2025上海新七年級數學暑假提升講義 預習 第09講 十字相乘與分組分解（3知識點+3大核心考點+過關測）（教師版含解析）

這是一份2025上海新七年級數學暑假提升講義 預習 第09講 十字相乘與分組分解（3知識點+3大核心考點+過關測）（教師版含解析），共20頁。學案主要包含了方法規(guī)律，題型1 十字相乘法，變式1-1，變式1-2，變式1-3，變式1-4，題型2分組分解法，變式2-1等內容，歡迎下載使用。
內容導航——預習三步曲
第一步：學
析教材 學知識：教材精講精析、全方位預習
練題型 強知識：3大核心考點精準練
第二步：記
串知識 識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內容掌握
第三步：測
過關測 穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升
知識點01：十字相乘法
利用十字交叉線來分解系數，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法
x2 ab
x a
x b
ax + bx = ( a + b) x
知識點02：分組分解法
1.分組分解法
對于一個多項式的整體，若不能直接運用提公因式法和公式法進行因式分解時，可考慮分步處理的方法，即把這個多項式分成幾組，先對各組分別分解因式，然后再對整體作因式分解——分組分解法.即先對題目進行分組，然后再分解因式.
2.【方法規(guī)律】分組分解法分解因式常用的思路有：
3.添、拆項法
把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合于提公因式法、公式法或分組分解法進行分解.要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形.
添、拆項法分解因式需要一定的技巧性，在仔細觀察題目后可先嘗試進行添、拆項，在反復嘗試中熟練掌握技巧和方法.
知識點03:因式分解的一般步驟
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分組分解法, 十字相乘法, 添、拆項法等.
因式分解步驟
（1）如果多項式的各項有公因式，先提取公因式；
（2）如果各項沒有公因式那就嘗試用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來分解．
（4）結果要徹底，即分解到不能再分解為止．
【題型1 十字相乘法】
【例1】（24-25七年級上·上海虹口·階段練習）分解因式：
【答案】
【知識點】十字相乘法
【分析】本題考查十字相乘法分解因式，先把當成一個整體進行分解，再逐個括號進行分解即可．
【詳解】
．
【變式1-1】（24-25七年級上·上海普陀·階段練習）因式分解：．
【答案】
【知識點】十字相乘法
【分析】本題主要考查了十字相乘法分解因式，直接利用十字相乘法分解因式得出答案
【詳解】解：
．
【變式1-2】（24-25七年級上·上海普陀·階段練習）因式分解：
【答案】
【知識點】十字相乘法
【分析】此題考查了因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先將看作整體，利用十字相乘法分解，再利用十字相乘法繼續(xù)分解即可．
【詳解】解：
．
【變式1-3】（24-25七年級上·上海普陀·階段練習）因式分解：
【答案】
【知識點】提公因式法分解因式、十字相乘法
【分析】本題主要考查了分解因式，先提取公因式a，再利用十字相乘法分解因式即可得到答案．
【詳解】解：
．
【變式1-4】（23-24七年級上·上海浦東新·期中）因式分解：．
【答案】
【知識點】平方差公式分解因式、十字相乘法
【分析】此題考查了因式分解，先用平方差公式，再用十字相乘法進行因式分解即可．
【詳解】解：
故答案為：
【題型2分組分解法】
【例2】（24-25七年級上·上海寶山·期末）因式分解：．
【答案】
【知識點】分組分解法
【分析】本題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．用分組分解法分解即可．
