1】（2025·浙江臺(tái)州·二模）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，線段，的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則和的數(shù)量關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
【變式1】（24-25七年級(jí)下·吉林·階段練習(xí)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中， ．
【變式2】（24-25七年級(jí)下·山西太原·階段練習(xí)）如圖，在的正方形網(wǎng)格唎，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫作格點(diǎn)，點(diǎn)均為格點(diǎn)，連接，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（24-25八年級(jí)上·河南漯河·階段練習(xí)）如圖，是一個(gè)的正方形網(wǎng)格，則 ．
題型10 全等三角形的判定與性質(zhì)綜合
【典例1】（2025·安徽淮北·三模）如圖1，點(diǎn)在的平分線上．
(1)若，求證：．(2)如圖2，若．①已知，求的度數(shù)．②點(diǎn)在上，若，求證：．
【變式1】（24-25八年級(jí)上·重慶南川·期末）如圖，在中，D為邊上一點(diǎn)，E為邊上一點(diǎn)，且，連接，F(xiàn)為的中點(diǎn)．連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)G，在上截取點(diǎn)H，使，連接，若．(1)求證：；(2)求證：．
【變式2】（24-25七年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·期中）數(shù)學(xué)模型可以用來(lái)解決一類問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過(guò)探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．
(1)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：如圖1，在和中，，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，并說(shuō)明理由．
(2)類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．則與的數(shù)量關(guān)系：___________，___________．
(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，點(diǎn)在一條直線上，且，過(guò)點(diǎn)作垂足為點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)為___________．
【變式3】（24-25七年級(jí)下·吉林·階段練習(xí)）利用全等三角形面積相等可以解決與圖形面積相關(guān)的問(wèn)題．
初步感知：如圖1，在中，為中線，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，連接，使．
（1）填空：________．（填“”“”或“”）；（2）求證：；
（3）試說(shuō)明：．
拓展應(yīng)用（4）如圖2，在中，是鈍角，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，，，若，的面積是9，求與的面積之和．
【變式4】（24-25七年級(jí)下·山西太原·開學(xué)考試）閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)
全等四邊形
根據(jù)全等圖形的定義可知：四條邊分別相等、四個(gè)角也分別相等的兩個(gè)四邊形全等．在“探索三角形全等的條件”時(shí)，我們把兩個(gè)三角形中“一組邊相等”或“一組角相等”稱為一個(gè)條件，智慧小組的同學(xué)類比“探索三角形全等的條件”的方法探索“四邊形全等的條件”，進(jìn)行了如下思考：如圖，在四邊形和四邊形中，連接對(duì)角線，這樣兩個(gè)四邊形全等的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為“”與“”的問(wèn)題．若先給定的條件，只要再增加兩個(gè)條件使“”即可推出兩個(gè)四邊形中“四條邊分別相等、四個(gè)角也分別相等”，從而說(shuō)明兩個(gè)四邊形全等．
按照智慧小組的思路，小明對(duì)圖中的四邊形和四邊形先給出如下條件：，，，小亮在此基礎(chǔ)上又給出“，”兩個(gè)條件，他們認(rèn)為滿足這五個(gè)條件能得到“四邊形四邊形”
任務(wù)：(1)請(qǐng)根據(jù)小明和小亮給出的條件，請(qǐng)根據(jù)全等圖形的定義說(shuō)明四邊形四邊形的理由．(2)在材料小明所給條件的基礎(chǔ)上，小穎又給出兩個(gè)條件“，”．滿足這五個(gè)條件 （填“能”或“不能”）得到四邊形四邊形．
題型11 全等三角形中的探究問(wèn)題-角度關(guān)系
【典例1】（24-25八年級(jí)上·河北唐山·期中）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)分別在邊上，，，連接．(1)求證：平分；(2)若，求四邊形的面積；(3)猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
【變式1】（24-25七年級(jí)下·山東青島·階段練習(xí)）已知點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，分別以，為邊在線段同側(cè)作和，且，，，直線與交于點(diǎn)F．
(1)如圖1，求證：； (2)若，則 ；
(3)如圖2，若，則 ．（用含a的式子表示）
【變式2】（24-25七年級(jí)下·河南周口·階段練習(xí)）在中，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上．
(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)作，連接，與交于點(diǎn)，若為的中線，連接與全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)如圖2，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接，若，，，試判斷之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【變式3】（24-25八年級(jí)上·山東濱州·期中）如圖，，，，，B，C，E三點(diǎn)在同一條直線上．(1)求證：；(2)探究與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，并說(shuō)明理由．
題型12 全等三角形中的探究問(wèn)題-線段關(guān)系
【典例1】（24-25八年級(jí)上·浙江寧波·期中）已知，在四邊形中，，，、分別是、邊上的點(diǎn)．且．探究線段、、的數(shù)量關(guān)系．
(1)為探究上述問(wèn)題，小寧先畫出了其中一種特殊情況，如圖①當(dāng)，小寧探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連接，請(qǐng)你補(bǔ)全小寧的解題思路：先證明 ；再證明 ；即可得出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是 ．
(2)如圖②，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫出證明過(guò)程；
(3)在四邊形中，分別是所在直線上的點(diǎn)，且．請(qǐng)直接寫出、、線段之間的數(shù)量關(guān)系，不用證明．
【變式1】（24-25七年級(jí)上·山東東營(yíng)·階段練習(xí)）已知中，，，點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），以為邊作，，．連接．
(1)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：如圖1，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，①請(qǐng)寫出和之間的數(shù)量關(guān)系式為_____，位置關(guān)系為_____；
②求證：；(2)嘗試探究：如圖2，當(dāng)點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，
①中，，之間的數(shù)量關(guān)系式為_____．②并進(jìn)行證明．
【變式2】（24-25七年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）在等腰直角中，，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)，重合），連接，以為直角邊作等腰直角（點(diǎn)與點(diǎn)在直線的兩側(cè)），，連接．設(shè)．
(1)如圖1，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)．①求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；
②用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系并證明；
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，直接用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．
【變式3】（24-25七年級(jí)下·廣東深圳·期中）在通過(guò)構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題的過(guò)程中，有一種方法叫做倍長(zhǎng)中線法．
【問(wèn)題解決】（1）如圖（1），是的中線，且，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，可證得，其中判定全等的依據(jù)為：____．
【問(wèn)題應(yīng)用】（2）如圖（2），是的中線，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，試探究線段與的數(shù)量關(guān)系．
【拓展延伸】（3）如圖（3），是的中線，，，，試探究線段與的數(shù)量和位置關(guān)系，并加以證明．
題型13 添加輔助線構(gòu)造全等
【典例1】（24-25七年級(jí)下·上?！るA段練習(xí)）如圖，在中，已知，平分，，(1)若的面積是，求的面積；(2)求證：．
【變式1】（24-25八年級(jí)上·重慶渝北·期末）如圖，在四邊形中，，，，E、F分別是、上的點(diǎn)，且．若，則一定等于（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（24-25八年級(jí)上·湖南株洲·期末）綜合與實(shí)踐：
【問(wèn)題情境】課外數(shù)學(xué)社團(tuán)開展活動(dòng)時(shí)，輔導(dǎo)老師提出了如下問(wèn)題：如圖，中，若，點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，試求中線的取值范圍．

【探究方法】小明同學(xué)在組內(nèi)和同學(xué)們合作交流后，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)到E，使，連接，如圖1.請(qǐng)根據(jù)小明同學(xué)的方法思考：
（1）由已知條件和作輔助線，能得到，理由是 ．
A． B． C． D．
（2）由“三角形的三邊關(guān)系定理”，可以得到中線的取值范圍為 ．
【方法提煉】在解決三角形相關(guān)問(wèn)題時(shí)，題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件，可考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．
【解決問(wèn)題】（3）如圖2，在四邊形中，與不平行，M是邊的中點(diǎn)，已知平分，且，垂足為，若，試求的長(zhǎng)度．
【變式3】（23-24八年級(jí)上·遼寧葫蘆島·期末）【初步探索】（1）如圖1：在四邊形中，，，E、F分別是、上的點(diǎn)，且，探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______ ．
【靈活運(yùn)用】（2）如圖2，若在四邊形中，，，E、F分別是、上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由．
【拓展延伸】（3）已知在四邊形中，，，若點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿足，若，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．
【變式4】（24-25七年級(jí)下·河南鄭州·期中）【材料閱讀】小芳在學(xué)習(xí)完全等三角形后，她嘗試用三種不同方式擺放一副三角板．如圖：在中，，；在中，，，并提出了相應(yīng)的問(wèn)題．
【發(fā)現(xiàn)】如圖1，將兩個(gè)三角板互不重疊地?cái)[放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)擺放在線段上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．
(1)圖1中，，，求的長(zhǎng)．請(qǐng)補(bǔ)充小芳的過(guò)程．
，，
∵，，，，
，，……（補(bǔ)充小芳的過(guò)程）