【詳解】解：
．
【變式2-1】（24-25七年級上·上海松江·期末）因式分解：．
【答案】
【知識點】分組分解法
【分析】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是關鍵．利用分組分解法因式分解即可．
【詳解】解：原式
【變式2-2】（24-25七年級上·上海嘉定·期末）分解因式：．
【答案】
【知識點】分組分解法
【分析】將前兩項分組后兩項分組，進而提取公因式再利用平方差公式分解因式．
此題主要考查了分組分解法因式分解，正確進行分組是解題關鍵．
【詳解】解：
【變式2-3】（24-25七年級上·上海·期末）因式分解：
【答案】
【知識點】平方差公式分解因式、分組分解法、提公因式法分解因式
【分析】本題考查因式分解，重新組合為是解答的關鍵．先將原式重新組合為，再利用平方差公式和提公因式分解因式即可．
【詳解】解：
．
【變式2-4】（24-25七年級上·上海閔行·期末）因式分解：．
【答案】
【知識點】分組分解法、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式
【分析】本題主要考查因式分解，先把多項式的后三項分在一組構成完全平方式，再運用平方差公式進行分解即可．
【詳解】解：
．
【變式2-5】（24-25七年級上·上海楊浦·期末）因式分解：
【答案】
【知識點】綜合提公因式和公式法分解因式、分組分解法
【分析】本題主要考查了分解因式，先分組得到，再利用平方差公式和提公因式法分解因式即可．
【詳解】解：
．
【題型3 因式分解的應用】
【例3】（24-25七年級上·上?！るA段練習）試說明能被整除．
【知識點】因式分解的應用、冪的乘方運算
【分析】本題考查了因式分解的應用，把轉化為底數是的冪，再根據冪的乘方進行運算，最后利用提公因式法進行因式分解即可求證，掌握整式的運算法則是解題的關鍵．
【詳解】證明：
，
∴能被整除．
【變式3-1】（24-25七年級上·上海·期中）正數，，滿足，求的值．
【答案】
【知識點】因式分解的應用
【分析】本題考查因式分解的應用；能夠將所給式子進行正確的因式分解是解題的關鍵．將式子因式分解為，求得，同理可得，，推出，再可化為，求出的值，即可求解．
【詳解】解：，
，即，
，
，
，
，
同理求得：，，
，
可化為，
解得：或（不合題意，舍去），
，
．
【變式3-2】（2024七年級上·上?！ｎ}練習）若、、為非零實數，且，求證：．
【知識點】運用平方差公式進行運算、運用完全平方公式進行運算、因式分解的應用
【分析】本題考查了因式分解的應用，完全平方公式，平方差公式，先分組再綜合運用提取公因式法和公式法因式分解即可得到答案，理解分組分解因式的思想方法是解決問題的關鍵．
【詳解】證明：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【變式3-3】（2024七年級上·上?！ｎ}練習）若為實數且滿足，，求的最小值．
【答案】
【知識點】因式分解的應用、分組分解法
【分析】本題考查了因式分解，非負數的性質，先將利用分組分解法因式分解，再將已知條件整體代入，化為完全平方式，最后根據非負數的性質確定的最小值，掌握分組分解法和整體代入法是解題的關鍵．
【詳解】解：由題得，，
∴
，
，
，
∴，，
∴，當且僅當時取等號，
經檢驗當時滿足，
的最小值為．
【變式3-4】（2024七年級上·上?！ｎ}練習）已知，，是的三邊，且滿足，判斷的形狀并說明理由．
【答案】等腰三角形，理由見解析
【知識點】因式分解的應用
【分析】本題考查了因式分解的應用，能夠靈活運用分組分解法進行因式分解是解題的關鍵,運用分組分解法判斷出，進而得到結論．
【詳解】解：，
，
，
，
或，
，，是的三邊，
，
為等腰三角形．
【變式3-5】（24-25七年級上·上海徐匯·期中）因為，這說明多項式有一個因式為，我們把代入多項式，發(fā)現能使多項式的值為0．
利用上述規(guī)律，回答下列問題：
(1)若是多項式的一個因式，求k的值．
(2)若和是多項式的兩個因式，試求m、n的值，并將該多項式因式分解．
(3)分解因式：．
【答案】(1)；
(2)m、n的值分別為和0；
(3)
【知識點】加減消元法、因式分解的應用、分組分解法、十字相乘法
【分析】本題主要考查了分解因式，解二元一次方程組：
（1）根據題意當時，，則，據此求解即可；
（2）根據題意可得當或時，，則可得關于m、n的方程組，解方程組求出m、n的值，進而把原多項式分解因式即可；
（3）先分組得到，再利用提公因式法和十字相乘法分解因式即可．
【詳解】（1）解：當時，，
∵是多項式的一個因式，
∴當時，，
∴，
∴
（2）解：∵和是多項式的兩個因式，
∴當或時，，
∴或時，，
∴，
解得，
∴原多項式為；
（3）解：
．
【變式3-6】（24-25七年級上·上?！るA段練習）閱讀理解應用
待定系數法：設某一整式的全部或部分系數為未知數，利用當兩個整式為恒等式時，同類項系數相等的原理確定這些系數，從而得到待求的值．
待定系數法可以應用到因式分解中，例如問題：因式分解，因為為三次整式，若能因式分解，則可以分解成一個一次整式和一個二次整式的乘積故我們可以猜想可以分解成展開等式右邊得：，根據待定系數法原理，等式兩邊整式的同類項的對應系數相等，，，，
可以求出，，所以
(1)若x取任意值，等式恒成立，則 ；
(2)已知整式有因式，請用待定系數法求出該整式的另一因式．
【答案】(1)1
(2)
【知識點】因式分解的應用、計算多項式乘多項式
【分析】此題考查多項式乘以多項式法則、因式分解的實際運用，理解題意，掌握待定系數法分解因式的方法與步驟是解決問題的關鍵．
（1）直接對比系數得出答案即可；
（2）根據題意設，進一步展開對比系數得出答案即可．
【詳解】（1）∵恒成立，
∴
∴；
（2）設，
∴，
∴，
多項式的另一因式是．
【變式3-7】（24-25七年級上·上?！て谥校┤鐖D，將一張大長方形紙板分成9塊，其中有2塊是邊長為cm的大正方形，2塊是邊長為cm的小正方形，且，5塊是形狀大小完全相同的小長方形．
(1)觀察圖形，可以寫出一個因式分解的等式為 ；
(2)若圖形中陰影部分的面積為，大長方形紙板的周長為．
①求的值；
②求圖中空白部分的面積．
【答案】(1)
(2)空白部分的面積為．
【知識點】因式分解的應用、完全平方公式在幾何圖形中的應用
【分析】本題考查了因式分解的應用、完全平方公式等知識點，掌握數形結合思想成為解題的關鍵
（1）先用兩種方式圖形的面積，然后寫成等式即可解答．
（2）①先根據長方形的周長公式列出關于的方程，然后整體求解即可；②由圖可得空白部分的面積是，幾何第一步中求出的的值以及陰影部分的面積，即可求得空白部分的面積．
【詳解】（1）解：通過觀察圖形可以得出圖形的面積是：，
長方形的長是，寬是，
由此可得：，
故答案為：；
（2）解：①根據長方形的周長為，可得：
，整列得：
，解得：．
答：的值為5；
②由圖形可知：空白部分的面積為，
根據②得：，
∵陰影部分的面積為，且陰影部分的面積表示為，
∴，
∵，
∴，解：，
∴．
答：空白部分的面積為．
一、單選題
1．（23-24七年級上·上海浦東新·期中）把多項式分解成兩個因式的積，那么k、m的值分別是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【知識點】因式分解的應用、計算多項式乘多項式
【分析】本題主要考查整式的乘法運算和因式分解．先將展開，再合并同類項，根據同類項系數相等即可求解．
【詳解】解：，
由于多項式跟上式是同一個式子，所以同類項的系數相等，
可得：，，
解得：，，
故選：C．
2．（24-25七年級上·上海寶山·期中）下列整式中不含有這個因式的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知識點】分組分解法、綜合提公因式和公式法分解因式
【分析】本題主要考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法，是解題的關鍵．先對每個選項進行因式分解，然后再進行判斷即可．
【詳解】解：；
；
；
；
綜上分析可知：整式中不含有這個因式的是，故B符合題意．
故選：B．
3．（23-24七年級上·上海浦東新·期末）已知甲、乙、丙均為x的一次多項式，且其一次項的系數皆為正整數．若甲與乙相乘的積為，乙與丙相乘的積為，則甲與丙相減的結果是( )