(2)【類比】如圖2，將兩個(gè)三角板疊放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)在線段上且頂點(diǎn)在線段上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
(3)【拓展】如圖3，將兩個(gè)三角板疊放在一起，當(dāng)頂點(diǎn)在線段上且頂點(diǎn)在線段上時(shí)，若，，連接，請(qǐng)直接寫出的面積．

1．（24-25八年級(jí)上·山西大同·期末）如圖，把長(zhǎng)度確定的兩根木棍，的一端固定在A處，和第三根木棍擺出固定，將木棍繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，得到，這個(gè)實(shí)驗(yàn)說(shuō)明（ ）
A．有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形一定不全等
B．有兩角分別相等且其中一角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形不一定全等
C．兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等
D．有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等
2.（23-24八年級(jí)上·湖南懷化·期中）如圖，已知的六個(gè)元素，甲、乙、丙三個(gè)三角形中標(biāo)出了某些元素，則其中與全等的三角形是（ ）
A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙
3．（24-25八年級(jí)上·湖北黃石·階段練習(xí)）如圖所示，若，，添加后就能直接利用“”證得的條件是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25七年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）根據(jù)下列已知條件，能畫出唯一的的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25八年級(jí)上·河南周口·階段練習(xí)）年月日—月日，河南宜陽(yáng)舉辦“洛水昌谷風(fēng)箏節(jié)”，三十余種大型風(fēng)箏，形態(tài)各異，色彩斑斕．如圖，這是小穎目測(cè)的一個(gè)風(fēng)箏骨架，她根據(jù)，，不用測(cè)量就知道，小穎是通過(guò)全等三角形的知識(shí)得到的結(jié)論，則小穎判定三角形全等的依據(jù)是（ ）

A．B．C．D．
6．（24-25七年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·期中）在中，，將沿圖中虛線剪開，剪下的兩個(gè)三角形不一定全等的是（ ）
A． B．C． D．
7．（24-25八年級(jí)上·廣東湛江·期中）如圖1，已知，，線段，求作．作法：如圖2，①作線段；②在的同旁作，，與的另一邊交于點(diǎn)．則就是所作三角形，這樣作圖的依據(jù)是（ ）
A．已知兩邊及夾角 B．已知三邊 C．已知兩角及夾邊 D．已知兩邊及一邊對(duì)角
8．（24-25八年級(jí)上·上海閔行·期中）下列命題中，真命題的是（ ）
A．兩邊及第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
B．兩邊及第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
C．兩邊及其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
D．兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
9．（24-25八年級(jí)上·江蘇連云港·期中）如圖，在中，，角平分線與相交于點(diǎn)，平分，有下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（ ）
A．①③B．②③④C．①③④D．①②③④
10．（24-25八年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）如圖是由邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的網(wǎng)格，A，B，C，D，E五點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則的度數(shù)為 ．
11.（24-25八年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）如圖，在中，，，平分，，若，則的長(zhǎng)為 ．
12．（24-25七年級(jí)下·廣東揭陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖所示，，，，，，則
13．（24-25七年級(jí)下·四川達(dá)州·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，為邊上的高，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在直線上以/的速度移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交直線于點(diǎn)．（1）若，則 ；(用含的代數(shù)式表示（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) s時(shí)，．
14．（24-25七年級(jí)下·重慶·期中）如圖，中，，D為上一點(diǎn)，連接，E為外一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接，若，，則 ．
15．（24-25七年級(jí)下·四川成都·期中）如圖，中，，，，平分，且，則與的面積和是 ．
16．（24-25七年級(jí)下·四川達(dá)州·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在直線l上，點(diǎn)A，D在l的兩側(cè)，，，．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．
17．（24-25八年級(jí)下·廣東梅州·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)C，D均在線段上，且，分別過(guò)點(diǎn)C，D 在 的異側(cè)作，連接交于點(diǎn)G，．
(1)求證：．(2)求證：G是線段的中點(diǎn)．
18．（24-25七年級(jí)下·江西贛州·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，，且．(1)試說(shuō)明．(2)若，C是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．
19．（24-25八年級(jí)上·山東臨沂·期中）教科書第39頁(yè)有下面一段文字：