A．B．5C．1D．
【答案】D
【知識點】完全平方公式分解因式、因式分解的應用、十字相乘法
【分析】此題考查了十字相乘法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．把題中的積分解因式后，確定出各自的整式，相減即可．
【詳解】解：∵甲與乙相乘的積為，乙與丙相乘的積為，甲、乙、丙均為x的一次多項式，且其一次項的系數皆為正整數，
∴甲為，乙為，丙為，
則甲與丙相減的差為：；
故選：D
二、填空題
4．（24-25七年級上·上海青浦·期末）因式分解： ．
【答案】
【知識點】分組分解法、提公因式法分解因式
【分析】本題考查了因式分解—分組分解法，先把原式中一二兩項分成一組，三四兩項分成一組，每組分別提取公因式，最后組與組之間提取公因式即可．
【詳解】解∶原式
，
故答案為∶ ．
5．（24-25七年級上·上海青浦·階段練習）因式分解： ．
【答案】
【知識點】分組分解法、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式
【分析】本題考查了用分組分解法進行因式分解．當被分解的式子是四項時，應考慮運用分組分解法進行分解，后三項可以利用完全平方公式分解因式，且與第一項可以繼續(xù)利用平方差公式分解因式，所以應考慮為一組．
【詳解】解：
．
故答案為：．
6．（24-25七年級上·上?！て谥校┮蚴椒纸猓?
【答案】
【知識點】十字相乘法、綜合提公因式和公式法分解因式
【分析】本題考查因式分解，先提公因式，再利用十字相乘法分解因式即可求解．
【詳解】解：
，
故答案為：．
7．（24-25七年級上·上海·階段練習）因式分解： ．
【答案】
【知識點】十字相乘法
【分析】本題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解是解題的關鍵；因此此題可根據十字相乘法可進行分解因式．
【詳解】解：原式；
故答案為．
8．（24-25七年級上·上?！るA段練習）分解因式： ．
【答案】
【知識點】平方差公式分解因式、十字相乘法
【分析】本題考查了分解因式，能提取公因式的先提取公因式，再利用平方差或完全平方公式進行分解即可，熟練掌握平方差公式是解此題的關鍵．
先用十字相乘法分解，再運用平方差公式分解即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
9．（24-25七年級上·上海·階段練習）因式分解： ．
【答案】
【知識點】分組分解法、綜合提公因式和公式法分解因式
【分析】本題考查因式分解，將原式展開再分組為，再根據平方差公式和提公因式法進行分解即可．掌握公式法和提公因式法分解因式是解題的關鍵．
【詳解】解：
．
故答案為：．
10．（24-25七年級上·上海·階段練習）（ ）．
【答案】
【知識點】因式分解的應用
【分析】此題考查了立方差公式．由即可得到答案．
【詳解】解：∵，
∴，
故答案為：
11．（24-25七年級上·上?！るA段練習）若，則 ．
【答案】或或
【知識點】因式分解的應用、兩個有理數的乘法運算
【分析】本題考查了因式分解的應用，有理數的乘法運算，把右式移到左邊，再進行因式分解，可得，進而可得或，據此解答即可求解，利用因式分解把方程轉化為的形式是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴或或，
故答案為：或或．
12．（24-25七年級上·上?！て谥校┮阎?，，，那么
【答案】
【知識點】因式分解的應用
【分析】本題考查了利用因式分解進行簡便計算，解題關鍵是要將因式分解．先將因式分解為，再將其值代入計算即可．
【詳解】解：，，，
故答案為：．
13．（24-25七年級上·上海嘉定·期中）因式分解，其中、、都為整數，則這樣的的最小值是 ．
【答案】
【知識點】因式分解的應用、（x+p）（x+q）型多項式乘法
【分析】本題考查因式分解，將等式右邊的式子利用多項式乘以多項式的法則展開，根據恒等式，得到對應項相同，得到，根據最小，得到的絕對值相差最大，且負數大于正數，即可得出結論．
【詳解】解：∵，
∴，
∴異號，
∵最小，