思考：如圖1，把一長(zhǎng)一短的兩根木棍的一端固定在一起，擺出．固定住長(zhǎng)木棍，轉(zhuǎn)動(dòng)短木棍，得到．這個(gè)實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了什么？
圖1中的與滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等，即，，，但與不全等．這說(shuō)明，有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等．
小明通過(guò)對(duì)上述問(wèn)題的再思考，提出：兩邊和其中一邊的對(duì)角（這個(gè)角是鈍角）分別相等的兩個(gè)三角形全等．即在和中，若，，（，為鈍角），則．對(duì)于小明的結(jié)論，阿強(qiáng)和阿芳分別提出了驗(yàn)證方案．
(1)阿強(qiáng)的驗(yàn)證方案：根據(jù)教科書中探究三角形全等判定方法的經(jīng)驗(yàn)，利用尺規(guī)作圖驗(yàn)證小明提出的結(jié)論．即先畫一個(gè)，使為鈍角，如圖2，再畫一個(gè)，使，，．把畫好的剪下來(lái)，放到上，看它們是否重合．
請(qǐng)利用直尺和圓規(guī)畫出符合條件的（不寫畫法，保留作圖痕跡）；
(2)阿芳的驗(yàn)證方案：利用三角形全等的判定方法證明小明提出的結(jié)論．即：在和中，已知，，（，為鈍角），如圖3．
求證：．請(qǐng)寫出證明過(guò)程．
20.（24-25八年級(jí)上·湖南邵陽(yáng)·期末）（1）如圖①，已知：中，，，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，于D，于E，求證：≌；
（2）拓展：如圖②，將（1）中的條件改為：中，，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且，為任意銳角或鈍角，請(qǐng)問(wèn)結(jié)論是否成立？如成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）應(yīng)用：如圖③，在中，是鈍角，，，，直線m與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若，的面積是16，求與的面積之和．
21．（24-25七年級(jí)下·江西撫州·階段練習(xí)）已知，在四邊形中，，，分別是邊上的點(diǎn)．且．探究線段的數(shù)量關(guān)系．
(1)為探究上述問(wèn)題，小寧先畫出了其中一種特殊情況，如圖①當(dāng)，小寧探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，請(qǐng)你補(bǔ)全小寧的解題思路：先證明________；再證明_________；即可得出線段之間的數(shù)量關(guān)系是______________________．
(2)如圖②，在四邊形中，，，分別是邊上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫出證明過(guò)程；
(3)在四邊形中，，，分別是所在直線上的點(diǎn)，且
．請(qǐng)直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系．
22．（24-25七年級(jí)下·江西吉安·階段練習(xí)）【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，馬老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，在中，，．是的中線，求的取值范圍．
【探究方法】第一小組經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：①延長(zhǎng)到E，使得；②連接，通過(guò)三角形全等把、、轉(zhuǎn)化在中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得的取值范圍為，從而得到的取值范圍是________；
方法總結(jié)：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”字樣，可以考慮倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形
【問(wèn)題解決】（2）如圖2，是的中線，是的中線，，下列四個(gè)選項(xiàng)中：直接寫出所有正確選項(xiàng)的序號(hào)是________．
①；②；③；④
【問(wèn)題拓展】（3）如圖3，，，與互補(bǔ)，連接、，E是的中點(diǎn)，試說(shuō)明：；（4）如圖4，在（3）的條件下，若，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，，，則的面積是________．
教學(xué)目標(biāo)
1.理解并掌握三角形全等的四種判定方法：1）?SAS?（兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等）；2）?ASA?（兩角及夾邊對(duì)應(yīng)相等）；3）AAS?（兩角及非夾邊對(duì)應(yīng)相等）；4）?SSS?（三邊對(duì)應(yīng)相等）；5）?HL?（斜邊和直角邊，僅限直角三角形）；
2.?探索與驗(yàn)證能力?：通過(guò)尺規(guī)作圖驗(yàn)證 ?SAS、?ASA、?SSS、?HL? 的確定性；能區(qū)分“SSA”不能作為普適判定條件的原因；
3.運(yùn)用判定方法證明三角形全等，并利用全等性質(zhì)求未知邊或角；
4.體會(huì)分類討論（如判定方法的選擇）和轉(zhuǎn)化思想（復(fù)雜圖形分解為基本模型）；發(fā)展邏輯推理與空間想象能力。
教學(xué)重難點(diǎn)
1.重點(diǎn)
（1）探索三角形全等條件的過(guò)程-?SAS、?ASA、?AAS、?SSS、?HL公理；
（2）靈活選擇判定方法解決復(fù)雜問(wèn)題，特別是實(shí)際圖形中的對(duì)應(yīng)關(guān)系識(shí)別。
2.難點(diǎn)
（1）會(huì)添加輔助線，利用分析法、綜合法尋求解題思路；
（2）深入理解?SSA的不確定性及?HL的適用范圍。
已知：．求作：，使得．
作法：如圖．
（1）作；（2）在射線上截取，在射線上截取；（3）連接線段，則即為所求作的三角形．
已知條件
可選擇的判定方法
一邊一角對(duì)應(yīng)相等
SAS、AAS、ASA
兩角對(duì)應(yīng)相等
ASA、AAS
兩邊對(duì)應(yīng)相等
SAS、SSS
（1）以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)M交于點(diǎn)N．
（2）以點(diǎn)N為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫弧，與（1）中的弧交于點(diǎn)P，作射線．
（3）以點(diǎn)A為圓心，先以長(zhǎng)為半徑畫弧，與邊交于點(diǎn)D，再以長(zhǎng)為半徑畫弧，與射線交于點(diǎn)E連接．
已知：．求作：，使得．
作法：如下圖．
（1）作；（2）在射線上截取，在射線上截?。?br>（3）連接線段，則即為所求作的三角形．