∴為負，的絕對值差值最大，且負數大于正數，
∵，
∴的最小值為：；
故答案為：．
14．（24-25七年級上·上海徐匯·期中）在括號內填入適當的單項式，使多項式能因式分解，共有 種填法．
【答案】5
【知識點】綜合運用公式法分解因式、分組分解法、綜合提公因式和公式法分解因式
【分析】本題主要考查了分解因式，由于和都可以分解因式，那么添加單項式消去或者都符合題意，由于，那么添加符合題意；根據平方差公式的特點可添加一個單項式讓構成一個完全平方式也滿足題意，據此可得答案．
【詳解】解：當填入時，原式；
當填入時，原式；
當填入時，原式；
當填入時，原式；
當填入時，原式；
故答案為：5．
三、解答題
15．（24-25七年級上·上?！るA段練習）因式分解：．
【答案】
【知識點】綜合提公因式和公式法分解因式、分組分解法
【分析】本題考查了因式分解．先分組，再提公因式，然后利用平方差公式繼續(xù)分解即可．
【詳解】解：
．
16．（24-25七年級上·上海松江·階段練習）分解因式：．
【答案】
【知識點】分組分解法、綜合提公因式和公式法分解因式
【分析】本題考查了分解因式．先分組，再提公因式，然后利用平方差公式繼續(xù)分解即可．
【詳解】解：
．
17．（24-25七年級上·上海松江·期末）因式分解：．
【答案】
【知識點】十字相乘法
【分析】本題考查的是因式分解，先計算整式的乘法，再合并同類項，最后利用十字乘法分解因式即可．
【詳解】解：
．
18．（23-24七年級上·上海浦東新·期中）因式分解：．
【答案】
【知識點】完全平方公式分解因式、平方差公式分解因式、十字相乘法
【分析】本題主要考查了分解因式．先利用十字相乘法分解因式，再利用完全平方公式十字相乘法繼續(xù)分解因式即可．
【詳解】解；
．
19．（24-25七年級上·上海·期中）讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：
(1)上述分解因式的方法是________，共應用了________次．
(2)若分解，則需應用上述方法________次，結果是________．
(3)分解因式（寫出過程）：
【答案】(1)提公因式法，2
(2)2024，
(3)
【知識點】因式分解的應用
【分析】本題考查了因式分解的應用，解決本題的關鍵是掌握因式分解法．
（1）根據閱讀因式分解的過程即可得結論；
（2）根據閱讀材料的計算過程進行解答即可；
（3）根據閱讀材料的計算過程進行解答即可；
【詳解】（1）解：閱讀因式分解的過程可知：上述分解因式的方法是提公因式法，共應用了2次，
故答案為：提公因式法，2；
（2）解：
，
則需應用上述方法2024次，結果是，
故答案為：2024，；
（3）解：
．
20．（24-25七年級上·上海·期中）下面是對整式因式分解的部分過程．
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
_____．（第四步）
_____．（第五步）
閱讀以上解題過程，解答下列問題：
(1)在上述的因式分解過程中，用到因式分解的方法有_____．（至少寫出兩種方法）
(2)在橫線上繼續(xù)完成對本題的因式分解．
(3)請你嘗試用以上方法對整式進行因式分解．
【答案】(1)提公因式法，公式法，分組分解法；
(2)見解析
(3)
【知識點】分組分解法、綜合提公因式和公式法分解因式
【分析】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關鍵．
（1）根據所給因式分解過程即可得到答案；
（2）先利用平方差公式把第二次式子分解因式，再利用提公因式法分解因式即可；
（3）先把原式變形為，再分組得到，據此分解因式即可．
【詳解】（1）解：第二步用了分組分解法，第三步用了提公因式法，第四步運用公式法；
（2）解：原式（第四步）
（第五步）
（3）解：
．
方法
分類
分組方法
特點
分組分解法
四項
二項、二項
①按字母分組②按系數分組
③符合公式的兩項分組
三項、一項
先完全平方公式后平方差公式
五項
三項、二項
各組之間有公因式
六項
三項、三項
二項、二項、二項
各組之間有公因式
三項、二項、一項
可化為二次三項式